ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi, x R α) Να αποδείξετε ότι: 4 8 4ν * * Im( ), νν,xr 5 6 9 0 4ν 4ν ± i i i i β) Να βρείτε τους μιγαδικούς που έχουν την παραπάνω μορφή και επαληθεύουν την εξίσωση: i 0 γ) Αν, οι λύσεις της προηγούμενης εξίσωσης, να αποδείξετε ότι: i) 4 4 ii) iii) i 04 04 ΛΥΣΗ α) 5 4+ i i i, 9 4 i i i,.., 4ν 4(ν)+ i i i και οπότε έχουμε: (xxi) x x ix x i 4 8 4ν i i i i 5 6 9 0 4ν 4ν 6 0 4ν i 6 0 4ν x i i i x Im( ) -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 β) οπότε έχουμε: (xxi) x ix x i ) ) i 0 ( x x i x i (x xi i 0 x x 0 ( x x ) ( x x x) i 0 x x x 0 x x 0 x x 0 x ( x ) 0 ( x x) x 0 x 0 x 0 x 0x x x Άρα οι ρίζες της εξίσωσης είναι: (i) και (i) γ) i) οπότε έχουμε: ii) iii) 4 ( ) (i) (i ) 4i (i) () 4 4 4 ) () () ) ) ) () 04 4 50 4 50 ( ) 50 () και οπότε έχουμε: (i) (i ) i i () () 04 04 04 ) i ( i)+( i) i 04 04 () -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : α) Να λύσετε την εξίσωση 4w w 0, w C Θεωρούμε επιπλέον τους μιγαδικούς αριθμούς, οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις: () και 4 () β) Να αποδείξετε ότι γ) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο που έχει κορυφές τις εικόνες των μιγαδικών αριθμών 0, και είναι ορθογώνιο. δ) Να υπολογίσετε τις οξείες γωνίες του παραπάνω τριγώνου. ΛΥΣΗ α) Η εξίσωση 4w w 0 έχει διακρίνουσα ( ) 44 0 και οι λύσεις της είναι: w i 4 4 β) Θέτουμε w. Επειδή θα είναι 0, άρα w 0, οπότε η σχέση () ισοδύναμα γράφεται: 4w 4w w 0 w i i w 4 4 4 4 Άρα i, επομένως 4 4 γ) Αν Ο, Α και Β είναι οι εικόνες των 0, και, τότε έχουμε: (OΑ), Επίσης είναι: Οπότε: Παρατηρούμε ότι: (OB) 4 4 ( ) (ΑΒ) (ΑΒ) (OB) (OΑ) (ΑB), οπότε το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο. δ) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑΒ 0 OBA 0 και AOB 60 0 0 OΑΒ =90 είναι (OB) (OA), οπότε θα έχουμε -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : α) Για δύο οποιουσδήποτε μιγαδικούς αριθμούς w και w να αποδείξετε ότι ισχύει w w w w w w β) Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς, οι οποίοι ικανοποιούν τη σχέση i ΛΥΣΗ i) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών ii) Αν, είναι δύο μιγαδικοί του προηγούμενου γεωμετρικού τόπου για τους οποίους ισχύει, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 4i α) w w w w w w w w w w w w w ww w w ww w ww ww ww ww ww ww ww ww ww ww w w β) i) Έστω x yi, x,y R με εικόνα στο επίπεδο το σημείο M(x, y) Είναι i 0i (ΜΚ), όπου Μ() η εικόνα του και Κ(0,) Παρατηρούμε ότι η εικόνα Μ του μιγαδικού αριθμού απέχει από το σταθερό σημείο Κ(0,) σταθερή απόσταση Οπότε ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι ο κύκλος με κέντρο το σημείο Κ(0,) και ακτίνα ρ, που έχει εξίσωση i ii) Επειδή οι μιγαδικοί, ικανοποιούν τη σχέση i, θα ισχύει: i και i Θέτοντας w i και w i στην ισότητα του (α) ερωτήματος διαδοχικά έχουμε: i i i i i i 4i = 4i 4 4i -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ 4ο : Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί,w, οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις: 0 0 i i 6 () και w i () α) Να αποδείξετε ότι β) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός γ) Να αποδείξετε ότι 408 u 04 4 u είναι πραγματικός. δ) Αν w,w είναι δύο μιγαδικοί αριθμοί, οι οποίοι ικανοποιούν τη σχέση (), τότε να ΛΥΣΗ αποδείξετε ότι ww 8 α) Από τη σχέση () έχουμε: β) 0 0 i i 6 i i 6 0 0 i i 6 i i 6 i i i 6i 6 9 6i 6i 4 6i 6i 6 8 4 4 4 4 () Οπότε αν x yi με x,y R, τότε έχουμε: Επομένως u R 04 () 4 04 04 u ( ) (yi) 04 04 04 04 ( y) i ( y) i ( y) R γ) Άρα: 04 () 4 u () 04 408 u 04 04 408-5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 δ) Είναι w i και w i, όπου οι μιγαδικοί αριθμοί, ικανοποιούν τη σχέση (), οπότε θα ισχύει ότι. Άρα οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών, ανήκουν στον κύκλο με κέντρο το σημείο (0,0) και ακτίνα, οπότε ισχύει 4 w w i i i i 4 8 ΘΕΜΑ 5ο : α) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών που ικανοποιούν τη σχέση i i είναι ο κύκλος C:x y β) Έστω ένας μιγαδικός αριθμός του οποίου η εικόνα ανήκει στον κύκλο C. Να αποδείξετε ότι: i) w w 5 για οποιοδήποτε μιγαδικό αριθμό w ii) 4 γ) Έστω u, v δύο μιγαδικοί αριθμοί. