ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΠΑΣΡΩΝ ΣΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ Π.Μ. «ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΚΑΙ ΤΓΥΡΟΝΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕ»

ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΠΑΣΡΩΝ ΣΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ Π.Μ. «ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΚΑΙ ΤΓΥΡΟΝΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕ» Κλασματική Παραγώγιση και Γεωμετρία ΜΕΣΑΠΣΤΥΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΣΙΚΗ ΕΡΓΑΙΑ Λαμπροπούλοσ Δήμητρα Επιβλέπων: Αθανάσιος Κοτσιώλης Καθηγητής Πανεπιστημίοσ Πατρών Πάτρα, Μάιος 08

Περιεχόμενα Εισαγωγή σελ. 3 Κεφάλαιο. Συμβολισμοί Μετασχηματισμός Fourier και ιδιότητες σελ. 5 Κεφάλαιο. Κλασματικοί χώροι Sobolev Εμφυτεύσεις - Κλασματικές ανισότητες Sobolev σελ. 3 Κεφάλαιο 3. Ο κλασματικός τελεστής Lalace σελ. 50 Κεφάλαιο 4. Η γενίκευση του Προβλήματος του Nireberg σελ. 65 Βιβλιογραφία σελ. 7

Ευχαριστίες Ευχαριστώ θερμά τον επιβλέποντα καθηγητή μου κύριο Αθανάσιο Κοτσιώλη για την πολύπλευρη και ουσιαστική καθοδήγηση του καθώς και για τις σημαντικές και ιδιαίτερα χρήσιμες σε μένα παρατηρήσεις του.

3 Εισαγωγή Ο τίτλος της παρούσας διπλωματικής εργασίας θα μπορούσε να κινήσει το ενδιαφέρον ενός αναγνώστη από μαθηματική περιέργεια. Οι πολλές εφαρμογές που φαίνεται να έχει πρόσφατα το θέμα αυτό (που συνδέεται με τους κλασματικούς υπολογισμούς), θα μπορούσε επίσης να δημιουργήσει κίνητρα για την ανάγνωση της παρούσας διπλωματικής. Υπό μία έννοια, οι κλασματικοί χώροι Sobolev έχουν ένα κλασικό θέμα στη συναρτησιακή και αρμονική ανάλυση καθ 'όλη τη διάρκεια της ζωής τους, και μερικά σημαντικά βιβλία, όπως τα [53,79], αντιμετωπίζουν λεπτομερώς το θέμα. Από την άλλη πλευρά, οι κλασματικοί χώροι και οι αντίστοιχες μη τοπικές εξισώσεις, αντιμετωπίζουν τώρα εντυπωσιακές εφαρμογές σε διάφορα θέματα, όπως, μεταξύ άλλων, το πρόβλημα των λεπτών εμποδίων (the thi obstacle roblem) [75,60], βελτιστοποίηση (otimizatio) [37], οικονομικά (iace) [3], μεταφορά φάσεων (hase trasitio) [3,,76,39,46], επιστήμη των υλικών [73,,,5,8,47,6], ανώμαλη διάχυση (aomalous diusio) [59,85,57], μαλακές λεπτές μεμβράνες (sot thi ilms) [5], ημιπερατές μεμβράνες και διάδοση φλόγας (semiermeable membraes ad lame roagatio) [4], νόμοι διατήρησης (coservatio laws) [7], υπερ-σχετικιστικά όρια της κβαντικής μηχανικής (ultra-relativistic limits o quatum mechaics) [40], quasigeostrohic ροές (quasigeostrohic lows) [56,5,0], πολλαπλή σκέδαση (multile scatterig) [37,3,48], ελαχιστικές επιφάνειες (miimal suraces) [5,9], κύματα νερού (water waves) [78,87,86,3,8,65,3,33,30,9,44,49,66,34], ελλειπτικά προβλήματα με δεδομένα μετρήσεων (ellitic roblems with measure data) [6,50], μη ομοιόμορφα ελλειπτικά προβλήματα (o-uiormly ellitic roblems) [38], θεωρία κλίσης δυναμικού (gradiet otetial theory) [63] και ιδιόμορφο σύνολο ελάχιστων συναρτησοειδών μεταβλητής (sigular set o miima o variatioal uctioals) [6,5]. Θα θέλαμε να συστήσουμε για τον αναγνώστη που θα ήθελε να ασχοληθεί εκτενέστερα με το θέμα της διπλωματικής, να ανατρέξει στα παρακάτω βιβλία [53,79,,83,84,88,67,80,58,54,64], και τις πολλές αναφορές που δίνονται σε αυτά. Ένα μεγάλο μέρος της διπλωματικής βασίζεται στο άρθρο E. Di Nezza, G. Palatucci, ad E. Valdioci. Hitchhier s guide to the ractioal Sobolev saces. Bull. Sci. Math. 36: 5 73, 0.

4 Παραθέτουμε στο Κεφάλαιο κάποιους χρήσιμους συμβολισμούς καθώς και τον Μετασχηματισμό Fourier με τις ιδιότητες του. Ορίζουμε στο Κεφάλαιο τους κλασματικούς χώρους Sobolev μέσω της νόρμας Gagliardo. Στο ίδιο κεφάλαιο μελετάμε τις ιδιότητες εμφύτευσης των κλασματικών χώρων Sobolev και ασχολούμαστε με το πρόβλημα της επέκτασης μιας συνάρτησης από τον χώρο s, ( ) στον χώρο ( ): τεχνικά, αυτό είναι λίγο πιο περίπλοκο από το κλασικό ανάλογο για ακέραιους χώρους Sobolev, καθώς η επέκταση αλληλεπιδρά με τις τιμές που λαμβάνονται από τη συνάρτηση στο Gagliardo. Οι κλασματικές ανισότητες Sobolev βρίσκονται επίσης στο Κεφάλαιο ενώ ορίζεται και ο κλασματικός χώρος Sobolev που γίνεται χώρος Hilbert Μέσω του μετασχηματισμού Fourier ορίζεται ο ισοδύναμος κλασματικός χώρος Sobolev που είναι επίσης χώρος Hilbert. Στο Κεφάλαιο 3 ορίζεται ο κλασματικός τελεστής Lalace με τη βοήθεια μιας σταθεράς η οποία εξετάζεται αναλυτικά στη συνέχεια. Ακολούθως, ορίζεται ο κλασματικός τελεστής Lalace μέσω του μετασχηματισμού Fourier και εξετάζεται η αλληλεπίδραση του με τη σταθερά που προαναφέραμε. Τελειώνοντας, στο Κεφάλαιο 4 εξετάζουμε το γεωμετρικό πρόβλημα του Nireberg και τη γενίκευση του παραθέτοντας για ιστορικούς λόγους μια πληθώρα της σχετικής βιβλιογραφίας μέσα στο κείμενο. μέσω της νόρμας.

5 Κεφάλαιο. Συμβολισμοί Μετασχηματισμός Fourier και ιδιότητες Έστω και g Συμβολίζουμε με κατά a της είναι δύο τοπικά ολοκληρώσιμες συναρτήσεις στον a και a αντίστοιχα, τη συμμετρία της, δηλαδή, έχουμε ( x) ( x) ( )( x) ( x a), x. a και τη μεταφορά. Για κάθε θέτουμε a τέτοιο ώστε η συνάρτηση a g Λέμε ότι το γινόμενο της συνέλιξης αν υπάρχει για όλα σχεδόν τα ( g)( a) ( x) g( a x) dx. g της a το ( )( ) g a. να είναι ολοκληρώσιμη στον με τη g, υπάρχει σχεδόν παντού Έστω και και Y τη g ως εξής g είναι δύο συνεχείς μιγαδικές συναρτήσεις που ορίζονται στα να είναι το τανυστικό γινόμενο της, αντίστοιχα. Ορίζουμε με g για κάθε ζεύγος ( x, y) X Y. ( g)( x, y) ( x) g( y), X με Για κάθε πολυδείκτη (,..., ), θέτουμε

6..., x x x, D,!!!. x x Το σύνολο των πολυδεικτών θα είναι εφοδιασμένο με μια πρόσθεση ως εξής: εάν (,..., ) και (,..., ) είναι δύο πολυδείκτες, ορίζουμε και (,..., ) (,..., ) όπου, σημαίνει, για κάθε i,..., i i. Στη συνέχεια, έχουμε τους ακόλουθους πολυωνυμικούς τύπους του Νεύτωνα:! ( x y) x y, x, y, ( )!! και m m! ( x... x) x.! m Λέμε ότι μια συνάρτηση, που ορίζεται στο, είναι τάξης υπάρχει D C ( ) αν και είναι συνεχής για κάθε πολυδείκτη που επαληθεύει την. Ονομάζεται τάξης C (ή απείρως διαφορίσιμη) εάν είναι τάξης όλα τα. Για μια συνάρτηση τάξης C C για στο, έχουμε τον τύπο Taylor

7 y y ( x y) D ( x) ( ) ( t) D ( x ty) dt,!! 0 xy όπου τα άκρα του διαστήματος [, ], περιέχονται στο. Για δύο συναρτήσεις και g της τάξης και έχει τον ακόλουθο τύπο Leibiz: C η συνάρτηση g είναι τάξης C! D ( g) D D g,,. ( )!! Χρησιμοποιούμε επίσης τους εξής συμβολισμούς: M δηλώνει τη συνάρτηση x x, ( i,..., ), i M δηλώνει τη συνάρτηση x x, ( ), ( M ) δηλώνει τη συνάρτηση x ( x), i M δηλώνει τη συνάρτηση x x, a a δηλώνει τη συνάρτηση x ex( i a x), a, δηλώνει τη συνάρτηση x ex( i a x), όπου a x x a είναι το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων x και a. K X δηλώνει τη χαρακτηριστική συνάρτηση για κάθε K συμπαγές υποσύνολο του.

8 Μετασχηματισμός Fourier και ιδιότητες Ορισμός. Έστω L( ). Θέτουμε και ix ( F )( ) ( x) e dx, ix ( F )( ) ( x) e dx,. (.) (.) Οι απεικονίσεις F και F θα ονομάζονται αντίστοιχα μετασχηματισμός Fourier και αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier στον. Η συνάρτηση F ονομάζεται εικόνα Fourier της. Άμεσες ιδιότητες. (i) Ο μετασχηματισμός Fourier είναι γραμμικός. (ii) Έστω, με i i i L ( ). Τότε F F. i i (iii) Έχουμε τις ακόλουθες τρεις ταυτότητες F ( ) F, F F ( ), F ( ) F. (iv) Έστω J ένας ισομορφισμός του L( ), έχουμε στον εαυτό του. Τότε για κάθε F ( J) ( F J ), det J όπου J είναι ο μετασχηματισμένος ισομορφισμός του J.

