Παράγωγοι Κώστας Γλυκός ΕΠΑΛ Κεφάλαιο 59 ασκήσεις σε 9 σελίδες 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 εκδόσεις / / 0 8 Καλό πήξιμο
Τα πάντα για παραγώγους (ΕΠΑΛ) Να βρεις τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων :. f ( ) 9. f( ). 4. f( ) f( ) 6 6 6 5. f ( ) 9 4 6. 7. f( ) f( ) 6 Πεδίο ορισμού : 8. f ( ) 9. Δίνεται συνάρτηση f ( ) υπολόγισε : 0,,,,,, f f f f f f f f 0. Δίνεται συνάρτηση f f f f f f f f 0 f ( ), να λύσεις τις εξισώσεις :. Δίνεται συνάρτηση f ( ),,0,, βρεις σύνολο τιμών
a a 6. Δίνεται συνάρτηση f ( ), a τετμημένη, να βρεις : Πεδίο ορισμού Την τιμή του α Να αποδείξεις ότι f( ) a b. Δίνεται η συνάρτηση f( ) Να βρεις πεδίο ορισμού Να βρεις τα α,β Να βρεις που τέμνει άξονες Να δείξεις ότι f( ) 8 4. Δίνεται συνάρτηση f ( ) 7, να βρεις : Πεδίο ορισμού f, f Να λύσεις f 7, η οποία τέμνει τον οριζόντιο άξονα στο σημείο με, η οποία διέρχεται από τα σημεία : A,5, B 4, 5. Δίνεται συνάρτηση f ( ) a, η οποία τέμνει τον κατακόρυφο άξονα σε σημείο με τεταγμένη, να βρεις : Την τιμή του α Πεδίο ορισμού 6. Δίνεται συνάρτηση Πεδίο ορισμού f, f f ( ) 6 Να λύσεις f 7 7. Δίνεται συνάρτηση α,β f, f f Να βρεις το πρόσημο : 8. P 9. P 6, να βρεις : a, f( ) b, όπου f f 5, να βρεις :
0. P. P 4. P P 4. 5 4. P 5. P 6. P 7. P Πρόσημο τριωνύμου: Βρίσκεις ρίζες(αν υπάρχουν) και τις βάζεις στον πίνακα τιμών. Ξεκίνα από δεξιά με το πρόσημο της μεγαλύτερης δύναμης και κάθε φορά που περνάς από ρίζα αλλάζεις πρόσημο. Το νου σου : Αν Δ=0, θα έχω διπλή ρίζα, άρα δε θα έχω εναλλαγή προσήμου. Να λυθούν οι ανισώσεις γινομένου και πηλίκου : 8. 4 7 0 6 4 4 0 9. 0. 5 0... 9 0 4. 4 4 0 7 4 0 5 6 0 5. 6. 7. 0 9 0 4 0 7 4 0 0 8. 0 9. 40. 4. 0 Ανίσωση τότε λύνεις την ανίσωση :
4. 4. 44. 0 5 0 0 Όρια 0 0 45. Να υπολογίσεις τα όρια : 46. 6, 8 5 47. Να υπολογίσεις τα όρια : 48. 49. 0 4, 4, 6 9 6, 7 5 6 4 5 5 5 5, 8 50. Να υπολογίσεις τα όρια :, 4 5. 5. 5. 54. 4 4, 4, 6, 0 0 4, 7 49 0 55. Να υπολογίσεις τα όρια : 56. 57., 4 8 5 4 0 4, 5 4 5 5 5, 6 8 5 h 4 5,,, 5 0 5 h h 6 58. Να υπολογίσεις τα όρια :, 7 5 8 4 Σε όριο Α.Μ. 0 0 έχεις επιλογές Hornerσε αριθμητή- παρονομαστή Συζυγή παράσταση σε άρρητες μορφές De l Hospital Σε ριζικά με το ίδιο υπόριζο διαφορετικών τάξεων βρίσκεις το ΕΚΠ των τάξεων και θέτεις f ( ) y Αν δίνεται όριο ποσότητας που περιέχει την f() και ζητείται το f( ) τότε ΘΕΤΩ βοηθητική συνάρτηση g(). Όριο που περιέχει απόλυτο : σε περίπτωση Α.Μ. κάνε το πινακάκι για το απόλυτο ώστε να δεις το πρόσημό του.στην χειρότερη περίπτωση μπορεί να χρειαστείς πλευρικά όρια Κριτήριο παρεμβολής : Αν για τη συνάρτηση fισχύει... f( )... τότε οποιοδήποτε όριο το δουλεύεις κατασκευαστικά.
