Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Νικόλαος Δ Ατρέας Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις ΑΠΘ Θεσσαλονίκη: 6-7 η έκδοση: 8-9

Περιεχόμενα A Ορολογία 4 B Χρήσιμα στοιχεία θεωρίας 6 B Πολλαπλά ολοκληρώματα Riema 6 B Mη γνήσια ολοκληρώματα Riema σε μη φραγμένα χωρία B3 Θεώρημα Απόκλισης Ταυτότητες Gree B4 Σύντομη ανασκόπηση σειρών Fourier B5 To oλοκλήρωμα Fourier 7 B6 O Mετασχηματισμός Laplace B7 H μέθοδος των δυναμοσειρών Διαφορικές εξισώσεις Bessel 5 Κεφάλαιο : Εισαγωγή 35 Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης 35 Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης και ταξινόμησή τους 46 3 Ασκήσεις 48 Κεφάλαιο : Η εξίσωση Laplace 5 Eισαγωγή 5 Αρμονικές συναρτήσεις 5 3 Διδιάστατη γενική λύση της εξίσωσης Laplace 57 4 Θεμελιώδης εξίσωση Laplace στον Εξίσωση Poisso στον 6 5 Συνοριακές συνθήκες Dirichlet και μοναδικότητα λύσης 67 6 Η μέθοδος χωρισμού των μεταβλητών σε προβλήματα Dirichlet 69 6 Το πρόβλημα Dirichlet σε ορθογώνιο 7 6 Το πρόβλημα Poisso σε ορθογώνιο 74 6 Το πρόβλημα Dirichlet στο μοναδιαίο δίσκο 77 7 Mη φραγμένα χωρία σε προβλήματα Dirichlet 84 7 Το πρόβλημα Dirichlet στο άνω ημιεπίπεδο 84 7 Tο πρόβλημα Dirichlet σε ημιάπειρη λωρίδα 87 8 Συναρτήσεις Gree 9 9 Aσκήσεις 97

Κεφάλαιο : Η εξίσωση θερμότητας 4 Eισαγωγή 4 To πρόβλημα Cauch στο μοναδιαίο κύκλο 6 3 To πρόβλημα Cauch στον Θεμελιώδης λύση 4 Μοναδικότητα λύσης 4 5 Ομογενείς εξισώσεις 7 5 Φραγμένα χωρία με ομογενείς αρχικές συνθήκες 7 5 Φραγμένα χωρία με μη ομογενείς αρχικές συνθήκες 53 Μη φραγμένα χωρία με ομογενείς αρχικές συνθήκες 4 6 Μη ομογενείς εξισώσεις 6 7 Aσκήσεις 9 Κεφάλαιο 3: Η κυματική εξίσωση 3 3 Εισαγωγή 3 3 To πρόβλημα Cauch για τη μονοδιάστατη κυματική εξίσωση (στο ) Λύσεις D Alembert 4 33 To διδιάστατο και τρισδιάστατο πρόβλημα Cauch για την κυματική εξίσωση 37 34 Ομογενείς εξισώσεις 4 34 Φραγμένα χωρία με ομογενείς συνοριακές συνθήκες 4 34 Φραγμένα χωρία με μη ομογενείς συνοριακές συνθήκες 47 343 Μη φραγμένα χωρία 47 35 Μη ομογενείς εξισώσεις 5 36 Aσκήσεις 54 3

Eστω : Τότε: A Ορολογία C Ω : Eίναι ο χώρος όλων των συνεχών συναρτήσεων στο =,, : Είναι ο χώρος όλων των συναρτήσεων συνεχείς μερικές παραγώγους μέχρι -τάξης στο C με : Είναι ο χώρος όλων των συναρτήσεων μερικές παραγώγους μέχρι υποσύνολο του Ω C c με συνεχείς -τάξης σε κάθε συμπαγές B, r : Aνοικτή μπάλα κέντρου και ακτίνας r στον B, r, r : O όγκος της μπάλας B : Tο σύνορο χωρίου S r: H σφαίρα : r την αρχή των αξόνων και ακτίνα r στον με κέντρο S : H μοναδιαία σφαίρα S w : Το εμβαδό της μοναδιαίας σφαίρας S,, : O τελεστής κλίσης που δρα πάνω σε βαθμωτά ή διανυσματικά πεδία του Με άλλα λόγια, αν V E είναι ο χώρος των διαφορίσιμων αριθμητικών πεδίων : E και E V είναι ο χώρος των διαφορίσιμων m, m διανυσματικών συναρτήσεων F : E (για m γράφουμε απλά V E και μιλάμε για το χώρο των διαφορίσιμων διανυσματικών πεδίων), τότε: 4

ή :V ( E) V ( E) :,, :,,, : V ( E ) V ( E ): F F,, F, (ή ): O τελεστής Laplace :,,,, που δρα πάνω σε βαθμωτά ή διανυσματικά πεδία ως εξής: ή αν F :V ( E) V ( E): :,,,, τότε : V ( E) V ( E): F,, d: Πολλαπλό ολοκλήρωμα συνεχούς πραγματικής συνάρτησης : ds : Επιφανειακό ολοκλήρωμα συνεχούς πραγματικής συνάρτησης : επί λείας επιφάνειας με παραμετροποίηση r : A : v r u Αν μοναδιαία κάθετος σε κάθε σημείο το διαφορικό ds v Det,,, ru ru u du είναι η ru της επιφάνειας Σ, τότε δηλώνει εμβαδόν στοιχειώδους επιφάνειας πάνω στη Ισχύει: u u v ds v r u Det,,, r r u du A 5

B Χρήσιμα στοιχεία θεωρίας B Πολλαπλό ολοκλήρωμα Riema Τα πολλαπλά ολοκληρώματα Riema είναι φυσική γενίκευση των διπλών και τριπλών ολοκληρωμάτων Εστω : R είναι φραγμένη συνάρτηση επί κλειστού ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου R,, : a b, i,, i i και,, είναι μια διαμέριση του είναι διαμερίσεις των κλειστών διαστημάτων i i Tότε το R R, όπου,,, a, b διαμερίζεται σε στοιχειώδη ορθογώνια παραλληλεπίπεδα j j,, j, jk k, k,,, όγκου j V d d, j, j, j, j, j, j, j, j i i j, Αν και τότε ορίζουμε M m j sup ( ) : j j i ( ) : j, και L sup m j V j : οποιαδηποτε διαμεριση τoυ R j U i m j V j : οποιαδηποτε διαμεριση του R j Σημειώνουμε ότι οι αριθμοί U, L υπάρχουν πάντα και καλούνται ανώτερο και κατώτερο ολοκλήρωμα Darbou της επί του R Ορισμός Έστω : R είναι φραγμένη συνάρτηση πάνω σε κλειστό ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο R όπως παραπάνω Αν 6