9 Βασικές ιδιότητες Παράδειγμα. Έστω F F. η συνάρτηση ορισμένη στον με ( x) x e. Τότε Πρόταση. a) Έστω L( ). Τότε (i) η εικόνα Fourier της,, και F. (ii) Ισχύει ότι: F ( ) τείνει στο 0 όταν Lebesgue), οπότε ( F C ) 0. (b) Έστω και g δύο στοιχεία του F είναι μια φραγμένη συνεχής συνάρτηση στον τείνει στο L ( ). Τότε έχουμε (Θεώρημα Riema- F ( ) g( ) d ( x) F g( x) dx (Θεώρημα μεταφοράς). (c) Ο μετασχηματισμός Fourier εναλλάσσει τη μεταφορά με τον εκθετικό πολλαπλασιασμό: F ( ) F, F ( ) F. a a a a (d) Ο μετασχηματισμός Fourier εναλλάσσει την παραγώγιση με τον πολλαπλασιασμό μονωνύμων. (i) Αν M L ( ) για όλα τα Επιπλέον, ισχύει και D ( F ) F ( i M )., τότε C ( ) F. (ii) Αν C ( ), με F L ( ). Επιπλέον, ισχύει D L ( ) για όλα τα και, τότε ( i M ) F F D.

0 Στη συνέχεια ορίζουμε εν συντομία την έννοια του μετασχηματισμού Fourier μιας ήπιας κατανομής (temered distributio). Αρχικά, θεωρούμε τον χώρο Schwartz S των ταχέως φθινουσών C ( ) συναρτήσεων, των οποίων η τοπολογία ορίζεται από τις ημινόρμες { } που ορίζονται με όπου S ( ). ( ): su ( x ) D ( x), x Υπενθυμίζουμε τον ορισμό της ημινόρμας: Ορισμός. Μια πεπερασμένη θετική συνάρτηση διανυσματικό χώρο X ονομάζεται ημινόρμα αν (i) Η είναι τριγωνική: [ x ( ) και ( x y) ( x) ( y), x, y X. 0 ] σε έναν (ii) Η Μια ημινόρμα είναι κυκλικά ομογενής: ( x) ( x),., τέτοια ώστε x ( ) 0 για κάθε x 0 ονομάζεται νόρμα. Πιο συγκεκριμένα, ο χώρος S περιέχει τις λείες συναρτήσεις που ικανοποιούν su x D ( x), x για όλους τους πολυδείκτες και. Η φυσικά τοπικά κυρτή τοπολογία επί του S μπορεί να χαρακτηριστεί από την ακόλουθη έννοια της σύγκλισης: η ακολουθία { } συγκλίνει στο 0 στον S αν και μόνο αν lim x D ( x) 0, για όλους τους πολυδείκτες a και.

Πρόταση. Ο μετασχηματισμός Fourier F ομοιομορφισμός του S( ), έχουμε F F F F (τύπος αντιστροφής). Πρόταση. Για και S ( ), ισχύει είναι ένας ισομορφισμός και στον εαυτό του. Με άλλα λόγια, για κάθε S( ) F ( ) ( F )( F ) και F ( ) ( F ) ( F ). S S S, (, ) Πόρισμα. Η απεικόνιση ( ) ( ) ( ) διγραμμική και συνεχής. Θεώρημα ισομετρίας (Placherel-Parseval). Εφοδιάζουμε τον δομή (λέγεται και re-hilbert) που επάγεται από τον χώρο μετασχηματισμός Fourier είναι ένας μοναδιαίος τελεστής του S ( ). είναι S( ) με την L ( ). Τότε ο S( ) Θεώρημα (Riesz-Placherel) (- επέκταση του μετασχηματισμού επί του L ( ) ). (i) Ο μετασχηματισμός Fourier F επί του (αντίστοιχα, ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier F ) επεκτείνεται σε έναν τελεστή του επί του L ( ). Δηλαδή, L ( ) u L ( ) αν και μόνο αν F u L ( ) (.3) και u F u, (.4) L ( ) L ( ) για κάθε u L ( ). Ακόμη, ορίζοντας ως F (αντίστοιχα F ) αυτή την επέκταση, έχουμε F F F F, για όλες τις L ( ). (ii) Αν L ( ), τότε F είναι το όριο, (ως προς την τοπολογία του L ( )), της ακολουθίας ( ) που ορίζεται ως g

g x e dx ix ( ) ( ), B όπου ( B ) είναι μια ακολουθία από σχετικά συμπαγή μετρήσιμα σύνολα που τείνουν στον. Τώρα έστω ' S ο τοπολογικός δυϊκός του S. Ως συνήθως, μια ήπια κατανομή είναι S ' T S ' ένα στοιχείο του. Αν, ο μετασχηματισμός Fourier του οριστεί ως η ήπια κατανομή που δίνεται από F T, : T, F, T μπορεί να για κάθε S, όπου και του δυϊκού του ' S., δηλώνει τη συνήθη αγκύλη δυϊκότητας μεταξύ του S

3 Κεφάλαιο. Κλασματικοί χώροι Sobolev Εμφυτεύσεις - Κλασματικές ανισότητες Sobolev Έστω τώρα ένα ανοικτό σύνολο του Ευκλείδιου χώρου και [, ). Για κάθε θα ορίσουμε τον κλασματικό χώρο Sobolev. Στη βιβλιογραφία, οι κλασματικοί χώροι Sobolev λέγονται επίσης χώροι Arosza, Gagliardo, ή Slobodeci ([3,45,77]). s 0, ( ) Αν είναι ένας θετικός ακέραιος, συμβολίζουμε με χώρο Sobolev εφοδιασμένο με τη συνήθη νόρμα s u s, : D u, ( ) L ( ) 0 s ( ) τον κλασικό για κάθε u ( ), όπου εδώ σε ό,τι ακολουθεί L ( ) δηλώνει τη συνήθη νόρμα στον L ( ), και D συμβολίζει την παράγωγο με την έννοια των κατανομών. Αυτό το σημείο είναι αφιερωμένο στον ορισμό του κλασματικού χώρου Sobolev. Δηλαδή εδώ ενδιαφερόμαστε για την περίπτωση όπου s. Για ένα σταθερό s (0,), o χώρος Sobolev ( ) ορίζεται ως εξής: s, u( x) u( y) ( ): u L ( ) : L ( ). / s x Είναι εφοδιασμένος με τη φυσική νόρμα (.) / u( x) u( y) u s, : u( x) dx dxdy, ( ) s x (.) που λέγεται και νόρμα Gagliardo, όπου ο όρος u( x) u( y) [ u] s, : dxdy ( ) s x (.3) /

4 είναι η Gagliardo ημινόρμα του u. Όταν s και s (0,). Έτσι ορίζουμε τον, μπορούμε να γράψουμε sm, όπου ως εξής: s, ( ) m και s, m,, ( ) : { u ( ) : D u ( ) για κάθε τέτοιο ώστε m}. Σε αυτή την περίπτωση, ο s, ( ) είναι εφοδιασμένος με τη νόρμα u s, : u m, D u,, ( ) ( ) ( ) m s, για κάθε u ( ). Συνοψίζοντας, ο χώρος είναι καλά ορισμένος και είναι ένας χώρος Baach για κάθε s 0. Όπως στην κλασική περίπτωση (δηλ., ), κάθε συνάρτηση στον κλασματικό, χώρο Sobolev s ( ) μπορεί να προσεγγιστεί από μια ακολουθία λείων συναρτήσεων με συμπαγή φορέα. Πράγματι, για κάθε s 0, s s, ( ) / s, ( ) s, C ( ) ( ), 0 αυτό σημαίνει ότι, ο χώρος ( C ) 0 Γενικά, αν, ο χώρος C ( ) 0, είναι πυκνός στον s ( ). δεν είναι πυκνός στον s, ( ). Ως εκ s, τούτου, ορίζουμε με 0 ( ) την κλειστότητα του C ( ) 0 σε σχέση με τη νόρμα s,, αυτό σημαίνει, ( ) 0 0 ( ) ( ) : C ( ). Με αυτόν τον ορισμό, μπορούμε επίσης να κατασκευάσουμε τον s 0. Πράγματι, για s 0 και (, ), μπορούμε να ορίσουμε s, ( ) όταν ( ) : ( ( )), s, s, q ' 0 που σημαίνει ότι, ο / / q. s, ( ) είναι ο δυϊκός χώρος του sq, 0 ( ), όπου

5 Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε με ιδιότητες εμφύτευσης των κλασματικών χώρων Sobolev σε άλλους κλασματικούς χώρους Sobolev. Εδώ παρουσιάζουμε μερικές βασικές ιδιότητες. Πρόταση (a). Έστω [, ) στον ' και 0 s s και u : μια μετρήσιμη συνάρτηση. Τότε. Έστω ένα ανοικτό σύνολο u C u s, ( ) ' s, ( ) για κάποια κατάλληλη θετική σταθερά C C(, s, ) συνεχής εμφύτευση. Ειδικότερα, ισχύει η s ', s, ( ) ( ). Απόδειξη. Αρχικά, ux ( ) dxdy dz u( x) dx s x y z { x y } s z C(, s, ) u, L ( ) όπου χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι ο πυρήνας / z s αφού s. Λαμβάνοντας υπόψιν την παραπάνω εκτίμηση, βρίσκουμε είναι ολοκληρώσιμος { x } Από την άλλη, u( x) u( y) s x C(, s, ) u. dxdy u( x) u( y) dxdy (.4) { x } s x L ( )