59. 60. 6. 6. 6. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70. 7. 7. 7. 74. 75. 8, 7 9 4 8, 6 7 9 4 8, 8 0 0, 8 8 4, 5 5, 9 7, 0 5, 4 5, 9 7, 0 0 0 4, 7 8 6 7 6, 4 0, 8 0 4 7 9 4, 8 8 5 5 4 5 8 5 f( ) a, 76. Αν,, να βρεις το α ώστε να έχει όριο στο 5
, 77. Αν f( ) 5,, να βρεις τα όρια της συνάρτησης στους αριθμούς :,-,0,,, a, 78. Αν f( ), να βρεις την τιμή του α ώστε να υπάρχει το 5 a, f( ) a, 79. Αν f( ), να βρεις το α ώστε να έχει όριο στο 4, 4, 80. Αν f( ) 4,, να βρεις τα όρια της συνάρτησης στους αριθμούς :,-,0,,, 8. Αν f( ) 8, 4 4 6, 4, να βρεις το όριο της συνάρτησης στο και στο 4 8. Αν ( ), f, να βρεις το όριο στο, στο και στο 5 5, 5, 8. Αν f( ), να βρεις την τιμή του α ώστε να έχει όριο στο a, a, 84. Αν f( ) 5 a,, να βρεις την τιμή του α ώστε να υπάρχει το, 85. Αν f ( ), f ( ), f ( ), f ( ), f ( ) 5, 0 a, 86. Αν f( ), να υπολογίσεις f ( ), f ( ), f( ) 87. Στην παραπάνω να βρεις την τιμή του α ώστε να υπάρχει το όριο 88. Δίνεται συνάρτηση, f( ) 5,, να βρεις : f (), f (), f (), f ( ) 89. Δίνεται συνάρτηση f( ) 9, 0 9, να βρεις f (0), f (), f (), f ( ) Συνέχεια 90. Αν f( ) 8, 4 4 6, 4, να εξετάσεις αν είναι συνεχής στο 4 9. Αν ( ), f, να εξετάσεις αν είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού 5, 5, 9. Αν f( ), να βρεις την τιμή του α ώστε να είναι συνεχής η συνάρτηση a, 9. Να εξετάσεις τη συνέχεια της συνάρτησης, f( ) 5, στο χ= και στο πεδίο ορισμού της 94. Να εξετάσεις τη συνέχεια της συνάρτησης f( ) 9, 0 9, στο χ= και στο πεδίο ορισμού της 6
95. Να μελετήσεις τη συνέχεια των συναρτήσεων :, 0 96. Ομοίως : f ( ), f ( ), f ( ) f ( ), ( ) 69 4,, 0, 0, 0 4,,, 0 f 4,, 0 97. Να βρεις το α ώστε να είναι συνεχείς οι συναρτήσεις : f ( ), ( ) ab, 98. Αν είναι συνεχής η f( ),, να βρεις τα α,β a b5,, 99. Να βρεις τα α,β ώστε να είναι συνεχής η f( ) b, a, a b, 00. Να βρεις τα α,β αν είναι συνεχής η συνάρτηση : f( ) a b,, a b, 5, 0. Δίνεται η συνάρτηση f( ) (a b),, ή a, b ;,, a a a 5, f a, 0. Αν η συνάρτηση διέρχεται από Α(,), b, f( ), ή a, b ; a6, Επαναληπτικές ασκήσεις 0. Να βρεις τα όρια : ( a ) a,, a a 4 04. Να υπολογίσεις :,, 9 a 05. Να υπολογίσεις :, a a 4 5 06. Να υπολογίσεις :, 0 4 5, 07. Αν f ( ), f ( ), f ( ), f ( ), f ( ) 5, 0 a, 08. Αν f( ), να υπολογίσεις f ( ), f ( ), 6 9 6 09. Υπολόγισε τα όρια :,, 4 0. 4,, 0 7