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μιγαδικός αριθμός o με εικόνα στον κύκλο C, ώστε να ισχύει ΛΥΣΗ α) o u v i i i i o αφού i 0 i i 0 i 0 i 0 (), Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι ο κύκλος που έχει κέντρο το σημείο Ο(0, 0) και ακτίνα C:x y β) i) Για οποιοδήποτε μιγαδικό αριθμό w έχουμε: 5 w w 5 w w 5 5 w w (w) (w ) Επομένως w w5-5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ii) 4 οπότε απομένει να αποδείξουμε το αριστερό μέλος της ζητούμενης ανισοτικής σχέσης. Ισχύει: ( ) () Επειδή από τη σχέση () προκύπτει ότι Είναι προφανές ότι (4) με x,y, Αν x yi τότε έχουμε: x y (5) () () (x) y x y x x (x) x (6) (x) y x y x x (x) x (7) Από τις σχέσεις () και (6) προκύπτει ότι: x (8) Από τις σχέσεις (4) και (7) προκύπτει ότι : x (9) Αν x 0, από τη σχέση (8) έχουμε: Αν x,0 από τη σχέση (9) έχουμε: Επομένως είναι: 4 γ) Έστω ότι για κάθε C με ισχύει: u v (0) Αν στη σχέση (0) θέσουμε διαδοχικά και έχουμε: uv και uv οπότε uv uv ( uv) ( uv) v v v () Αν στη σχέση (0) θέσουμε διαδοχικά i και i έχουμε: uiv και uiv οπότε (5) (5) uiv uiv ( uiv) ( uiv) v v v () Από τις σχέσεις () και () συμπεραίνουμε ότι: v v (v ) (v ) που είναι άτοπο. Άρα υπάρχει o C με o, ώστε να ισχύει u v o o -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ 6ο : Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς και w για τους οποίους ισχύει: i i 5 και wi i i α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών. Στη συνέχεια να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του Re() β) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w γ) Για τους μιγαδικούς αριθμούς και w των ερωτημάτων (α) και (β) να αποδείξετε ότι: w και 6 w 6 δ) Αν, είναι δύο από τους παραπάνω μιγαδικούς, τότε να αποδείξετε ότι ο αριθμός k i i είναι πραγματικός και ισχύει 0k 4 ΛΥΣΗ α) οπότε 5 5 5 i i 5 i i i i 5 Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι ο κύκλος με κέντρο Κ, και ακτίνα ρ Για τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς ισχύει Re( ) κέντρου του κύκλου Κ, ρ και ρ Re() xκ ρ xκ ρ Re() xκ ρ Re() Re() 5 x ρ 5, όπου xκ η τετμημένη του Άρα η ελάχιστη τιμή του Re( ) είναι το και προκύπτει αν i, ενώ η μέγιστη τιμή του είναι το 5 και προκύπτει αν 5 i Σημείωση: οπότε x yi ( x ) (y ) i 4 (x ) 4 x x x 5 Άρα η ελάχιστη τιμή του Re( ) είναι το και προκύπτει αν i, ενώ η μέγιστη τιμή του είναι το 5 και προκύπτει αν 5 i -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 β) w i i i (w i) i( i) α) w i i i w i w i w ( i) Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w είναι ο κύκλος με κέντρο το Κ, και ακτίνα σημείο γ) ος τρόπος: Για τους μιγαδικούς αριθμούς και w των ερωτημάτων (α) και (β) έχουμε: w (i) w (i) u v όπου u ( i) και v w ( i) με u και v Ισχύει: w u v u v και w u v u v Άρα w ος τρόπος: Γεωμετρικά (Υπόδειξη) Μπορούμε να αποδείξουμε την παραπάνω ανισότητα και γεωμετρικά μέσω της τριγωνικής ανισότητας στο τρίγωνο ΚΜΝ του παρακάτω σχήματος. ος τρόπος: w Ισχύει: και Άρα ( i) w ( i) 6 i u v 6( i) w u v 6( i) u v 6( i) 6 6 w uv6(i) 6(i) uv 6(i) u v 6 6 6 w 6-5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 9