6 u( x) u( y) u( x) u( y) x x dxdy ' dxdy. s (.5) s { x } { x } Έτσι, συνδυάζοντας τη (.4) με τη (.5), παίρνουμε u( x) u( y) s x dxdy u( x) u( y) C(, s, ) u ' dxdy L ( ) s x και έτσι u( x) u( y) u s, ( C(, s, ) ) u ' dxdy ( ) L ( ) s x C(, s, ) u, s ', ( ) που δίνει την επιθυμητή εκτίμηση, τροποποιώντας κατάλληλα τη σταθερά C(, s, ). Θα δείξουμε στην παρακάτω Πρόταση (b) ότι το αποτέλεσμα στην Πρόταση (a) ισχύει και στην οριακή περίπτωση, δηλαδή όταν να λάβουμε υπόψη την ομαλότητα του. Για να ορίσουμε την ομαλότητα του συμβολισμούς: ' s, αλλά γι 'αυτό πρέπει χρειαζόμαστε τους παρακάτω Ως συνήθως, για κάθε και (0,], λέμε ότι το είναι κλάσης, C (δηλαδή ομαλότητα του ) αν υπάρχει M 0 τέτοιο ώστε για κάθε x υπάρχει μια σφαίρα B Br ( x), r 0, και ένας ισομορφισμός T : QB τέτοιος ώστε,, T C ( Q), T C ( ), ( Q ) B, T( Q0 ) B, T, M, C ( Q) C ( B) και όπου

7 x ' ' Q : { x ( x, x) : x και }, ' ' Q : { x ( x, x) : x και 0 x } και Q : { : 0}. 0 xq x, Ακόμη, C ( ) είναι ο υπόχωρος του C ( ) των συναρτήσεων οι οποίες, μαζί με τις παραγώγους τους τάξης, ικανοποιούν μια Holder συνθήκη τάξης,. Αυτή είναι 0 xy, x y ( x) ( y) su. x Η απεικόνιση με C 0, ( ) ( x) ( y) 0, 0 su C ( ) C ( ) x xy, x y είναι μια νόρμα στον χώρο 0, C. Η νόρμα στον χώρο ( ), C είναι η ( ) (, 0, D 0,, C ( ) C ( ) D ( x) D ( y) D su. C ( ) ) C ( ) xy, x x y Έχουμε το ακόλουθο αποτέλεσμα. Πρόταση (b). Έστω [, ) και s (0,). Έστω ένα ανοικτό σύνολο στον Τότε κλάσης 0, C με φραγμένο σύνορο και u : μια μετρήσιμη συνάρτηση. u C u (.6) s,, ( ) ( )

8 για κάποια κατάλληλη θετική σταθερά C C(, s, ) συνεχής εμφύτευση ( ) ( )., s,. Ειδικότερα, ισχύει η, Απόδειξη. Έστω u ( ). Χάρη στις υποθέσεις ομαλότητας πάνω στο σύνολο, μπορούμε να επεκτείνουμε τη συνάρτηση u σε μια συνάρτηση : (βλέπε παρακάτω, για s ) τέτοια ώστε C u για μια κατάλληλη σταθερά C. u,, ( ) ( ) Τώρα, χρησιμοποιώντας την αλλαγή μεταβλητής Ηοlder, έχουμε z y x u, u ( ) και και την ανισότητα { x } u( x) u( y) s x B B B B u( x) u( z x) s z u( x) u( z x) z z 0 s 0 dx dy ( s) u( x tz) ( s) z dz dx u( x tz) dt dz dx z u L ( ) B dt dz ( ) 0 s z C (, s, ) u L ( ) C (, s, ) u., ( ) dt dz dx dz dx (.7) Ακόμη, από τη (.4),

9 { x } u( x) u( y) dxdy C(, s, ) u. s L ( ) x (.8) Επομένως, από τη (.7) και τη (.8) λαμβάνουμε τον υπολογισμό (.6). Ας επιστρέψουμε στον ορισμό του χώρου. Πριν προχωρήσουμε, αξίζει να εξηγηθεί γιατί ο ορισμός (.) δεν μπορεί να επεκταθεί απλά στην περίπτωση ( ) s. Υποθέτουμε ότι το είναι ένα συνεκτικό ανοικτό σύνολο στον, τότε οποιαδήποτε μετρήσιμη συνάρτηση : u τέτοια ώστε u( x) u( y) s x dxdy είναι στην πραγματικότητα σταθερή ([]). Αυτό το γεγονός συνδέεται αυστηρά, με το ακόλουθο αποτέλεσμα που ισχύει για κάθε u στον ( ): u( x) u( y) lim( s) dx dy C u dx, s s x C για μια κατάλληλη σταθερά που εξαρτάται μόνο από τα και. s, Στο ίδιο πνεύμα, για μια συνάρτηση u ( ), προκύπτει 0s u( x) u( y) lim s dx dy C u dx, s x s0 C που εξαρτάται μόνο από τα για μια κατάλληλη σταθερά και ([9]). Όταν s και δεν είναι ένας ακέραιος αριθμός γράφουμε sm, όπου m είναι ένας ακέραιος και (0,). Σε αυτή την περίπτωση ο χώρος ( ) αποτελείται από αυτές τις κλάσεις ισοδυναμίας των συναρτήσεων u m, ( ) των οποίων οι παράγωγοι με την έννοια της κατανομής Du, με m ανήκουν στον, ( ). Συγκεκριμένα

0 s, m,, ( ) : { u ( ) : D u ( ) για κάθε m τέτοιο ώστε } και αυτός είναι ένας χώρος Baach σε σχέση με τη νόρμα u s, : u m, D u,. ( ) ( ) ( ) (.9) m Ξεκάθαρα, αν s m Sobolev m, ( ). είναι ένας ακέραιος, ο χώρος ( ) συμπίπτει με τον χώρο Πρόταση (c). Έστω [, ) και κλάσης 0, C. Αν ' s s ss ',, τότε ισχύει η συνεχής εμφύτευση. Έστω ένα ανοικτό σύνολο στον s ', s, ( ) ( ). Απόδειξη. Γράφουμε s και ', (0,). Στην περίπτωση ' ' ' ' s, με ', ακέραιους αριθμούς και, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την Πρόταση (a) με σκοπό να καταλήξουμε ότι η εμφύτευση του χώρου s ', ( ) s, ' στον χώρο ( ) είναι συνεχής. Από την άλλη, αν, χρησιμοποιώντας την Πρόταση (a) και την Πρόταση (b), ισχύει η ακόλουθη αλυσίδα εμφυτεύσεων ' ' ',,,, ( ) ( ) ( ) ( ). Η απόδειξη ολοκληρώθηκε. Όπως και στην κλασική περίπτωση με s να είναι ακέραιος αριθμός, οποιαδήποτε συνάρτηση στον κλασματικό χώρο Sobolev μπορεί να προσεγγιστεί από μια σειρά λείων συναρτήσεων με συμπαγή φορέα. Πρόταση. Για κάθε s 0, ο χώρος ( C ) 0 των λείων συναρτήσεων με συμπαγή, φορέα είναι πυκνός στον s ( ). Απόδειξη. Μια απόδειξη μπορεί να βρεθεί στο [].

Έστω s, 0 ( ) η κλειστότητα του C ( ) 0 στη νόρμα s, ( ) (.9). Σημειώνουμε ότι, λαμβάνοντας υπόψιν την Πρόταση, έχουμε που ορίζεται στη s, s, 0 ( ) ( ), αλλά γενικά, για, ( ) ( ), δηλαδή το s, s, 0 C ( ) 0 δεν είναι πυκνό στον. Επιπλέον, είναι σαφές ότι οι ίδιες εμφυτεύσεις που δηλώνονται στην Πρόταση (a), Πρόταση (b) και στην Πρόταση (c) ισχύουν και στους χώρους 0 ( ). Παρατήρηση. Για, μπορούμε να ορίσουμε τον ως τον sq, δυϊκό χώρο του 0 ( ) όπου / / q. Παρατηρούμε ότι, στην περίπτωση αυτή, ο χώρος είναι στην πραγματικότητα ένας χώρος κατανομών στο ( ) s 0 και (, ) ( ), καθώς αυτός είναι ο δυϊκός ενός χώρου που έχει τον υποσύνολο. C ( ) 0 ( ) ως πυκνό Τώρα θυμόμαστε ορισμένες βασικές ιδιότητες σχετικά με τις συνεχείς (συμπαγείς) εμφυτεύσεις των κλασματικών χώρων Sobolev σε χώρους Lebesgue (βλέπε παρακάτω). Προηγουμένως όμως, χρειαζόμαστε την ακόλουθή παράγραφο. Επέκταση μιας συνάρτησης s, ( ) σε ολόκληρο τον s Όπως είναι γνωστό όταν το είναι ένας ακέραιος, κάτω από ορισμένες συνθήκες s, ομαλότητας για το σύνολο, οποιαδήποτε συνάρτηση στον ( ) μπορεί να, επεκταθεί σε μια συνάρτηση στον s ( ), (βλέπε [0]). Σε αυτό το σημείο πρέπει να θυμηθούμε τον ορισμό της ομαλότητας που απαιτείται για ένα ανοικτό σύνολο στην περίπτωση του κλασικού χώρου Sobolev ( ) (για τους σχετικούς συμβολισμούς βλέπε σελ.6 και, 7). Ορισμός. Λέμε ότι ένα ανοικτό είναι τάξεως C αν για κάθε x υπάρχει περιοχή B του x στον και μια απεικόνιση T : Q B αμφιμονοσήμαντη και επί, τέτοια ώστε