U L, τότε λέμε ότι η είναι ολοκληρώσιμη κατά Riema επί του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου R και γράφουμε d R Θεώρημα Έστω : R είναι συνεχής συνάρτηση πάνω σε κλειστό ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο R Τότε η είναι ολοκληρώσιμη στο R Ο ορισμός του ολοκληρώματος Riema επεκτείνεται και σε μη ορθογώνια χωρία ως εξής: Εστω : S είναι φραγμένη συνάρτηση πάνω σε κλειστό και φραγμένο χωρίο με το σύνορό του να είναι σύνολο αμελητέου όγκου Τότε υπάρχει ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο R που καλύπτει εξ ολοκλήρου το στερεό Ετσι, ορίζουμε την επέκταση της στο S ως εξής: S ( ), S g( ), R\ S S S Αν η g είναι ολοκληρώσιμη στο R, τότε ορίζουμε S R d g d Σημείωση Αποδεικνύεται ότι η τιμή του ολοκληρώματος d είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του R R g Θεώρημα (Επαναληπτική ολοκλήρωση) Έστω : R είναι συνεχής συνάρτηση πάνω σε κλειστό ορθογώνιο k m παραλληλεπίπεδο R Αν R R R, όπου R, R είναι κλειστά ορθογώνια παραλληλεπίπεδα με k m και αν,, k m, τότε η συνάρτηση, F d R 7

είναι συνεχής στο R και, d d d R R R Εστω g : A B είναι συνεχώς διαφορίσιμο και - αντιστρέψιμο πεδίο με g : B A επίσης συνεχώς διαφορίσιμη συνάρτηση Εστω είναι ο Ιακωβιανός πίνακας (παράγωγος) Jg σε κάθε σημείο του πεδίου g Τότε: Θεώρημα (Aλλαγή μεταβλητής) Εστω παραπάνω και είναι συμπαγή υποσύνολα του Αν συνεχής πραγματική συνάρτηση πάνω στο σύνολο B, τότε: AB, g B A d g Det J d g πεδίο όπως είναι Mια σημαντική εφαρμογή της φόρμουλας αλλαγής μεταβλητής είναι ο μετασχηματισμός σε πολικές συντεταγμένες στον, σε σφαιρικές συντεταγμένες στον 3 και η γενίκευση στο Ετσι, το σύστημα σφαιρικών συντεταγμένων g r,,, στο ορίζεται ως εξής: rsi si si si cos 3 rsi si si si si 3 rsi si si cos 3, i,,, i rsi si rcos H Iακωβιανή ορίζουσα του μετασχηματισμού αυτού δίνεται από τη σχέση:, si si J r θ r 3 si, θ,, 8

Kάθε σημείο με S Αν γράφεται με μοναδικό τρόπο ως r, g θ S ds, si si si d d 3 B, N τότε για κάθε μπάλα στον έχουμε τη φόρμουλα N, S B N d r r ds dr Ορίζουμε δε το εμβαδόν της μοναδιαίας σφαίρας εξής: w ds S S ως Μπορούμε τώρα να δείξουμε τις κάτωθι ιδιότητες: (α) B, r B, r και B, r B, r, διότι όγκος και εμβαδόν είναι αναλλοίωτες ποσότητες ως προς την παράλληλη μεταφορά (β) B, r r B,, rw διότι B, r d r d r d r B, w w B, r B, B, (γ) όπου ενώ S ds r dsr r ds, είναι το στοιχειώδες εμβαδόν της σφαίρας r S, ds είναι το στοιχειώδες εμβαδόν της μοναδιαίας σφαίρας w,, (δ) B διότι με μετασχηματισμό σε πολικές συντεταγμένες έχουμε w B, d r drds ds B, S S 9

Β Mη γνήσιο πολλαπλό ολοκλήρωμα Riema σε μη φραγμένα χωρία Εστω και : QN είναι συνεχής συνάρτηση πάνω στους κύβους N Αν το όριο Q,, : N/, i,, N i lim d N Q N υπάρχει, τότε το όριο αυτό το συμβολίζουμε με d Μια χρήσιμη κλάση συνεχών συναρτήσεων των οποίων το d υπάρχει, περιλαμβάνει τις συναρτήσεις που ικανοποιούν τη συνθήκη: A, d d για κάποια θετική σταθερά A που εν γένει εξαρτάται απ την Β3 Θεώρημα Απόκλισης Ταυτότητες Gree Θεώρημα (Απόκλισης Gauss) Εστω κανονικό στερεό του με το σύνορό του υπερεπιφάνεια με τη μοναδιαία κάθετο είναι ένα φραγμένο να είναι μία λεία αυτής να έχει κατεύθυνση προς την εξωτερική όψη της και έστω F : είναι ένα διανυσματικό πεδίο με συνεχείς μερικές παραγώγους πάνω και στο εσωτερικό της υπερεπιφάνειας Τότε η ροή του πεδίου F διαμέσου της επιφάνειας δίνεται απ τη σχέση Eστω τώρα u, vc Τότε: F ds d F, όπου είναι όπως παραπάνω vu v u v u v u v u

Oλοκληρώνοντας και τα δυο μέλη της παραπάνω ισότητας και χρησιμοποιώντας το Θεώρημα απόκλισης παίρνουμε vu d v u d + v u d + v u ds v u d v u d u + v ds v u d v u d Η παραπάνω καλείται η ταυτότητα Gree Aπ την άλλη μεριά έχουμε: v u u v vu u v Oλοκληρώνοντας και τα δυο μέλη της παραπάνω ισότητας και χρησιμοποιώντας το Θεώρημα απόκλισης παίρνουμε v u u v d v u u v d v u u v ds Τελικά: u v v u ds u v u u v d v u ds Η παραπάνω καλείται η ταυτότητα Gree v

Β4 Σύντομη ανασκόπηση σειρών Fourier Ορισμός Εστω : είναι μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση στο διάστημα T/, T/, δηλαδή T / T / με L T περιοδική και απόλυτα ( ) d Ο χώρος αυτών των συναρτήσεων συμβολίζεται Ορισμός Eστω αριθμών L Ορίζουμε μια ακολουθία μιγαδικών : ˆ έτσι ώστε i T / ˆ T e d T T / Η τριγωνομετρική σειρά (όποτε αυτή έχει νόημα) ˆ = i T S e, καλείται σειρά Fourier σε μιγαδική μορφή της συνάρτησης η ακολουθία καλείται ακολουθία συντελεστών Fourier της και Εστω Τότε: / i T T ˆ / T ( ) e d ( ) cos isi d T T/ T T/ T T a ib, όπου a T T / T / ( ) d T / T / a ( )cos d,,, T T T / ( )si T / b d T T

Θέτοντας όπου οπότε παίρνουμε το βρίσκουμε εύκολα ˆ a ib a ib, i i i T T T ˆ ˆ ˆ ˆ S e e e = = = ˆ ˆ T e ˆ e = i i T a ib a cos isi = T T a ib cos isi T T και μετά από στοιχειώδεις πράξεις προκύπτει μια ισοδύναμη μορφή του αναπτύγματος Fourier της : S[ ] a acos bsi = T T, όπου οι συντελεστές a, b,,, είναι όπως παραπάνω και καλούνται επίσης συντελεστές Fourier της Το άθροισμα N SN[ ]( ) a acos b si = T T καλείται N -οστό μερικό άθροισμα της σειράς Fourier S[ ] της συνάρτησης στο σημείο Σημειώνουμε ότι η σειρά Fourier δε συγκλίνει απαραίτητα και όταν συγκλίνει δεν συγκλίνει υποχρεωτικά στη συνάρτηση Παρ όλα αυτά ισχύει το ακόλουθο: 3