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ος τρόπος : Γεωμετρικά (Υπόδειξη) w ( w) (MN ) ( Δ) 6 και Άρα w ( w) (MN ) ( ) 6 δ) Θέτουμε u ( i), τότε έχουμε: u ( i) () και Αν 4, διότι u u 4 uu 4 u () u, είναι δύο από τους παραπάνω μιγαδικούς, τότε: k i i i i i i () 4 4 u u u u u u 4 u u uuuu uuuu u u 4 4 4 Άρα ο αριθμός k είναι πραγματικός και ισχύει: k uu 0 και 4 () k uu u u () 4 4 4 4 Δηλαδή 0 k 4 ΘΕΜΑ 7ο : Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί, οι οποίοι ικανοποιούν τη σχέση: i 8 i α) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών είναι ο κύκλος με κέντρο το σημείο Ο(0, 0) και ακτίνα ρ β) Αν οι εικόνες των μιγαδικών, είναι σημεία του προηγούμενου γεωμετρικού τόπου και ισχύει x για κάθε x R, να αποδείξετε ότι Re( ) γ) Έστω πραγματικός αριθμός α με α (,). Αν μιγαδικός αριθμός, για τον οποίο ισχύει: 4 α 8α6 0 () να αποδείξετε ότι η εικόνα του μιγαδικού : i) Ανήκει στο γεωμετρικό τόπο του (α) ερωτήματος ii) Δεν ανήκει στους άξονες x x και y y -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΛΥΣΗ α) i 8 i i 8 4 i (i 8) ( i 8) 4(i ) ( i ) (i 8)( i 8) 4(i )( i ) ii6 ii 5 60 4 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι ο κύκλος με κέντρο το σημείο Ο(0, 0) και ακτίνα ρ β) οπότε έχουμε: και x x x x x x x x x 4x ( x 0 4x x 0 4x Re( x 0, για κάθε x R Επομένως για τη διακρίνουσα του τριωνύμου 4x Re( x ισχύει: Δ < 0 4 Re( 6 0 Re( 4 Re( γ) i) ος τρόπος: ( Αν μιγαδικός αριθμός, για τον οποίο ισχύει η σχέση (), τότε έχουμε: Άρα 4 α 8α 60 α) 8(α ) α 8 α () Αν υποθέσουμε ότι, τότε Επειδή α (,) το 8 και από τη σχέση () έχουμε: α α α α ) ) α) α α ) α α) α) α ) α ) αα 4α α αα 4 α ) 4α ) 0 α ) 4) 0 () α 0 και από τη σχέση () προκύπτει ότι: 40 4, που είναι άτοπο, αφού -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 Αν υποθέσουμε ότι, τότε ομοίως προκύπτει, που είναι επίσης άτοπο. Επομένως υποχρεωτικά ισχύει ότι, άρα οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών, για τους οποίους ισχύει η σχέση () ανήκουν στο κύκλο C: x y 4, δηλαδή στο γεωμετρικό τόπο του (α) ερωτήματος. ος τρόπος: Αν υποθέσουμε ότι 0, τότε από την () έχουμε 6 0, που είναι άτοπο. Για 0 έχουμε: 0 4 8α 6 6 4 α 8α 60 α 0 0 (4) 4 Αν θέσουμε u (5), τότε έχουμε: 4 4 6 6 u u u 8, οπότε η (4) ισοδύναμα γράφεται: (u 8) u 0 u u 8 0 (6) 4α 4(α 8) 0 Οπότε οι ρίζες της εξίσωσης (6) είναι: α 8 u α 8 Επομένως η εξίσωση (5) ισοδύναμα γράφεται: (7) (7) u40 α 8 4 0 (8) α 8 6 α α 8 α 8 6 α 4 α 8 Από τη σχέση < α < έχουμε: οπότε και 0α <4α 4< α 8<α α 8< α 8 α 8< α α 8< α 8 α 4 α 8 α 8 0 α 4 α 8 α 8 0 Άρα σε κάθε περίπτωση είναι 0 Οπότε οι ρίζες, της εξίσωσης (8) είναι μιγαδικοί συζυγείς με 4 Επομένως έχουμε: 4 4 4 Άρα για κάθε ρίζα της εξίσωσης ισχύει ότι, οπότε οι εικόνες όλων των μιγαδικών, για τους οποίους ισχύει η σχέση () ανήκουν στο κύκλο C: x y 4, δηλαδή στο γεωμετρικό τόπο του (α) ερωτήματος. -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ii) Αν y 0, τότε x0ix R (πραγματικός αριθμός) και επειδή Για έχω: 4 α 8α 60α, που είναι άτοπο, αφού α (,) Για έχω: 4 ( ) α ( ) 8α ( ) 60α, που είναι άτοπο, αφού α (,) Άρα y 0 Αν x 0, τότε 0 yi yi I (φανταστικός αριθμός) και επειδή i Για Για i έχω: 4 (i) α (i) 8α i 6 0 4 4 i α i 8α i 6 0 6 6αi6αi 60 0, που είναι άτοπο. i έχω: 4 ( i) α ( i) 8α ( i) 60 4 4 i α ( ) i 8α i 6 0 6 6αi6αi 60 0, που είναι άτοπο. Άρα x 0 Επομένως οι μιγαδικοί που ικανοποιούν τη σχέση () είναι της μορφής x yi με xy 0 ΘΕΜΑ 8ο : Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής και γνησίως μονότονη στο διάστημα, με f() και f(). Θεωρούμε επίσης τους μιγαδικούς αριθμούς, οι οποίοι ικανοποιούν τη σχέση i. Να αποδείξετε ότι: α) Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών στο επίπεδο είναι η ευθεία y β) Υπάρχει ακριβώς μια τιμή του Re() τέτοια, ώστε ο αριθμός w να είναι πραγματικός. γ) f( ) Re() 0,, αν ΛΥΣΗ α) Έστω x yi, x, y R με εικόνα στο επίπεδο το σημείο M ( x, y). i xyii xyi x (y)i xyi x (y ) x y x (y ) x y x y 4y4x y 4y40 4y 4 y -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 β) Οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών είναι σημεία της ευθείας y, άρα είναι x i, x R x i w (x i) (x i) x i (x i)(x i) x i x x xi x x i x x x wr x 0 x x 0 () x