ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστηµα [α, β] Αν G είναι µια παράγουσα της f στο [α, β], τότε να αποδείξετε ότι: β f () t dt = G ( β) G ( α) a Μονάδες 7 A Να διατυπώσετε το Θεώρηµα Μέσης Τιµής του ιαφορικού Λογισµού (ΘΜΤ) Μονάδες 4 A3 Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα κλειστό διάστηµα [α, β] του πεδίου ορισµού της; Μονάδες 4 A4 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη α) Η εξίσωση z z = ρ, ρ > παριστάνει τον κύκλο µε κέντρο το σηµείο K(z ) και ακτίνα ρ, όπου z, z µιγαδικοί αριθµοί β) Αν lim f( ) <, τότε f () < κοντά στο γ) Ισχύει ότι: ηµ για κάθε συν δ) Ισχύει ότι: lim = ε) Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσηµο σε καθένα από τα διαστήµατα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισµού της Μονάδες ΘΕΜΑ Β Θεωρούµε τους µιγαδικούς αριθµούς z για τους οποίους ισχύει: ( z)( z ) z = B Να αποδείξετε ότι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών z, είναι κύκλος µε κέντρο K(,) και ακτίνα ρ = (µονάδες 5) Στη συνέχεια, για κάθε µιγαδικό z που ανήκει στον παραπάνω γεωµετρικό τόπο, να αποδείξετε ότι z 3 (µονάδες 3) Μονάδες 8 Τεχνική Επεξεργασία: Keystone
B Αν οι µιγαδικοί αριθµοί z, z που ανήκουν στον παραπάνω γεωµετρικό τόπο είναι ρίζες της εξίσωσης w βw γ =, µε w µιγαδικό αριθµό, β,γ, και Im( z ) Im( z ) = τότε να αποδείξετε ότι: β = 4 και γ = 5 Μονάδες 9 B3 Θεωρούµε τους µιγαδικούς αριθµούς α, α, α οι οποίοι ανήκουν στον γεωµετρικό τόπο του ερωτήµατος Β Αν ο µιγαδικός αριθµός v ικανοποιεί τη σχέση: τότε να αποδείξετε ότι: ν 3 α v α v α = v < 4 Μονάδες 8 ΘΕΜΑ Γ Θεωρούµε τις συναρτήσεις f, g :, µε f παραγωγίσιµη τέτοιες ώστε: (f () ) (f () ) =, για κάθε f () = και 3 3 g ( ) = Γ Να αποδείξετε ότι: f( ), = R Μονάδες 9 Γ Να βρείτε το πλήθος των πραγµατικών ριζών της εξίσωσης f ( g()) = Μονάδες 8 π Γ3 Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα, 4 π 4 π f () t dt = f εφ 4 τέτοιο, ώστε: Μονάδες 8 Τεχνική Επεξεργασία: Keystone
ΘΕΜΑ Έστω f : (, ) µια παραγωγίσιµη συνάρτηση για την οποία ισχύουν: Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, ) f () = f( 5 h) f( h) lim = h h Θεωρούµε επίσης τη συνάρτηση Να αποδείξετε ότι: f () t g ( ) = dt, (, ) και α > α t f () = (µονάδες 4), καθώς επίσης ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο στο = (µονάδες ) Μονάδες 6 η g είναι γνησίως αύξουσα (µονάδες 3), και στη συνέχεια, να λύσετε την ανίσωση στο 4 8 6 6 g( u) du > g( u) du 4 8 5 (µονάδες 6) 5 Μονάδες 9 3 η g είναι κυρτή, καθώς επίσης ότι η εξίσωση f() t ( a ) dt = ( f( a) )( a), > a t έχει ακριβώς µια λύση Μονάδες Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 3
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Θεωρία σελ 334, σχολικού βιβλίου Α Θεωρία σελ 47, σχολικού βιβλίου Α3 Θεωρία σελ, σχολικού βιβλίου Α4 α) Λ, β) Σ, γ) Σ, δ) Λ, ε) Σ ΘΕΜΑ B Β Η δοσµένη σχέση γράφεται: z z = z z = Αν z = y είναι y y = y = ή y = Όµως y = z άρα z = Οπότε ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των z είναι κύκλος µε κέντρο Κ(, ) και ακτίνα ρ = Εξάλλου είναι z = z z = = 3 άρα z 3 Σηµείωση: Η τελευταία ανίσωση µπορεί να προκύψει και γεωµετρικά β ± i β ± 4γ β i Β Είναι z, = =, οπότε 4γ β Im( z) Im( z) = ± = 4γ β = 4 () Επειδή z, ανήκουν στον γεωµετρικό τόπο του ερωτήµατος Β είναι: β 4γ β β 4γ β ± = = 4 β β β 4 γ = β γ = 3 () 4 4 Από τις σχέσεις () και () προκύπτει β = 4 και γ =5 Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 4