Λήμμα (Μοναδικότητας) Αν είναι συνεχείς συναρτήσεις, τότε ˆ gˆ g, g T περιοδικές Οσον αφορά τη συμπεριφορά της ακολουθίας των συντελεστών Fourier ισχύει το ακόλουθο: Λήμμα (Riema-Lebesgue) Αν συντελεστών Fourier της είναι μηδενική, δηλαδή L, τότε η ακολουθία των ή ισοδύναμα lim ˆ, lima limb Σημειώνουμε ότι η συνέχεια της σύγκλιση της σειράς Fourier δε διασφαλίζει τη σημειακή Ορισμός Εστω είναι μια T περιοδική συνάρτηση (α) Εάν για κάθε T /, T / ορίζονται τόσο το εκ δεξιών όριο όσο και το εξ αριστερών όριο της στο σημείο και είναι πεπερασμένοι (αλλά όχι κατ ανάγκην ίσοι) αριθμοί, λέμε ότι η είναι τμηματικά συνεχής στο T /, T / (β) Εάν η για κάθε είναι τμηματικά συνεχής στο T /, T / και επιπλέον ορίζονται τα όρια ( h) lim h h lim h ( h) και είναι πραγματικοί αριθμοί, λέμε ότι η είναι τμηματικά λεία στο T /, T / h 4

Θεώρημα (Σημειακή σύγκλιση) Αν η και τμηματικά λεία συνάρτηση στο T lim S [ ] N N /, T / είναι μια T περιοδική, τότε: Πρόταση (Παραγώγιση και ολοκλήρωση όρο προς όρο) (α) Αν είναι συνεχής Τ-περιοδική συνάρτηση με σειρά Fourier της παραγώγιση όρο προς όρο L προκύπτει από τη σειρά Fourier της, τότε η με (β) H σειρά Fourier μιας συνάρτησης ολοκληρώνεται πάντοτε όρο προς όρο (ανεξαρτήτως αν η σειρά Fourier της συγκλίνει ή όχι) σε μια συγκλίνουσα σειρά L Δυστυχώς δεν είναι αληθές ότι κάθε μηδενική ακολουθία μπορεί να γραφεί ως ακολουθία συντελεστών Fourier μιας απόλυτα ολοκληρώσιμης συνάρτησης Τότε όμως πως μπορούμε να ξεχωρίσουμε πότε μια τριγωνομετρική σειρά είναι σειρά Fourier μιας συνάρτησης; Μια ικανή συνθήκη μας δίνει το ακόλουθο Θεώρημα (Riesz-Fischer) Εστω c είναι μια τετραγωνικά αθροίσιμη ακολουθία μιγαδικών αριθμών, δηλαδή c Τότε υπάρχει τετραγωνικά ολοκληρώσιμη T περιοδική συνάρτηση (δηλαδή T / T / t dt ) τέτοια ώστε c ˆ Ο χώρος των τετραγωνικά ολοκληρώσιμων T περιοδικών συναρτήσεων συμβολίζεται με L και είναι πολύ σημαντικός Κατ αρχήν περιέχεται στον L Στο χώρο L μπορούμε να ορίσουμε ένα εσωτερικό γινόμενο ως εξής: 5

T / T /, g g ( ) d Tότε, σε αναλογία με την ευκλείδια γεωμετρία ορίζεται μια νόρμα στον έτσι ώστε L T /, d T / Τότε λέμε ότι τα στοιχεία, gl είναι κάθετα αν και μόνον αν i T, g Αποδεικνύεται ότι το σύνολο e είναι μια T ορθοκανονική βάση του χώρου αυτού, άρα για κάθε υπάρχει μοναδική ακολουθία συντελεστών c i im i im T T T T,, c e e c e e im T ˆ, e T c c m m m L έτσι ώστε Eπιπλέον ισχύει το ακόλουθο: Θεώρημα (Ταυτότητα του Parseval) Αν L,τότε T T / ( ) d a T / a b, = όπου a, b είναι όπως παραπάνω Ισοδύναμα: T T / ( ) d T / = Σημείωση Αν είναι μια T περιοδική και άρτια συνάρτηση, τότε η σειρά Fourier της παίρνει τη μορφή S[ ] a acos = T 6

και μιλούμε για σειρά συνημιτόνων της Αν η είναι μια T περιοδική και περιττή συνάρτηση, τότε η σειρά Fourier της παίρνει τη μορφή S[ ] b si = T και μιλούμε για σειρά ημιτόνων της Συμπερασματικά, η σειρά Fourier είναι ένας μετασχηματισμός που αναλύει μια περιοδική συνάρτηση στο φάσμα συχνοτήτων της (διακριτών) Δηλαδή από μια (συνεχή) συνάρτηση προκύπτει μια διακριτή ακολουθία ˆ, Το είναι η συχνότητα που μετρά το πλήθος των ταλαντώσεων ανά περίοδο Eτσι ο αριθμός ˆ μας δίνει ένα μέτρο του κατά πόσο η -ιοστή συχνότητα είναι ουσιώδης στην αναπαράσταση της συνάρτησης μέσω της σειράς Fourier αυτής Β5 Μετασχηματισμός Fourier Ορισμός Εστω : είναι απόλυτα ολοκληρώσιμη συνάρτηση στο, δηλαδή L: L Ορίζουμε το μετασχηματισμό Fourier της ως εξής: i e d, Κατ αρχήν αναφέρουμε χρήσιμες ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier που αποδεικνύονται εύκολα: Πρόταση Εστω, g L Eχουμε: F a bg aˆ bgˆ, a, b (γραμμικότητα) F Αν, τότε F3 Για ισχύει: ˆ i e (μετάθεση στο χρόνο) 7

e (μετάθεση στις συχνότητες) i ˆ F4 Για a ισχύει:: a ˆ a a (διαστολή στο χρόνο) F6 Αν F t dt και F L, τότε ˆ ˆ F, (αντιπαράγωγος στο χρόνο) i F7 Αν και ( k),,, L, τότε: ( k ),,,, k i (παράγωγοι στο χρόνο) L ( k ) ˆ L F8 Αν και και: i τότε η είναι παραγωγίσιμη (παράγωγος στις συχνότητες) g t g t dt είναι η συνέλιξη των, g, τότε F9 Αν Λήμμα Αν, g L ( ) ( ), g g (συνέλιξη στο χρόνο) g d, τότε g d Αναφέρουμε το μετασχηματισμό Fourier συναρτήσεων ορισμένων χρήσιμων συναρτήσεων Αν A, τότε Αν A/, A/ A A A, τότε A/, A/ 8

