1 ÈÖ Ð Ñ Για να είναι εφαρμόσιμη η μέθοδος της συνάρτησης Green, θαπρέπειηομογενής εξίσωση Ly =+ Ο.Σ.Σ. να έχει ως μοναδική λύση τη μηδενική. α) Η ομογενής εξίσωση y =έχει λύση y = A + B, από τις δεδομένες συνοριακές συνθήκες έχουμε y() = B = y (1) = A = οπότε η μοναδική λύση είναι η μηδενική, επομένως υπάρχει μοναδική συνάρτηση Green. Εχουμε κατά τα γνωστά (βλ. Παράδειγμα 1, σελ. 7) G L () =A + B, G R () =A + B οπότε από τις συνοριακές συνθήκες έχουμε G L () = B = G L () =A, G R(1) = A = G R () =B Από τις συνθήκες συνάρμοσης, G L ( )=A = G R ( )=B A = B G R ( ) G L ( )= 1 A = 1 A =1 B = οπότε τελικά G L () =, < G R () =, > Τελικά, η λύση μπορεί να γραφτεί στη μορφή y() = G(, ) f( ) d = f( ) d + f( ) d β) Η λύση της ομογενούς είναι y = A + B, από τις συνοριακές συνθήκες έχουμε y () = y (1) = A =,οπότεy() =B, μεb τυχαίο, οπότε δεν υπάρχει μόνο η μηδενική λύση, άρα δεν είναι εφαρμόσιμη η μέθοδος της συνάρτησης Green. γ) Εφαρμόζοντας στη λύση της ομογενούς y = A + B τις συνοριακές συνθήκες, έχουμε y() = B = y(1) = A + B, A =, οπότε η δεύτερη συνθήκη y () = y (1) ικανοποιείται αυτόματα. Αφούτελικά y() =B, μεb
τυχαίο, δεν υπάρχει μόνο η μηδενική λύση, άρα δεν είναι εφαρμόσιμη η μέθοδος της συνάρτησης Green. δ) Ομοίως, βρίσκουμε για τη λύση της ομογενούς y() =A, οπότε δεν υπάρχει μόνο η μηδενική λύση, άρα δεν είναι εφαρμόσιμη η μέθοδος της συνάρτησης Green. ε) Εφαρμόζοντας στη λύση της ομογενούς y = A + B τις συνοριακές συνθήκες, έχουμε A = B =, οπότε υπάρχει μοναδική συνάρτηση Green. Εχουμε κατά τα γνωστά οπότε από τις συνοριακές συνθήκες G L () =A + B, G R () =A + B G L () = B = G L () =A, G R (1) = G R(1) A = A B B = A G R () =A ( ) G R ( )=G L ( ) A ( ) = A G R ( ) G L ( )= 1 A A = 1 Λύνοντας το σύστημα των δύο εξισώσεων, έχουμε οπότε τελικά A = (1 G(, )= η λύση μπορεί να γραφτεί στη μορφή A =1 ) = ( ), < ( ) = ( ), > y() = ( ) f( ) d + = (1 ) f( ) d + ( ) f( ) d ) (1 f( ) d
3 ÈÖ Ð Ñ Εχουμε κατά τα γνωστά (βλ. Παράδειγμα, σελ. 9) ότι G L()+G L () =, G L () = G R ()+G R() =, G R ( ) = Η πρώτη από τις παραπάνω εξισώσεις έχει λύση G L () =Ae + Be, με G L () = A + B = A = B G L () =A(e e )=A sinh ενώ η δεύτερη έχει λύση G R () =A e + B e, με G R ( ) = A = G R () =B e G L ( )=G R ( ) A sinh = B e G R( ) G L( )= 1 A cosh + B e = 1 Επιλύοντας το παραπάνω σύστημα, παίρνουμε B = e e e 1+coth =sinh A = (1 + coth )sinh = e τελικά G(, )= { e sinh, < sinh e > οπότε η λύση θα γράφεται στη μορφή
4 y() =e sinh f( ) d +sinh Για την ειδική περίπτωση f() =e λ,έχουμε e f( ) d y() =e sinh e λ d +sinh e e λ d = e e λ λ 1 Η εξίσωση μπορεί να λυθεί επίσης «παραδοσιακά» ως εξής. Η γενική λύση της ομογενούς εξίσωσης y + y =είναι y = Ae + Be, ενώ επιλέγουμε ως μερική λύση της μη ομογενούς την y = ae λ. Αντικαθιστώντας την τελευταία στη μη ομογενή εξίσωση y + y = e λ βρίσκουμε a =1/(1 λ ),οπότεη γενική λύση της μη ομογενούς είναι y = y + y = Ae + Be + e λ 1 λ από τις συνοριακές συνθήκες βρίσκουμε y() = A+B+ 1 1 λ = y( ) =Ae = A = B = 1 λ 1 (ό.έ.δ.) y = e λ 1 + e λ 1 λ = e e λ λ 1 ÈÖ Ð Ñ Εχουμε κατά τα γνωστά ότι G L ()+G L() =, G L () = G R()+G R () =, G R (π/) = Η πρώτη από τις παραπάνω εξισώσεις έχει λύση G L () =α sin + β cos, με G L () = β = G L () =α sin
5 ενώ η δεύτερη έχει λύση G R () =α sin + β cos, με G R (π/) = α = G R () =β cos G L ( )=G R ( ) α sin = β cos G R ( ) G L ( )=1 β sin α cos =1 Επιλύοντας το παραπάνω σύστημα, παίρνουμε α = cos β = sin τελικά G(, )= { cos sin, < <π/ sin cos, > > οπότε η λύση θα γράφεται στη μορφή y() = cos sin f( ) d sin π/ Για την ειδική περίπτωση f() =1,έχουμε cos f( ) d y() =cos(cos ) sin (sin ) π/ =1 cos sin Η γενική λύση της μη ομογενούς εξίσωσης y + y =1( το άθροισμα της γενικής λύσης της ομογενούς μιας μερικής λύσης της μη ομογενούς) είναι y = α sin + β cos +1 από τις συνοριακές συνθήκες βρίσκουμε y() = β +1= β = 1 y(π/) = α +1 α = 1 y =1 cos sin
6 (ό.έ.δ.) ÈÖ Ð Ñ Για να αποδείξουμε ότι η (1) ικανοποιεί την εξίσωση, θα πρέπει να υπολογίσουμε το y.γιατοy έχουμε y = d ( d e e f( ) d + 1 ) e e f( ) d Σύμφωνα με τον κανόνα του Leibniz: συνεπώς d d v() u() f( ) d = f ( v() ) dv d f( u() ) du d y = e + e = e e f( ) d + e e f( ) d + e e f( ) d + e ( e f() e f() ) ( e f( ) e f() ) e f( ) d y = e e f( ) d 1 f()+e e f( ) d 1 f() = y() f() (1) οπότε η εξίσωση ικανοποιείται. Για τις Σ.Σ., έχουμε y () = 1 e f( ) d = y() Ì Ò Ø Ñ Ø Ò ÐÐ ÙÒÓÖ ÙÒ ΓιατησυνάρτησηGreen, έχουμε κατά τα γνωστά G L () =αe + βe, με G L () = α β = G L() = α + β β = G L () =αe G R () =α e + β e, με G R ( ) = α =
7 G R () =β e G L ( )=G R ( ) αe = β e β = αe G R( ) G L( )= 1 β e αe = 1 Επιλύοντας το παραπάνω σύστημα, παίρνουμε α = e β = e τελικά 1 G(, )= e, < 1 e, > ή G(, )= 1 e