Αρκεί να αποδείξουμε ότι η εξίσωση () έχει μια ακριβώς ρίζα ως προς x στο R, αφού x Re() Θεωρούμε τη συνάρτηση Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη με Για κάθε x R Έχουμε: είναι g(x) g(x) x x, x R g (x) 6x, x R, οπότε η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο R g συνεχής και γνησίως αύξουσα στο R lim g(x) lim x x lim x και x x x lim g(x) lim x x lim x x x x Άρα το σύνολο τιμών της συνάρτησης g είναι g(r) R g( ξ ) 0 και μάλιστα είναι μοναδικό, αφού η g είναι γνησίως αύξουσα., οπότε υπάρχει ένα ξ R τέτοιο, ώστε γ) Έχουμε x, οπότε αρκεί να δείξουμε ότι f(x ) Η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη στο, με f() f(), επομένως η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο, Από υπόθεση γνωρίζουμε ότι Re() 0,, οπότε έχουμε: f 0 x 0 x x f() f(x ) f() f(x ) ΘΕΜΑ 9ο : I) Να αποδείξετε ότι για όλους τους μιγαδικούς αριθμούς,w ισχύει η σχέση: w w Re(w) II) Δίνονται: η γνησίως μονότονη συνάρτηση f:r R με f(r) R και οι μιγαδικοί αριθμοί f()i και w f () i -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 Αν ισχύει w Re(w), τότε να αποδείξετε ότι: α) w β) Οι συναρτήσεις f και g με g(x) f(x f(x)) x, x R, είναι γνησίως φθίνουσες. γ) Ισχύει η ισοδυναμία: f (x) x f (x) g(x) 0, x R δ) Αν επιπλέον η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R, να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ (, 4) και ξ (, ) τέτοια, ώστε f (ξ ) g (ξ ) ΛΥΣΗ I) II) α) w w w w w wwww w ww) w ww w Re w) () w Rew) w Rew) 0 w 0 w 0 w 0 w β) f() f() w f ()i f () i f () f() Η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη, επομένως ή θα είναι γνησίως αύξουσα ή θα είναι γνησίως φθίνουσα. Έστω ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, τότε: f f() f() που είναι άτοπο. Επομένως η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα. f Για τυχαία x,x Rμε x < xf (x ) f (x ) f (x ) f (x ) x ( ) f <x x <x xf (x ) xf(x ) f(x ) f(x ) f(x ) f(x ) f x f(x ) f x f(x ) f xf(x ) f xf(x ) x x ( ) Επομένως η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα. γ) Για κάθε x R έχουμε: () f x f(x ) x f x f(x ) x g(x ) > g(x ) f (x) xf (x) f xf (x) x f xf (x) x 0 g(x) 0 δ) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R, επομένως ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής στο διάστημα, 4, οπότε θα υπάρχει ξ (, 4) τέτοιο, ώστε -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 f(4) f() f(4) f() f ( ξ ) f ( ξ ) f ( ξ ) f(4) f() 4 Για κάθε x R είναι: g(x) f xf (x) x Η συνάρτηση x f(x) είναι παραγωγίσιμη στο R, ως διαφορά παραγωγισίμων συναρτήσεων, οπότε η συνάρτηση f x f(x) είναι παραγωγίσιμη στο R, ως σύνθεση παραγωγισίμων συναρτήσεων και η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο R, ως διαφορά παραγωγισίμων συναρτήσεων. Επομένως η συνάρτηση g ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής στο διάστημα,, οπότε θα υπάρχει ξ (, ) τέτοιο, ώστε Για x Για x g() g() g ( ξ ) g ( ξ ) g() g() είναι g() f f() f(4) f(), οπότε f () g() (4) είναι g() f f () f (6) f (4), οπότε f(4) g() (5) Αν αφαιρέσουμε κατά μέλη τις σχέσεις () και () έχουμε: f ( ξ ) g ( ξ ) f (4) f () g() g() ( ) ( ) (4),(5) f ξ g ξ f (4) g() f () g() f ( ξ ) g ( ξ ) f ( ξ ) g ( ξ ) () () ΘΕΜΑ 0ο : α) Να λύσετε την εξίσωση 6συνθ + 5συν θ 4 0, όπου θ R β) Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των ριζών, της εξίσωσης κινούνται πάνω στην έλλειψη x y για τις διάφορες τιμές του θ R 9 4 γ) Για 0, 4 να βρείτε τη μέγιστη τιμή του δ) Αν και η ρίζα της εξίσωσης με Im( ) 0, να βρείτε τιμές του ν N, ώστε ε) Αν A(, ) και C το τμήμα της έλλειψης που ορίζεται από τα σημεία (x,y ) με x, και y 0, να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο της C, που απέχει από το Α ελάχιστη απόσταση και ένα τουλάχιστον σημείο της C που απέχει από το Α μέγιστη απόσταση ν R -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΛΥΣΗ α) Έχουμε: 6 4 5 4 6 0 6 6 6 Άρα οι ρίζες της εξίσωσης είναι: 6 i4, i β) Αν, x yi, x, y R, τότε: x x y y () x y 9 4 Επομένως οι εικόνες των ριζών, της εξίσωσης κινούνται πάνω στην έλλειψη για τις διάφορες τιμές του R () x y, 9 4 γ) Έχουμε: Άρα 4i 4, 0 0 0 04 4, οπότε η μέγιστη τιμή του είναι 4 δ) Για Για Για Για Για έχουμε i, άρα * 4, N έχουμε * 4, N έχουμε * 4, N έχουμε i R i R R * 4, N έχουμε i R Άρα ε) Έχουμε: *, N 49 x y 0 x y 6 4x 4x 9y 6 y y y 9 x 9 4 9 9-5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 Αν Mx,y σημείο του C,τότε: d, x y x 9x f(x) x 9x Η συνάρτηση είναι συνεχής στο, ως αποτέλεσμα πράξεων μεταξύ συνεχών συναρτήσεων, άρα από το Θεώρημα Μέγιστης Ελάχιστης Τιμής θα υπάρχουν x,x, τέτοια, ώστε: m f(x ) και M f(x ), με m f x M Άρα υπάρχουν σημεία του C, που απέχουν ελάχιστη και μέγιστη απόσταση από το σημείο Α. ΘΕΜΑ ο : Δίνονται οι μιγαδικοί, w και u, οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις: Re () w wi 8 () wu () α) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών είναι η παραβολή με εξίσωση y 4x β) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών w είναι η ευθεία (ε) με εξίσωση xy 0 γ) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών u είναι ο κύκλος με κέντρο Κ, και ακτίνα ρ, με εξαίρεση το σημείο του O(0,0) δ) Να βρείτε σημείο της παραβολής, το οποίο απέχει ελάχιστη απόσταση από την ευθεία (ε) ε) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός μιγαδικός με u Im 0 ΛΥΣΗ και α) Θέτουμε x yi με x,y R και από τη σχέση () ισοδύναμα έχουμε: x xyi x (x) y x (x) y x x xy x x y 4x, x 0 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών είναι η παραβολή με εξίσωση β) Θέτουμε w α βi με α,β R και από τη σχέση () ισοδύναμα έχουμε: αβi αβii 8 (α ) β α (β ) 8 α 4α 4 β α β 4β 484α 4β 80αβ 0 y 4x Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών w είναι η ευθεία με εξίσωση xy 0-5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 γ) Θέτουμε u x yi με x,y R και από τη σχέση () ισοδύναμα έχουμε: u0 (x yi) x y w αβi αβi α και β u xyi x y x y x y Όμως αβ 0, άρα έχουμε: x y 0 x y x y 0 x y x y x y x y 0 x y Για xy 0 επαληθεύεται η εξίσωση, όμως τότε u 0, άτοπο. Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών u είναι ο κύκλος με κέντρο το σημείο με εξαίρεση το σημείο του O(0,0) δ) ος τρόπος: Αν K, και ακτίνα ρ, Μ x,y σημείο της παραβολής,τότε η εξίσωση εφαπτομένης της στο Μ είναι: yy x x x yy x 0 με λεφ y Αν η εφαπτομένη είναι παράλληλη στην ευθεία (ε) τότε: λεφ y και x y Άρα το σημείο M,, απέχει ελάχιστη απόσταση από την ευθεία (ε), (απόσταση παραλλήλων ευθειών). ος τρόπος: Αν Μx,y είναι σημείο της παραβολής, τότε: dm,ε y y y 4y 8 xy 4 y 4y8 4 4 Θεωρούμε τη συνάρτηση f(y) y 4y8, y R. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και για κάθε y R έχουμε: f(y) y 4 f(y) 0y40 y f(y) 0y40 y Το πρόσημο της f(y) καθώς η μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. x + f (y) 0 + f(y) ελαχ. Η συνάρτηση f παίρνει ελάχιστη τιμή για y. Για y είναι x απέχει ελάχιστη απόσταση από την ευθεία (ε)., οπότε το σημείο M, -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 9
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ε) Λύνουμε το σύστημα: y 4x y 4x y0 x y x y xy0 y x (4) x 5x x 0 (5) Επειδή y 0 από τη σχέση (4) συμπεραίνουμε ότι x 0 Για x 0 η σχέση (5) ισοδύναμα γράφεται: x x 5 0 x x 5 x 0 x x Θεωρούμε τη συνάρτηση g(x) x x 5 x, x 0 Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο 0, με για κάθε x0, g(x) 0 Άρα η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο Α 0, Έχουμε: και lim g x lim x x 5 x x0 x0 x lim g x lim x x 5 x x Άρα το σύνολο τιμών της συνάρτησης g είναι g(α), 5 g(x) x, x 0 x Το 0 g(α) και η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο Α, οπότε η εξίσωση g(x) 0 έχει μοναδική ρίζα στο A0, Συνεπώς