g ( ) f( ) ( ), ( ) ( ),, 0 0 0 0 f ( ) 0 g( ). Αν f g f. Αν. Αν f ( ) f ( ) ;, f ( ) ; 9 f f f h f ( h) f () f ( h) f () h h ( ) (), ( ),, ; h0 4. Να υπολογίσεις τα όρια : 5. 6. 0 9 7, 4, 6 9 6 6 6, 8 5 7. Να υπολογίσεις τα όρια :, 5 4 5 8. 4, 8 4 9. Δίνεται συνάρτηση 0. Δίνεται συνάρτηση f ( ) a b η οποία διέρχεται από τα σημεία Α(0,) και Β(,5), να βρεις α,β f ( ) a b, να βρεις τα α,β όταν f ( ), f ( ) 4 0 a. Δίνεται συνάρτηση f( ), να βρεις α,β ώστε f( ) και να διέρχεται από Α(,) b,0 4, 5,48 4,5. Να εξετάσεις αν είναι συνεχείς οι συναρτήσεις : f ( ), g( ) a 4. Δίνεται η συνάρτηση f ( ), a, b, A(, ), B, τα σημεία από τα οποία διέρχεται. b 7 Να βρεις α,β. 4. Να εξετάσεις αν είναι συνεχής η, 0 f( ), 0 65, 5. Να εξετάσεις αν είναι συνεχής η συνάρτηση f( ) 5, 4, 6. Να εξετάσεις αν έχει όριο στο η συνάρτηση h ( ) 5, και επιπλέον αν είναι συνεχής η συνάρτηση, 6, 7. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g : f ( ) ab,, g( ) ab,, f ( ), g( ) a, b ; 8
Όλα είναι παράγωγοι... Παραγώγιση συναρτήσεων 8. 9. 4 f ( ) f( ) 0. f ( ) Να υπολογίσεις τις παραγώγους των συναρτήσεων. f ( ). f ( ). f ( ) 4. f ( ) 5. f( ) 6. f( ) 7. 8. 9. f( ) 5 4 f( ) f ( ) f 40. ( ) 4. 4. 4. 44. 45. 46. f ( ) 5 f( ) f ( ) f( ) f( ) f ( ) ' 0 ' ' 0 a' 0 a' ' e ' 9 ' a ' ' ' ' ' v ' ln ' ' v v e Κανόνες παραγώγισης f g' f ' g ' f g' f ' g f g ' f f ' g f g ' ' g g
47. f( ) 48. f ( ) 49. f( ) 50. f( ) 5. f( ) 5. f( ) 4 5. f ( ) 54. f ( ) f 55. ( ) 56. f ( ) 57. 58. 59. f( ) f( ) f( ) 60. f ( ) 6. f ( ) 6. f ( ) 4 6. f( ) 64. f( ) 65. f ( ) 66. f ( ) 67. f( ) 0
68. 69. 5 f ( ) 5 f( ) 4 70. f( ) 7. f ( ) 4 7. 7. 74. 75. f( ) f( ) f( ) f( ) 9 76. f( ) 5 77. f ( ) 78. 79. 80. f( ) f( ) f ( ) 8. f ( ) 5 8. f( ) 8. f ( ) Μονοτονία ακρότατα Να υπολογίσεις τη μονοτονία και τα ακρότατα των παρακάτω συναρτήσεων 84. 85. 86. 87. f ( ) 4 f( ) f ( ) f ( ) Μονοτονία Ακρότατα Υπολογίζω f '( ) Λύνω f '( ) 0 Φτιάχνω πινακάκι για f '( )
88. f( ) 89. f ( ) 90. 9. 9. 9. 94. 95. 96. 97. f ( ) 8 f ( ) 7 f ( ) f ( ) f ( ) 4 4 f( ) f( ) 4 f ( ) 98. f ( ) 08 99. f ( ),, 00. 0. 0. 0. 04. f ( ) f( ) f ( ) f ( ) f ( ) 05. f ( ) 06. 07. 08. 09. f ( ) f ( ) f ( ) 6 f ( ) 6 5 0. f ( )... f ( ) 4 f( ),, 4 f ( ) 4 4. f ( ),,