(ος τρόπος) Οι µιγαδικοί z, z είναι συζυγείς, άρα µπορούµε να θέσουµε z = yi, z = yi,, y R Η σχέση Im( z) Im( z) = γράφεται τώρα y = y = y =± Έτσι z, = ± i Επειδή z, ανήκουν στον τόπο του ερωτήµατος είναι ( ) ( ) z, = ± i = ± = ( ) ( ) = = = Έτσι όµως z, = ± i Από τις σχέσεις του Vieta προκύπτουν: z z = β 4 = β β = 4 z z = γ γ = 5 Β3 Έστω ν 4 Έχουµε Άρα ν α ν αν α = ν =α ν αν α 3 3 3 = = 3 ν αν αν α αν αν α ν α ν αν α α ν αν α Λόγω της τριγωνικής ανισότητας είναι = α ν α ν α Από Β είναι α 3, α 3, α 3, άρα ( ) 3 3 3= 3 αν αν α ν ν ν ν Η τελευταία γράφεται ν ( ) ( ) 3 3 ν 3 ν 3 3 4 3 ν ν 3 ν ν 4ν 3 3 3 Όµως 4 ν 3< 4 ν άρα Άρα ν < 4 = = (είναι ν > αφού ν 4) 4 3 ν < 4 ν ν < 4 που είναι άτοπο (ος τρόπος) 3 3 Είναι ν α ν αν α = ν =α ν αν α Άρα 3 = = 3 ν αν αν α αν αν α ν α ν αν α α ν αν α Λόγω της τριγωνικής ανισότητας είναι = α ν α ν α Από το Β είναι α 3, α 3, α 3, άρα = = = ( ) ηλαδή ν 3 3( ν ν ) αν αν α ν ν ν ν 3 3 3 3 ιακρίνουµε τις περιπτώσεις: α) ν =, τότε ν < 4 και ισχύει το ζητούµενο () Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 5
β) ν, τότε η () γράφεται: ν 3 3 ( ν ) 3 ν () β ) Αν ν <, τότε ν < 4 και ισχύει το ζητούµενο 3 3 4 3 β ) Αν ν >, τότε η () γράφεται ( ) ( ) ν ν 3 ν ν 4ν 3 Όµως 4 ν 3 3 < 4 ν 3, άρα ν 4 < 4 ν 3 και επειδή ν >, προκύπτει ν < 4 (3ος τρόπος) Από τη δοσµένη σχέση, όπως δείχτηκε και στον ο τρόπο προκύπτει: ( ) 3 3 ν 3 ν ν ν 3ν 3ν 3 3 ν 4ν ν 4ν ν 4 ( ) ( ) ( ) ν ν 4 ν ν 4 ν 4 ( ν )( ν ν ) ( ν )( ν ν ) 4 4 < Όµως ν ν >, άρα ν 4 < ν < 4 ΘΕΜΑ Γ Γ Για η δοσµένη σχέση γράφεται: ( ) ( ) f( ) f( ) ( f ( ) )( f( ) ) = = = c Για = : = c ( ) f = f( ) = Έτσι ( ) ( ) Θέτουµε g ( ) = f( ), R Είναι g () για κάθε, g () συνεχής στο άρα διατηρεί σταθερό πρόσηµο Επειδή g () = f () > θα είναι g () > για κάθε, δηλαδή f () > για κάθε Άρα f f ( ) = ( ) =, R Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 6
f g( ) = g ( ) g( ) = Γ Είναι ( ) Άρα g g g g ( ) ( ) = ( ) = ( ) () 3 3 3 3 Πρέπει g ( ) > > >, (, ) Τότε από την () προκύπτει: 3 3 3 g( ) = g( ) g ( ) g ( ) = = 3 = 3 Θεωρούµε τη συνάρτηση ϕ ( ) = 3, R Είναι ϕ ( ) = 6 6= 6 ( ) Άρα έχουµε τον επόµενο πίνακα µεταβολής: φ ( ) φ() - - - Προκύπτει τοπικό µέγιστο φ () = και τοπικό ελάχιστο φ () = Επίσης προκύπτει ότι το σύνολο τιµών της φ για [, ) είναι το [, ), ενώ για < είναι φ() < Έτσι προκύπτει ότι υπάρχει µία τουλάχιστον ρίζα για την φ στο (, ) και επειδή η φ είναι γνησίως αύξουσα σε αυτό, προκύπτει ότι η ρίζα είναι µοναδική (ος τρόπος) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο µε f( ) f ( ) = = = Επίσης είναι f( ) = > =, για κάθε, άρα f () > για κάθε Έτσι όµως f '() <, για κάθε, άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο και άρα ( ) f g( ) = f() g( ) = Η εξίσωση τώρα f ( g ) = γράφεται ( ) 3 3 = Η g είναι παραγωγίσιµη στο µε g ( ) = 3 3= 3 ( ) R Ο πίνακας µεταβολών της g είναι: g () g() - - - Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 7
