ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2019 1 η Σειρά Ασκήσεων (Προτασιακός Λογισμός) Παράδοση: Τρίτη 26/2/2019, μέχρι το τέλος του φροντιστηρίου Σημείωση: Όλες οι απαντήσεις πρέπει να είναι τεκμηριωμένες Άσκηση 1.1 [1 μονάδα] Αποδείξτε ότι η πρόταση (p q) (q p) είναι ταυτολογία (α) χρησιμοποιώντας πίνακες αλήθειας (β) χωρίς πίνακες αλήθειας (α) p q p q p q q p (p q) (q p) T T F F T T T T F F T F T T F T T F T F T F F T T T T T (β) (p q) (q p) (ορισμός του αν...τότε) ( p q) ( q p) (προσεταιριστική ιδιότητα) ( p q q p) (αντιμεταθετική ιδιότητα) ( p p) ( q q) (ταυτολογία) T T T Άσκηση 1.2 [2 μονάδες] Χρησιμοποιείστε τους νόμους ισοδυναμίας να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις αναφέροντας ποιούς νόμους χρησιμοποιείτε σε κάθε βήμα: a. (p q) (r p) ( q r p) b. (p q) (p q) ( p q) c. (p q) q d. (p q r) (p q r) e. (p q) ( p q) q a. (p q) (r p) ( q r p) (επιμεριστική ιδιότητα) (p (q r)) ( q r p) (De Morgan) (p (q r)) ( (q r) p) (αντιμεταθετική και επιμεριστική ιδιότητα)
p [(q r) (q r)] (αντίφαση) p F (ουδέτερο στοιχείο) p b. (p q) (p q) ( p q) (επιμεριστική ιδιότητα) p (q q) ( p q) (ταυτολογία) ( p T) ( p q) (ουδέτερο στοιχείο) p ( p q) (επιμεριστική ιδιότητα) ( p p) (p q) (ταυτολογία) Τ (p q) (ουδέτερο στοιχείο) p q c. (p q) q (επιμεριστική ιδιότητα) (p q) ( q q) (ταυτολογία) (p q) T (ουδέτερο στοιχείο) p q d. (p q r) (p q r) (επιμεριστική ιδιότητα) [(p q) (r r)] (ταυτολογία) [(p q) T ] (ουδέτερο στοιχείο) p q e. (p q) ( p q) q (επιμεριστική ιδιότητα) [(p p) q] q (ταυτολογία) ( T q) q (ουδέτερο στοιχείο) q q F (αντίφαση) Άσκηση 1.3 [1.5 μονάδα] Γράψτε σε φυσική γλώσσα την αντίστροφη, την αντιθετική και την αντιστροφοαντίθετη των παρακάτω προτάσεων: 1. Όποτε είμαι σε διακοπές κολυμπώ κάθε μέρα 2. Αν αργήσει το λεωφορείο θα χάσω το μάθημα 3. Αν δεν σπάσεις αυγά δεν κάνεις ομελέτα 4. Αν ένας ακέραιος τελειώνει σε 0 τότε διαιρείται ακριβώς με το 5 Υπόδειξη: Βοηθά πολύ να μετατρέψετε πρώτα τις φράσεις σε προτασιακό λογισμό με τη βοήθεια απλών ατομικών προτάσεων (π.χ. p: Είμαι σε διακοπές ) 1. Αν κολυμπώ κάθε μέρα είμαι σε διακοπές Αν δεν είμαι σε διακοπές δεν κολυμπώ κάθε μέρα
Αν δεν κολυμπώ κάθε μέρα δεν είμαι σε διακοπές 2. Αν χάσω το μάθημα θα αργήσει το λεωφορείο ( όποτε χάνω το μάθημα αργεί το λεωφορείο) Αν δεν αργήσει το λεωφορείο δεν θα χάσω το μάθημα Αν δεν χάσω το μάθημα δεν θα αργήσει το λεωφορείο 3. Αν δεν κάνεις ομελέτα δεν σπας αυγά Αν σπάσεις αυγά κάνεις ομελέτα Αν κάνεις ομελέτα τότε σπας αυγά ( όποτε κάνεις ομελέτα σπας αυγά) 4. Αν ένας ακέραιος διαιρείται ακριβώς με το 5 τελειώνει σε 0 Αν ένας ακέραιος δεν τελειώνει σε 0 δεν διαιρείται με το 5 Αν ένας ακέραιος δεν διαιρείται με το 5 δεν τελειώνει σε 0 Άσκηση 1.4 [2 μονάδες] Έστω p: Μου αρέσει το διάβασμα και q: Διαβάζω πολλά βιβλία Α. Με τη βοήθεια των ατομικών προτάσεων p και q μεταφέρετε τις παρακάτω εκφράσεις της ελληνικής γλώσσας σε προτασιακό λογισμό: Β. Στη συνέχεια γράψτε τις αρνήσεις αυτών των προτάσεων στην απλούστερη