5. f( ) 6. ( ) 7.,6 f, f( ) 8. ( ) 9. 0....,5, f f ( ),,5 f( ) f( ) f( ) f( ),,6 4. f ( ) 5. 6. 7. 8. 9. f ( ) f( ) f ( ),,6,,,,5 f 4 f( ) ( ) 0. f ( ),,5. f( ),,6 f. ( ) 4. 4. 5. f( ) f( ) f( ), 7,
6. 7. 8. 9. 40. 4. 4. 4. 44. 45. f( ) 9 5, f( ) f( ) 5 f( ),6, 7, f( ) f ( ),,6 f( ) 7, f( ) f( ),, 7, f ( ),,5 Σύνθετη παραγώγιση 46. f ( ) f ( ) 47. 48. f ( ) 49. f ( ) 50. f ( ) 5. f ( ) 5 5. f ( ) 4 f ( ) 6 5 5. 0 54. f ( ) 55. f ( ) 56. f ( ) 57. f ( ) ( ) Να υπολογίσεις τις παραγώγους των συναρτήσεων f ( ) f ( ) e e f ' '( ) f ( ) ' f '( ) f( ) f ( ) ' f ( ) f '( ) f ( ) ' f ( ) f '( ) f ( ) ' f '( ) f( ) f ( ) ' f '( ) f( ) v v f ( ) v f ( ) f '( ) ln f ( ) ' f '( ) f( ) 4
58. f ( ) 59. f ( ) 60. f( ) 6. f ( ) 6. f ( ) 6. f ( ) 64. f ( ) 65. f ( ) 66. 67. f ( ) f ( ) 68. f ( ) f ( ) 69. 70. f ( ) 7. f( ) 7. f ( ) e 7. f ( ) f ( ) 74. 5 75. f ( ) 76. f ( ) 77. f ( ) 78. f ( ) 5 79. f( ) f ( ) 5 80. 6 8. f ( ) 8. f ( ) f ( ) 8. 0 84. f ( ) f ( ) 85. 86. f( ) 5
Να βρεις μονοτονία και ακρότατα 87. f ( ) f ( ) 88. f ( ) 9 89. f ( ) 90. f ( ) 9. 4 f ( ) 9. 9. f ( ) 4 94. f ( ) 95. f ( ) 6 9 f 96. ( ) 97. f ( ) 98. f ( ) 99. f ( ) 00. f ( ) Προβλήματα 0. Απ όλα τα ορθογώνια τρίγωνα με εμβαδό 5, ποιο είναι εκείνο που έχει την ελάχιστη υποτείνουσα 0. Από όλα τα ορθογώνια με περίμετρο 00 να βρεις εκείνο με το μέγιστο εμβαδό 0. Απ όλα τα ορθογώνια με εμβαδό 64 να βρεις εκείνο με την ελάχιστη περίφραξη 04. Ένα ορθογώνιο φύλλο με εμβαδό 600, έχει περιθώρια πάνω κάτω 4 ενώ δεξιά και αριστερά. Να βρεις τις διαστάσεις του φύλλου ώστε η ωφέλιμη επιφάνεια να γίνεται μέγιστη 05. Σε σφαίρα ακτίνας να εγγράψεις κύλινδρο με μέγιστο όγκο 06. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει περίμετρο 0 και χ μία οξεία του γωνία. Ν.δ.ο. η υποτείνουσα 0 a. Να βρεις το χ ώστε η υποτείνουσα να γίνεται ελάχιστη 07. Αγρότης δουλεύει στο χωράφι του που απέχει από το κοντινότερο σημείο Α του δρόμου που οδηγεί στο σπίτι του. Ενδιαφέρεται να φτάσει στον ελάχιστο δυνατό χρόνο στο σπίτι Σ που απέχει 0 από το Α, Ποια διαδρομή να ακολουθήσει αν στο χωράφι βαδίζει με ταχύτητα ενώ στο δρόμο με διπλάσια ταχύτητα 08. Κυλινδρικό δοχείο ανοικτό από πάνω έχει χωρητικότητα 6. Ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις του να χρειαστεί για την κατασκευή του ελάχιστο υλικό 6
