ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το R, για τις οποίες ισχύει η σχέση: f( g( )) 4, για κάθε. a. Να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι αντιστρέψιμη. β. Να δείξετε ότι η f έχει σύνολο τιμών όλο το R. γ. Αν γνωρίζετε ότι η f είναι γνήσια αύξουσα, να λύσετε την ανίσωση: g(ln ) g( ) δ. Αν η g() έχει σύνολο τιμών το R, να αποδείξετε ότι και η f είναι -. (Μη θεωρήσετε δεδομένη τη μονοτονία της f από το γ ερώτημα).. Δίνεται η συνάρτηση f : για την οποία ισχύει η σχέση: ( f f)( ) f( ), a. Να αποδείξετε ότι η f είναι - και να βρείτε το f(). β. Να αποδείξετε ότι η f δεν μπορεί να είναι γνήσια φθίνουσα. γ. Να λύσετε την εξίσωση: f(6 f( )) δ. Να αποδείξετε ότι: f( ) f ( ). Δίνεται η συνάρτηση με τύπο: f( ) a 4 yy στο σημείο με τεταγμένη 80. α. Να αποδείξετε ότι α=., όπου η γραφική παράσταση της f f τέμνει τον β. Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες. γ. Να λύσετε την εξίσωση: f( f(9 ) ) f( ) 0 δ. Να λύσετε την ανίσωση: f( f( ) 8) f (80) 4. Δίνονται οι συναρτήσεις με τύπους: f( ), και g( ) 5συν 4, [0, π] α. Να αποδείξετε ότι η f() έχει ελάχιστη τιμή το. β. Να βρείτε τη μονοτονία της g() και να λύσετε την εξίσωση g()=. γ. Να λύσετε την εξίσωση: δ. Να λύσετε την εξίσωση: συν 5 5. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f για την οποία γνωρίζουμε ότι: f () f και f f () 0 ln( ()) () 0. α. Να υπολογίσετε τα f() και f(). β. Να βρείτε τη μονοτονία της συνάρτησης f(). γ. Να λύσετε την ανίσωση: f(ln ) 0 6. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο: g( ) 4 4, [0, 4] α. Να βρείτε την ( g g)( ). β. Να βρείτε την συνάρτηση f για την οποία ισχύει η σχέση: ( g f)( ) γ. Αν για μια συνάρτηση h() ισχύει ότι ( g h)( ), μπορούμε να πούμε ότι h()=g();
7. Δίνεται συνάρτηση f ορισμένη στο R, για την οποία γνωρίζουμε ότι: (f f)(),. α) Να δείξετε ότι η f είναι - και έχει σύνολο τιμών το R. β) Να αποδείξετε ότι : f () f() γ) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει την ευθεία y=. δ) Αν η f είναι γνήσια αύξουσα, να δείξετε ότι η γραφική της παράσταση βρίσκεται κάτω από την ευθεία y=. 8. Δίνεται η συνάρτηση f(), [, ). α) Να αποδείξετε ότι η f είναι - και να βρείτε το σύνολο τιμών της. Έχει ακρότατο; β) Να βρείτε την f - και να κατασκευάσετε στο ίδιο σχήμα τις γραφικές παραστάσεις των f, f -. γ) Να λύσετε την εξίσωση: 9. Δίνεται η συνάρτηση a) Να βρείτε την αντίστροφή της. β) Να λύσετε την εξίσωση: f() 6,. 6 6,. γ) να λύσετε την ανίσωση: f( 5) 0. Δίνεται η συνάρτηση f(), α) Να δείξετε ότι η f είναι - και να βρείτε την αντίστροφή της. β) Να βρείτε αν υπάρχουν τα σημεία τομής της f - με τους άξονες. γ) Να λυθεί η εξίσωση: 6 f f(ln ). Δίνεται η συνάρτηση f(), a) Να βρείτε την αντίστροφή της. β) Να λύσετε την ανίσωση: (f f) (ln) (f f)(ln) 0 γ) Να βρείτε συνάρτηση g τέτοια ώστε: f(g()). Δίνεται η συνάρτηση f(), 0, α) Να βρείτε τη μονοτονία της f και να λύσετε την εξίσωση f()=0. β) Να βρείτε το f ( ) γ) Να λύσετε την εξίσωση:, καθώς και τη μονοτονία της f -. f () δ) Να λύσετε την εξίσωση: 4 4 4. Δίνεται η συνάρτηση f(),. α) Να δείξετε ότι η f είναι γνήσια αύξουσα και να βρείτε το f - (0).