T C Q T C B T Q B T Q0 B ( ), ( ), ( ) και ( ). Τα αποτελέσματα επέκτασης είναι αρκετά σημαντικά στις εφαρμογές και είναι απαραίτητα για να βελτιωθούν ορισμένα θεωρήματα εμφυτεύσεων, τόσο στην κλασική όσο και στην κλασματική περίπτωση (όπου θα δούμε παρακάτω). Ορισμός. Για κάθε s(0,) και κάθε [, ), λέμε ότι ένα ανοικτό σύνολο είναι ένα επεκτάσιμο σύνολο για τον εάν υπάρχει μια θετική C C s τέτοια ώστε: για κάθε συνάρτηση u ( ) υπάρχει ( ) για όλα τα x και, C u,. σταθερά (,,, ) s, u με ( x ) u u ( x ) s, ( ) u s s ( ) ( ) Γενικά, ένα αυθαίρετο ανοικτό σύνολο δεν είναι ένα επεκτάσιμο σύνολο για τον. Η ταξινόμηση όλων των ανοικτών υποσυνόλων του επεκτάσιμα σύνολα είναι ένα ανοικτό πρόβλημα. Σε αυτό το κεφάλαιο θα δείξουμε ότι κάθε ανοικτό σύνολο της κλάσης φραγμένο σύνορο είναι ένα επεκτάσιμο σύνολο για τον. που είναι Αρχίζουμε με κάποια προκαταρκτικά λήμματα, στα οποία θα κατασκευάσουμε την επέκταση σε όλο τον μιας συνάρτησης u που ορίζεται στο σε δύο ξεχωριστές περιπτώσεις: όταν η συνάρτηση είναι ταυτοτικά μηδέν σε μια γειτονιά του συνόρου και όταν το συμπίπτει με τον μισό χώρο. Λήμμα. Έστω ένα ανοικτό σύνολο στον και u μια συνάρτηση στον ( ) με s (0,) και [, ). Αν υπάρχει ένα συμπαγές υποσύνολο u 0, C με K τέτοιο ώστε u 0 στο \ K, τότε η συνάρτηση επέκτασης ορίζεται ως u που u ( x) u( x), x, 0, x \, ανήκει στον s ( ) και C u, u s, s, ( ) ( )

όπου C είναι μια κατάλληλη θετική σταθερά που εξαρτάται από τα,,, K και. Απόδειξη. Προφανώς u L ( ). Επομένως, παραμένει να επαληθευθεί ότι η νόρμα Gagliardo του στον είναι φραγμένη από εκείνη του u στο. Χρησιμοποιώντας τη συμμετρία του ολοκληρώματος στη νόρμα Gagliardo ως προς x και και το γεγονός ότι, μπορούμε να το χωρίσουμε ως εξής y u u 0 στο \ s 3 u( x) u( y) u( x) u( y) dxdy s s x y x y ux ( ) dy dx, \ s x dxdy (.0) όπου ο πρώτος όρος στο δεύτερο μέλος της (.0) είναι πεπερασμένος αφού u ( ). Επιπλέον, για κάθε y \ K, και έτσι u( x) XK ( x) u( x) XK ( x) u( x) su x y x y xk x y s s s ux ( ) dy dx dy u. \ s \ s L ( ) x y dist( y, K) (.) Σημειώνουμε ότι το ολοκλήρωμα στην (.) είναι πεπερασμένο αφού dist(, K) 0 και s. Συνδυάζοντας τη (.0) με τη (.), παίρνουμε C u u s, s, ( ) ( ) όπου C C(, s,, K). Λήμμα. Έστω ένα ανοικτό σύνολο στον, συμμετρικό σε σχέση με τη συντεταγμένη x, και θεωρούμε τα σύνολα { x: x 0} και

4 { x: x 0}. Έστω u [, ). Ορίζουμε μια συνάρτηση στον ' u( x, x), x 0, ux ( ). ' u( x, x), x 0 ( ), με s(0,) και Τότε το u ανήκει στον ( ) και u 4 u. s, s, ( ) ( ) Απόδειξη. Διαχωρίζοντας τα ολοκληρώματα και αλλάζοντας την μεταβλητή ^ ' x ( x, x ), παίρνουμε ^ ^ ' L ( ) x L ( ) u u( x) dx u( x, x ) d u. Ακόμη, αν x και y C τότε ( x y ) ( x y ) και επομένως u( x) u( y) u( x) u( y) dxdy s s x y x y C 4 u. s, ( ) x dxdy ' u( x) u( y, y) C s x dxdy ' ' u( x, x) u( y, y) C s dxdy Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη. Τώρα ένα λήμμα αποκοπής κοντά στο. Λήμμα 3. Έστω ένα ανοικτό σύνολο στον, s (0,) και [, ). Θεωρούμε u ( ) και C 0, ( ), 0. Τότε, u ( ) και

5, u s, C u s, ( ) ( ) (.) όπου C C(, s,, ). Απόδειξη. Είναι σαφές ότι u u L ( ) L ( ) προσθέτοντας και αφαιρώντας τον παράγοντα ( x) u( y) αφού, παίρνουμε. Επιπλέον, ( x) u( x) ( y) u( y) s x dxdy ( x) u( x) ( x) u( y) ( x) u( y) ( y) u( y) dxdy s s x y x y u( x) u( y) u( x) ( x) ( y) dxdy s s x y x y dxdy. dxdy (.3) Αφού C 0, ( ), έχουμε u( x) ( x) ( y) u( x) x y dxdy s x s x y x y ux ( ) dxdy (.4) x s x ~ C u, L ( ) dxdy όπου υποδηλώνει τη σταθερά Lischitz του και C ~ είναι μια θετική σταθερά που εξαρτάται από, και. Σημειώνουμε ότι η τελευταία ανισότητα προκύπτει από το γεγονός ότι ο πυρήνας σχέση με το τη (.4), λαμβάνουμε τη (.). y αν x αφού s s ( ) s x y είναι ολοκληρώσιμος σε. Τέλος, συνδυάζοντας τη (.3) με Τώρα, είμαστε έτοιμοι να αποδείξουμε το κύριο θεώρημα αυτής της ενότητας, το οποίο δηλώνει ότι κάθε ανοικτό σύνολο Lischitz με φραγμένο σύνορο έιναι ένα επεκτάσιμο σύνολο για τον.

6 Θεώρημα. Έστω [, ), 0, C και s, s(0,) με φραγμένο σύνορο. Τότε ο ( ), δηλαδή για κάθε u και ( ) ( ) υπάρχει ένα ανοικτό σύνολο κλάσης είναι συνεχώς εμφυτευμένος στον s, u ( ) τέτοιο ώστε u u C u, u s, s, ( ) ( ) όπου C C(, s,, ). Απόδειξη. Δεδομένου ότι το πεπερασμένο αριθμό από μπάλες μπορούμε να γράψουμε είναι συμπαγές, μπορούμε να βρούμε έναν B τέτοιες ώστε B ( \ ). B και έτσι Αν θεωρήσουμε αυτή την κάλυψη, υπάρχει μια διαμέριση της μονάδας που σχετίζεται με αυτό, δηλ. υπάρχουν λείες συναρτήσεις 0,,..., τέτοιες ώστε su 0 \, su B για κάθε {,..., }, 0 για κάθε {0,..., } και. 0 Σαφώς, 0 u u u. 0 Από Λήμμα 3, ξέρουμε ότι το ανήκει στον ( ). Επιπλεόν, αφού 0 0 σε μια γειτονιά του, μπορούμε να το επεκτείνουμε σε ολόκληρο τον, θέτοντας u u 0 ( x) ( ),, 0 u x x 0, x \ και s, u ( ). Πιο συγκεκριμένα, 0 C u C u, s,,, 0u 0 s s ( ) ( ) ( ) (.5) όπου C C(, s,, ) (ενδεχομένως διαφορετικό βήμα προς βήμα, δες Λήμμα και Λήμμα 3).

7 Για κάθε {,..., }, θεωρούμε u B και θέτουμε v ( y) : u( T ( y)) για κάθε y, όπου T : Q B είναι ένας ισομορφισμός κλάσης Q 0, C. Σημειώνουμε ότι ένα τέτοιο T υπάρχει από την υπόθεση ομαλότητας στο σύνολο. Τώρα, δηλώνουμε ότι v ( Q ). Πράγματι, χρησιμοποιώντας το συνήθη τύπο αλλαγής μεταβλητής θέτοντας ^ x T ( x) έχουμε ^ ^ ^ ^ ^ ^ v( x) v( y) u( T ( )) ( ( )) ^ ^ x u T y d xd y Q Q ^ ^ Q d xd y Q ^ ^ s s x y x y B C B B B u( x) u( y) s T ( x) T ( y) u( x) u( y) s x dxdy, det( T ) dxdy (.6) όπου η (.6) προκύπτει από το γεγονός ότι η είναι bi-lischitz. Επιπλεόν, χρησιμοποιώντας το Λήμμα μπορούμε να επεκτείνουμε το v σε όλο το Q έτσι ώστε η επέκταση v να ανήκει στον ( Q ) και T v 4 v. s, s, ( Q) ( Q ) Θέτουμε w x v x για κάθε x B. ( ) : ( ( )) Αφού η T είναι bi-lischitz, με το ως παραπάνω επιχείρημα προκύπτει ότι w ( B). Σημειώνουμε ότι w u (και συνεπώς w u) στο B. Εξ ορισμού το w έχει συμπαγή φορέα στη B και επομένως, όπως έγινε με το u 0, μπορούμε να δούμε την επέκταση σε όλο τον w με τέτοιο τρόπο ώστε

8 s, w ( ). Ακόμη, χρησιμοποιώντας Λήμμα, Λήμμα, Λήμμα 3 και την (.6) παίρνουμε C w C w w ( ) ( ) ( ) s, s, s, B B C v C v s, s, ( Q) ( Q ) C u, s, ( B ) (.7) όπου C C(, s,, ). Τελικά, έστω 0 u u w η επέκταση του u ορισμένη σε όλο τον. Εκ κατασκευής, είναι σαφές ότι u και συνδυάζοντας τη (.5) με τη (.7), παίρνουμε u C u u s, s, ( ) ( ) με C C(, s,, ). Πόρισμα. Έστω [, ), s (0,) και 0, C ένα ανοικτό σύνολο στον κλάσης με φραγμένο σύνορο. Τότε, για κάθε u ( ), υπάρχει μια ακολουθία { u } C 0 τέτοια ώστε u u καθώς στον ( ), δηλαδή, lim 0. u u, s ( ) Απόδειξη. Η απόδειξη προκύπτει άμεσα από Πρόταση (σελ. 0) και Θεώρημα (σελ. 6).

9 Κλασματικές ανισότητες Sobolev Προκειμένου να αποδειχθεί η ανισότητα τύπου Sobolev στο επικείμενο Θεώρημα παρακάτω, χρειαζόμαστε κάποια προκαταρκτικά λήμματα. x Λήμμα. Σταθεροποιούμε μετρήσιμο σύνολο με πεπερασμένο μέτρο. Τότε,. Έστω [, ), s(0,) και E ένα C E dy x s C E s /, για μια κατάλληλη σταθερά C C(, s, ) 0. Απόδειξη. Θέτουμε και τότε προκύπτει Ως εκ τούτου, : ( C E) B ( x) B ( x) E B ( x) E E B ( x) E C B ( x).