Θυμίζω : τετμημένη, o τεταγμένη yy, o Μορφή εφαπτομένης (ε) y y o o y0 f o f ' 09. Δίνεται f ( ) a, να βρεις το α ώστε ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης στο σημείο με τετμημένη να είναι 4 0. Δίνεται o o f ( ) Εφαπτομένη συνάρτησης, να βρεις την εφαπτομένη στο σημείο με (ε) διέρχεται από : (ε) στο :, y (ε) / / ' 0 o y, (ε) / / y (ε) y o (ε) σχηματίζει γωνία ω με ' ( ) τετμημένη 0. Δίνεται. Δίνεται f 4 ( ), να βρεις την εφαπτομένη στο σημείο με τετμημένη f ( ) 5, να βρεις την εφαπτομένη στο σημείο με τετμημένη. Δίνεται 4. Δίνεται 5. Δίνεται f ( ) f( ), να βρεις την εφαπτομένη στο σημείο με τετμημένη f ( ), να βρεις την εφαπτομένη στο σημείο με τετμημένη 0, να βρεις την εφαπτομένη στο σημείο με τετμημένη 0 6. Δίνεται f ( ), να βρεις την εφαπτομένη στο σημείο με τετμημένη 4 f, να βρεις την εφαπτομένη στο σημείο με τετμημένη - 7. Δίνεται ( ) 8. Δίνεται 9. Δίνεται 0. Δίνεται. Δίνεται. Δίνεται. Δίνεται 4. Δίνεται 5. Δίνεται f ( ), να βρεις την εφαπτομένη στο σημείο με τετμημένη f, να βρεις την εφαπτομένη στο σημείο με τετμημένη ( ) f ( ) f, να βρεις την εφαπτομένη στο σημείο με τεταγμένη ( ) f, να βρεις την εφαπτομένη στο σημείο με τεταγμένη 5 ( ) f, να βρεις την εφαπτομένη στο σημείο με τεταγμένη ( ) f, να βρεις την εφαπτομένη στο σημείο με τεταγμένη ( ), να βρεις την εφαπτομένη στο σημείο με τεταγμένη 9 f ( ) 4, να βρεις την εφαπτομένη στο σημείο με τεταγμένη -4 7
6. Δίνεται f ( ), να βρεις την εφαπτομένη στο σημείο με τεταγμένη 7. Δίνεται 8. Δίνεται 9. Δίνεται 0. Δίνεται f ( ) 5, να βρεις την εφαπτομένη στο σημείο με τεταγμένη f, να βρεις την εφαπτομένη που είναι // στον οριζόντιο άξονα ( ) 5 6 f ( ) 4, να βρεις την εφαπτομένη που είναι // στον οριζόντιο άξονα f, να βρεις την εφαπτομένη που είναι // στον οριζόντιο άξονα ( ) 6 6. Δίνεται. Δίνεται f ( ) f, να βρεις την εφαπτομένη που είναι // στον οριζόντιο άξονα ( ) 6, να βρεις την εφαπτομένη που είναι // στον οριζόντιο άξονα. Δίνεται άξονα f ( ) 4 6 f, να βρεις την εφαπτομένη που είναι // στον οριζόντιο ( ) 4 6 4. Δίνεται f ( ) a, να βρεις το α ώστε η εφαπτομένη στο σημείο με τετμημένη να σχηματίζει 45 με οριζόντιο άξονα 5. Να βρεις τη γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη της 6. Να βρεις τα σημεία όπου οι εφαπτομένες της 7. Δίνεται f στο σημείο με