Αν, A AA A A, τότε A A Αν, τότε, A AA A A Αν Αν e, τότε, τότε e και αντιστρόφως e Θεώρημα Εστω Fourier της Τότε: L και είναι ο μετασχηματισμός (α) Η είναι ομοιόμορφα συνεχής συνάρτηση στο (β) (Αντιστροφής): Aν L, ισχύει σε κάθε σημείο συνέχειας της i e d Η συνάρτηση i καλείται αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier της (γ) (Μοναδικότητας): Aν, τότε σημείο συνέχειας της e d σε κάθε (δ) (Riema-Lebesgue): lim ˆ Σημείωση (α) Είναι εύκολο να δούμε ότι το θεώρημα αντιστροφής μπορεί να γραφεί υπό τη μορφή i i e d e d d d Ετσι, αν η είναι άρτια συνάρτηση στο, τότε 9

d d και ορίζουμε το συνημιτονικό μετασχηματισμό Fourier της εξής: d με τύπο αντιστροφής: d ως Αν η είναι περιττή συνάρτηση στο ημιτονικό μετασχηματισμό Fourier της, τότε ορίζουμε τον ως εξής: με τύπο αντιστροφής: d d Β6 Μετασχηματισμός Laplace Ορισμός Εστω :, Καλούμε μετασχηματισμό Laplace της, συμβολικά τη συνάρτηση b st st F s s ( t) e dt lim ( t) e dt b για όλες τις τιμές του s για τις οποίες το μη γνήσιο st ολοκλήρωμα της () t e συγκλίνει Ο μετασχηματισμός Laplace απεικονίζει μια συνάρτηση ορισμένη στο πεδίο του χρόνου Δηλαδή: t F σε μια νέα συνάρτηση Fs Εφόσον ο μετασχηματισμός Laplace απεικονίζει συναρτήσεις σε συναρτήσεις, είναι λογικό να αναρωτηθούμε αν υπάρχει αντίστροφος μετασχηματισμός που να απεικονίζει το μετασχηματισμό Laplace στην αρχική συνάρτηση Πράγματι

υπό κατάλληλες συνθήκες υπάρχει ο αντίστροφος μετασχηματισμός όπως θα δούμε παρακάτω Ετσι για το μετασχηματισμό Laplace γράφουμε: F Μια ικανή συνθήκη ύπαρξης του μετασχηματισμού Laplace δίνει το ακόλουθο Θεώρημα Εστω :, είναι μια συνάρτηση: (i) τμηματικά συνεχής (δηλαδή είναι συνεχής παντού πλην πεπερασμένου πλήθος σημείων για τα οποία υπάρχουν τα πλευρικά όρια και lim t, i,, N και είναι πεπερασμένα) και lim t tt i t,, tn tt i at (ii) εκθετικής τάξης α (δηλαδή e t M t c, όπου είναι πραγματικές σταθερές με Mc, ) Τότε ο μετασχηματισμός Laplace της ορίζεται για κάθε και επιπλέον lim Fs ( ) s Res M, a, c a Αναφέρουμε το μετασχηματισμό Laplace ορισμένων στοιχειωδών συναρτήσεων, Re( s) s at e, Re( s ) Re( a ) s a! t, Re( s ), s a s a s at, Re( s ) s a, Re( s ) at Αν εξαιρέσουμε τέτοιες στοιχειώδεις συναρτήσεις των οποίων ο μετασχηματισμός Laplace υπολογίζεται με απ ευθείας ολοκλήρωση, για συναρτήσεις με πιο πολύπλοκο τύπο τα πράγματα δυσκολεύουν Απ την άλλη μεριά ένα κριτήριο χρησιμότητας ενός

μετασχηματισμού είναι οι ιδιότητες αυτού που διευκολύνουν τους υπολογισμούς Εχουμε: Aν τότε Σημείωση Εστω Γραμμικότητα a bg s a s b gs Μετάθεση στο πεδίο των συχνοτήτων s () t e bt s b Μετάθεση στο πεδίο του χρόνου t b t b g t, t, b t b bs g ts e s, t b ub t, t, b, t b είναι η μοναδιαία συνάρτηση βήματος Ηeaviside Τότε η παραπάνω ιδιότητα γράφεται ως εξής: bs b, R e( ) u t b e s a Διαστολή/Στάθμιση s b b ( bt) Momets ( ) t ( t) ( ) ( s) Παράγωγοι

Αν :, είναι φορές παραγωγίσιμη με εκθετικής τάξης a παραγώγους παράγωγο ( ) ( ) για κάθε,,, τότε t και τμηματικά συνεχή ( k ) k k ( k) ( k) s s s Αν τότε: Συνέλιξη g t g t d t g t g t d Ορισμός Εστω F : A : F F( s) Αν υπάρχει συνάρτηση :, : ( t) τέτοια ώστε s F s, τότε η καλείται αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της F και γράφουμε F Άρα F F Αν FG, είναι οι μετασχηματισμοί Laplace δυο συνεχών συναρτήσεων, g:,, τότε με τη βοήθεια των ιδιοτήτων του μετασχηματισμού Laplace αποδεικνύονται άμεσα οι ακόλουθες ιδιότητες του αντίστροφου μετασχηματισμού Laplace: Γραμμικότητα af bg a F b G Μετάθεση στο πεδίο συχνοτήτων F s b ( t) e bt, t Μετάθεση στο πεδίο χρόνου bs e F s u ( t b), t, b b 3

Διαστολή t F bs, t, b b b Momets ( ) ( ) F t ( t), t Συνέλιξη F G g 4

Β7 Η μέθοδος των δυναμοσειρών Διαφορικές εξισώσεις Bessel Εστω γραμμική δε ης τάξης με μεταβλητούς συντελεστές P Q R Το βασικό πρόβλημα στην εύρεση της γενικής λύσης μιας τέτοιας δε είναι η εύρεση δυο γραμμικά ανεξάρτητα λύσεων της ομογενούς δε P Q Απ την άλλη μεριά, σε πολλές εφαρμογές μας αρκεί να λύσουμε μια διαφορική εξίσωση «τοπικά», δηλαδή σε μια περιοχή δοθέντος σημείου Στην ενότητα αυτή ασχολούμαστε μ αυτό το πρόβλημα αναπτύσσοντας τη μέθοδο των δυναμοσειρών Ορισμός Εστω Το καλείται ομαλό ή σύνηθες σημείο της ομογενούς δε P Q, εάν οι συντελεστές PQ, είναι αναλυτικές συναρτήσεις στο Αν τουλάχιστον κάποια από τις PQ, δεν είναι αναλυτική συνάρτηση στο, τότε το καλείται ανώμαλο σημείο Υπενθυμίζουμε ότι οι συναρτήσεις PQ, είναι αναλυτικές στο, αν οι PQ, έχουν παραγώγους κάθε τάξης στο και αναπτύσσονται σε σειρά Talor ( ) P P I P! και ( ) Q Q IQ αντιστοίχως, όπου μορφής! I P και I είναι διαστήματα κέντρου Q της, και IQ RQ, RQ I R R Οι αριθμοί R, R είναι οι ακτίνες σύγκλισης των αντιστοίχων δυναμοσειρών P P P P Q 5

