ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Ημερομηνία: Σάββατο Ιανουαρίου 09 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό δ. Σωστό ε. Λάθος Α3.. Γ. Β 3. Ζ 4. Ε ΘΕΜΑ Β Β. Η f ως πολυωνυμική ορίζεται για κάθε x άρα το πεδίο ορισμού της είναι Df =. Το πεδίο ορισμού είναι συμμετρικό ως προς το μηδέν. Έτσι αν x Df και το x Df. Θέτουμε όπου x το x και έχουμε: ( ) = ( ) 4 + ( ) = 4 + = f x α x β x αx βx f x Άρα η f είναι άρτια. Β. Αφού η f διέρχεται από τα σημεία Γ(,4 ) και Δ (, ) τότε: 4 f = 4 α + β = 4 α + 4β = 4 4α + β = 4 f = α + β = α+ β= α+ β= 4α β= 3α = 0 α= 0 α+ β= Για α = 0 η α+ β= γίνεται 0 + β= β= ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ
Β3. Όπως προκύπτει από τη γραφική παράσταση η συνάρτηση είναι: Γνησίως φθίνουσα για κάθε x (, 3] Γνησίως αύξουσα για κάθε x [ 3, + ) Για x 3 f 3 = = παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το B4. Αφού η C 3 είναι μετατόπιση της f( x) = x της οποίας η γραφική παράσταση είναι η C τότε βλέπουμε ότι είναι μετατοπισμένη κατά προς τα δεξιά και προς τα επάνω. Άρα η συνάρτηση που περιγράφει η C 3 είναι η f x + = x + = x 4x+ 4+ = x 4x+ = g x. Άρα η C είναι η γραφική παράσταση της h( x ). ΘΕΜΑ Γ Γ. Έχουμε, 4 4 A x = συν x ημ x συν x = συν x + ημ x συν x ημ x συν x = = = ημ x + συν x = Γ. Έχουμε, συν x ημ x συν x ημ x συν x συν( 3π x) = συν( π + π x) = συν( π x) = συνx συν( 3π + x) = συν( π + π + x) = συν( π + x) = συνx συν( 4π x) = συν( x) = συνx 7π π π π ημ + x = ημ 4π + x = ημ + x = ημ x = συνx π εφ x = σφx ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ
3π π π σφ x = σφ π + x = σφ x = εφx Άρα, Βx = ( συνx) + ( συνx συνx) + ( συνx) σφx εφx συν x συν x + συν x = = συν x Γ3. Η δοθείσα εξίσωση γίνεται: 7 ημ x + = 7ημx ημ x + 7ημx = 0 συν x = ημx συν x + = 7ημx ημ x + 7ημx 4 = 0 Θέτουμε ημx = ω, ω [,] και η παραπάνω εξίσωση γίνεται: 7+ 9 7 9 ω + 7ω 4 = 0 ω = ή ω = 4 4 ω = ή ω = ω = ή ω = 4 4 4 Έχουμε ότι, ημx = ή ημx = 4( απορρίπτεται) π Οπότε, ημx = ημx = ημ και οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται από τους τύπους: π κπ + x = ή με κ 5π κπ + ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 3 ΑΠΟ
Όμως οι λύσεις πρέπει να ανήκουν στο διάστημα [ 0,π ], δηλαδή: π x 0,π 0 x π 0 κπ + π π π κπ κ [ ] Όμως κ, άρα κ = 0 και η λύση της εξίσωσης είναι η 5π x 0,π 0 x π 0 κπ + π 5π 7π 5 7 κπ κ [ ] Όμως κ, άρα κ = 0 και η λύση της εξίσωσης είναι η Γ4. Για κάθε κπ x, με κ έχουμε: Β ( x) + B( x) > B x + A( x) π συν x + συν x > συν x + π + > συν x συν x ημ x + > συν x συν x συν x + + > συν x συν x 0 π x =. 5π x =. κπ συν x + > 0, που ισχύει για κάθε x, με κ, διότι συν x 0 +. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 4 ΑΠΟ
ΘΕΜΑ Δ Δ. Επειδή η Cf διέρχεται από το σημείο Α( 0, ) ισχύει: f( 0) = γ = π g x = α ημ x τότε παρουσιάζει μέγιστο τον β. Άρα η γραφική παράσταση της f, η οποία είναι μετατοπισμένη Αν θεωρήσουμε αριθμό α κατά μία μονάδα προς τα πάνω της γραφικής παράστασης της g, θα παρουσιάζει μέγιστο τον αριθμό α +. max f = 3 α + γ = 3 α + = 3 α = α = ή α = γ= α = 3 δεκτή α = απορρίπτεται αφού α > 0 α=3 δεκτή α= απορρίπτεται αφού α>0 Τ 4π π π 4π 4β 4π β π β Δ. Αν = = = =, άρα x f x = ημ + x g x = ημ, τότε η γραφική παράσταση της f προκύπτει αν μετατοπίσουμε την f μία μονάδα προς τα πάνω. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 5 ΑΠΟ
Δ3. π 5π π < < < π και επειδή η ημx είναι γνησίως φθίνουσα στο 7 7 5π π ημ ημ 0 7 7 5π π προκύπτει f ημ > f ημ 7 7. π,π άρα > > > και επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο [ ] 0, π τελικά Δ4. f( 0) = 5π 5π π π f = ημ + = ημ 4π+ + = ημ + = + = 3 άρα το σύστημα γίνεται = y= x y 3x 4 y= x 4 y 3x = 4 x 3x 4 = 0 x 3x 4 = 0 Θέτω x = ω, ω 0, άρα ω 3ω 4 = 0 Δ = β 4αγ = 3 4 4 = 5 ω άρα, x = 4 x =± αν x = τότε αν x β± Δ 3± 5 = =, ω = 4 δεκτή, ω = απορρίπτεται α y= = 4, άρα ( x, y) = (,4) = τότε y= ( ) = 4, άρα ( x, y) = (,4) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