τετμημένη ( ), ' f ( ) / / ' f ( ), να βρεις το λ των εφαπτομένων στα σημεία με τεταγμένη 6 4 8. Δίνεται η συνάρτηση f, να βρεις την εφαπτομένη που σχηματίζει 5 με οριζ. άξονα ( ) 9. Να βρεις την εφαπτομένη της 40. Να βρεις την εφαπτομένη της 4. Να βρεις την εφαπτομένη της 4. Να βρεις την εφαπτομένη της 4. Να βρεις την εφαπτομένη της 44. Να βρεις την εφαπτομένη της 45. Να βρεις την εφαπτομένη της 46. Να βρεις την εφαπτομένη της 47. Να βρεις την εφαπτομένη της f ( ) που είναι / / y f ( ) 6 που είναι / / y4 f ( ) που είναι / / y f ( ) που είναι / / y 4 f ( ) που είναι 4y 0 f ( ) που είναι y 0 f ( ) που είναι 6y 0 f ( ) που είναι 4y 0 f ( ) που είναι 6y 0 8
48. Να βρεις τα α,β ώστε οι συναρτήσεις σημείο με τετμημένη χ= f ( ) a b, g( ), να έχουν κοινή εφαπτομένη στο 49. Να εξετάσεις αν η ευθεία y είναι εφαπτομένη της f ( ) 50. Αν b f ( ) a f ''( ) f ( ). Να βρεις α,β όταν f(), f '() f ( ) a b f ''( ) a f ( ) 0 5. Αν 5. Αν f ( ) f ''( ) f '( ) f ( ) 0 5. Αν f f f ( ) ( ) ''( ) 0 b 54. Αν f ( ) a 4, να βρεις τα α,β ώστε να έχει μέγιστο στο =- με τιμή 55. Αν 56. Αν f ( ) a b, να βρεις τα α,β αν η συνάρτηση έχει στο = f ( ) a b Εφαρμογή Fermat τοπικό μέγιστο με τιμή, να βρεις τα α.β ώστε να έχει ακρότατο στο = και να διέρχεται από το Α(0,) 57. Αν f ( ) a, να βρεις το α ώστε η συνάρτηση να έχει ακρότατο στο =π/ 58. Να βρεις πολυώνυμο ου βαθμού με P''() 0, P(), P'() 0, P() a b 59. Να βρεις τα α,β για να έχει ακρότατο στο Α(,-) η συνάρτηση f( ) 5 4 Επαναληπτικές ασκήσεις 60. Να βρεις παραγώγους των συναρτήσεων : f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 6. Να βρεθούν τα πεδία ορισμού 9
f h g ( ), ( ), ( ) f 0 ( ), ( ), ( ) g h f f f 0 ( ), ( ), ( ) 6. Να βρείς μονοτονία,ακρότατα (πρώτα πεδίο ορισμού) f ( ), h( ) 6 9, g( ) 0 0 f ( ), g( ), h( ) f ( ) 4, k( ) 9 4 g( ) 4, h( ) 6 5 6. Να βρείς τα α,β ώστε f a b f f 64. Να βρείς τα α,β,γ ώστε 65. Να βρείς τα α,β ώστε 66. Να βρείς τα α,β ώστε 67. Να βρείς το α ώστε 68. Να βρείς τα α,β ώστε ( ),,. f a b c f f f. ( ), (0), (0), ''(0) a f ( ), f (), f '(). b f ( ) a b, f (0), f '(0). f ( ) a,να έχει ακρότατο στο =. f ( ) a b,να έχει τ.μ. στο = με τιμή 5. a 69. Να βρείς τα α,β ώστε f( ), να έχει τ.ε.στο = με τιμή. b η f '(0) 0. Προσοχή η f έχει ακρότατο (τ.μ ήτ.ε) στο χ=0 με τιμή 0 f '(0) 0, f(0) 0 70. Να βρεθούν τα πεδία ορισμού f g Το νου σου : ( ), ( ) 4 f έχει ακρότατο (τ.μ ή τ.ε.)στο χ=0 7. Ομοίως : f ( ) 9, f ( ) f ( ) 5, g( ) 0 6 f ( ), g( ) 0
