Θέματα Πανελληνίων Κώστας Γλυκός Στη νέα ύλη ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 7 / / 0 7 εκδόσεις Καλό πήξιμο
Ημερήσια. Θέμα Δ 00 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο ώστε 0,(0) f, f '() (), f συνάρτηση και g(), Δ. Να αποδείξεις ότι η συνάρτηση g είναι σταθερή Δ. Να αποδείξεις ότι Δ 3. Να βρεις το lim() f. Θέμα Δ 005 Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο ώστε f '() e,,(0) f 0 e Δ. Να αποδείξεις ότι η συνάρτηση ln F() Δ. Να βρεις το όριο lim όπου F παράγουσα της f με F(0)=0 0 005 Δίνονται οι συναρτήσεις h()()(), K K ό η παράγουσα της συνάρτησης k()() f 007 και g(), 007 Δ 3. Να αποδείξεις ότι h()() g Δ 4. Να αποδείξεις ότι η εξίσωση 3. Θέμα Δ 007 K()() K 008 έχει ακριβώς μία λύση στο 0, Έστω συνάρτηση f : 0, παραγωγίσιμη και γνησίως αύξουσα, f (0) 0 και επιπλέον συναρτήσεις συνεχής g : 0,,() g 0 με παράγουσα την G(),(0) G 0 F : 0,,παράγουσα της ()() Δ. Να αποδείξεις ότι η συνάρτηση F() 0 Δ. Να αποδείξεις ότι f ()()(), G F0, f g με F(0) 0 F()() G()() F G Δ 3. Να αποδείξεις ότι, 0,
Δ 4. Να βρεις το F()() H lim 5 G() 0, αν H () παράγουσα της Θέμα Δ 009 Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο 0, και συναρτήσεις, H 0 0 H, g : 0,, H '()(), f '()(), g 0 f 0 H0, g H g συνάρτηση G() H () g() 3, 0, t 6lim, 0 0 t καθώς και τη Δ. Να αποδείξεις ότι η συνάρτηση G είναι συνεχής H () Δ. Να αποδείξεις ότι η συνάρτηση G είναι παραγωγίσιμη στο (0,) και ότι ισχύει : G '() Δ 3. Να αποδείξεις ότι υπάρχει ένας αριθμός a 0, : H a 0 Δ 4. Να αποδείξεις ότι υπάρχει αριθμός 0, : ah g a 4. Θέμα Δ 00 Έστω συνάρτηση f : παράγουσα της g συνεχής όπου,() f 3(),() G g,(0) 0 G Δ. Να αποδείξεις ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη και Δ. Να αποδείξεις ότι η συνάρτηση g()() () f f f '() είναι σταθερή, G Δ 3. Να αποδείξεις ότι f () 9 Δ 4. Να αποδείξεις ότι F F F F 5. Θέμα Δ 0, όπου F παράγουσα της f όπου F παράγουσα e ln G e f g Έστω συνάρτηση συνεχής f : 0,,() f 0, F 0, F της f και επιπλέον συνάρτηση G() παράγουσα της g όπου ln()(),() Τα ερωτήματα παραμένουν ίδια 6. Θέμα Γ 03 0, :, 0 0 και 4 4 4 Γ3. Να αποδείξεις ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον F f F F παράγουσα της f o o o o
7. Θέμα Δ 03 5 ) f h f h Έστω συνάρτηση f : 0, παραγωγίσιμη όπου f ',() f,lim 0 και h0 h συνάρτηση F :,, ά της συνάρτησης h(), Δ. Να αποδείξεις ότι f '() 0 και ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει ελάχιστο στο χ= Δ. Να αποδείξεις ότι η συνάρτηση F Δ 3. Να λύσεις την εξίσωση : F 3 F F e F Δ 4. Να αποδείξεις ότι F Δ 5. Να αποδείξεις ότι υπάρχει αριθμός,3 : 7 5 F 5 6 f 8. Θέμα Δ 04 Αν F αρχική της f Δ. Να αποδείξεις ότι η εξίσωση : 9. Θέμα Γ 05 Γ 3. Αν F() παράγουσα της Γ 4. Να αποδείξεις ότι η συνάρτηση 0. Θέμα Δ 05 F f ' F 0 έχει ακριβώς μία λύση, η οποία είναι η =0 f (), F0 0, να αποδείξεις ότι g() f Δ 3. Να υπολογίσεις το όριο : 3 () lim e 0 4 F F, 0 ln() f F 4 F f 4, 0, 0 είναι γνησίως αύξουσα στο 0, 3
. Θέμα Δ 004 Έστω συνάρτηση συνεχής f : 0, Τα ερωτήματα παραμένουν ίδια. Θέμα Γ 007 όπου Επαναληπτικές f ()(),(0) 0,(0) F F0 f γ. Να αποδείξεις ότι η εξίσωση F 3 F F 4 F 0, 3. Θέμα Δ 008 έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα Έστω συνάρτηση συνεχής f : 0, για την οποία ισχύει 0 F() παράγουσα της f,(0) F 0, 0, K() παράγουσα της k()(),(0) f 0, K 0, F() h() 0,,() h K() t Δ. Να αποδείξεις ότι ()()() 0 e f t F t dt F Δ. Να αποδείξεις ότι η συνάρτηση h Δ 3. Να αποδείξεις ότι F() () K 4. Θέμα Δ 00 Έστω συνάρτηση f :, παραγωγίσιμη, κυρτή,με παράγουσα την F(), f (0), f '(0) 0,(0) F 0 Δ. Να αποδείξεις ότι F() Δ. Να αποδείξεις ότι lim 0 3 3 Αν επιπλέον '() (), Δ 3. Να αποδείξεις ότι f f e h() F F, 0 Δ 4. Να μελετήσεις τη μονοτονία της συνάρτησης F 3 F F 6 F 4, Δ 5. Να λύσεις την ανίσωση 5. Θέμα Δ 03 Έστω συνάρτηση f f'() 0, 0 και ορίζουμε συναρτήσεις : 0,, δύο φορές παραγωγίσιμη, συνεχή δεύτερη παράγωγο f (0) 0,() f, ' f f '() g(), 0 h() f'(), 0 3 4
f''() '( f, 0 Δ. Να βρεις το πρόσημο των f, f ', 0 Δ. Να αποδείξεις ότι f '(0) Αν επιπλέον g, 0 Δ 3. Να αποδείξεις ότι g(), 0 Δ 4. Να αποδείξεις ότι () f d 0 Δ 5. Να βρεις το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ h, ', 0, 6. Θέμα Γ 04 όπου F() Γ 4. Να αποδείξεις ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον,4 : f ' F f f παράγουσα της f (),() F 0 7. Θέμα Δ 05 Έστω συνάρτηση f * :, F() 0, G() παράγουσα της Δ. Να αποδείξεις ότι παραγωγίσιμη, f f g(),() G 0 ln,0, Δ. Να αποδείξεις ότι F() G Δ 3. Να αποδείξεις ότι F ', με παράγουσα την F(), Δ 4. Να αποδείξεις ότι το χωρίο μεταξύ F, εφαπτομένης στο σημείο που η F τέμνει οριζόντιο άξονα και την ευθεία χ=3 έχει εμβαδό Ε, E 5