ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ. Εµβαδά., x 1 x f

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Εµβαδά Θέµα 1 ίνεται η συνάρτηση x e e, x< 1 (x) = l nx, x 1 x Να δείξετε ότι η είναι συνεχής και να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C, τον άξονα xx και τις ευθείες x= 0, x= e. Μαύρος Γιάννης Σελίδα 1 από 13

Θέµα nx ίνεται η συνάρτηση (x) = x l, x> 0. x (i) Να βρείτε το πρόσηµο της. (ii) Να βρείτε τα όρια lim (x) και lim (x). x 0 x + (iii) Να υπολογίσετε το εµβαδόν Ε του χωρίου που περικλείεται από την άξονα xx και τις ευθείες x= 1, x= 4. C, τον Μαύρος Γιάννης Σελίδα από 13

Θέµα 3 αx+ 1 ίνεται η συνάρτηση (x) =. 1 x (i) Να βρεθεί ο α R ώστε (0) = (0). (ii) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την xx και τις ευθείες x=, x= 4. C τον άξονα Μαύρος Γιάννης Σελίδα 3 από 13

Θέµα 4 5 4 3 6 ίνονται οι συναρτήσεις (x) = ηµ x συν x και g(x) = ηµ x συν x. Να βρεθεί το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις C, C g, τον άξονα ψψ π και την ευθεία x=. Μαύρος Γιάννης Σελίδα 4 από 13

Θέµα 5 4x+ 9 ίνεται η συνάρτηση (x) =. (x+ 3) (i) Να µελετηθεί και να παρασταθεί γραφικά. A 0, (0). (ii) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης στο σηµείο ( ) α β (iii) Να βρεθούν οι α,β R ώστε: (x) = +. x+ 3 (x+ 3) (iv) Να υπολογιστεί το εµβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από την εφαπτοµένη στο Α, τον άξονα xx και την ευθεία x=. C, την Μαύρος Γιάννης Σελίδα 5 από 13

Θέµα 6 ίνεται η συνάρτηση 1 x (x) = x e. (i) Να βρεθούν τα ακρότατα της. (ii) Να βρεθεί το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την εφαπτόµενες στα σηµεία των ακρότατων. C και τις Μαύρος Γιάννης Σελίδα 6 από 13

Θέµα 7 8 ίνεται η συνάρτηση (x) = 1+, x 0. x (i) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C, τον άξονα xx και τις ευθείες x=, x= 4. (ii) Να βρείτε την ευθεία ε :ψ= λ, λ R που χωρίζει το χωρίο σε δύο ισεµβαδικά χωρία. Τι είναι για την C η ευθεία ε ; Μαύρος Γιάννης Σελίδα 7 από 13

Θέµα 8 x ίνεται η συνάρτηση (x) = και έστω Ω το χωρίο που περικλείεται 4 x + 4x + 4 από την C, τον άξονα xx και τις ευθείες x= 0, x= 4. Να βρείτε την κατακόρυφη ευθεία που χωρίζει το χωρίο Ω σε δύο ισοεµβαδικά χωρία. Μαύρος Γιάννης Σελίδα 8 από 13

Θέµα 9 (i) Να βρεθεί το εµβαδόν Ε(t) του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης ( t> 0). (ii) Να βρεθεί το limε(t). t + (x) = e x τους άξονες xx, ψψ και την ευθεία x= t, Μαύρος Γιάννης Σελίδα 9 από 13

Θέµα 10 ( l ) x nx 1, x> 0 ίνεται η συνάρτηση (x) =. 0, x= 0 (i) Να µελετηθεί η ως προς την συνέχεια, την παραγωγισιµότητα, να γίνει ο πίνακας µεταβολών της και η γραφική της παράσταση. (ii) Να υπολογιστεί το εµβαδόν Ε(α) του χωρίου που περικλείεται από την C και τις ευθείες ψ= x, x= α και x= e, µε 0< α< e. (iii) Να βρεθεί το όριο lim Ε(α). Τι εκφράζει αυτό το όριο; α 0 Μαύρος Γιάννης Σελίδα 10 από 13

Θέµα 11 x nx ίνονται οι συναρτήσεις (x) = + l x και g(x) =. x (i) Να υπολογίσετε το εµβαδόν Ε(α) του χωρίου που περικλείεται από τις και τις ευθείες x= 1, x= α µε α> 1. Ε(α) (ii) Να βρείτε το όριο lim. α + α C, C g Μαύρος Γιάννης Σελίδα 11 από 13

Θέµα 1 1 x ίνεται η συνάρτηση (x) xe, x< 0 =. xln(x + 1), x 0 (i) Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται. (ii) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις C και C 1. Μαύρος Γιάννης Σελίδα 1 από 13

Θέµα 13 ίνεται η συνάρτηση η συνάρτηση για την οποία ισχύει: x 1 t (t) (x) = + dt x x, x ( 0, + ). 1 (i) Να δείξετε ότι η είναι παραγωγίσιµη στο (0, + ). 1+ ln x (ii) Να δείξετε ότι: (x) =, x ( 0, + ). x (iii) Να βρείτε τις ασύµπτωτες και το σύνολο τιµών της. (iv) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης, τον άξονα xx και τις ευθείες x= 1, x= e. Μαύρος Γιάννης Σελίδα 13 από 13