30 dy dy dy C E s E B ( x) s ( E) B ( x) s x y C x y C C x y dy ( C E) B ( x) s ( C E) C B( x) dy x C ( E) B ( x) dy s ( C E) C B ( x) x E C B ( x) dy s ( C E) C B ( x) x dy x E C B ( ) s x ( C E) C B( x) C B ( x) dy x s. s s s dy x s Το ζητούμενο προκύπτει εύκολα χρησιμοποιώντας πολικές συντεταγμένες με κέντρο το x. Λήμμα. Έστω (0,) έστω N και T, a Τότε, s και [, ) τέτοια ώστε s μια φραγμένη, μη αρνητική, φθίνουσα ακολουθία με 0 a T C a a T ( s) / s / a 0 για μια κατάλληλη σταθερά C C(, s,, T) 0, ανεξάρτητη του N. Απόδειξη. Από (.8),,. Σταθεροποιούμε a για κάθε N. (.8) a T και ( s) / οι Επιπλέον, αφού η. Ως εκ τούτου, a 0 a 0 s / a a T είναι συγκλίνουσες σειρές. (.9) a είναι μη αρνητική και φθίνουσα, έχουμε ότι αν a 0, τότε

3 a T a T ( s) / ( s) / a 0. Επομένως, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την Holder ανισότητα με εκθέτες : / s και : /( s) υποστηρίζοντας τα εξής T a T a T ( s)/ ( s)/ a 0 ( s)/ s/( ) / / s/( ) / a T aa T a 0 / s/( ) / / s/( ) / ( a T ) ( a a T ) a 0 a a T T ( s)/ s/ s/ a a T a 0 ( s)/. / Έτσι υπενθυμίζοντας την (.9), παίρνουμε το ζητούμενο αποτέλεσμα. Λήμμα 3. Έστω s(0,) και [, ) τέτοια ώστε s. Έστω L ( ) με συμπαγή φορέα. (.0) Για κάθε έστω a : { }. Τότε, ( x) ( y) s x dx dy C a a a 0 s /,

3 για μια κατάλληλη σταθερά C C(, s, ) 0. Απόδειξη. Παρατηρούμε ότι ( x) ( y) ( x) ( y), και έτσι, ενδεχομένως αντικαθιστώντας την την περίπτωση στην οποία Ορίζουμε 0. A : { }. με, μπορούμε να εξετάσουμε A Παρατηρούμε ότι A, ως εκ τούτου, Ορίζουμε Παρατηρούμε ότι a a. D A A και d : D. : \ { } (.) οι d και a είναι φραγμένες και γίνονται μηδέν όταν το είναι αρκετά μεγάλο, (.) χάρη στην (.0). Επίσης, παρατηρούμε ότι τα D είναι ξένα, ότι Dl l l A C (.3) και ότι D. l A l l (.4) Ως συνέπεια της (.4), έχουμε ότι

33 a d l l l (.5) και έτσι d a d. l l l (.6) Τονίζουμε ότι η σειρά στην (.5) είναι συγκλίνουσα, λόγω της (.), έτσι είναι και η σειρά στην (.6). Ομοίως, μπορούμε να ορίσουμε τη συγκλίνουσα σειρά l s / S : al dl. (.7) l a 0 l D A A, ως εκ τούτου Παρατηρούμε ότι a dl a a Επομένως s / s /. i i l {( il, ) έτσι ώστε s / ai 0 και ai dl 0} {( i, l) έτσι ώστε l 0}. (.8) a Χρησιμοποιούμε την (.8) και την (.) στον ακόλουθο υπολογισμό a dl a dl i s / i s / i i i l i l ai0 li ai0 li a 0 i l l l s / i l l i a 0 l i a 0 il l i a 0 il l a 0 l 0 i i i a s / i a a s / i s / l dl dl dl a ( l) s / l dl S. (.9)

34 Τώρα, σταθεροποιούμε i έχουμε ότι y D και xd i : τότε, για κάθε με i και κάθε ( x) ( y) i i i i και επομένως, υπενθυμίζοντας την (.3), ( x) ( y) dy x y D x y i ( ) dy D s i i i ( ). C A s i dy x s x D Αυτό και το Λήμμα υποδηλώνουν ότι, για κάθε i και κάθε i, έχουμε ότι ( x) ( y) i s / dy co ai, D s x i για ένα κατάλληλο 0. o c Συνεπώς, για κάθε i, i DD i ( x) ( y) s x dx dy c a d. i s / o i i (.30) Ως εκ τούτου, από (.6), συμπεραίνουμε ότι, για κάθε i, ( x) ( y). i s / i s / dx dy co a D s i i i l i D a a d x l i li (.3) Από (.7) και (.30), έχουμε ότι i ai 0 i DD i ( x) ( y) s x dxdy c S. o (.3)

35 Τότε, χρησιμοποιώντας (.3), (.9) και (.3), i a 0 i i i s / o i i i a 0 i DD i ( x) ( y) s x dxdy i s / i s / c o ai ai ai d l i i l a i0 ai0 li i s / c o ai ai S i a i 0 c a a ( x) ( y) s x dxdy. DiD i i 0 a i Δηλαδή, παίρνοντας τον τελευταίο όρο στο αριστερό μέλος, ( x) ( y) i s / dx dy co a D s i ai i D i x i a 0 i a 0 i i, (.33) με μια τροποποίηση της σταθεράς Από την άλλη, λόγω συμμετρίας, c o. ( x) ( y) ( x) ( y) dxdy s s x y Di D x y i, dxdy i, DD i ( x) ( y) s x dxdy (.34) ( x) ( y) dxdy. D s id x i a 0 i i

36 Στη συνέχεια, το ζητούμενο αποτέλεσμα προκύπτει εύκολα από (.33) και (.34). Λήμμα 4. Έστω, έστω N Τότε q [, ). Έστω : μια μετρήσιμη συνάρτηση. Για κάθε ( x) : max{mi{ ( x), N}, N} x. (.35) N Απόδειξη. Δηλώνουμε με συνάρτηση lim. N N στο επίπεδο N Fatou, (Λήμμα Fatou. Έστω ικανοποιούν (a) για κάθε, 0 (b) su. N q q L ( ) L ( ) τη συνάρτηση που προκύπτει κόβωντας τη και οπότε, από Λήμμα. Έχουμε ότι ( ) σχεδόν παντού N N μια ακολουθία συναρτήσεων στον L που Για σχεδόν όλα τα x θέτουμε ( x) limi ( x). Τότε έχουμε ότι lim i. ), q q q N L και q q q L ( ) N L ( ) lim i lim i. N N Η αντίστροφη ανισότητα εύκολα προκύπτει από το γεγονός ότι ( x) ( x) για κάθε x. Λαμβάνοντας υπόψη τα προηγούμενα λήμματα, είμαστε σε θέση να δώσουμε μια στοιχειώδη απόδειξη της ανισότητας τύπου Sobolev που αναφέρεται στο ακόλουθο θεώρημα. N

37 Θεώρημα. Έστω και [, ) τέτοια ώστε s θετική σταθερά C C(, s, ) s(0,) φορέα : έχουμε. Τότε, υπάρχει μια τέτοια ώστε, για κάθε μετρήσιμη και με συμπαγή ( x) ( y), C L ( ) dx dy s x (.36) όπου (, s) είναι ο λεγόμενος κλασματικός κρίσιμος εκθέτης και είναι ίσος με /( s) q L ( ). Συνεπώς, ο χώρος s, ( ) είναι συνεχώς εμφυτευμένος στον για κάθε q [,, ]. Επιπλέον, η εμφύτευση s ( ) L q ( loc ) είναι συμπαγής για κάθε q [, ). Απόδειξη. Πρώτον, παρατηρούμε ότι αν το δεξί μέλος της (.36) είναι μη φραγμένο τότε ο ισχυρισμός στο θεώρημα προκύπτει εύκολα. Έτσι, μπορούμε να υποθέσουμε ότι η είναι τέτοια ώστε ( x) ( y) s x dxdy. (.37) Επιπλέον, μπορούμε να υποθέσουμε, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ότι L ( ). (.38) Πράγματι, εάν η (.37) ισχύει για φραγμένες συναρτήσεις, τότε ισχύει επίσης για τη συνάρτηση, την οποία παίρνουμε κόβωντας στα επίπεδα και. Οπότε από Λήμμα 4 και την (.37) μαζί με το Θεώρημα Κυριαρχημένης Σύγκλισης (Θεώρημα Κυριαρχημένης Σύγκλισης. Έστω ( ) μια ακολουθία συναρτήσεων στον L που ικανοποιούν (a) ( x) ( x) σχεδόν παντού στο, (b) υπάρχει μια συνάρτηση g L τέτοια ώστε για όλα τα, ( x) g( x) σχεδόν παντού στο. Τότε L και 0.), έχουμε N N N

38 N( x) N( y) ( x) ( y) lim dxdy dxdy, s s x y x y N και προκύπτει η (.36) για τη συνάρτηση. Τώρα, παίρνουμε Αυτό σημαίνει, a και A που ορίζονται στo Λήμμα 3. Έχουμε x dx dx L ( ) A \ A A \ A ( ) ( ) a. /. a L ( ) Έτσι, αφού / ( s)/ s /, a. ( s) / L ( ) (.39) και, μετά, επιλέγοντας T, το Λήμμα δίνει s L ( ) a 0 C a a, (.40) για μια κατάλληλη σταθερά C που εξαρτάται από τα, και s. Τέλος, αρκεί η εφαρμογή του Λήμματος 3 και επιτυγχάνουμε το ζητούμενο αποτέλεσμα, με μια τροποποίηση της σταθεράς C στην (.40). Επιπλέον, η εμφύτευση για q (, ) προκύπτει από την εφαρμογή της ανισότητας Holder (Ανισότητα Holder. Έστω, δηλώνουμε με q το συζυγή εκθέτη για τον οποίο ισχυεί. Θεωρούμε ότι q Τότε g L και L και g q L.