Θεώρημα Αν είναι ομαλό σημείο της δε P Q τότε η γενική λύση της είναι της μορφής για κάθε mi RP, RQ και, ( ) a a ( ) b, όπου a, a είναι γραμμικά ανεξάρτητες συναρτήσεις, είναι αυθαίρετες σταθερές Θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο δυναμοσειρών με το ακόλουθο Παράδειγμα Να επιλυθεί η δε 3 σε μια περιοχή του μηδενός Προφανώς oι P( ) 3 /( ) και Q( ) /( ) είναι (ως ρητές) αναλυτικές συναρτήσεις για με κοινή ακτίνα σύγκλισης Συνεπώς, το είναι ομαλό σημείο της δε, οπότε η γενική λύση είναι της μορφής ( ) a R Παραγωγίζουμε την αρχική δε όρο προς όρο δυο φορές και αντικαθιστούμε στην αρχική δε: a 3 a a a a 3a 6a a a a 3 Λόγω μοναδικότητας του αναπτύγματος, έχουμε a a a a3 3 6 a a a 6

a a a a3 6 a a a Από τον αναδρομικό τύπο βρίσκουμε Αρα η γενική λύση της δε είναι a 3 a, a a a, 8 8 4 5 a a a a 3a a a 6 8 8 3 4 5 3 5 3 3 3 a a, 6 8 8 Σημείωση Για τη γενική λύση της δε P Q R ισχύει η βασική θεωρία, δηλ ότι είναι το άθροισμα μιας μερικής της λύσης και της γενικής λύσης της ομογενούς, υπό την προϋπόθεση όμως ότι ο «σταθερός όρος» R είναι αναλυτική συνάρτηση σε μια περιοχή του Τότε, μπορούμε απευθείας να βρούμε τη λύση της δε εργαζόμενοι όπως στο προηγούμενο παράδειγμα Παράδειγμα Να λυθεί η δε e Το είναι ομαλό σημείο της δε και είναι γνωστό ότι οι σειρές McLauri των συναρτήσεων και e είναι οι Εστω 3 5 7 3! 5! 7! 4 6 e 3! 7

( ) a είναι η γενική λύση της δε Παραγωγίζουμε την παραπάνω δυναμοσειρά όρο προς όρο δυο φορές και αντικαθιστούμε στην αρχική δε μαζί με τις σειρές McLauri των και έχουμε a 6a a a 3 3 4 5 και 3 5 7 4 6 3 a a a a3 3! 5! 7! 3! Μηδενίζοντας τους συντελεστές των ομοιοβάθμιων δυνάμεων του παίρνουμε e οπότε a, 3! a, 6a3 a, a4 a, a5 a, a a a a, a3, a4, a5, 6 4 και άρα η γενική λύση είναι a 3 a 4 a 5 a a 6 4 3 5 4 4 a a 6 Τι συμβαίνει όμως στην περίπτωση που το είναι ανώμαλο σημείο της δε; Ορισμός Εστω είναι ανώμαλο σημείο της ομογενούς δε P Q Το καλείται σύνηθες ανώμαλο σημείο, εάν οι συναρτήσεις P και Q 8

είναι αναλυτικές συναρτήσεις στο Αν τουλάχιστον μια από τις παραπάνω συνθήκες δεν ικανοποιείται, τότε το καλείται ουσιώδες ανώμαλο σημείο Θεώρημα Εστω είναι σύνηθες ανώμαλο σημείο της ομογενούς δε P Q Τότε η δε έχει πάντα μια λύση της μορφής ( ) a r για κάθε σε κατάλληλο διάστημα κέντρου, όπου είναι πραγματική ή μιγαδική σταθερά που προσδιορίζεται παρακάτω Επιπλέον, εάν είναι οι σταθερές των αναπτυγμάτων Talor, των συναρτήσεων P και Q rr, είναι οι ρίζες της εξίσωσης αντιστοίχως και r έχουμε: r r, α) r r,,, Τότε οι συναρτήσεις και r a a ( ) r, b b ( ) αποτελούν δυο γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της δε β) r r,, Τότε, για r r, οι συναρτήσεις και ( ) a r a r ( ) c l b b, c, αποτελούν δυο γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της δε Η c 9

προσδιορίζεται επακριβώς γ) r r Τότε οι συναρτήσεις και ( ) a r a r ( ) l b b, αποτελούν δυο γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της δε Παράδειγμα Να λυθεί σε μια περιοχή του μηδενός η δε Βessel,, Προφανώς το είναι σύνηθες ανώμαλο σημείο της δε, οπότε αναζητούμε λύση της μορφής r ( ) a Παραγωγίζοντας δυο φορές την, αντικαθιστώντας στη δε και εξισώνοντας τους συντελεστές των ομοιοβάθμιων δυνάμεων του με μηδέν παίρνουμε r a r a Για a, έχουμε r, r k a a k k και εφ όσον, k,3,4, έχουμε r Τότε 3

r a a, k,3,4, ak ak k k k k ak ak Αρα, για k περιττό έχουμε a3 a5 ενώ για k άρτιο έχουμε a και γενικότερα a, a a a 4 4 4 4 a a 4 6 ( ) ( ) ( ) Αντικαθιστώντας αυτές τις εκφράσεις των συντελεστών παίρνουμε τη λύση 4! ( ) a Αν θεωρήσουμε a /, όπου e e d είναι η γάμμα συνάρτηση, τότε παίρνουμε τις συναρτήσεις Bessel ου είδους τάξης : J ( ) / 4! 3

8 6 4 5 5 4 Oι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων J, J, J Για αλλά,,, ορίζεται η συνάρτηση J ( ) / 4! που αποκλίνει στο μηδέν 3 5 5 3 Oι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων J 5, J 5, J 5 Τότε, οι J και J αποτελούν δυο γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της δε Βessel και άρα η γενική της λύση είναι η c J ( ) c J Σημείωση (α) Αν o είναι φυσικός αριθμός, τότε ο τύπος της J απλοποιείται στη μορφή 3

!! J ( ) Σ αυτή την περίπτωση η δεν ορίζεται Τότε, μια δεύτερη γραμμικά ανεξάρτητη λύση της δε Bessel δίνεται μέσω των συναρτήσεων Bessel ου είδους τάξης που ορίζονται ως εξής: J cos( ) J( ) J( ), ( ) cos( ) lim k ( ), k 4 5 5 4 6 8 Oι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων Y, Y, Y 5 5 5 5 Oι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων Y 5, Y 5, Y (β) Η δε,, καλείται τροποπιημένη εξίσωση Bessel και έχει δυο γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της μορφής: 33

και I ( )! ( ) ( ), ( ) ( ) lim k ( ), k Σημειώνουμε ότι αυτές οι λύσεις είναι μη φραγμένες 5 5 5 3 4 5 Oι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων I, I 6, I 3, I 5 5 4 3 3 4 5 Oι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων K, K, K 5 5 3 4 5 Oι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων K 5, K3, K4 34

