Επίλυση γραµµικών συστηµάτων µε αντίστροφο πίνακα Αν ο ν ν πίνακας A είναι αντιστρέψιµος το γραµµικό σύστηµα που γράφεται µε τη µορφή A X = B έχει µοναδική λύση X = A B A είναι ο πίνακας συντελεστών των αγνώστων X είναι ο πίνακας των αγνώστων B είναι ο πίνακας των σταθερών όρων Παράδειγµα = 2 5+ 6= 8 A= 5 6 A = = 6 5= 0 5 6 X = B= 28 Το σύστηµα ισοδυνάµως γράφεται 6 2 4 A X = B X = A B= 5 = 8 2 Παράδειγµα 2 2 + = 3 + = 2 2+ 3 2= 2 2 A= 3 2 3 2 A 2 = 3 = 0 2 3 2 A 3 2 = 4 2 3 9 4 7 2 X = B= 2 2 Το σύστηµα ισοδυνάµως γράφεται = = = 2 3 A X B X A B Παράδειγµα 3 3 + = 2+ 4 + = + 3= Στέφανος Ι Καρναβάς Μαθηµατικός (ΜΕd) Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οινουσσών
3 0 A= 2 4 0 3 3 0 A = 2 4 = 27 0 0 3 X = B= Το σύστηµα ισοδυνάµως γράφεται 3 27 27 27 3 6 9 3 A X = B X = A B= = 0 27 27 27 2 3 0 3 27 27 27 Επίλυση γραµµικών συστηµάτων µε ορίζουσες Έστω ν ν γραµµικό σύστηµα που γράφεται µε τη µορφή A X = B Αν A 0 το σύστηµα έχει µοναδική λύση = = κοκ Αν A = 0 το σύστηµα είναι αδύνατο ή αόριστο Παράδειγµα 2 3= 3+ 2= 8 2 3 = = 3 0 3 2 3 = = 26 8 2 2 = = 3 3 8 Άρα 26 = = = 2 και 3 3 = = = 3 Παράδειγµα 2 + 2+ 3= 5 = 0 4+ 5+ 6= 2 3 = = 6 0 4 5 6 5 2 3 = 0 = 6 5 6 5 3 = 0 = 6 4 6 2 5 = 0 = 2 4 5 Στέφανος Ι Καρναβάς Μαθηµατικός (ΜΕd) Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οινουσσών 2
Άρα 6 = = = 6 6 = = = 6 2 = = = 2 6 Παράδειγµα 3 3+ 6= 7 2+ 4= 3 3 6 = = 2 2= 0 2 4 = 7 6 = 28 8= 0 0 Α ΥΝΑΤΟ 3 4 Στο ίδιο συµπέρασµα καταλήγοµε και από 3 7 = = 9 4= 5 0 2 3 Παράδειγµα 4 + 3= 2 2+ 6= 4 3 = = 6 6= 0 2 6 2 3 = = 2 2= 0 4 6 2 = = 4 4= 0 2 4 Από = = = 0 έπεται ότι το σύστηµα είναι αόριστο Παρατηρούµε ότι η δεύτερη εξίσωση προκύπτει αν πολλαπλασιάσοµε την πρώτη επί δύο Άρα + 3= 2 + 3 = 2 = 2 3 2+ 6= 4 = 2 3 όπου R Συνεπώς ( ) ( ) Παράδειγµα 5 + 2+ 3= = 0 4+ 5+ 6= 0 = 6 0 2 3 = 0 = 0 5 6 3 = 0 = 0 4 0 6 2 = 0 = 9 4 5 0 Άρα ( ) 0 9 = = 6 6 6 Στέφανος Ι Καρναβάς Μαθηµατικός (ΜΕd) Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οινουσσών 3
Παράδειγµα 6 5 2+ 3 ω= 6 2 3 9 + = 3 + 2ω = 4+ 3 + 5ω = 7 = 206 0 = 42 = 206 = = 68 Άρα ( ) ω ω = = ( 2 3 3) ω Παράδειγµα 7 ( λ+2) + 7( λ 3) = 35 + ( λ 3) = λ λ+2 7( λ 3) = = λ 3 λ+2 7 = λ 3 λ+2 7 = λ 3 λ 5 λ 3 ( ) ( )( ) ( )( ) ( λ ) 35 7 3 = = 35 7 = = λ λ 3 λ ( λ 3) ( λ 3)( 35 7λ) 7( λ 3)( λ 5) λ+2 35 = = + 2 35= λ 5 λ+7 λ 2 λ λ Αν 0 λ 3 και λ 5 ( )( ) είναι ( ) Αν λ= 3το σύστηµα γίνεται Αν λ= 5το σύστηµα γίνεται 7 λ+ = = 7 λ 3 5+ 0= 35 5= 35 Α ΥΝΑΤΟ + 0= 3 = 3 7+ 4= 35 + 2 = 5 ΑΟΡΙΣΤΟ + 2= 5 Παράδειγµα 8 3+ 5= 2 3= 4 3 5 = = 4 0 3 2 5 = = 56 4 3 3 2 = = 0 4 Στέφανος Ι Καρναβάς Μαθηµατικός (ΜΕd) Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οινουσσών 4
56 0 4 4 Άρα ( ) = = = ( 40) Επίλυση οµογενούς γραµµικού συστήµατος ν ν a+ b= Το γραµµικό 2 2σύστηµα ποτέ δεν είναι αδύνατο καθόσον c+ d= 0 έχει ως προφανή λύση τη µηδενική Το σύστηµα έχει και µη µηδενικές λύσεις a b = a d b c 0 c d = = a b Αν = a d b c 0 c d = τότε το σύστηµα έχει ως µόνη λύση την προφανή Να λυθεί το οµογενές σύστηµα Παράδειγµα + 2= 2+ 4= 0 2 = = 4 4= 0 Άρα έχει και άλλες λύσεις εκτός της προφανούς 2 4 Αποδεικνύεται ότι αυτή είναι η ( ) = ( 0 5) Παράδειγµα 2 2 + = Να λυθεί το οµογενές 3 3 σύστηµα + 3 + = 0 + 3= 0 µηδενικής 2 = 3 = 22 0 άρα το σύστηµα δεν έχει άλλη λύση πλην της 3 Να λυθεί το οµογενές σύστηµα Παράδειγµα 3 + = 3 = 0 2 = 0 Στέφανος Ι Καρναβάς Μαθηµατικός (ΜΕd) Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οινουσσών 5
= 0 3 = 0 άρα υπάρχει και µη µηδενική λύση 2 Υπολογισµός της µη µηδενικής λύσεως ( ) 2 0 0 0 0 0 3 0 0 3 0 ( ) 0 3 0 0 3 0 2 0 0 3 0 0 0 0 0 2 2 0 2 = 0 = 0 3 0 3 3 ( ) 0 0 0 0 3 3 = 0 = 3 3 2 2 = = όπου R 3 3 3 3 Άρα ( ) Στέφανος Ι Καρναβάς Μαθηµατικός (ΜΕd) Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οινουσσών 6