7. Ομοίως : f g h 09 ( ) 6, ( ), ( ) 5 9 7. Να βρεις πεδίο ορισμού και μονοτονία,ακρότατα f ( ), g( ) 4 4, h( ) 0 f ( ) 4, g( ) f ( ) 6, h( ) 8 74. Να βρείς τα α,β ώστε f a b f f 75. Να βρείς τα α,β,γ ώστε ( ) 5, 0 0, '. f a b c f f f. ( ), (), (), ''() 76. Να βρείς τα α,β ώστε f ( ), f (), f '() 5. b 77. Συμπλήρωσε τον πίνακα : fέχει τ.ε. στο χ=5 f έχει τ.μ. στο χ=- f έχει ακρότατο στο χ=0 f έχει τ.ε. στο χ= με τιμή f έχει τ.μ. στο χ=- με τιμή f έχει ακρότατο στο χ=-5 με τιμή 78. Να βρείς τα α,β ώστε 79. Να βρείς το α ώστε 80. Να βρείς τα α,β ώστε f a b f f. ( ), (), '() f ( ) a,να έχει ακρότατο στο =. f ( ) a b,να έχει τ.μ. στο = με τιμή 6. a 8. Να βρείς τα α,β ώστε f( ), να έχει τ.ε. στο =- με τιμή. b 8. Να βρεις το ρυθμό μεταβολής των συναρτήσεων f ( ), f ( ), f ( ) 8. Να βρεις τα α, β ώστε η συνάρτηση να διέρχεται από το Α(,) και να έχει ρυθμό μεταβολής στο = με τιμή 5 όταν f ( ) a b. 84. Να βρεις μονοτονία και ακρότατα της f ( ) 85. Να βρεις μονοτονία και ακρότατα της f '( ) όταν. f ( ) 86. Να βρεις το ρυθμό του ρυθμού μεταβολής της συνάρτησης : f ( ) 5 87. Ορθογώνιο έχει περίμετρο 00. Να βρεις διαστάσεις του ώστε να έχει μέγιστο εμβαδό 88. Δύο αριθμοί έχουν άθροισμα 0. Να βρεις τους αριθμούς ώστε το γινόμενο του ενός επί το τετράγωνο του άλλου να γίνεται μέγιστο 89. Αν f ( ) a b c a, b, c ; όταν η συνάρτηση διέρχεται από το Α(-,), έχει ελάχιστο στο = και έχει ρυθμό μεταβολής στο χ= ίσο με
90. Δίνεται τετράγωνο πλευράς χ. Να βρεις την περίμετρο και το εμβαδό του. Να βρεις το ρυθμό μεταβολής της περιμέτρου και του εμβαδού όταν η πλευρά είναι 9. Δίνεται κύβος πλευράς χ. Να βρεις εμβαδό και όγκο. Να βρεις το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού και του όγκου όταν το χ= 9. Δίνεται ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με τετράγωνη βάση πλευράς χ και ύψος χ. Να βρεις το συνολικό εμβαδόν και τον όγκο του. Να βρεις το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού και του όγκου όταν χ= 9. Να βρεις μονοτονία και ακρότατα του ρυθμού μεταβολής της 94. Να βρείς τα α,β ώστε f ( ) a b f,να έχει τ.