KΕΦΑΛΑΙΟ Εισαγωγή Μερικές διαφορικές εξισώσεις ης τάξης Γενικά Καλούμε μερική διαφορική εξίσωση (ΜΔΕ), ή διαφορική εξίσωση με μερικές παραγώγους (ΔΕΜΠ), μια εξίσωση που περιέχει μια άγνωστη πραγματική συνάρτηση δύο ή περισσοτέρων μεταβλητών και τουλάχιστον μια από τις μερικές παραγώγους της Τάξη ΜΔΕ καλείται η τάξη της μεγαλύτερης μερικής παραγώγου που περιέχεται στη διαφορική εξίσωση Για παράδειγμα, αν u C, τότε η γενική μορφή των ΜΔΕ ης τάξης είναι Για παράδειγμα, οι F,, u, u, u u u, u u u είναι ΜΔΕ ης τάξης, u u u u, Ορισμός Λύση ΜΔΕ καλείται κάθε συνάρτηση που ικανοποιεί τη ΜΔΕ Ορισμός Γενική λύση ΜΔΕ καλείται μια οικογένεια λύσεων που περιέχει αυθαίρετες συναρτήσεις, το πλήθος των οποίων είναι ίσο με την τάξη της Ορισμός 3 Μερική λύση ΜΔΕ καλείται κάθε συνάρτηση που ικανοποιεί τη ΜΔΕ και προκύπτει από τη γενική λύση της με συγκεκριμένη επιλογή των αυθαίρετων συναρτήσεων Παράδειγμα Εστω u C τέτοια ώστε u ( ) Η γενική λύση αυτής υπολογίζεται με απευθείας ολοκληρώσεις: u ( ) u ( ) d a 35

u a d a d b Θεωρούμε ότι a b C u a b, Yπάρχουν δυο βασικές κατηγορίες ΜΔΕ: οι γραμμικές και οι μη γραμμικές Υπενθυμίζουμε ότι αν V είναι ένας (πραγματικός ή μιγαδικός) διανυσματικός χώρος, τότε ένας τελεστής :V V καλείται γραμμικός, αν au bv a u b v, a, b η, u, v V Ετσι, για τη διδιάστατη περίπτωση, αν AB,, : είναι γνωστές συναρτήσεις και u : είναι μια άγνωστη C (Ω)- συνάρτηση, τότε κάθε ΜΔΕ της μορφής A, u B(, ) u, u καλείται ομογενής γραμμική ΜΔΕ ης τάξης, διότι αν ορίσουμε τότε A B, au bv a u b v Υπενθυμίζουμε ότι αν είναι δυο λύσεις μιας ομογενούς ΜΔΕ, τότε κάθε γραμμικός συνδυασμός τους είναι επίσης λύση της ίδιας ΜΔΕ Αυτή είναι η αρχή της υπέρθεσης Κάθε ΜΔΕ της μορφής uv,, (, ),, A u B u u, όπου : είναι γνωστή συνάρτηση, καλείται μη ομογενής γραμμική ΜΔΕ ης τάξης Στην περίπτωση αυτή, αν αθροίσουμε τη γενική λύση της ομογενούς ΜΔΕ και μια μερική λύση της μη ομογενούς ΜΔΕ, παίρνουμε τη γενική λύση της μη ομογενούς ΜΔΕ 36

Κάθε ΜΔΕ, (, ),, A u B u C u, όπου είναι γνωστές συναρτήσεις και η C είναι συνάρτηση των, και της άγνωστης συνάρτησης u, καλείται ημι-γραμμική ΜΔΕ ης τάξης Πρόκειται για μια κλάση μη γραμμικών ΜΔΕ Αν AB,,,,, C u u τότε η παραπάνω ανάγεται σε μια γραμμική ΜΔΕ Μια πιο ευρεία κλάση από τις ημιγραμμικές ΜΔΕ είναι οι σχεδόν γραμμικές ΜΔΕ που έχουν τη μορφή,, (,, ),, A u u B u u C u, Παρακάτω θα δούμε μεθόδους επίλυσης τέτοιων ΜΔΕ ης τάξης Παράδειγμα Εστω u C και u u, Τότε: u u u, u, u, u, a όπου a, Εφόσον η παράγωγος της u κατά την κατεύθυνση του (σταθερού) διανύσματος a ισούται με μηδέν, η γενική λύση u της ΜΔΕ είναι σταθερή κατά μήκος οποιασδήποτε ευθείας παράγεται απ το διάνυσμα a, δηλαδή κατά μήκος όλων των ευθειών της μορφής b, b αυθαίρετη σταθερά Αυτές καλούνται ισοσταθμικές καμπύλες της ΜΔΕ Ετσι, ισχύει u, C πάνω σε κάθε ευθεία b, όπου C σταθερά κατά μήκος συγκεκριμένης ευθείας, η οποία μεταβάλλεται κάθε φορά που αλλάζει η ευθεία, δηλαδή εξαρτάται απ το b, συνεπώς το C είναι συνάρτηση του b Αρα η γενική λύση της ΜΔΕ είναι:, u C b C, όπου C είναι μια αυθαίρετη παραγωγίσιμη πραγματική συνάρτηση με συνεχή παράγωγο στο 37

Παράδειγμα 3 Υπολογίστε τη γενική λύση u C e u u t της ΜΔΕ Θα εφαρμόσουμε μια γενική μέθοδο επίλυσης, τη μέθοδο των χαρακτηριστικών καμπύλων Eστω γ είναι μια λεία καμπύλη s s, t s, s z s u s, t s είναι οι με τύπο r και τιμές της u πάνω στην καμπύλη Τότε, απ τον κανόνα αλυσίδας έχουμε: Θεωρώντας ότι Προκύπτει ότι dz u d u dt u d dt ut ds ds t ds ds ds d e ds, dt ds dz e u u u( ( s)) C dt r Δηλαδή, η λύση της ΜΔΕ είναι σταθερή κατά μήκος οποιασδήποτε χαρακτηριστικής καμπύλης r Η οικογένεια αυτών των χαρακτηριστικών καμπύλων προκύπτει από τη λύση της συνήθους δε dt / ds dt d / ds e d e και έχει τη μορφή Ετσι, u, t t e e a, a αυθαίρετη σταθερά C πάνω σε κάθε καμπύλη t e e a, όπου C σταθερά που μεταβάλλεται κάθε φορά που αλλάζει η καμπύλη, δηλαδή εξαρτάται απ το a, συνεπώς είναι συνάρτηση του a Αρα η γενική λύση της ΜΔΕ είναι η εξής:, u t C a C t e e, όπου C είναι μια αυθαίρετη παραγωγίσιμη παραγματική συνάρτηση με συνεχή παράγωγο στο 38

Παράδειγμα 4 Εστω u C και u u u είναι μια ημι-γραμμική ΜΔΕ με μη σταθερούς συντελεστές Eστω γ είναι λεία καμπύλη με τύπο r s s, s και z s u s, s Τότε απ τον κανόνα αλυσίδας έχουμε: Αν τότε dz u d u d u d d u () ds ds ds ds ds d ds, d ds d c () d Eτσι, κατά μήκος κάθε τέτοιας καμπύλης () έχουμε λόγω (): dz dz d dz dz u u u u ds d ds d d Η λύση αυτής είναι z d c, l (κατά μήκος της καμπύλης c d c σταθερά που μεταβάλλεται κάθε φορά που αλλάζει η καμπύλη c Αρα, η γενική λύση είναι: u, d l, ), όπου όπου d είναι αυθαίρετη παραγωγίσιμη συνάρτηση στο * Συχνά θέλουμε να υπολογίσουμε συγκεκριμένες λύσεις ΜΔΕ που ικανοποιούν επιπλέον συνθήκες Οι συνθήκες αυτές είναι: 39