39 g g.) q Σημείωση. Η βέλτιστη σταθερά στη σχέση (.36) του Θεωρήματος έχει υπολογιστεί στην εργασία [6]. Παρατήρηση. Από το Λήμμα, προκύπτει ότι E C E dxdy x s c(, s) E ( s) / (.4) για όλα τα μετρήσιμα σύνολα E με πεπερασμένο μέτρο. Από την άλλη, βλέπουμε ότι η (.36) περιορίζεται στην (.4) όταν, οπότε η (.4) (και άρα και το Λήμμα ) μπορεί να θεωρηθεί ως ανισότητα τύπου Sobolev για σύνολα. Η παραπάνω εμφύτευση δεν ισχυεί γενικά για τον χώρο ( ) καθώς δεν είναι πάντα δυνατόν να επεκτείνουμε μια συνάρτηση ( ) σε μια συνάρτηση s, ( ). Για να μπορέσουμε να το κάνουμε αυτό, θα πρέπει να απαιτήσουμε περαιτέρω υποθέσεις ομαλότητας στο. Θεώρημα. Έστω s(0,) και [, ) τέτοια ώστε s. Έστω, ένα επεκτάσιμο σύνολο για τον. Τότε υπάρχει μια θετική σταθερά C C(, s,, ) τέτοια ώστε, για κάθε ( ), έχουμε C, (.4) q s, L ( ) ( ) για κάθε q [, ], δηλαδή, ο χώρος q L ( ) για κάθε q [, ]. ( ) είναι συνεχώς εμφυτευμένος στον Αν, επιπλέον, το είναι φραγμένο, τότε ο χώρος ( ) είναι συνεχώς q εμφυτευμένος στον L ( ) για κάθε q [, ] και συμπαγώς εμφυτευμένος στον q L ( ) για κάθε q[, ). Απόδειξη. Έστω ( ). Αφού, τότε υπάρχει μια σταθερά C C (, s,, ) 0 είναι ένα επεκτάσιμο σύνολο για τον τέτοια ώστε

40 C, s, s, ( ) ( ) (.43) με τέτοια ώστε ( x) ( x) για x σχεδόν παντού στο. Από την άλλη μεριά, από Θεώρημα, ο χώρος q L ( ) s, ( ) είναι συνεχώς εμφυτευμένος στον για κάθε q [, ], δηλαδή, υπάρχει μια σταθερά C (,,, ) 0 C s τέτοια ώστε C. s, L ( ) ( ) q (.44) Συνδυάζοντας την (.43) με την (.44), παίρνουμε C L ( ) L ( ) L ( ) ( ) q s, q q C C, s, ( ) που δίνει την ανισότητα στην (.4), επιλέγοντας C C C. Στην περίπτωση του να είναι φραγμένο, η εμφύτευση για q[, ) εύκολα από την (.4), χρησιμοποιώντας την ανισότητα Holder. προκύπτει Παρατήρηση. Στην κρίσιμη περίπτωση q η σταθερά C στο Θεώρημα δεν εξαρτάται από το : αυτό είναι συνέπεια της (.36) και της ιδιότητας επέκτασης του. Παρατήρηση 3. Ως τώρα εξετάσαμε από την αρχή αυτής της ενότητας την περίπτωση s. Την περίπτωση s, την αντιμετωπίζουμε ως εξής: Σημειώνουμε ότι όταν s ο κρίσιμος εκθέτης πηγαίνει στο και οπότε τότε η δεν είναι περίεργο ότι, σε αυτή την περίπτωση, αν η είναι στον q ανήκει στον L για κάθε q, όπως αναφέρεται στα επόμενα δύο θεωρήματα. Θεώρημα 3. Έστω s(0,) και [, ) τέτοια ώστε s θετική σταθερά C C(, s, ) φορέα : έχουμε. Τότε, υπάρχει μια τέτοια ώστε, για κάθε μετρήσιμη και με συμπαγή

4 C, q s, L ( ) ( ) (.45) για κάθε q[, ) για κάθε q[, ). q L ( ), δηλαδή, ο χώρος s, ( ) είναι συνεχώς εμφυτευμένος στον Θεώρημα 4. Έστω s(0,) και [, ) τέτοια ώστε s. Έστω, επεκτάσιμο σύνολο για τον. Τότε υπάρχει μια θετική σταθερά C C(, s,, ) τέτοια ώστε, για κάθε ( ), έχουμε ένα C, q s, L ( ) ( ) (.46) για κάθε q[, ) για κάθε q[, ). q L ( ) Αν, επιπλέον, το q εμφυτευμένος στον ( ), δηλαδή, ο χώρος ( ) είναι φραγμένο, τότε ο χώρος, L για κάθε q [, ). είναι συνεχώς εμφυτευμένος στον s ( ) είναι συνεχώς Οι αποδείξεις μπορούν εύκολα να προκύψουν συνδυάζοντας απλά την Πρόταση (a) με το Θεώρημα και το Θεώρημα, αντίστοιχα. Ομαλότητα κατά Holder Σε αυτή την ενότητα θα δείξουμε ορισμένες ιδιότητες ομαλότητας για συναρτήσεις στον ( ) όταν s και είναι ένα επεκτάσιμο σύνολο για τον xy στον έχουμε ( xy)., ) Για χωρίς εξωτερικά άκρα (δηλαδή, για, παράδειγμα, μπορεί κανείς να πάρει το ως ένα τυχόν Lischitz σύνολο. 0, Εδώ, ο C ( ) δηλώνει τον χώρο των Holder συνεχών συναρτήσεων, εφοδιασμένο με τη συνήθη νόρμα ( x) ( y) 0, : su. x a C ( ) L ( ) xy, x y

4 s(0,) και [, ) τέτοια ώστε s Θεώρημα 5. Έστω σύνολο του. Τότε υπάρχει μια θετική σταθερά C ( ), έχουμε. Έστω, ένα τέτοια ώστε, για κάθε C 0, C, 0, s, C ( ) ( ) (.47) με : ( s ) /, αυτό σημαίνει ότι ο χώρος 0, C ( ) ( ) είναι συνεχώς εμφυτευμένος στον. Απόδειξη. Στα παρακάτω, θα δηλώνουμε με C κατάλληλες θετικές ποσότητες, πιθανόν διαφορετικές από γραμμή σε γραμμή, και πιθανόν εξαρτώμενες από και s. Πρώτα, παρατηρούμε ότι αν το δεξί μέλος της (.47) δεν είναι πεπερασμένο, τότε τελειώσαμε. Ετσι, υποθέτουμε ότι ( x) ( y) s x dxdy C, για C 0. Δεύτερον, αφού το είναι ένα επεκτάσιμο σύνολο για τον, επεκτείνουμε κάθε σε μια συνάρτηση s, C s,. ( ) ( ) Τώρα, για κάθε φραγμένο μετρήσιμο σύνολο συνάρτησης στο U, που δίνεται από U s, μπορούμε να τέτοια ώστε, θεωρούμε τη μέση τιμή της U : ( x) dx. U U Για κάθε, η ανισότητα Holder δίνει ( y) dy ( y) dy. U U U U U Αναλόγως, παίρνοντας 0 B ( x ) πάνω στη r 0, έχουμε ότι x και U : Br ( x0), : ( x) και ολοκληρώνοντας

43 ( x) dx ( x) ( y) dx dy. Br ( x0 ) ( ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) Br x B 0) Br x Br x r x Οπότε, αφού x y r για κάθε x, y Br ( x0), συμπεραίνουμε ότι ( r) ( x) ( y) x dx dx dy s ( 0 ) ( ) Br x ( ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) s Br x B 0) Br x Br x r x x y r C B s s s, ( ), αυτό συνεπάγεται [ ] C, (.48), s s, ( ) για μια κατάλληλη σταθερά Πριν δείξουμε ότι η είναι μια συνεχής συνάρτηση, θα χρησιμοποιήσουμε το C. εξής Λήμμα. Λήμμα. Έστω [, ) και s(, ]. Έστω εξωτερικά άκρα (βλέπε αρχή της ενότητας) και Τότε, για κάθε 0 x και ' RR,, με ' 0 R R diam( ) ένα σύνολο χωρίς μια συνάρτηση στον, έχουμε ( ). c [ ] B ( x ) ( s) / B ( x ) B ( x ), s R 0 (.49) R 0 R ' 0 όπου s [ ], s : su ( x) dx B ( x ( ) 0 ) x0 0 B x 0 / και

44 : ( x) dx. B ( x ) B ( x 0 ) ( 0 ) 0 B x Λαμβάνοντας υπόψιν την (.49), προκύπτει ότι η ακολουθία των συναρτήσεων x συγκλίνει ομοιόμορφα για όταν BR ( x ) οριακή συνάρτηση της παραπάνω ακολουθίας θα είναι συνεχής και το ίδιο ισχυεί και για την g x, αφού από Θεώρημα Lebesgue έχουμε ότι R 0. Συγκεκριμένα, η lim ( y) dy ( x) R0 ( ) σχεδόν για κάθε R B B ( x) R x x. Τώρα, παίρνουμε κάθε xy και θέτουμε., R x y Έχουμε ( x) ( y) ( x) ( y). B ( x) B ( x) B ( y) B ( y) R R R R Μπορούμε να υπολογίσουμε τον πρώτο και τον τρίτο όρο του δεξιού μέλους της παραπάνω ανισότητας χρησιμοποιώντας το προηγούμενο Λήμμα. Πράγματι, παίρνοντας το όριο στην (.49) ως, για κάθε x παίρνουμε R ' R 0 και γράφοντας R αντί για ( x) c [ ] B ( x) C [ ] R (.50) ( s ) / ( s) / B ( x), s R, s R όπου η σταθερά C δίνεται από Από την άλλη, c ( s) / / B. ( z) ( z) B ( x) B ( y) B ( x) B ( y) R R R R z B ( x) B ( y) και έτσι, ολοκληρώνοντας στο R R, έχουμε

45 B ( x) B ( y) R R B ( x) B ( y) B ( x) B ( y) R R B ( x) B ( y) R R R R ( z) dz R ( x) ( z) dz B R R R R B R ( z) dz ( z) dz. ( y) B ( x) B ( x) B ( y) B ( y) B ( x) B ( y) ( B ( x) B ( y)) Επιπλέον, αφού και οπότε R R R R B ( x) B ( x) B ( y) R R R, έχουμε B ( y) B ( x) B ( y) και R R R ( z) dz B R ( x) B R ( y) ( ) R ( ) B B x B R ( x) R x B ( y) R B R ( y) ( z) dz. B R ( y) Μια εφαρμογή της ανισότητας Holder δίνει ( ) ( z) dz B ( x) B R x B R ( x) R Ανάλογα, έχουμε B R( x) B ( x) R B R( x) B ( x) R C R ( ) / / ( ) ( ) z B x dz B ( x) ( ) / ( s) / [ ], s. R s ( R) [ ], s R (.5) ( s) / ( z) dz C [ ] ( ), s R. (.5) y B ( y) B R ( y) B R R Συνδυάζοντας τις (.50), (.5) με την (.5) προκύπτει ( s) / ( x) ( y) C[ ], s x y, (.53)

