ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Α κι θετικός κέριος τότε η µη ρητική ρίζ της εξίσωσης λέγετι ιοστή ρίζ του κι συµολίζετι. ηλδή = Γράφουµε: = = ( ) = κι = Πρτηρήσεις. Ο συµολισµός έχει όηµ µόο ότ. Στη πράστση χρησιµοποιούµε τη ορολογί: είκτης της ρίζς Σύµολο της ρίζς υπόριζο Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΡΙΖΩΝ Α, µη ρητικοί πργµτικοί κι µ, θετικοί κέριοι ισχύου οι ιδιότητες:.. =.. ( ) κ κ =.. ( ) = κι =, = = 7. 8. µ µ ρ = = µρ µ Πρτήρηση Ισχύου οι επόµεες ισότητες: = γι κάθε R κι + + = γι κάθε κι * N Ειδικά: γι κάθε πργµτικό ριθµό ισχύει Προσέχουµε: Η πράστση Όµως η πράστση Πρδείγµτ * N = έχει όηµ γι κάθε πργµτικό ριθµό + + έχει όηµ γι κάθε πργµτικό ριθµό ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
, + 9 = = =, <. Ισχύει: ( ) + = =, γι κάθε.. Ισχύει: ( ) Η πράστση ( ) ορίζετι µόο ότ ( ). Σχόλιο Μί πράστση λέγετι ρητή ότ δε περιέχει ριζικά κι άρρητη ότ περιέχει ριζικά ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ύο άρρητες πρστάσεις Α κι Β λέγοτι συζυγείς ότ το γιόµεο τους είι ρητή πράστση. Α, είι µη ρητικοί ριθµοί ή µη ρητικές ρητές πρστάσεις, τότε οι πρστάσεις Α κι Β στο πρκάτω πίκ είι συζυγείς: ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Α Β Α Β I κ κ + II + + III + + + + IV + + + + + +, περιττός Ότ ο προµστής εός κλάσµτος είι άρρητος, γι γίει ρητός πολλπλσιάζουµε τους όρους του κλάσµτος µε τη συζυγή πράστση του προµστή. ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
ΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ ΑΡΙΘΜΟ Ορισµός Α είι θετικός ριθµός, µ κέριος κι θετικός κέριος ορίζουµε : µ µ =. Με το τρόπο υτό ορίζοτι δυάµεις µε άση έ θετικό ριθµό κι εκθέτη οποιοδήποτε ρητό ριθµό. Σχόλιο Σηµειώουµε ότι γι ορίζοτι οι δυάµεις µε εκθέτη ρητό ριθµό, πρέπει η άση είι θετικός ριθµός. Ιδιότητες δυάµεω µε εκθέτη ρητό Όλες οι ιδιότητες τω δυάµεω µε εκθέτη κέριο ισχύου κι γι τις δυάµεις µε εκθέτη ρητό ριθµό. Ειδικότερ, είι θετικοί ριθµοί κι κ, λ είι ρητοί ριθµοί τότε ισχύου οι ιδιότητες: κ λ κ λ. = + κ κ λ. = λ. ( ) κ κ κ =. ( ) κ κ κ : = : ή κ. ( ) λ. 7. 8. = κλ κ κ = = κι > > κ> κ κ > < κ< κ κ 9. Α < <, τότε. Α >, τότε κ = κ κ κ λ κ λ = =, κ λ κ< λ > κ λ κ< λ < Πρτήρηση!! Στ επόµε ότ δίοτι πρστάσεις µε ριζικά θ εοείτι ότι τ υπόριζ είι µη ρητικοί ριθµοί. Επίσης ότ δίοτι δυάµεις µε εκθέτες ρητούς θ εοείτι ότι οι άσεις είι θετικοί ριθµοί. ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Σε κθεµί πό τις πρκάτω ερωτήσεις σηµειώσετε τη σωστή πάτηση.. Ποιο πό τ πρκάτω είι σωστό ; Α. + 7 = Β. = Γ. ( ). ( ) = Ε. ( ) = 9 =. Η πράστση (,), είι ίση µε Α., Β., Γ.. Ε.. Η πράστση,+,9 είι ίση µε 8 Α., Β., Γ.., Ε.. Α, είι πργµτικοί ριθµοί κι ισχύου <, <, τότε η πράστση Α. 9 + είι ίση µε Β. Γ.. + Ε.. Α <, τότε η πράστση + είι ίση µε Α. Β. Γ.. Ε.. Α < <, τότε η πράστση Α. Β. + + είι ίση µε Γ.. Ε.. 7. Η πράστση A= + έχει σύολο ορισµού, Β. (, ) Γ. [, ]. [,+ ) Ε. ( ] Α. (,] 8. Η πράστση + ορίζετι ότ Α. > Β. < < Γ.. 7 Ε. < < 7 9. Η πράστση 8 7 + 7 είι ίση µε Α. Β. Γ.. 9 Ε. 8. Η πράστση είι ίση µε Α. Β. Γ.. Ε. ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
+ + + είι ίση µε 7 7 7 7 7. Η πράστση ( ) ( ) : Α. 9 Β. Γ.. Ε..... Η πράστση είι ίση µε Α. Β. Γ. +. Ε.. Η πράστση 8+ + + 8 είι ίση µε + Α. Β. 8 Γ.. Ε. 8. Η πράστση είι ίση µε + Α. Β. Γ.. Ε.. Η πράστση + + είι ίση µε Α. 8 Β. Γ.. 7 Ε.. Η πράστση + είι ίση µε + Α. Β. Γ.. Ε. 7. Η πράστση : + είι ίση µε Α. Β. Γ.. Ε. 8. Η πράστση 8 + είι ίση µε Α. Β. Γ.. Ε. 9. Η πράστση Α. Β. είι ίση µε Γ.. Ε.. Η πράστση + είι ίση µε ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
Α. Β. Γ.. Ε.. Η πράστση 99 + + είι ίση µε Α. Β. Γ.. Ε. 7 +. Α οι ριθµοί κι είι τίστροφοι, τότε ο είι ίσος µε Α. Β. Γ.. Ε. 8. Η πράστση + + + + + 99+ Α. 8 Β. Γ.. Ε. είι ίση µε. Α = κι ( ψ ) ( + ψ + ψ ) =, τότε η πράστση ψ µε Α. Β. + Γ.. Ε. + ψ είι ίση. Α =, = +, τότε η πράστση είι ίση µε Α. Β. Γ.. Ε.. Α = + κι ψ=, τότε η πράστση + ψ είι ίση µε ψ Α. Β. 7 Γ.. Ε. 7. Α = κι ψ = +, τότε το ( ψ ) Α. 8 Β. 9 Γ.. Ε. είι ίσο µε ψ + ψ 8. Α = κι = µ, τότε το µ είι ίσο µε ψ ψ Α. Β. Γ. 9. Ε. + 9. Α =, τότε η πράστση είι ίση Α. Β. Γ. +. Ε. +. Α Α. Β. = κι Γ. ψ=, τότε το ψ συρτήσει του είι ίσο µε 7. Ε.. Α ψ = κι + ψ =, τότε το άθροισµ + ψ είι ίσο µε Α. 9 Β. 8 Γ. 7. Ε. 8 ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
. Α = 7, = κι γ= + +, τότε το γιόµεο γ είι ίσο µε Α. Β. Γ.. Ε.. Α = 7 κι ίσος µε Α. Β. =, τότε ο ριθµός, συρτήσει τω, είι Γ.. Ε.. γ. Α < < < γ, τότε η πράστση + είι ίση µε γ Α. Β. Γ.. Ε.. Α, ψ είι πργµτικοί ριθµοί κι ισχύει = + ψ, τότε το + άθροισµ + ψ είι ίσο µε Α. 7 Β. 7 Γ. 7. 7 Ε. 7. Α <, η πράστση 7+ + + είι ίση µε Α. Β. Γ.. Ε.. 7. Η πράστση 9 είι ίση µε Α. 9 Β. 9 8 Γ. 9. 9 Ε. 8. Η πράστση είι ίση µε Α. Β. Γ.. Ε. 9. Α > κι =, τότε ο είι ίσος µε Α. Β. Γ. 9. Ε. 7 9. Α =, τότε η πράστση είι ίση µε Α. Β. Γ. 8. Ε... Α =, ψ= κι z=, ποι πό τις πρκάτω σχέσεις είι ληθής; Α. < ψ< z Β. z< ψ< Γ. z< < ψ. < z< ψ Ε. ψ< < z ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 7