μ. στο = με τιμή 5. a 95. Να βρείς τα α,β ώστε f( ), να έχει τ.ε.στο = με τιμή. b 96. Να βρεις τα ακρότατα της f ''( ) : f ( ) 4 ( ) 97. Δίνεται ορθογώνιο οικόπεδο με εμβαδό 000 τετραγωνικά μέτρα, να βρεις τις διαστάσεις του ώστε να έχει την ελάχιστη περίφραξη 98. Δίνεται ορθογώνιο οικόπεδο με περίφραξη 40 μέτρα, να βρεις τις διαστάσεις του ώστε να έχει το μέγιστο εμβαδόν. 99. Δίνεται ορθογώνιο οικόπεδο όπου η μία του πλευρά εφάπτεται σε τοίχο. Αν για την περίφραξή του χρειάστηκες 00 μέτρα σύρμα, να βρεις τις διαστάσεις του ώστε να έχει το μέγιστο εμβαδόν. 400. Δίνεται ορθογώνιο οικόπεδο όπου η μία του πλευρά εφάπτεται σε τοίχο. Αν το εμβαδόν του είναι 400 τ.μ., να βρεις τις διαστάσεις του ώστε να χρειάζεται το λιγότερο δυνατό σύρμα για την περίφραξή του. 40. Να βρεις δύο θετικούς αριθμούς με άθροισμα 00 και μέγιστο γινόμενο. 40. Να βρεις δύο θετικούς αριθμούς με άθροισμα 00 και το γινόμενό τους ενός με το διπλάσιο του άλλου να γίνεται μέγιστο. 40. Να βρεις δύο θετικούς αριθμούς με άθροισμα 00 και το γινόμενο του ενός με το τετράγωνο του άλλου να γίνεται μέγιστο. 404. Να βρεις δύο θετικούς αριθμούς με γινόμενο 00 και το άθροισμά τους να γίνεται ελάχιστο. 405. Να βρεις δύο θετικούς αριθμούς με γινόμενο 00 και το άθροισμα τους ενός με το πλάσιο του άλλου να γίνεται ελάχιστο. 406. Να βρεις δύο θετικούς αριθμούς με γινόμενο 00 και το άθροισμα του πλασίου του ενός με το τριπλάσιο του άλλου να γίνεται ελάχιστο. 407. Στο Troufel ένα ταψί γαλακτομπούρεκο κοστίζει : -0 ευρώ. Από την πώληση ταψιών γαλακτομπούρεκων οι εισπράξεις είναι : 500 80 ευρώ. Να βρεις πόσα ταψιά γαλακτομπούρεκου θα πρέπει να παρασκευάζει για να έχει το ζαχαροπλαστείο τα μέγιστα κέρδη. Να γίνει ανάλυση των παρακάτω στοιχείων : Τιμή πώλησης ενός ταψιού, συνολικά έσοδα, τιμή κόστους ενός ταψιού, συνολικά έξοδα και κέρδη. 408. Η «Κάβουρας ΕΠΕ» εισάγει είδη επιπλοποιίας. Αν η τιμή πώλησης ενός πάγκου κουζίνας είναι 00-χ ευρώ και το κόστος εισαγωγής χ πάγκων είναι 500 0 ευρώ. Να βρεις πόσους πάγκους θα πρέπει να παραγγείλει τον επόμενο μήνα για να έχει η «Κάβουρας ΕΠΕ» τα μέγιστα κέρδη. Να γίνει ανάλυση των παρακάτω στοιχείων : Πόσα χρήματα θα πρέπει να στείλει η «Κάβουρας ΕΠΕ» στον προμηθευτή πάγκων, ποια θα είναι τα έξοδα, τα έσοδα και τα κέρδη της ΕΠΕ και ποια η τιμή πώλησης ενός πάγκου.