ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΛΥΣΕΩΝ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελ 5 Α. Σχολικό βιβλίο σελ 73 Α3. Σχολικό βιβλίο σελ 5 Α4. α) Λάθος β) Σωστό γ) Σωστό δ) Σωστό ε) Λάθος ΘΕΜΑ Β Β. z + ( z + z) i 4 z i 4 i + ( z ) ( ) i + ( z ) και ( ) z y y ΜΑΘΗΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 και y + ή και y z + i και z i Β. w 39 39 39 39 z + i ( + i) + i + i 39 3 3 3 3 3i z i + 4 9+ 3 3 3i 3i 3i i 3i Β3. Σελίδα από 6
u + w 4 z z i u 3 i 4( + i) ( i) i u 3 i 4+ 4i + i i u 3 i 3+ 4 i u 3 i 5 u (+ 3 i) 5 (ΜΚ)5 Οπότε το σηµείο Μ κινείται σε κύκλο (Κ,5) κέντρου Κ(,3). ΘΕΜΑ Γ h( ) ln( + ) Γ. h '( ) ( ln( + ))' ' (ln( + ))' + ( + ) ' + + + + ' ( + ) ' h ''( ) < + ( + ) ( + ) Οπότε για κάθε R η h() είναι κοίλη. Γ. Παρατηρούµε πως h () ln( + ) ln ln( + ) ln Οπότε: h( h'( )) ln h( h'( )) < + < ln + h( h '( )) < h() h'( ) < hրr + h' ցr h '( ) < h '() > Αφου h κοίλη στο R, h γνησια φθινουσα στο R Γ3. Για την οριζόντια ασύµπτωτη στο + έχουµε lim ( ln( + )) lim (ln ln( + )) lim ln + + + + Σελίδα από 6
Αν u +, u αν + αφού lim lim lim + + + + ( + ) + + άρα lim h( ) lim ln u ln, δηλαδή έχει οριζόντια την y + u Για την πλάγια ασύµπτωτη στο, της µορφής y a+ β έχουµε h( ) ln( + ) lim lim ( ) lim ( ln( + ) ) a lim ( h( ) ) lim ( ln( + )) β Οπότε έχει πλάγια ασύµπτωτη στο την y Γ4. Βρίσκουµε που η φ() τέµνει τον. φ( ) h( ) + ln h( ) ln h( ) h() hրr h ( h( ) + ln ) Είναι hրr h( ) > h() h( ) > ln h( ) + ln > Οπότε για το εµβαδόν έχουµε E ( h( ) + ln ) d (ln + ln ) d + Α ν u g ( ) u + g () u + g () du d ln d ln du (ln u ln( u + )) du ln udu ln( u + ) du I I I ln udu ( u)'ln udu ([u ln u] u ( u) ' du) u ( ln( ) ln ) ln( ) ln [ ] du u ln( ) ln + Σελίδα 3 από 6
I ln( u + ) du ( u + ) 'ln( u + ) du [( u + )ln( u + )] ( u + ) ( u + )' du u + ( + ) ln( + ) (+ ) ln(+ ) du ( + ) ln( + ) ln [ u] ( + ) ln( + ) ln + Άρα E I I ln( ) ln + (( + )ln( + ) ln + ) ln( ) ln + ln( + ) ln( + ) + ln + (ln( ) ln( + )) [ln( + ) ln ] + ln ln + ln ln + + + + ΘΕΜΑ, f ( ),. Απροσδιόριστη µορφή ( )' lim f ( ) lim lim lim f () D L'Hopital ' Οπότε η f() είναι συνεχής στο ' ( )' ( ) ' + f '( ) Θέτουµε ( ) g + Οπότε g '( ) ( + )' ' + ( )' g '( ) + g () - + g() ց ր ηλαδή η g() παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο το g(), συνεπώς g( ) g() +.το ισον ισχυει αν Άρα f '( ) > αφού + > και > για και Σελίδα 4 από 6
f f ( ) lim lim f lim ( ) lim lim lim lim > ( ) ( ) ( ) οπότε f '( ) >, R δηλαδή η f είναι γνησίως αύξουσα για κάθε R, αφού f είναι και συνεχής στο.. (α) f '( ) f ( u) du F( f '( )) F() F( f '( )) F() Όπου F µία αρχική της f, οπότε F '( ) f ( ) + - + - + f() + + f ( ) >, f ( ) > άρα ( ), f > R Άρα F γνησίως αύξουσα στο R και - άρα: ( ( )) ( ) F : F f F f ( ) f ( ) f '() Αφού f κυρτή είναι f ր και µοναδική λύση. (β) Ισχύει ότι: y t f t ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ( )) f ' ր '( t) y '( t ) y ' t f t f t t f '( ( t)) y '( t) Για t t y '( t ) f '( ( t )) y '( t ) f t αφού '( t ) y '( t ) > f ( ( t) ) f ( ) ( t ) Σελίδα 5 από 6
Και εποµένως το σηµείο είναι: Μ Μ Μ 3. ( ( t), f ( ( t) )) (, f ( ) ) (,) ( ) ( ), (,+ ) g f + g ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) + ( )( ) ( )( ) ( ) + g + ( )( ) ( ) Θέτουµε φ ( ) ( ), (,+ ) ( ) φ ( ) < φ > άρα φ γνησίως αύξουσα στο [, + ). φ > ( ) ( ) Ακόµα, φ συνεχής στο [, ] Άρα από Θ. Bolzano (, ) : φ( ) και φ ր [, + ) οπότε το είναι µοναδικός φր > φ( ) > φ( ) φր < φ( ) < φ( ) + ( ) - + + + - - - - + φ() - - + + g - + + g ց ր ց ր Τ.Ε. Τ.Μ. Τ.Ε. Άρα έχουµε τοπικό ελάχιστο στα και και τοπικό µέγιστο στο Σελίδα 6 από 6