β) Να λύσετε την εξίσωση γ) Να λύσετε την ανίσωση: δ) Να λυθεί η εξίσωση: f (). f (ln) f( f ( )) 0 ε) Να λυθεί η εξίσωση: 4. Δίνονται οι συναρτήσεις: f() ln, g() α) Να ελέγξετε αν (f g)() g f () β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης h() g fln h(ln ) h() 0. γ) Να βρείτε συνάρτηση t() τέτοια ώστε: ft() g(f(ln ) στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση 5. Να επινοήσετε κατάλληλες συναρτήσεις, να τις μελετήσετε ως προς την μονοτονία και με τη βοήθειά τους να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: α) 5 5 β) ln ln 4 ln 4 6. α) Να λυθεί η ανίσωση: β) Αν γνωρίζετε ότι η f είναι γνήσια μονότονη, να βρείτε το είδος της μονοτονίας της ώστε να ισχύει η σχέση : f( ) f( ) f() f() ά. ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. a. Α ν g( ) g( ) τότε f( g( )) f( g( )) 4 4 y 4 y 4 y 4 o o o β. Γ ια τυχαίο y, θέτω, άρα f( g( )) y, δηλαδή το g( ). o o o o f γ. g(ln ) g( ) f( g(ln )) f( g( )) ln 4 ln 0. Θ έτω h( ) ln, h( ) γν. αύξουσα, άρα h( ) h() και τελικά (0,).. a. Έστω f( ) f( ), άρα f( f( )) f( f( ))..., για, f( f()) f() άρα f(). β. Έστω f γν. φθίνουσα και... f( f( )) f( ) f( f( )) f( )..., άτοπο. γ. f(6 f( ))... f( ) f() 4 6 ή δ έτω στην αρχική όπου f το f. Θ ( ) ( )
. α. Ε ίναι f( f(0)) 80 f(4) 80 64 4a 4 80 a β. Β ρίσκουμε ότι f γν. αύξουσα και τέμνει τους άξονες στα Α(, 0), Β(0, 4). γ f f f f f. ( (9 ) ) ( ) 0... (9 ) 4 (0) ( )(0) 80. ( ( ) 8) (80) ff δ f f f f( f( ) 8) f(0) f( ) 8 0 f( ) 8 f() (,) 4. a. Είναι 0 0 που ισχύει. Δηλαδή η τιμή είναι η ελάχιστη της f και προκύπτει για 0. β. Ε πειδή η συνχ είναι γν. φθίνουσα στο [0, π], η g( ) είναι γν. φθίνουσα και 5συν 4 συν 0, για [0, π]. γ. συν... f( ) g( ) 0, αφού g( ) f( ). 5 δ. Ζ ητώ 0, αφού η εξίσωση είναι ισοδύναμη με f( ) 5. α. θεωρούμε τις συναρτήσεις : g( ), h( ) ln. Είναι g( f()) 0 f() 0 και h( f()) 0 f() γιατί οι g( ), h( ) γνήσια αυξ. β. Η f( ) είναι γν. αύξουσα. γ. f(ln ) 0 f(ln ) f() ln 0... (0,) 6. a. g( ) ( ), και για το πεδίο ορισμού της g g, ζητώ : 0 ( ) 4 0 0 6, άρα [0, 4]. ( )( ) ( ( ) ) g g β g f f g g ( ). ( )( ) ( ) ( ) 4 4 5 f( ) 4,, γ. Μ όνο αν [0, 4] 7. α) Για κάθε yo από το R, υπάρχει o=f(yo)+, ώστε f(o)=yo. β) Θέτω όπου χ το f - () στην αρχική σχέση. γ) Λύνω την f()=. θέτω στην αρχική όπου το f() και τελικά: χ-=χ, αδύνατη. δ) Αρκεί να δείξω ότι f()<, f(f())<f(), -<f()< δηλαδή -<0, το οποίο ισχύει. f() 8. Γράφουμε την, οπότε έχει ελάχιστο για = την τιμή -, είναι γνήσια αύξουσα στο πεδίο ορισμού της, η αντίστροφή της είναι η f () και η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την f. ύ f () f() f()... 0 ή, ή.
9. α) Η αντίστροφή της είναι δίκλαδη! f () 6, 6 6, 6 β) Η συνάρτηση είναι γνήσια αύξουσα και η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την f. ύ f () f() f() 6 6 0. γ), 0. α) Είναι f () ln, A, 0, β) Δεν τέμνει τον yy, τέμνει τον χχ στο (-,0). γ) Συνθέτουμε από αριστερά με την f, οπότε έχουμε: f 6 fln fln ln f () ln ln. α) Είναι f - ()=f() β) ln ln 0... ln ή ln ln 0,,, γ) 4 g() f( ) g(), A. α) Είναι γνήσια φθίνουσα με μοναδική ρίζα την τιμή =. β) Είναι γ) f ( ), f ή ί. * f( ). έ g(), g.., ό ί 0. δ) έ ί : f( ) f 4.... α) Είναι γνήσια αύξουσα και είναι f()=0, f - (0)=. β) =-/ γ) 0, δ) f ( ) f ( ) f( ) f... 0,,. ε) 4. α) A A,, ά f g () g f (),. f g g f β) h() ln, A, h, = ί t() f g f (ln ) f (ln )... A, t γ) 5. α) f(), f.., f( ) f( 5)... (,). β) f() ln( ), f.., f( ) f( )... (0,).
6. α) β) Επειδή f() ln( ), f.., f(4 ) f(4)... (0,)., έ f ί ή ύ.