υπάρχει μοναδικός μιγαδικός με w και Im 0 ΘΕΜΑ ο : Δίνεται η συνάρτηση f(x) αx βx γ όπου α, β, γ R για τους οποίους ισχύει β αγ α) Να αποδείξετε ότι η f(x) 0 έχει δύο μιγαδικές ρίζες, β) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός w είναι πραγματικός και μικρότερος της μονάδας. x γ) Θεωρούμε τη συνάρτηση g(x) xe, x 0. Να αποδείξετε ότι: i) Υπάρχει μοναδικό x o (0 ) τέτοιος, ώστε να ισχύει f(x)g(x) o o α g(x)f(x ii) Η συνάρτηση o) α h(x) είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε διάστημα του πεδίου f(x o)(x x o) ορισμού της. -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΛΥΣΗ α) Είναι α 0, διότι αν ήταν α 0, τότε από τη σχέση β αγ προκύπτει β 0 που είναι άτοπο, αφού β R. Άρα το f(x) είναι τριώνυμο ου βαθμού, για τη διακρίνουσα Δ του οποίου έχουμε: οπότε Δβ 4αγ και β αγ Δ αγ 4αγ Δ αγ Δ 0 αφού 0 β αγ αγ 0αγ 0 Επομένως η εξίσωση έχει δύο μιγαδικές (συζυγείς) ρίζες, β) Ισχύουν: Επίσης οπότε Επιπλέον οπότε β γ και α α β γ ( ) α α β γ α α β αγ w R γ αγ α β αγ αγ αγ αγ w αγ αγ αγ w γ) i) x f (x) g(x) α (αx βx γx)e α x β γ x αx βx γx αe x x xe 0 α α β γ x Θα αποδείξουμε ότι η εξίσωση x x xe 0 έχει μοναδική θετική λύση x o. α α β γ x Θεωρούμε τη συνάρτηση φ(x) x x x e, x 0 α α Η συνάρτηση φ είναι συνεχής στο [0, ) και παραγωγίσιμη στο (0, ) με β γ x φ (x) x x e α α β γ Η διακρίνουσα Δ του τριωνύμου x x α α είναι: β γ 4 Δ 4 (β αγ) 0 α α α και επειδή ο συντελεστής του x, στο τριώνυμο, είναι θετικός έχουμε: β γ x x 0 α α για κάθε x 0-5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 x Επιπλέον e 0 για κάθε x 0, οπότε φ (x) 0 στο (0, ). Άρα η συνάρτηση φ είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της και φ(0) αφού x lim φ(x) lim x x x e x x + + β α γ α β γ x x x x α α lim lim x+ x+ και x lim e 0 x + Επομένως για το σύνολο τιμών της φ έχουμε φ [0, ) [, ). Το 0 ανήκει στο σύνολο τιμών της φ και φ(0) 0 μάλιστα μοναδικό, αφού η συνάρτηση φ είναι γνησίως αύξουσα, ώστε, οπότε θα υπάρχει x o (0, ) και (x o) 0 Δηλαδή θα υπάρχει μοναδικό x o (0, ) τέτοιος, ώστε f(x o) g(x o) () ii) Το πεδίο ορισμού της h είναι Α h (0, x o) (x o, ). Η συνάρτηση h της οποίας ο τύπος γράφεται () g(x)f(x o) α g(x)f(x) o g(x)f(x) o o g(x) g(x) o h(x) = = = f(x)(xx) f(x)(xx) xx o o o o o είναι παραγωγίσιμη σε καθένα από τα διαστήματα του πεδίου ορισμού της με g (x)(xx o) g(x) g(x o) g(x) g(x o) h(x) g(x) (x x o) x xo x xo Έστω x xo, τότε στο διάστημα x o,x η συνάρτηση g ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του g(x) g(x o) Θ.Μ.Τ. Επομένως υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (x o, x) τέτοιο, ώστε g(ξ ) () x xo Από τις σχέσεις () και () έχουμε: Η g είναι δυο φορές παραγωγίσιμη με x x x g(x) e xe (x )e και h (x) g (x) g (ξ ) x x x x x g (x) e (x )e (x) e 0 για κάθε x xo 0 o Επομένως η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα, οπότε για κάθε x έχουμε g (x) g (ξ ) και κατά συνέπεια h(x) (g(x) g(ξ )) 0 για κάθε x xo 0 x x Άρα η συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα o (x o, ) Έστω x xo, τότε στο διάστημα x,x o η συνάρτηση g ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του g(x) g(x o) Θ.Μ.Τ. Επομένως υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (x, x o) τέτοιο, ώστε g(ξ ) (4) x x () o -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 Από τις σχέσεις () και (4) έχουμε: Η g είναι δυο φορές παραγωγίσιμη με x x x g(x) e xe (x )e και h (x) g (x) g (ξ ) x x x x x g (x) e (x )e (x) e 0 για κάθε x0 x o) o Επομένως η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα, οπότε για κάθε x έχουμε g(x) g(ξ ) και κατά συνέπεια h(x) (g(x) g(ξ )) 0 για κάθε x0 x o) x x Άρα η συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα o (0, x o) ΘΕΜΑ ο : Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί, w οι οποίοι ικανοποιούν τη σχέση: w i w α) Να