Α Θ Ε Μ Α A Θ Ε Ω Ρ Η Μ Α ( F e r m a t ) Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ Αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε: Α π ό δ ε ι ξ η Ας υποθέσουμε ότι η παρουσιάζει στο τοπικό μέγιστο Επειδή το είναι εσωτερικό σημείο του Δ και η παρουσιάζει σ αυτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει δ τέτοιο, ώστε ( δ, δ) Δ και () ( ), για κάθε ( δ, δ) () Επειδή, επιπλέον, η είναι παραγωγίσιμη στο, ισχύει: Επομένως, αν ( δ, ), τότε, λόγω της (), θα είναι () ( ) () ( ) '( ) lim lim
οπότε θα έχουμε αν (, δ), τότε, λόγω της (), θα είναι οπότε θα έχουμε () ( ), ( ) lim () ( ) ' ( ) () ( ), ( ) lim () ( ) ' (3) Έτσι, από τις () και (3) έχουμε '( ) = Η απόδειξη για τοπικό ελάχιστο είναι ανάλογη Θ Ε Μ Α Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν Ν α δ ι α τ υ π ώ σ ε τ ε τ ο θ ε ώρ η μ α του Fermat ΕΠΑ Ν Α Λ Η Π Τ Ι Κ Ε Σ 3 Α α Ψ β Ο ισχυρισμός είναι λανθασμένος, ισχύει μόνο αν η είναι επιπλέον, γνησίως αύξουσα (αντιστοίχως, γνησίως φθίνουσα) Γιατί σύμφωνα με το θεώρημα Μέγιστης-Ελάχιστης τιμής, αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα α,β, τότε υπάρχουν, α,β, άρα ίσως και κάποιο εσωτερικό σημείο, τέτοια ώστε α,β,
3 Για παράδειγμα η συνάρτηση ημ,,π, έχει σύνολο τιμών το διάστημα,, ενώ είναι π Α3 α Λ ά θ ο ς β Σ ω σ τ ό γ Λ ά θ ο ς δ Λ ά θ ο ς ε Λ ά θ ο ς Θ έ μ α π α ν ε λ λ α δ ι κ ώ ν ε ξ ε τ ά σ ε ω ν 9
4 Θ Ε Μ Α Β B Η γραφική παράσταση της διέρχεται από το σημείο,, άρα Επίσης, είναι όπου εφω, ω η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη της Η ευθεία y είναι οριζόντια ασύμπτωτη της άρα οπότε Έτσι, οπότε είναι lim, lim και lim lim με τον άξονα στο, για κάθε lim lim B i Η εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο της, είναι ε : y ε : y ε : y ii Η είναι συνεχής Το ζητούμενο εμβαδόν ισούται με,
Για κάθε,, είναι 5 Ε d οπότε και επειδή είναι d d d, Ε ν Ε ν ν Β3 Είναι και για κάθε είναι η σχέση Επομένως, τελικά είναι β β α e α e α α e Για α και β, είναι Για κάθε είναι άρα α α e, e,, η είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (,)
6 Έτσι, για κάθε,, ισχύουν:, (,) ημ ημ ημ ημ e e Β4 Για κάθε, είναι Τότε ημ e e ln ln g ln ln e ln e ln ln g ln g ln ln, η οποία ισχύει για κάθε, με την ισότητα μόνο για η g βρίσκεται κάτω από τον κλάδο της υπερβολής εκτός του σημείου επαφής, ημ y,
7 Θ Ε Μ Α Γ Γ Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε καθένα από τα διαστήματα (,) και (, ) Το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα, 4, άρα έστω, Έστω ότι (,) παρουσιάζει μέγιστο σε εσωτερικό σημείο, Από το θεώρημα του Fermat, είναι : Τότε από τη σχέση προκύπτει το (, ) Τότε, στο οποίο είναι παραγωγίσιμη :απορρίπτεται 3 3 : δεκτή η παρουσιάζει μέγιστο, μόνο στο, οπότε είναι 4 Για κάθε, η γράφεται ισοδύναμα: 3 υπάρχουν c,c, τέτοια ώστε
Είναι 8 c, c, c c και c c 4 4 4 τελικά, Γ Για κάθε είναι, 3 3 Όπως φαίνεται και στον πίνακα προσήμων της και μεταβολών της η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα διαστήματα (,) και, είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα, παρουσιάζει μέγιστο, (ολικό, όπως προκύπτει από το Γ ερώτημα), το 4 Για κάθε είναι 3 3 3 3 6 3 4 4
9 Όπως φαίνεται και στον πίνακα προσήμων της κυρτότητας της, και μεταβολών της η συνάρτηση είναι κοίλη σε καθένα από τα διαστήματα (,) και,3 και είναι κυρτή στο διάστημα 3, παρουσιάζει καμπή στο 3, με σημείο καμπής της, το σημείο 3, 9 lim lim Είναι η ευθεία y, δηλαδή ο άξονας είναι οριζόντια ασύμπτωτη της Επίσης, είναι εφόσον είναι στο και στο lim lim lim, lim και, για η ευθεία, δηλαδή ο άξονας yy είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της Σύμφωνα με τη μελέτη της, η γραφική της παράσταση είναι:
Γ3 Είναι και η εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο της Α, είναι ε : y Το σημείο τομής της ε με την ευθεία y, είναι το Β, είναι και σημείο της Οι τετμημένες των σημείων τομής της λύσεις της εξίσωσης:, το οποίο με την ευθεία y, είναι οι, ή Έστω Δ, η ευθεία y τέμνει τη Το ζητούμενο εμβαδόν ισούται με το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΔ, μείον το εμβαδόν του χωρίου, που ορίζεται από τη και τις ευθείες και y, όπως φαίνεται στο σχήμα: και στο σημείο Γ,
Είναι ΑΒΔ ΒΔ ΑΔ τμ Επίσης, έστω Ε το εμβαδόν του μικτόγραμμου τριγώνου ΑΓΔ Η συνάρτηση Τότε, Είναι για κάθε Επομένως, είναι συνεχής στο διάστημα, Ε d d,, Ε d ln ln ln τμ τελικά το ζητούμενο εμβαδόν ισούται με Ε ΑΒΔ Ε ln τμ Γ4 i Η συνάρτηση g ορίζεται στο σύνολο Dg D / / /, και είναι g ii Η g είναι συνεχής, σαν σύνθεση συνεχών συναρτήσεων Για κάθε, είναι
Ο πίνακας προσήμων της g 3 g και μεταβολών της g είναι: η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα,, είναι γνησίως φθίνουσα στο, και παρουσιάζει μέγιστο για ισχύει ότι g με την ισότητα μόνο για Τότε η εξίσωση, το g, για κάθε, α β β α α β, α,β γράφεται ισοδύναμα: α β β α β α α β α β β α ( gβ gα, με gα gα και α και β gβ και gβ )
Δ Είναι 3 Θ Ε Μ Α Δ συν π συν π και, σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής, είναι και Τότε συν π lim lim συν π lim lim η ευθεία ε : y είναι οριζόντια ασύμπτωτη της Για έστω άρα στο συνπ συνπ συνπ Για κάθε είναι άρα συνπ συν π kπ, k k, k, k,, π ημπ συνπ π ημπ συνπ, k Επομένως, η εξίσωση της εφαπτομένης της είναι: k,, με k και k ε : y y στα σημεία της μορφής
εφάπτεται της Δ Είναι 4 η ασύμπτωτη ε της στο,, σε άπειρα (μεμονωμένα) σημεία συνπ lim lim lim πημπ π και DLH lim lim ημ lim lim, οπότε η συνάρτηση είναι συνεχής στο Η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα (,) και είναι συνεχής στο είναι συνεχής στο, Επομένως, Είναι άρα η είναι συνεχής στο,, και, Τότε, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, υπάρχει, Δηλαδή, τέτοιο ώστε η με τετμημένη, Έτσι, τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο,
5 συνπ συνπ π π π ημ ημ ημ Για,, είναι άρα π π, Τότε η σχέση γίνεται: π ημ π π ημ ημ Δ3 Η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα,, άρα οπότε ισχύει Είναι έχει παράγουσα F στο,, F, για κάθε συν,, με την ισότητα μόνο μεμονωμένα σημεία, τα οποία δεν αποτελούν διάστημα Έστω η συνάρτηση Η h είναι συνεχής Για κάθε, είναι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο, h F 3 F,
Για κάθε ισχύουν διαδοχικά: 6 h F 3 F 3 3 3 h η συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα, Για κάθε ισχύει: Οπότε Δ4 i Είναι e, h e h F e 3 F e F 4 F F e F 4 F e 3 F g,,π g ημ,,π Η συνάρτηση g είναι συνεχής Για κάθε,π, άρα g συν, η g είναι γνησίως αύξουσα Επομένως είναι και, οπότε ορίζεται η αντίστροφή της, στο διάστημα D g,π g,g π,π g Οι τετμημένες των κοινών σημείων (αν υπάρχουν), της g με την ευθεία y, είναι οι λύσεις της εξίσωσης: g,π g,π ημ,π ημ,, π ή π
7 τα κοινά σημεία της g με την ευθεία y είναι τα, και π,π Για κάθε,π, είναι Έστω οτι υπάρχει,π ημ ημ g, τέτοιο ώστε g g g g g g :άτοπο για κάθε,π, ισχύει ότι Επομένως, η γραφική παράσταση της g εκτός από τα κοινά τους σημεία,, π,π ii Έστω g είναι κάτω από την ευθεία y, Έστω π A g d g u g u g u du d Για u και για π u π Τότε π π π π A u g u du u g u g u du π π g d Επομένως, π π π π, I g g d A g d π g d g d I π Έστω Ε και Ε τα εμβαδά των χωρίων, που ορίζει η ευθεία y Οι συναρτήσεις g τις και αντίστοιχα g g και g είναι συνεχείς, με
8 οπότε: π π Ε Ε g d g d π π π π π g g d π π E Ε g d g d g g d Δ4i