3 lim g ( ) = lim ( ) =, g( ) =, g συνεχής και γνησίως αύξουσα στο (, ], άρα g ((, ]) =, Άρα η g δεν έχει ρίζα ( ], g( ) =, g () = και g συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο [, ], άρα g ([, ] ) =, Άρα η g δεν έχει ρίζα [ ], 3 g () =, lim g ( ) = lim ( ) =, g συνεχής και γνησίως αύξουσα στο [, ), άρα ([, )) [, ) g = Παρατηρούµε ότι g ([, )), άρα υπάρχει (, ) ώστε g ( ) =, που είναι και µοναδική αφού g είναι γνησίως αύξουσα Γ3 Θέτουµε ( ) ( ) π εφ, K f t dt f, π = π /4 4 4 π Η Κ είναι συνεχής στο, 4, ενώ επειδή f() t = t t > για κάθε t θα είναι f () tdt>, δηλαδή Κ() > π /4 π π Επίσης είναι K = f() εφ = < 4 4 Έτσι όµως από το θεώρηµα Bolzano προκύπτει ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα π, 4 τέτοιο ώστε Κ( ) = ή π f() t dt = f εφ π /4 4 ΘΕΜΑ f( 5 h) f() f( h) f() f( 5 h) f() f( h) f() lim = lim 5 h h h = 5h h = 5 f () f () = 6 f () διότι 5 f( 5 h) f() f( 5 h) f() h= u f( u) f() lim = lim 5 = 5lim = 5 f () h h h h 5h u u u f( h) f() f( h) f() h= t f( t) f() lim = lim = lim = f () h h t h h h t u Άρα αφού f( 5 h) f( h) lim = 6 f () = f () = h h Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 8
f Για < < f ( ) < f () f ( ) < f Για > f ( ) > f () f ( ) > Άρα η f είναι στο (,] και στο [, ) µε f ( ) = άρα παρουσιάζει ελάχιστο στο = f() t Η συνάρτηση συνεχής στο (, ) άρα η g παραγωγίσιµη µε t f( ) g ( ) =, (, ) Λόγω του, αφού στο = η f παρουσιάζει ελάχιστο, είναι f( ) f() = για κάθε (, ) Η ισότητα ισχύει µόνο για =, άρα f() > για (, ) (, ) Έτσι f() > για (, ) και >, άρα g'() > για κάθε (, ) Άρα g γνησίως αύξουσα στο (, ) Θεωρούµε τώρα την συνάρτηση ϕ( ) = g( u) du, (, ) Είναι φ'() = g() g() Όµως < και επειδή g γνησίως αύξουσα θα είναι g() < g( ), άρα φ'() >, άρα φ γνησίως αύξουσα στο (, ) 4 Είναι 8 5> και 5>, οπότε η δοσµένη ανίσωση γράφεται: ϕ 4 4 (8 5) ϕ( 5) 8 5 5 ϕ > > 4 < 4 ( 4) < (, ) (, ) ( f( ) ) ( ) ( f( ) )( ) f ( )( ) ( f( ) ) 3 Είναι g ( = = ( ) ( ) Για την f στο [, ] ισχύει το ΘΜΤ άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ f( ) f() f( ) (, ) : f ( ) f ( ) ξ = = ξ f() = ( )f '(ξ) f ( )( ) ( ) f ( ξ) f ( ) f ( ξ) Άρα g ( ) = = ( ) f Είναι ξ < f ( ξ) < f ( ) f ( ) f ( ξ) > Επίσης για > > Έτσι g''() > για κάθε > άρα g κυρτή στο (, ) Η δοσµένη εξίσωση γράφεται a> f( a) ( a ) g( ) = ( f( a) )( a) g( ) = ( a) g( ) = g ( a)( a) a Η εξίσωση της εφαπτοµένης για την g στο = α είναι g( a) = y ga ( ) = g a ( )( a) y= g a ( )( a) Αφού g κυρτή η γραφική της παράσταση βρίσκεται πάνω από την εφαπτοµένη µε εξαίρεση το σηµείο επαφής Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 9
ηλαδή g ( ) y g ( ) g a ( )( a) και η ισότητα ισχύει µόνο για = α Άρα η εξίσωση g( ) = g ( a)( a) έχει µοναδική λύση = α (ος τρόπος) f() t Η δοσµένη εξίσωση γράφεται: ( a) dt( f( a) )( a) =, > a t f() t Θεωρούµε τη συνάρτηση h ( ) = ( a) dt( f( a) )( a), > a t Η h είναι παραγωγίσιµη µε f( ) f( ) f( a) h ( ) = ( a ) ( f ( a) ) = ( a ) = ( a ) ( g ( ) g ( a) ) a Η g είναι κυρτή άρα η g γίνεται αύξουσα και εποµένως µε < a g ( ) < g ( a) g ( ) g ( a) < h ( ) < µε > a g ( ) > g ( a) g ( ) g ( a) > h ( ) > h ( α ) = Άρα προκύπτει ότι η h έχει ελάχιστη τιµή στη θέση = α, την h (α) = που συνακόλουθα είναι και µοναδική h () h() α - ολικό ελάχιστο Τεχνική Επεξεργασία: Keystone