. Α =, ψ=, κι z=,, ποι πό τις πρκάτω σχέσεις είι ληθής; Α. < ψ< z Β. < z< ψ Γ. z< ψ<. z< < ψ Ε. ψ< < z ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Γι ποιες τιµές του ορίζοτι οι πρστάσεις: Α= B= Γ= (v) E= + (iv) = + +. Γι ποιες τιµές του ορίζοτι οι πρστάσεις: Α= Β = + (iii) Γ= 7 (iv) = + 8... Ν γράψετε χωρίς ριζικά κι πόλυτ τις πρστάσεις: f () = f () = + 9 (iii) f () =. Ν γράψετε χωρίς ριζικά κι πόλυτ τις πρστάσεις: = + + + f () = ( ) f () + 9 +.. 7. Ν κάετε τις πράξεις: 8 8+ 7 8+ 7+ 8 8. Ν κάετε τις πράξεις: 8+ 7 + 7 7+ 7 9. Ν γίου οι πράξεις: 8 (iii) (iv), ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 8
(v) 8 (vi) 7 (vii) :. Α > κι > κάετε τις πράξεις: : : 7 (iii). Ν γίου οι πράξεις: 9 8 (iii) : (iv) 8 9.. Ν γάλετε ότι είι δυτό έξω πό τη ρίζ: 8 8 (iii) 7 (iv) 7 (v) (vi) 8 (vii) 88 (viii). Ν άλετε το συτελεστή µέσ στη ρίζ: +, >, + (iv( 8 ) 8, > 8 > ( ),. Ν άλετε το συτελεστή µέσ στη ρίζ: > (iii) ( ),, <, < (iii) ψ ψ > κι ψ < (iv) ( ) > 9, <. Ν κάετε ρητούς τους προµστές: 8 (iv) (v) (vi) 9 7 (vii) 8. Ν κάετε ρητούς τους προµστές: + (vi) (iii) (vii) 7 (iv) 7. Ν κάετε ρητούς τους προµστές: (v) + ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 9
+ + + + (iii) 8. Ν κάετε ρητούς τους προµστές: + + + (iii) 8+ (iv) +. 9. Ν πλοποιήσετε τ ριζικά: (iii). Ν πλοποιήσετε τ ριζικά: (iv) (iii) 9. Ν πλοποιήσετε τ ριζικά: (iii). Ν πλοποιήσετε τ ριζικά: >, >, > (iii), >,. Α + =, ρείτε το. Ν κάετε τις πράξεις: ( ) ( + ) (iii) ( + + ) (iv) ( ). Α (v) ( + ) (vi) ( ) = 8 7 + ρείτε τη τιµή της πράστσης: Α= + 8+ 7. Ν πλοποιήσετε τη πράστση: ( ) Α= 7+ 7 7. Ν κάετε τις πράξεις: + 7+ 7 7 + + ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
8. Ν κάετε τις πράξεις: + + + + + + 9. Ν κάετε τις πράξεις: + : + + + + + 7. Α Α= + +, Β= +, Γ= + δείξετε ότι: Α Β Γ= 7. Ν µεττρέψτε τ διπλά ριζικά σε πλά: 7+ (iii) (iv) (v) 7+ (vi) 8+ 7. Ν δείξετε ότι η τιµή της πράστσης A= + + είι ές φυσικός ριθµός 7. Ν υπολογίσετε τις πρστάσεις: ( ) κι ( ) Ν ρείτε τη τιµή της πράστσης: Α= + 98 7. Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: A= + B= + 9 + 9. 7. Ν συγκρίετε τους ριθµούς: 8,, (iii), 7 (iv), 8 7. Ν συγκρίετε τους ριθµούς:, = 7, = + (iii) 77. Ν διτάξετε τους ριθµούς κτά σειρά µεγέθους:,, 8 8,, = +, = ( ) 78. Ν ποδείξετε τις ισότητες: ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
(iii) + +, κι + + + +, κι 79. Ν ποδείξετε τις ισότητες: + + + + + + 8. Ν ποδείξετε τις ισότητες: + + γ γ,,, γ µη ρητικοί ριθµοί γ, γ κι + γ+ γ + + γ 8. Ν κάετε τις πράξεις: 9, 8. Ν κάετε τις πράξεις: ψ ψ : + + ( ) 8. Ν κάετε τις πράξεις: + + + + + 8. Ν ποδείξετε τη τυτότητ: + : =. + + ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