46 τροποποιώντας τη σταθερά C. Επομένως, λαμβάνοντας υπόψιν την (.48), μπορούμε να συμπεράνουμε ότι 0, C ( ), με ( s )/. Τελικά, παίρνοντας R0 diam( ) (σημειώστε ότι το τελευταίο πιθανόν να είναι και άπειρο), χρησιμοποιώντας την (.50) και την ανισότητα Holder έχουμε, για κάθε x, ( x) ( x) C B ( x) R 0 B ( x) B ( x) R0 R0 c [ ] B ( x). / L ( ), s R 0 (.54) Ως εκ τούτου, από (.48), (.53) και (.54), έχουμε ( x) ( y) 0, su C ( ) L ( ) x L ( ) s, ( ) xy, x y C [ ] C, s για μια κατάλληλη σταθερά C. Ως συνέπεια του Θεωρήματος 5, έχουμε το ακόλουθο αποτέλεσμα: s και [, ) τέτοια ώστε s Πόρισμα. Έστω (0,) φραγμένο σύνολο του. Τότε η εμφύτευση 0, ( ) C ( ). Έστω ένα 0, C είναι συμπαγής για κάθε, με : ( s )/. Απόδειξη. Έστω { u } μια φραγμένη ακολουθία στον εξασφαλίζει ότι η { u } είναι φραγμένη στον C 0 τέτοιο ώστε 0, C ( ). Το Θεώρημα 5 ( ). Επομένως, υπάρχει

47 u ( x) u ( y) u su C. L ( ) x xy, x y (.55) Χρησιμοποιώντας την (.55), το Θεώρημα Ascoli-Arzela δίνει ότι u u ομοιόμορφα στο (.56) καθώς,, για κάποιο ( ) u C. Επιπλέον, οι (.55) και (.56) δίνουν u ( x) u ( y) lim u ( x) u ( y) C x y, (.57) για κάθε, xy. Έτσι, η συνάρτηση u ανήκει στον u u 0, C ( ) 0, C Ας αποδείξουμε ότι στον καθώς Λαμβάνοντας υπόψιν την (.56), έχουμε να δείξουμε ότι ( u u)( x) ( u u)( y) su 0 x xy, x y ( )., για κάθε. (.58) καθώς. Αφού u u 0 καθώς, L ( ) για κάθε 0, υπάρχει τέτοιο ώστε /( ) u u. L ( ) C (.59) Τώρα οι ανισότητες (.55) και (.57) δίνουν ( u u )( x) ( u u )( y) C x y x y x, y. (.60) Αν C x y, η ανισότητα (.60) εξασφαλίζει ότι

48 ( u u )( x) ( u u )( y) x y x, y. (.6) Εδώ χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι. Ωστόσο, όποτε C x y, χρησιμοποιώντας την (.59), για κάθε έχουμε, /( ) ( u u)( x) ( u u)( y) u u x y. L ( ) C (.6) Από (.6) και (.6), η σχέση (.58) επαληθεύεται εύκολα και αυτό τερματίζει την απόδειξη. s Ο χώρος Sobolev H ( ) Σε αυτή την ενότητα, εστιάζουμε την προσοχή μας στην περίπτωση. Εδώ o κλασματικός χώρος Sobolev γίνεται Hilbert. Έστω ένα ανοικτό υποσύνολο στον, ορίζουμε s H s s, ( ) : ( ), για κάθε (0,). Αυτή είναι μια σημαντική περίπτωση, επειδή ο προηγούμενος κλασματικός χώρος Sobolev γίνεται ένας χώρος Hilbert. Πράγματι, το εσωτερικό s γινόμενο στον H ( ) που ορίζεται ως ( u( x) u( y))( v( x) v( y)) u, v : u( x) v( x) dx dxdy, H s ( ) s x. s για κάθε u, v H ( ), επάγει τη νόρμα που δίνεται στην (.) όταν Σαφώς, για κάθε s (0,), έχουμε H u L u (.63) s s, ( ) : ( ) { ( ) :[ ] s, }, ( )

49 όπου [] s, ( ) ορίζεται στη σχέση (.3). s Ο χώρος H ( ) μπορεί να οριστεί με έναν εναλλακτικό τρόπο μέσω του μετασχηματισμού Fourier. Ακριβέστερα, ας ορίσουμε ^ s s H ( ) : { u L ( ) : ( ) F u( ) d }, (.64) για κάθε s 0, και για κάθε ^ s ' s H ( ) : { u S : ( ) F u( ) d }, s 0. Η ισοδυναμία μεταξύ του χώρου ^ s H ( ) που ορίζεται στην (.64) και αυτού που ορίζεται μέσω της νόρμας Gagliardo στην (.63) δηλώνεται και αποδεικνύεται για κάθε s (0,) στη συνέχεια (δες Πόρισμα Κεφαλαίου 3).

50 Κεφάλαιο 3. Ο κλασματικός τελεστής Lalace Οι μη τοπικές εξισώσεις έχουν προσελκύσει μεγάλη προσοχή τις τελευταίες δεκαετίες. Ο βασικός τελεστής που εμπλέκεται σε αυτό το είδος των προβλημάτων είναι ο λεγόμενος κλασματικός Lalacia με. Αυτός ο τελεστής και η γενίκευση του εμφανίζονται σε πολλούς τομείς των μαθηματικών, όπως για παράδειγμα, η αρμονική ανάλυση, η θεωρία πιθανοτήτων, η θεωρία του δυναμικού, η κβαντομηχανική, η στατιστική φυσική και η κοσμολογία, καθώς και σε πολλές εφαρμογές. Αυτή η ενότητα είναι αφιερωμένη στον ορισμό αυτού του τελεστή και στις ιδιότητές του. Έστω. Oρίζουμε τον τελεστή( ) s : S L ( ) ως s(0,) ( ) s s(0,) s u( x) u( y) ( ) u( x) : C(, s) lim dy x, \ (, ) s 0 B x x (3.) όπου Bx (, ) είναι η μπάλα με κέντρο στο η ακόλουθη (θετική) σταθερά κανονικοποίησης: x και ακτίνα, και C(, s) είναι cos( ) (, ) : d, s C s (3.) ' ' με (, ),. Ο τελεστής που ορίζεται στην (3.) είναι ο κλασματικός Lalace. Συνήθως, κατά τον ορισμό του ( ) s, χρησιμοποιείται η σύντμηση με την έννοια του ricial-value. Συγκεκριμένα, θέτοντας u( x) u( y) u( x) u( y) P.V. dy : lim dy, s \ (, ) s x y 0 B x x y μπορούμε να γράψουμε s u( x) u( y) ( ) u( x) : C(, s) P.V. dy, x. s x (3.3)

5 Το ιδιόμορφο ολοκλήρωμα που δίνεται στην (3.3) μπορεί να γραφεί ως εξής: Πρόταση. Έστω s(0,). Τότε για κάθε u S, s u( x y) u( x y) u( x) ( ) u( x) C(, s) dy x. s y (3.4) Απόδειξη. Από (3.3), έχουμε ότι s u( y) u( x) ( ) u( x) C(, s)p.v. dy, s x (3.5) για κάθε ότι x. Ως εκ τούτου, αντικαθιστώντας με z y x s u( x z) u( x) ( ) u( x) C(, s)p.v. dz, s z στην (3.5), έχουμε (3.6) για κάθε x. Ωστόσο, θέτοντας z z, έχουμε u( x z) u( x) u( x z ) u( x) P.V. dz P.V. dz. s s z z Έτσι μετά την αντικατάσταση του z με z, οι ακόλουθες ιδιότητες ισχύουν: P.V. u( x z) u( x) u( x z) u( x) dz P.V. dz s s z z P.V. u( x z) u( x) s dz z u( x y) u( x y) u( x) P.V.. s dy y (3.7) Τέλος, η επέκταση δεύτερης τάξης κατά Taylor δίνει Du L ( ) s s u( x y) u( x y) u( x),

5 και αφού s(0,), έχουμε u( x y) u( x y) u( x) L ( ). s y Έτσι για κάθε u S, έχουμε ότι u( x y) u( x y) u( x) u( x y) u( x y) u( x) P.V.. dy dy s (3.8) s Συμπερασματικά, η σχέση (3.4) ισχύει χάρη στις (3.6) - (3.8). Παρατήρηση. Έστω s (0,/ ). Παρατηρούμε ότι για κάθε σταθεροποιημένο x, έχουμε ότι u S και για ένα u( x) u( y) x y dy C dy s (, ) s x y B x R x y u ) L ( \ B( x, R) x s dy R C d d, 0 s R s όπου C είναι μια θετική σταθερά που εξαρτάται μόνο από τη διάσταση L νόρμα της συνάρτησης ολοκλήρωμα u. Ως εκ τούτου, στην περίπτωση s (0,/ ) u( x) u( y) dy s x και την, το δεν είναι ιδιόμορφο κοντά στο σημείο x, έτσι μπορούμε να απαλλαγούμε από το P.V. στην (3.3). Μερικά πρόσφατα αποτελέσματα σχετικά με τις κλασματικές εξισώσεις Lalace μπορούν να βρεθούν στα [,6,7,8,35,4,4,70,7,7,75] και τις παραπομπές εκεί. Επιπλέον, πολύ πρόσφατα, ορίστηκε ένας νέος μη τοπικός και μη