είτε αρχικές συνθήκες (Cauch), αν το πρόβλημά μας είναι χρονο-εξαρτώμενο (δίνουν πληροφορία στην αρχή του χρόνου), είτε συνοριακές συνθήκες (Dirichlet), αν το πρόβλημα αναφέρεται σ ένα φραγμένο χωρίο (δίνουν πληροφορία για την κατάσταση στο σύνορο), είτε συνδυασμός αυτών Μια ΜΔΕ μαζί με τις επιπλέον συνθήκες λέμε ότι αποτελεί ένα πρόβλημα Ενα πρόβλημα είναι καλώς τεθιμένο αν έχει μοναδική και ευσταθή λύση, δηλαδή μικρή μεταβολή των συνθηκών, επιφέρει εξίσου μικρή μεταβολή στη λύση Εάν οι χαρακτηριστικές καμπύλες είναι λείες (δηλαδή σε κάθε σημείο των χαρακτηριστικών καμπύλων υπάρχει συνεχής και μη μηδενική παράγωγος), η επίλυση μιας γραμμικής ΜΔΕ ης τάξης με τη μέθοδο χαρακτηριστικών καμπύλων είναι πάντα εφικτή Επιπλέον, το Πρόβλημα Αρχικών τιμών (ΠΑΤ) για μια τέτοια ΜΔΕ ης τάξης έχει μοναδική λύση, υπό την προϋπόθεση ότι η καμπύλη επί της οποίας ορίζεται η αρχική συνθήκη, τέμνει όλες τις χαρακτηριστικές καμπύλες της ΜΔΕ σε μοναδικό σημείο u 3ut Παράδειγμα 5 Εστω u C και, t, είναι u, ένα πρόβλημα αρχικών τιμών Υπολογίστε τη μοναδική λύση του Eστω γ είναι λεία καμπύλη με τύπο s s, t s, s I : a, b z s u s, t s είναι οι τιμές r και της u πάνω στην καμπύλη Τότε, απ τον κανόνα αλυσίδας έχουμε: Eστω Τότε dz u d u dt u d dt ut ds ds t ds ds ds d ds dt 3 t 3 c dt 3 d ds 4

dz u(,3 c) Ac At 3 ds Αρα η γενική λύση της ΜΔΕ είναι η εξής:, 3 u t A t, όπου A είναι μια αυθαίρετη παραγωγίσιμη παραγματική συνάρτηση με συνεχή παράγωγο στο Λαμβάνοντας υπόψη την αρχική συνθήκη, παρατηρούμε ότι μας δίνεται η τιμή της συνάρτησης g ( ) κατά μήκος του άξονα των (δηλαδή κατά μήκος της ευθείας t=) Εφόσον η ευθεία t= τέμνει όλες τις χαρακτηριστικές καμπύλες της ΜΔΕ σε μοναδικό σημείο, αναμένουμε μοναδική λύση Πράγματι, έχουμε: 3, 3 u A A 3 9 A 9 Tελικά: 9 u, t At 3 9 3 t Το ακόλουθο πρόβλημα Cauch/Dirichlet, μπορεί να επιλυθεί με τη μέθοδο χαρακτηριστικών καμπύλων (αφήνεται ως άσκηση) Αντί αυτής, θα χρησιμοποιήσουμε μια άλλη μέθοδο επίλυσης, με χρήση του μετασχηματισμού Laplace Η μέθοδος αυτή αποτελεί μια εναλλακτική για προβλήματα αρχικών τιμών σε ημιάπειρα χωρία με ομογενή αρχική συνθήκη (και για γραμμικές ΜΔΕ) Παράδειγμα 6 Επιλύστε το πρόβλημα αρχικών/συνοριακών συνθηκών ut u,, t u, u, t Εστω 4

t, u, t F s είναι ο μετασχηματισμός Laplace της ως προς (υπό την προϋπόθεση ότι η u και η u είναι και οι δυο συναρτήσεις εκθετικής τάξης ως προς ) και στιγμήν Εφαρμόζουμε το μετασχηματισμό Laplace και στα δυο μέλη της ΜΔΕ, στη συνέχεια χρησιμοποιούμε ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace (βλέπε παράγραφο Β6) και παίρνουμε: t u σταθεροποιημένο προς t t t t u u sf, s u, F, s t d d s d s F, s F, s d s u, Για σταθεροποιημένο τάξης ως προς s, η παραπάνω είναι μια γραμμική ΔΕ ης με γενική λύση: s s d d s s F, s e Cs e d C( s) d s s Aλλά s s C s C() s s ss ss t t u, t u, t F, s Πρέπει λοιπόν Cs, συνεπώς: t t F, s F, s ss ss t t t u, t ss s s t e, t, 4

Παράδειγμα 7 Επιλύστε το πρόβλημα αρχικών συνθηκών u cu,,, c u, (υπό την προϋπόθεση ότι η u C u, u, u, u, (ο μετασχηματισμός Fourier της u *, lim,,, u ως προς απόλυτα ολοκληρώσιμες συναρτήσεις στο και η C ) είναι είναι μια γνωστή απόλυτα ολοκληρώσιμη συνάρτηση στο και ο μετασχηματισμός Fourier είναι επίσης ολοκληρώσιμη συνάρτηση στο ) Θα επιλύσουμε το πρόβλημα αυτό χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό Fourier Εστω, u, u, όπου είναι ο μετασχηματισμός Fourier της u ως προς και είναι καλά ορισμένος Σταθεροποιούμε προς στιγμήν κάποιο και εφαρμόζουμε το μετασχηματισμό Fourier και στα δυο μέλη της ΜΔΕ Στη συνέχεια χρησιμοποιούμε ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier (βλέπε παράγραφο Β5) και παίρνουμε: u cu i u c u d,, d c d i u, u, d c Για σταθεροποιημένο, η παραπάνω είναι μια ομογενής γραμμική ΔΕ ης τάξης ως προς με γενική λύση: Aλλά, u C e i,, u u C Ετσι: 43