δυνατή μορφή εφαρμόζοντας τους νόμους ισοδυναμίας και μεταφέρετε τις στα ελληνικά με όσο πιο φυσικό τρόπο μπορείτε a. Ούτε μου αρέσει το διάβασμα ούτε διαβάζω πολλά βιβλία b. Μου αρέσει το διάβασμα κι αυτό αρκεί για να διαβάζω πολλά βιβλία c. Διαβάζω πολλά βιβλία μόνο αν μου αρέσει το διάβασμα d. Δεν μου αρέσει το διάβασμα αλλά διαβάζω πολλά βιβλία e. Αν και δεν διαβάζω πολλά βιβλία μου αρέσει το διάβασμα Α. B. a. p q b. p q c. q p d. p q e. q p
a. ( p q) (p q) Είτε μου αρέσει το διάβασμα είτε διαβάζω πολλά βιβλία b. (p q) ( p q) p q Μου αρέσει το διάβασμα αλλά δεν διαβάζω πολλά βιβλία c. (q p) ( q p) q p Διαβάζω πολλά βιβλία αλλά δεν μου αρέσει το διάβασμα d. ( p q) (p q) q p Διαβάζω πολλά βιβλία άρα μου αρέσει το διάβασμα e. ( q p) q p p q Μου αρέσει το διάβασμα άρα διαβάζω πολλά βιβλία Παρατήρηση: Δείτε ότι τα ζεύγη των προτάσεων (b, e) και (c,d) αποτελούν η μια την άρνηση της άλλης. Οι τρόποι να τις μεταφέρουμε σε καθημερινή γλώσσα είναι πολλοί Άσκηση 1.5 [1.5 μονάδα] Ο Μάνος παίζει σε ένα τηλεπαιχνίδι και έχει μπροστά του δύο κουτιά για να επιλέξει, το Α και το Β. Τα κουτιά έχουν επιγραφές πάνω τους και ο Μάνος γνωρίζει ότι είτε και οι δύο επιγραφές είναι σωστές, είτε και οι δύο λανθασμένες. Το κουτί Α γράφει Τουλάχιστον ένα κουτί θα σου διπλασιάσει τα χρήματά σου. Το κουτί Β γράφει Το κουτί Α θα σε κάνει να τα χάσεις όλα. Μπορεί να είναι σίγουρος ποιο κουτί πρεπει να διαλέξει για να κερδίσει το παιχνίδι; Έστω οι ατομικές προτάσεις: a: Με το κουτί Α κερδίζει και b: Με το κουτί Β κερδίζει Η επιγραφή στο κουτί Α λέει ότι: a b ενώ η επιγραφή στο κουτί Β λέει ότι: a Δημιουργούμε τον πίνακα αλήθειας a b a b a F F F T F T T T T F T F T T T F Το γεγονός ότι ξέρουμε ότι είτε και οι δύο επιγραφές είναι αληθείς είτε και οι δύο ψευδείς, σημαίνει ότι οι επιγραφές έχουν την ίδια τιμή αληθείας: (a b) a Η μόνη περίπτωση στην οποία η παραπάνω πρόταση είναι αληθής είναι όταν b=t και a=f. Επομένως η σωστή επιλογή είναι το κουτί Β.
Άσκηση 1.6 [2 μονάδες] Σε ένα νησί ζουν δύο φυλές. Η άνθρωποι της φυλής Φ1 λένε πάντα αλήθεια και αυτοί της φυλής Φ2 λένε πάντα ψέματα. Το νησί καμιά φορά επισκέπτονται και τουρίστες (Τ) που άλλοτε λένε αλήθεια και άλλοτε ψέματα α. Συναντάμε δύο ιθαγενείς, τον Αντώνη και το Βασίλη. Ο Αντώνης λέει: ανήκουμε και οι δύο στη φυλή Φ2. Σε ποια φυλή ανήκουν; (Υπόδειξη: Εφόσον είναι ιθαγενείς, δεν είναι τουρίστες) β. Συναντάμε το Γιάννη και το Γιώργο και τους ρωτάμε σε ποια φυλή ανήκουν Ο Γιάννης λέει ότι ανήκει στη Φ1 και ο Γιώργος λέει ότι ανήκει στη Φ2. Σε ποια φυλή ανήκουν πραγματικά? α. Δεν μπορεί να ισχύει το επιχείρημα του Αντώνη (γιατί;). Άρα λέει ψέματα, συνεπώς ανήκει στην Φ2. Η πρότασή του λοιπόν είναι ψευδής άρα ο Βασίλης ανήκει στη Φ1 Β. Δεν μπορούμε να απαντήσουμε για το Γιάννη. Όλοι πάνω στο νησί θα μπορούσαν να πούν ότι ανήκουν στη Φ1 Ο Γιώργος δεν μπορεί να ανήκει στη Φ2. Δεν θα μπορούσε να λέει την αλήθεια. Δεν μπορεί να ανήκει ούτε στη Φ1: Δεν θα έλεγε ψέματα. Άρα ο Γιώργος είναι τουρίστας (Τ)