53 γραμμικός τελεστής (ο κλασματικός -Lalace και τις παραπομπές εκεί). Δηλαδή, για (, ), αρκετά, ορίζεται ως ( ) s s(0,) ) (βλέπε, π.χ., τα [67,68], και u λεία u( x) u( y) ( u( x) u( y)) s ( ) u( x) P.V. dy, x. s x (3.9) Ως προς κάποια σταθερά κανονικοποίησης που εξαρτάται από ο ορισμός είναι συμβιβαστός με αυτόν του κλασματικού Lalace., και s ( ) s, αυτός στην περίπτωση Για τα κίνητρα που οδήγησαν στη μελέτη τέτοιων τελεστών, παραπέμπουμε τον αναγνώστη στο πρωτότυπο άρθρο του Caarelli [3] (βλέπε επίσης τα πρόσφατα άρθρα [8,43,55]). Μερικές ιδιότητες της σταθεράς C(, s ) Εδώ παρουσιάζουμε μερικές ιδιότητες της σταθεράς C(, s ). Λήμμα. Έστω (0,) ( s, ) και () s s, C(, s ) η σταθερά που ορίζεται στην (3.), και έστω ως εξής:, ( s, ) : ', d, ' / ( ) s και cost ( s) : s( s) dt. s t Τότε

54 s( s) C(, s). (3.0) A(, s) B( s) Απόδειξη. Η απόδειξη βασίζεται σε άμεσους υπολογισμούς. Έστω ' ' ' (, ), με. Χρησιμοποιώντας την αλλαγή μεταβλητών /, έχουμε cos( ) cos( ) ' d d d s s s ' ( / ) ' cos( ) ( ) (, s) B( s). s( s) s s ' d ' d Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη. Παρατήρηση. Σημειώνουμε ότι από την (3.) και την (3.0) έπεται ότι και cos( ) cost C(, s) d A(, s) dt. s s t Για 3, δηλώνοντας με S το μέτρο Lebesgue της μοναδιαίας σφαίρας στον, έχουμε 4 s ( ) ' A(, s) s d S ' και cost s dt. t ( s) s

55 Κατά συνέπεια, με αυτό τον συμβολισμό είναι εύκολο να δούμε ότι C s S 4 s ( s) s (, ). (3.) Ωστόσο, έχουμε επίσης, ( s) s C(, s)., s ( s) s (3.) Η ακόλουθη ιδιότητα θα χρησιμοποιηθεί ως εξής: Πρόταση. Έστω s (0,) και C(, s ) η σταθερά που ορίζεται στην (3.). Τότε, για κάθε, ισχύει η ισότητα cos( y) s dy C s y s (, ). (3.3) (,..., ) Απόδειξη. Πρώτα, παρατηρούμε ότι, για, έχουμε cos s s s πλησίον της αρχής των αξόνων. Ως συνέπεια, το cos d s είναι πεπερασμένο και θετικό, χάρη στην επιλογή του s. Τώρα, ας ορίσουμε την απεικόνιση : J ως εξής:

56 cos( y) J ( ) : dy, y s για κάθε. Ισχυριζόμαστε ότι η J είναι αναλλοίωτη ως προς τις περιστροφές, δηλαδή, J ( ) J ( e ),, (3.4) e συμβολίζει την πρώτη διεύθυνση του διανύσματος στο χώρο J όπου. Για είναι μια περιττή συνάρτηση. Όταν για την οποία R ( e ), και συμβολίζουμε με τον ανάστροφό της. Ως εκ τούτου, αντικαθιστώντας με T =R y, παίρνουμε, η ισότητα (3.4) είναι τετριμμένη επειδή η, θεωρούμε μια περιστροφή R R y J ( ) cos(( R ( e )) y) dy s y T cos(( e ) ( R y)) s dy y cos(( e ) y) d s y J( e), y οπότε ο ισχυρισμός (3.4) αποδείχτηκε. Τότε, από την (3.4), η αντικατάσταση y δίνει J ( ) J ( e ) cos( y) s dy y cos / C s s s (, ), d χάρη στην (3.). Συνοψίζοντας, η σχέση (3.3) αποδείχτηκε.

57 Πόρισμα. Έστω s(0,) s Τότε, για κάθε u H ( ), και έστω C(, s) η σταθερά που ορίζεται στην (3.). [ u] C(, s) F u( ) d. (3.5) s s H ( ) Επιπλέον, H ^ s s ( ) H ( ). y Απόδειξη. Σταθεροποιούμε το. Χρησιμοποιώντας την αλλαγή μεταβλητής, και εφαρμόζοντας τον τύπο Parseval-Placherel που δίνεται σε προηγούμενο Κεφάλαιο, προκύπτει ότι z x y u( x) u( y) u( z y) u( y) dx dy dz dy s s x y z u( z y) u( y) /s z u( z ) u( ) /s z L ( ) u( z ) u( ) z F /s dz dy dz L ( ) dz. (3.6) Στοιχειώδεις υπολογισμοί εξασφαλίζουν ότι i z dz F u( ) d dz / s s u( z ) u( ) e F z z L ( ) cos( z) z F u( ) dz d, s οπότε, από την (3.3), μπορούμε να γράψουμε

58 u( z ) u( ) z s F dz C(, s) F u( ) d. (3.7) /s L ( ) Ως εκ τούτου, η σχέση (3.5) προκύπτει από τις (3.6) και (3.7). Τέλος, η ισοδυναμία μεταξύ των κλασματικών χώρων προκύπτει από τις (.3) και (3.5). s H ( ) και ^ s H ( ) Μια κλάση συναρτήσεων αποκοπής. x (όπου Σταθεροποιούμε ένα σημείο 0 επιλέγουμε με τέτοιο τρόπο ώστε 0 είναι κλάσης 0, C ), και όπου B( x, ) : { x : x x }, (3.8) 0 0 η συνήθης Ευκλείδια απόσταση στον Τώρα έστω (0,) 0 και t 0, και ορίζουμε u t H s ( ). ως εξής: 0, x \ B( x0, ) t ( ) : ( 0 ), ( 0, ) \ ( 0, ), ( ) t0, x B( x0, ) t0 0 u x x x x B x B x (3.9) όπου 0 Θέτουμε όπου B( x, r) δηλώνει τη 0 -διάστατη μπάλα με κέντρο x0 και ακτίνα r 0. : ( ), (3.0) u : i. (3.) uh u 0 ( )\{0} L ( ) L ( )

59 Ισχύει το ακόλουθο αποτέλεσμα: Πρόταση. Έστω, s (0,), t u 0 t 0, και (3.8). Έστω η συνάρτηση που δίνεται στην (3.9), μοναδιαίας σφαίρας στον και ( ) : t z t z e dz, t 0, 0 τέτοιο ώστε να επαληθεύεται η S t0 s η συνήθης συνάρτηση Γάμμα. Τότε u H ( ) και έχουμε το μέτρο Lebesgue της t / 0 t0 u ( x) u ( y) t0 ( ) dxdy, s (3.) x ( ) όπου, 0 0 ( s) 4 :,, :, s s S 0, 3 s (3.3) με 0 να δίνεται στην (3.0). 0 Απόδειξη. Υπολογίζοντας τη συνήθη ημινόρμα της συνάρτησης u t στον H ( ), εύκολα έχουμε

60 t [ u ] u ( x) dx 0 t0 H ( ) B( x, )\ B( x, ) 0 0 t ( ) t0 dx ( ) 0 0 B( x, ) B( x, ) 0 0 t ( ). ( ) (3.4) t0 Αφού u H ( ), από Πρόταση (b), προκύπτει ότι t0 s, 0 u ( ). Επιπλέον, το t0 σύνορο είναι Lischitz, ( x0, ), και u 0 στο \ ( x0, ). Τότε, από t0 s Λήμμα προηγούμενης ενότητας, έχουμε u H ( ). Οπότε, εφόσον s (0,), το παραπάνω Πόρισμα δίνει cos x u dx u d H ( ) s x t0 s t0 [ ] s F ( ) cos x s dx u d x t0 ( ) F ( ). (3.5) Τώρα, με συνήθη επιχειρήματα σχετικά με το μετασχηματισμό Fourier και την ανισότητα Poicare, έχουμε t0 t0 ( ) ( ) 0 [ ] F u d u. (3.6) H ( ) Πράγματι, από την ταυτότητα Parseval-Placherel, προκύπτει ότι t0 u L ( ) αν και μόνο αν F t0 u L ( ) και u F u. (3.7) t0 t0 L ( ) L ( )

6 Επιπροσθέτως, t0 αν και μόνο αν F u L ( ) t0 u L ( ) και u F u. (3.8) t0 t0 L ( ) L ( ) Οι σχέσεις (3.7) και (3.8) δίνουν t0 t0 t0 ( ) ( ) F u d u u. L ( ) (3.9) L ( ) Οπότε, από (3.0) και (3.), έχουμε την ανισότητα (3.6) ως άμεση συνέπεια της t0, (3.9), λαμβάνοντας υπόψιν ότι u 0 ( ). Τότε, από (3.5) και (3.6), προκύπτει ότι x y x t0 t0 u( x) u( y) cos x t0 dxdy dx [ u ]. s 0 s H ( ) Τελικά, η ανισότητα (3.) προκύπτει από την (3.4) και από την Παρατήρηση (βλέπε τις σχέσεις (3.) και (3.)). Ο κλασματικός τελεστής Lalace μέσω του μετασχηματισμού Fourier Εδώ αποδεικνύουμε ότι ο κλασματικός Lalace ( ψευδοδιαφορικός τελεστής του συμβόλου Πρόταση. Έστω s (0,). Τότε, για κάθε u S, ) s s (βλέπε [35]). μπορεί να θεωρηθεί ως ένας ( ) s u( x) F ( s ( F u)( ))( x), x, (3.30)

6 όπου F είναι ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier που ορίζεται στην αρχή. Απόδειξη. Σημειώνουμε με L u( x y) u( x y) u( x) u( x) : C(, s) dy, x, s y όπου C(, s) S : τέτοια ώστε είναι η σταθερά που δίνεται στην (3.). Αναζητούμε μια συνάρτηση L u F ( S( F u)). (3.3) Θα αποδείξουμε ότι για κάθε, s S( ). (3.3) Αφού u( x y) u( x y) u( x) s y L ( ), από το Θεώρημα Fubii-Toelli μπορούμε να εναλλάξουμε το ολοκλήρωμα στο y με τον μετασχηματισμό Fourier στο. Εφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό Fourier στη μεταβλητή x στην (3.3), παίρνουμε x S( )( F u)( ) F ( L u) F ( u( x y) u( x y) u( x)) C(, s) dy s y i y iy e e C(, s) dy( u)( ) s F y cos( y) C(, s) dy( F u)( ). s y (3.33)