,, i u e u u, c Σημείωση (α) Το παράδειγμα 7 μπορεί να επιλυθεί με τη μέθοδο χαρακτηριστικών χωρίς τις επιπλέον συνθήκες που απαιτούνται για τη χρήση της μεθόδου του μετασχηματισμού Fourier (β) Οι μέθοδοι Laplace και Fourier μπορούν να χρησιμοποιηθούν μόνον σε προβλήματα αρχικών/συνοριακών συνθηκών που σχετίζονται με γραμμικές ΜΔΕ Η μέθοδος των χαρακτηριστικών είναι πιο γενική και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση κάποιων μη γραμμικών ΜΔΕ ης τάξης Παράδειγμα 8 Εστω C :, t λύση του προβλήματος Υπολογίστε τη t, tah Eστω γ είναι λεία καμπύλη με τύπο s s, t s zs s, t s r και είναι οι τιμές της ρ πάνω στην καμπύλη Τότε, απ τον κανόνα αλυσίδας έχουμε: Eστω Τότε d d dt t ds ds ds d ds d dt dt ds (3) dz ( t, t) C ds (4) Θέτουμε στην (4) όπου t= και =(), οπότε παίρνουμε: (,) C (,) C tah C, 44

με, C Aντικαθιστούμε την (4) στην (3) και έχουμε d dt d C Ct d, dt δηλαδή οι χαρακτηριστικές καμπύλες είναι ευθείες Οι ευθείες αυτές διέρχονται από το σημείο (,), άρα συνεπώς C d d, tah t Oι ευθείες αυτές αποτελούν πράγματι χαρακτηριστικές καμπύλες για κάθε του γεγονότος αυτού οι ευθείες αυτές δεν τέμνονται για t (η tah είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση και λόγω t και ) Επιπλέον, αν θεωρήσουμε την εξίσωση (, t, ) tah t, t τότε, εφόσον για κάθε t, από το θεώρημα πλεγμένων συναρτήσεων, υπάρχει λύση της παραπάνω εξίσω- cosh σης της μορφής g(, t) τοπικά σε μια περιοχή του (,t) Δηλαδή, η λύση του ΠΑΤ είναι της μορφής: ( t, t) C tah, t tah( g(, t)) Eτσι, θεωρώντας ότι tah για κοντά στο μηδέν, έχουμε tah t t, t oπότε για t έχουμε ( t, t) C tah, t tah t 45

Γραμμικές Μερικές Διαφορικές εξισώσεις ης τάξης και ταξινόμησή τους Στον, κάθε ΜΔΕ της μορφής A, u B(, ) u, u, u E, u Z, u καλείται ομογενής γραμμική ΜΔΕ ης τάξης, ενώ η A, u B(, ) u, u, u E, u Z, u (, ) καλείται μη ομογενής γραμμική ΜΔΕ ης τάξης Στις παραπάνω ισότητες οι A, B,, Z και είναι γνωστές πραγματικές συναρτήσεις δυο μεταβλητών Μια διδιάστατη γραμμική ΜΔΕ ης τάξης καλείται: Ελλειπτική σε σημείο Υπερβολική σε σημείο Παραβολική σε σημείο,, αν A B 4,, αν A B, 4,, αν A B, 4, Η ταξινόμηση αυτή μας θυμίζει την ταξινόμηση δευτεροβάθμιων καμπύλων στο επίπεδο Αν η ΜΔΕ είναι πχ ελλειπτική σε κάθε σημείο χωρίου E, τότε λέμε ότι η ΜΔΕ είναι ελλειπτική στο περιπτώσεις πχ ελλειπτικών γραμμικών ΜΔΕ ης τάξης είναι οι εξισώσεις Laplace και Poisso που θα δούμε στο επόμενο κεφάλαιο E Χαρακτηριστικές Ο παραπάνω χαρακτηρισμός γενικεύεται και για Εστω,, και u C : u u είναι πραγματική συνάρτηση Κάθε ΜΔΕ της μορφής όπου A u B u u, i, j ij r r i j r 46

A A A A A είναι γνωστός συμμετρικός πίνακας πραγματικών συναρτήσεων Br Br,, είναι γνωστές πραγματικές συναρτήσεις,, και μεταβλητών και μεταβλητών, καλείται μη ομογενής γραμμική ΜΔΕ -τάξης Eστω,, N N N είναι το πλήθος των θετικών, αρνητικών ή μηδενικών ιδιοτιμών του πίνακα η ανωτέρω ΜΔΕ είναι: A αντιστοίχως Τότε λέμε ότι Ελλειπτική στο σημείο, αν N, ή N Υπερβολική στο σημείο και N N Παραβολική στο σημείο και N N, αν N, αν και N N και N, ή, ή 47

3 Ασκήσεις Υπολογίστε την τάξη των κάτωθι ΜΔΕ: Α) 3 6 u u u u, Β) u 3u u u 3 u, z z 3 3 Γ) u 3u u u, Δ) u u u u uu u Απάντ Α: 4, Β: 3, Γ:, Δ: 4 Ποιες από τις παρακάτω ΜΔΕ είναι γραμμικές ημι-γραμμικές και σχεδόν γραμμικές; Α) u 3u zu 4u, Β) u u u, Γ) z u u u, Δ) 3 6 u u u u, Ε) u 3u u u 3 u, z z 3 3 Ζ) u 3u u u, Η) u u u u uu u Απάντ Γραμμικές είναι οι Α, Β, Δ Ημιγραμμικές είναι οι Ε και Ζ Σχεδόν γραμμικές είναι οι Γ και Η 3 Yπολογίστε τη γενική λύση των ΜΔΕ: Α) u, B) uz u u, Δ) z, Γ) u u 5u,, Ε) u u,,, Ζ) u u u, Η) 3u u 3u u,, Θ) u u u,,, Ι) u u u,, Κ) uu u, Απάντ A) u(, ) a( ) b( ), 4 48

3 z Β) u(,, z) A(, ) B(, z) (, z), 3 5 Γ) u(, ) a( ), Δ) u (, ), E) u(, ) A, 5 ( 3 ) 3 Z) u(, ) e a( ) u(, ) e 3 Θ), H) A e u(, ) e a( ), I) u(, ), K) u, Ag(, ), για κατάλληλη A με συνεχή παράγωγο και τέτοια ώστε η εξίσωση (, c, ) A( c) να επιλύεται ως προς c σε μια περιοχή του (,), δηλαδή c g(, ) 4 Ταξινομήστε τις γραμμικές ΜΔΕ ης τάξης: Α) 3u u 5u u, Β) u u, Γ) u c u c,, tt Δ) u 4u 5u u u, Ε) u 4u 4u 3u 4u, Ζ) u u 3u u 6u, Θ) u u u Απάντ Οι A, Δ είναι ελλειπτικές στο Η Β είναι ελλειπτική στο ημιεπίπεδο >, υπερβολική στο ημιεπίπεδο < και παραβολική πάνω στην ευθεία = Οι Γ και Ζ είναι υπερβολικές στο Η Ε είναι παραβολική στο Η Θ είναι παραβολική πάνω στην ευθεία = και υπερβολική σε όλα τα υπόλοιπα σημεία 5 Με χρήση του μετασχηματισμού ΜΔΕ 3 u 3 v Απάντ: ( u, v) A( u) B( v) επιλύστε στο τη, όπου A, B C 6 Να επιλυθεί το πρόβλημα αρχικών-συνοριακών τιμών 49

ut u u,,, t u, t t Απάντ: u(, t) t 4 7 Να επιλυθεί με τη μέθοδο Fourier το πρόβλημα αρχικών τιμών u 3u,, u, e Απάντ: 3 e u(, ) 5