αποδείξετε ότι Im(w) β) Να αποδείξετε ότι w Re(w) γ) Αν w Re( w), να αποδείξετε ότι w w δ) Να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή της παράστασης w Re(w) ΛΥΣΗ α) ος τρόπος: w i w w i w (w i) w i w (w i) w i w (w i) w i w w i w i w 4 w i (w w) 4 i w w 4 i i Im(w) 4 4Im(w) 4 Im(w) -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ος τρόπος: w i w w i w wu w i w u i u u i) u 0i) Άρα η εικόνα του μιγαδικού u κινείται στη μεσοκάθετο του ευθυγράμμου τμήματος ΟA με Ο(0,0) και A(0,), δηλαδή στην ευθεία με εξίσωση y, οπότε Im(u) Im(w) β) Im(w) Άρα: w x i με x R () Από τη σχέση () και επειδή 0 έχουμε x i w με x R, οπότε είναι: Άρα έχουμε: x i x i x w w w () () w Re(w) x x 4 x x 4 y x x 0 y x yx 0 () Η παράσταση y x y x Δ x 4(x ) x x+4x 4 είναι τριώνυμο ως προς y με διακρίνουσα: x x (x x ) ( x ) 0 Άρα η ανισότητα () αληθεύει για κάθε x,y R, οπότε ισχύει w Re( w) γ) Αν υποθέσουμε ότι Δ 0, τότε από το (β) ερώτημα προκύπτει ότι που είναι άτοπο, άρα υποχρεωτικά είναι Δ 0 w Re( w), -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 Έχουμε: Δ 0 ( x ) 0 x 0 x x (4) w Re(w) y x yx 0 και δεδομένου ότι Δ 0, προκύπτει ότι: (4) y x y y y (5) Από τη σχέση () έχουμε: w (),(5) x w w w (6) Από τις σχέσεις (5) και (6) έχουμε: δ) w w w w Re(w) w Re(w) () w x x w Re(w) x x x x Θεωρούμε συνάρτηση Για κάθε x Rείναι: x f(x), x x x R x(x x ) (x )(x ) x f(x) (x x ) (x x ) f(x) 0 x0 x x f(x) 0 x0 x x xή x Επίσης έχουμε: ( ) f( ) ( ) ( ) f() x x lim f (x) lim lim x x x x x x -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 Το πρόσημο της f(x) καθώς η μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. x f(x) + 0 0 + f(x) μεγ. ελαχ. Η συνάρτηση f παρουσιάζει μέγιστο στο x με τιμή f( ) και ελάχιστο στο x με ελάχιστη τιμή f(), άρα για κάθε x R είναι f(x) w Άρα η ελάχιστη τιμή της παράστασης είναι και η μέγιστη τιμή της είναι w Re(w) ΘΕΜΑ 4ο : Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς, οι οποίοι ικανοποιούν τη σχέση: 4i 4i 58 α) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών είναι ο κύκλος με εξίσωση x y 9 και να βρείτε τα κοινά σημεία του με τον άξονα yy 9 β) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός w είναι πραγματικός και για κάθε w ισχύει 6w 6 γ) Αν, και είναι τρεις από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς, να αποδείξετε ότι: δ) Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί v, οι οποίοι ικανοποιούν τη σχέση: vσυνθ iημθ =(w ) (w) w, π όπου θ R και θκπ, κ Z x i) Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών v ανήκουν στην υπερβολή C: y 9 ii) Να βρείτε τα σημεία της υπερβολής ΛΥΣΗ το σημείο Α(0,) Έστω x yi με x,y R α) Έχουμε: 4i 4i 58 x, που απέχουν ελάχιστη απόσταση από 9 C: y -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 xyi4i xyi4i 58 x (y 4)i x (y 4)i 58 (x ) y 4) (x ) (y 4) 58 x 4x 4 y 8y 6 x 4x 4 y 8y 6 58 x y 8 x y 9 C: x y Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι ο κύκλος με κέντρο το σημείο O(0,0) και ακτίνα ρ Για x 0 έχουμε: 0 y y y ή y Οπότε τα κοινά σημεία του γεωμετρικού τόπου με τον άξονα yy είναι τα A(0,) και B(0, ) β) Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι ο κύκλος με κέντρο το σημείο O(0,0) και ακτίνα ρ, άρα ισχύει: 9 9 9 9 ή () Ισχύει: () 9 9 w w Άρα ο w είναι πραγματικός αριθμός. Επίσης έχουμε: () 9 w Re() () () Ισχύει, οπότε Re() 6 Re() 6 6 w 6 γ) Για τους μιγαδικούς, και ισχύουν οι σχέσεις: 9 9 9 9, 9 και 9 9 9 9 9 9 9 Δείξαμε ότι: Άρα έχουμε: 9-5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 δ) i) Έχουμε: v i (w ) (w ) w v i w w w v i w w w v i w w w w v i w ( w) v i x (x x) v i v i () π Επειδή θ R και θ κπ+, κ Z συμπεραίνουμε ότι 0, οπότε διαιρώντας και τα δύο μέλη της σχέσης () με ισοδύναμα έχουμε: v i v i Αν θέσουμε v i με α, β R, τότε έχουμε: και Ισχύει: Οπότε έχουμε:, θ R με π θ κπ+, κ Z 9 9 Άρα οι