ΘΕΜΑ A Α1. α) Να δώσετε τον ορισμό πότε μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο (α, β) και πότε στο [α, β]. Σχεδιάστε μια συνάρτηση που είναι συνεχής στο =1 αλλά όχι παραγωγίσιμη β) Να διατυπώσετε τον ορισμό του ρυθμού μεταβολής του μεταβλητού μεγέθους y ως προς το μεταβλητό μέγεθος. γ) Να διατυπώσετε την συνθήκη ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f, να έχει στο σημείο της Α(,f( )) μη κατακόρυφη εφαπτόμενη, να ορίσετε την εφαπτόμενη της C f στο σημείο Α και να γράψετε την εξίσωση της. Μονάδες 9 Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστό ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις: h ln 1 1 α) Για κάθε ισχύει : lim h h β) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο με f ( ) τότε κοντά στο οι τιμές της f είναι ομόσημες του f( ) γ) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο Δ, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο Δ. δ) Αν η f είναι συνεχής στο διάστημα Δ τότε f είναι συνεχής στο Δ Σ Λ ε) Αν η ευθεία y = k εφάπτεται της γραφικής παράστασης συνάρτησης f στο σημείο Α(α,f(α)), α є R τότε f (α) = Σ Λ Μονάδες 1 Σ Σ Σ Λ Λ Λ - 1 -
ΘΕΜΑ Β Β1. Δίνεται συνάρτηση f : R R, συνεχής στο R για την οποία ισχύει :3f () 3 7 ( 1)( 3), για κάθε R. Να βρεθεί ο τύπος της f. Β. Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο ( e, ) η οποία f () t ικανοποιεί τη σχέση f ( ) 1 e dt για κάθε (, ) α) Να αποδείξετε ότι f() = ln(+e). e. β) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να ορίσετε την αντιστροφή της. Μονάδες 7 γ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη Cf και τους ημιάξονεςo και Οy. ΘΕΜΑ Γ Μονάδες 18(6+6+6) Γ1. Ένα σημείο Μ κινείται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f () ( 1). Η τετμημένη του Μ είναι θετική και απομακρύνεται από την αρχή Ο των αξόνων με ρυθμό m/sec. Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της γωνίας που σχηματίζει η εφαπτομένη της C f στο Μ με τον άξονα όταν αυτή είναι παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση y 1, καθώς και την τετμημένη του Μ τη στιγμή εκείνη. Μονάδες 8 3 3 Γ. Δίνονται οι συναρτήσεις f () 3 ln 1 - - και g() 5 ln. α) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των δύο συναρτήσεων, έχουν μοναδικό κοινό σημείο, το οποίο και να βρεθεί.
β) Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων των C f και C g στο κοινό τους σημείο. γ) Δείξτε f, g αντιστρέφονται βρείτε f -1 (1) και λύστε την ανίσωση g() > ln(e 6 ) Μονάδες 17(6+6+5) ΘΕΜΑ Δ Δ1. Δίνεται συνάρτηση f ορισμένη στο R, παραγωγίσιμη στο R με συνεχή πρώτη παράγωγο, για την οποία ισχύουν f () f ( ) (1) και f () για κάθε R. Να δείξετε ότι η f () γραφική παράσταση της συνάρτησης g() έχει στο f () σημείο με τετμημένη = 1 εφαπτομένη της οποίας να βρείτε την εξίσωση. Μονάδες 6 Δ. Έστω συνάρτηση f :[, ) R που είναι γνησίως αύξουσα, για την οποία ισχύει f () f f () (1) για κάθε [, ). α) Να δείξετε ότι f () για κάθε [, ) και ότι f() = β) Να δείξετε ότι f είναι «1-1». Και να υπολογίσετε lim f () γ) Αν f παραγωγίσιμη στο = 1 με f (1),να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο Μ(1,f(1)) Μονάδες 13(4+4+5) Δ3. Δίνεται συνάρτηση στο για την οποία ισχύει : Να δείξετε ότι : f : (, ) 1 1 f f () f () 1 f () f () f () *, δυο φορές παραγωγίσιμη, για κάθε (, ), για κάθε (, ). Μονάδες 6-3 -
ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ A Α. Σ Σ Λ Σ - Σ ΘΕΜΑ Β Β1. 7 ( 1)( 3) 3 7 έ : f () 3 3 Για =, αφού f συνεχής ισχύει : 7 7 1 f () limf () lim lim 3 3 7 1 f () 3 7, Άρα f () 3, Β.α) - 4 -
f συνεχής στο ( e, ) οπότε -f συνεχής επομένως e f (t) συνεχής στο ( e, ) σύνθεση της e που είναι συνεχής στο R και της -f που είναι συνεχής στο ( e, ) f (t), ( e, ) έ e dt / 1 παρ/μη στο R σταθερή άρα και στο ( e, ) οπότε f παρ/μη στο ( e, ) ως άθροισμα παρ/ών f () f () f () f '() e f '()e 1 (e )' ()' f () ά υπάρχει σταθερά cr:e c (1) θέτοντας = στην δοσμένη έχουμε f()=1 = (1) e c Ά f () ln( e), e β) f () ln( e), e f 1 e y y y= ln( e) e e e e 1 ά f () e e στο ( e, ) 1 ί παρ/μη με f '() για κάθε >-e οπότε f "1-1" e ά f αντιστρέψιμη Α R(f ) ( lim f (), lim f ()) (, ) R γ) Επειδή η εξίσωση f()= έχει μοναδική ρίζα την =1-eτο ζητούμενο εμβαδόν περικλείεται μεταξύ C,O ' και τις κάθετες =1-e,= f για κάθε [1-e,] είναι f() επομένως το ζητούμενο Εμβαδόν 1e 1e 1e 1e 1e είναι Ε= f ()d 'f ()d [f ()] d e e e e d (1 )d e[ln( e)] e e 1e 1e [] 1e 1 τ.μ. - 5 -
ΘΕΜΑ Γ Γ1. f () ( 1) Έστω ε εφαπτομένη της C f στο Μ και θ η γωνία που σχηματίζει με τον άξονα. Ισχύει f () ( 1) Άρα (t) (t) 1 (t) (t) (t) 1 (t) (t) (t) (t) (t) Για t = t έχουμε : (t ) (t ) (t ) και / / : y 1 1 (t ) 1 (t ) 4 Άρα (t ) rad / sec Επίσης Γ. α) 3 (t ) 1 f (t ) 1 (t ) 1 1 (t ) 3 3 f () g() 3 ln 1 5 ln, 1 Προφανής λύση = αφού 3 3 Έστω 3 ln 1 5 ln, 1 11ύ 3 3 h() f () g() 3 ln 1 5 ln, 1 Προφανώς h() = και h γνησίως αύξουσα στο ( 1, ) - 6 -
Άρα μοναδική λύση της h() f () g(), άρα οι γραφικές παραστάσεις των δύο συναρτήσεων, έχουν μοναδικό κοινό σημείο το Μ(,1) β) 3 3 f () 3 ln 1 3 3 ln3 3 1 3 Αν ε 1 εφαπτομένη της C f στο Μ(,1) τότε : ( ): y f () f ()( ) y 1 ln3 ( ): y ln3 1 1 1 g () 5 ln 1 5 ln5 ln Αν ε εφαπτομένη της C g στο Μ(,1) τότε : ( ) : y g() g ()( ) y 1 (1 ln5 ln ) ( ) : y (1 ln5 ln ) 1 γ) 3 3 1 ln 1 ln 1 1, ( 1, ) : 3 3 f ( ) f ( ) 1 1 1 Άρα f γνησίως αύξουσα άρα «1-1» 3 3 1 1 1ln ln Άρα g γνησίως φθίνουσα άρα «1-1» 1, R : 5 5 g( ) g( ) 1 1 1 1 1 Έ f (1) 1 f ( ) f ( ) f () f (1) 6 6 g() ln(e ) g() ln ln e g() ln 6 g g() g( 1) 1 ΘΕΜΑ Δ Δ1. Θέτω στην(1) όπου το 1 f (1) f ( 1) f (1) - 7 -
f (1) g(1), f (1) f () g() g(1) g() f () f () 1 lim lim lim lim 1 1 1 1 1 1 1 1 f () f () lim f (1) ύ f ί R ά 1 1 1 1 1 lim ύ f ή 1 f () f (1) g() g(1) f (1) Ά lim 1 1 1 f (1) Άρα η g παραγωγίσιμη στο 1 άρα η Cg έχει στο σημείο με τετμημένη = 1 εφαπτομένη ε με εξίσωση ( ): y g(1) g (1)( 1) ( ): y 1 Δ.α) Αφού ορίζεται η f(f()) άρα f () [, ) f () f f (f ()) f () Άτοπο από (1) Έστω Ά f f (f ()) Άρα f() = β) Αφού f γνησίως αύξουσα άρα και «1-1». Έστω ότι υπάρχει τέτοιο ώστε Άρα f ( ) f (f ( )) Άτοπο από (1) Άρα ισχύει f() [, ) και αφού lim f () γ) Από (1) για = 1 ισχύει : f f ( ) f (f ( )) f ( ) lim άρα και f (1) f f (1) (3) Αν f(1)>1 ή f(1)<1 τότε καταλήγουμε σε άτοπο από (3). Άρα f(1) = 1 f παραγωγίσιμη στο 1 και f(f()) παραγωγίσιμη στο 1. Άρα ισχύει: f () f f () f () f f () f () 1-8 -
f (1) 1 f (1) 1 f (1) f f (1) f (1) f (1) f (1) f (1). Άρα Αν ε η εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο Μ(1,f(1)) τότε η εξίσωση της είναι : ( ): y f (1) f (1)( 1) ( ): y Δ3. 1 1 1 1 f f f () 1 f f () f () 1 1 1 1 f f () f f () f f () 1 1 1 1 f f () f f () f f () (1) 1 1 1 1 f f f () () f () 1 1 1 1 1 1 Επίσης = έχουμε: f f (3) 1 f () f Έχουμε : Από (1),(),(3) έχουμε : 1 1 1 1 f f () f f () f f () 1 f () 1 f () 1 f () f () f () f () f () f () - 9 -
- 1 -