ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο σελ. 6 Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 11 Α. Σχολικό βιβλίο σελ 6-7 Α. α. Λάθος Θέμα Β β. Σωστό γ. Λάθος δ. Σωστό ε. Σωστό Μαθηματικά Προσανατολισμού 18-5-16 Β1. Η f είναι αραγωγίσιμη και συνεχής σρο με: 1 1 1 f 1 1 1 Είναι 1 f. 1 Άρα f στο,, οότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, f στο,,, οότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο, και έχει ελάχιστη τιμή για = το f. 1 Β. Η f είναι αραγωγίσιμη με f 1 1 1 1 1 1 1 1 8 1 1 8 6 1 1 1 www.orosimo.gr Τηλ. 81 7
Φροντιστήριο Είναι 1 6 1 1 1 1 f 6. 1 Προκύτει ο αρακάτω ίνακας: 1 Οότε η f κοίλη στα διαστήματα, και 1,, ενώ είναι κυρτή στο 1 1,. Έτσι έχει σημεία καμής τα 1 1 1 1,f και,f. 1 1 1 1 1 Αφού f f θα είναι τα σημεία, και 1 1,. Β. Εφόσον το εδίο ορισμού της f είναι το δε θα αρουσιάζει κατακόρυφη ασύμτωτη. Στο είναι: f 1 1 lim lim lim lim lim lim lim 1 1 Άρα λ1 lim f λ1 lim lim 1. Άρα β 1 1 1. Στο εομένως η f έχει οριζόντια ασύμτωτη την y=1. Στο είναι: f 1 1 lim lim lim lim lim lim lim 1 1 Άρα λ lim f λ lim lim 1. Άρα β 1 1. Στο εομένως η f έχει οριζόντια ασύμτωτη την y=1. B. www.orosimo.gr Τηλ. 81 7
Φροντιστήριο Θέμα Γ Γ1. Γνωρίζουμε ότι ln 1 για κάθε > με το ίσον να ισχύει μόνο για =1. y y θέτοντας e με y καταλήγουμε στην ανίσωση e y 1 (1) το ίσον να ισχύει μόνο για y=. θέτοντας όου y στην (1) αίρνουμε e 1 με το ίσον να ισχύει μόνο για =, άρα η εξίσωση μας έχει μοναδική λύση το =. Γ. Έχουμε e 1 με το ίσον να ισχύει μόνο για =. Άρα η f() μοναδική ρίζα το =. Για, e 1, αφού f () e 1 θα έχουμε ότι f() Η f είναι συνεχής οότε θα διατηρεί σταθερό ρόσημο δηλαδή f() ή f(). Ειδικότερα: Αν έχουμε τις εριτώσεις: f() e 1 ή f() e 1 Αν έχουμε τις εριτώσεις: f() e 1 ή f() e 1 e 1, e 1, f() ή f(), e 1, e 1, δηλαδή e 1, f() e 1,, ή f() e 1, δηλαδή e 1, f() e 1, ή f() e 1, Γ. Η f αραγωγίσιμη στο ως ράξεις αραγωγίσιμων με f'() e, Η αραγωγίσιμη στο ως ράξεις αραγωγίσιμων με f"() e e, Προφανής ρίζα είναι το www.orosimo.gr Τηλ. 81 7
Φροντιστήριο Η αραγωγίσιμη στο ως ράξεις αραγωγίσιμων με 5 f () e ( ), f (). Ακολουθεί ο ίνακας : f''' - + f'' Οότε f'' f'' με την ισότητα να ισχύει μόνα για =. Άρα η f κυρτή στο Γ. Θεωρούμε F f( ) f(). Η F αραγωγίσιμη στο ως ράξεις αραγωγίσιμων με F' f'( ) f'(), Όμως η είναι γνησίως αύξουσα στο, αφού η f κυρτή στο Είναι: f'( ) f'() για κάθε. Άρα F'() για κάθε οότε η F είναι γνησίως αύξουσα στο και άρα 1-1. Η αρχική εξίσωση γράφεται : F(ημ ) F() ημ Αό γνωστή ανίσωση, η μοναδική λύση της αραάνω εξίσωσης είναι η = ΘΕΜΑ Δ Δ1. Είναι f f ημd f ημd f ημd Όμως f συν d f ημd www.orosimo.gr Τηλ. 81 7 συν f f συνd f ημ f συνd συν f f ημ f f 1 f Για κοντά στο είναι f ημ. f f ημd συνf f ημ συνf συνf f ημ f ημ ημ
5 Φροντιστήριο f Οότε limf lim ημ 1ημ και αφού η f είναι αραγωγίσιμη θα εί- ημ ναι συνεχής, δηλαδή f Έτσι αό (1) ροκύτει Για κοντά στο είναι: Δ. limf. f f. f f f f ημ, οότε ημ f f f f ημ f lim lim lim 111 ημ f α) Είναι e f f e, με. f Τότε e f 1 f f f e,. Έστω ότι υάρχει, ώστε f, τότε e f f f f e e f f e f f 1 1 Οότε f f, άτοο. e 1 Αφού η f αραγωγίσιμη άρα συνεχής θα διατηρεί ρόσημο. Δηλαδή f, για κάθε ή f είναι γνησίως μονότονη άρα δεν αρουσιάζει ακρότατα., για κάθε, όου και στις δυο εριτώσεις β) Εειδή f 1 και η f διατηρεί ρόσημο θα είναι f οότε η f είναι γνησίως αύξουσα. Δ. Αφου η f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο θα είναι f lim f, lim f και f, θα είναι lim f, για κάθε.. Οότε 1 lim f www.orosimo.gr Τηλ. 81 7
Φροντιστήριο 6 Όμως για κάθε είναι 1 ημ 1 και 1 συν 1, οότε αθροίζοντας κατά μέλη ροκύτει ημ συν Αφού Είναι Δ. lim f είναι f κοντά στο, οότε ημ συν f f f lim lim. Αό κριτήριο αρεμβολής ροκύτει ότι: f f ημ συν lim f f γν.αύξουσα fln 1 e ln f f ln f f ln Ολοκληρώνοντας κατά τα γνωστά στις ανισότητες και εειδή οι ισότητες ισχύουν σε συγκεκριμένες τιμές ροκύτει: f γν.αύξουσα 1 e ln f f ln f f ln fln Ολοκληρώνοντας χρησιμοοιώντας τις γνωστές ιδιότητες των ολοκληρωμάτων και αφού το f ln μηδενίζει μόνο για συγκεκριμένες τιμές ροκύτει: 1 fln f ln d d d ln 1 1 1 1 p e e e e e f ln d 1 www.orosimo.gr Τηλ. 81 7