εικόνες των μιγαδικών v ανήκουν στην υπερβολή x C: y 9 x ii) Έστω M(, ) σημείο της υπερβολής C: y 9 Η απόσταση του σημείου (0,) από το σημείο M(, ) είναι: d(a,m) d ( 0) ( ) ( ) 6 9 (4) Επειδή το σημείο M(, ) C έχουμε: 99 9 9 Με αντικατάσταση του στη σχέση (4) έχουμε: d 99 69 0 6 8 Θεωρούμε τη συνάρτηση d( ) 0 6 8, β R -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 Για κάθε βr είναι: (0 68) 06 0 d( ) 0 68 0 68 0 68 d ( ) 0 0 0 0 0 d ( ) 0 0 0 0 0 Το πρόσημο της d( ) καθώς η μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης d φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. β 0 0 d( ) d( ) Ελάχιστο Η συνάρτηση d παρουσιάζει ελάχιστο για β 0 Βρίσκουμε τις τετμημένες των σημείων της υπερβολής με τεταγμένη β 0 Έχουμε: 9 09 09 9 9 0 9 00 00 0 Οπότε τα σημεία της υπερβολής που έχουν την ελάχιστη απόσταση από το σημείο A(0,) είναι: 09, 0 0 και 09, 0 0 ΘΕΜΑ 5ο : Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς,w και τη συνάρτηση f() i που ικανοποιούν τις σχέσεις: iw5 5 f() f() α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών w β) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών γ) Αν οι εικόνες των μιγαδικών w και ανήκουν στον κύκλο με κέντρο Κ, και ακτίνα R και στην ευθεία y αντιστοίχως, τότε: i) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν μοναδικοί αριθμοί w και για τους οποίους ισχύει w ii) Να βρείτε τους w, που είναι πραγματικοί αριθμοί. iii) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του μέτρου w 5 6i -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 9
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 δ) Έστω M(x, y) η εικόνα ενός μιγαδικού αριθμού με Re() 0, η οποία κινείται στην ευθεία y. Αν το σημείο M απομακρύνεται από τον άξονα yy και ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του είναι ίσος με cm / s, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της γωνίας, την οποία σχηματίζει η διανυσματική ακτίνα του μιγαδικού με τον άξονα xx, τη χρονική στιγμή κατά την οποία το σημείο M διέρχεται από το σημείο, ΛΥΣΗ α) 5 ( i)w 5 5 ( i) w 5 i 5( i) i w 5 w (i) 5 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών w στο μιγαδικό επίπεδο είναι ο κύκλος με κέντρο Κ, και ακτίνα R β) xyi f () f () i i i yi i y Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών στο μιγαδικό επίπεδο είναι η ευθεία με εξίσωση y γ) i) Ο παραπάνω κύκλος και η ευθεία y εφάπτονται, αφού d(, ) R. Άρα υπάρχουν μοναδικοί αριθμοί w και για τους οποίους ισχύει w ii) Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w x yi στο μιγαδικό επίπεδο είναι ο κύκλος με κέντρο Κ, και ακτίνα R, που έχει εξίσωση Για y 0 από την εξίσωση του κύκλου προκύπτει: (x ) 5 x 5 ή x 5 Επομένως οι αριθμοί w, που είναι πραγματικοί αριθμοί είναι: iii) Το μέτρο w (5 6i) (x ) (y ) 9 w 5 0i 5 και w 5 0i 5 ισούται με την απόσταση της εικόνας του w από το σημείο που είναι η εικόνα του μιγαδικού 5 6i Άρα η μέγιστη τιμή του μέτρου w (5 6i) είναι: max w 56i (K ) R (5) ( 6) 6 6 4 5, 6, δ) Έστω η γωνία που σχηματίζει η διανυσματική ακτίνα του μιγαδικού αριθμού με τον άξονα xx, τότε: y y, x 0 x x -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 Επειδή η τετμημένη x μεταβάλλεται συναρτήσει του χρόνου t είναι: (t) x(t) Παραγωγίζοντας και τα δύο μέλη ως προς t έχουμε: x (t) (t) () (t) x (t) Όμως: (t) (t) () Η σχέση () με βάση τη σχέση () γράφεται: x(t) (t) (t) () x (t) Έστω t o η χρονική στιγμή κατά την οποία το σημείο M διέρχεται από το σημείο (,), τότε για t t o από τη σχέση () έχουμε: x(t o ) (t o) (t o) (4) x (t o ) Επίσης έχουμε: x(t o), x (t o) και 0 (t o) x(t) o 9 9 Αντικαθιστώντας στη σχέση (4) έχουμε: 0 (t o) (t o) rad / s 9 9 0 Δηλαδή καθώς το σημείο M απομακρύνεται από τον άξονα yy η γωνία της διανυσματικής ακτίνας του με τον άξονα xx μειώνεται. -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