ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ι

ΔΗΜΟΣΘΕΝΗΣ ΤΑΛΑΣΛΙΔΗΣ ΗΛΙΑΣ ΜΠΟΥΓΑΪΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΝΤΙΝΟΠΟΥΛΟΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ι ΤΕΥΧΟΣ A Π Α Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ι Α Κ Ε Σ Σ Η Μ Ε Ι Ω Σ Ε Ι Σ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Α.Π.Θ. ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ι ΤΕΥΧΟΣ A Δημοσθένης Τλσλίδης Ηλίς Μπουγΐδης Ιωάννης Ντινόπουλος Θεσσλονίκη

ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ: ΤΕΥΧΟΣ Α ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ σελίδ ΜΕΡΟΣ Β: ΡΟΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ - ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Υπολογισμός μις συνεχούς δοκού. Υπολογισμός ενός δικτυώμτος. Υπολογισμός ενός πλισίου 7. Υπολογισμός ενός σύνθετου πλισίου 9 5. Μητρώ μετσχημτισμού 57. Μητρώ δυσκμψίς ΜΕΡΟΣ Γ: ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 7 ΜΕΡΟΣ Δ: ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Δοκοί με ρθρώσεις 7. Αντικτάστση υποσυστημάτων με γενικευμέν ελτήρι /φορτί 8. Άκμπτοι σύνδεσμοι 85. Αριθμητικά ποτελέσμτ 89 5. Συνθήκες που διέπουν τη σττική συμπεριφορά της δοκού 9. Αρχή των δυντών έργων: Μητρώ δυσκμψίς/ Εργικά ισοδύνμ φορτί 95 7. Δεσμεύσεις ΜΕΡΟΣ Ε: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Σττικό μοντέλο φέροντος οργνισμού 8 Έδφος - Θεμελιώσεις Διφργμτική λειτουργί πλάκς ορόφου Ροπές δρνείς δοκών/ πλκοδοκών Ισοδύνμ πλίσι 7 Ανοικτοί/Κλειστοί πυρήνες 8 Πρτηρήσεις/Σχόλι ΜΕΡΟΣ ΣΤ: Ασκήσεις 5 Δημοσθένης Τλσλίδης Ηλίς Μπουγΐδης Θεσσλονίκη 8

ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ: ΤΕΥΧΟΣ Α ΜΕΡΟΣ Β: ΡΟΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ - ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ σελίδ. Υπολογισμός μις συνεχούς δοκού. Υπολογισμός ενός δικτυώμτος. Υπολογισμός ενός πλισίου 7. Υπολογισμός ενός σύνθετου πλισίου 9 5. Μητρώ μετσχημτισμού 57. Μητρώ δυσκμψίς Δημοσθένης Τλσλίδης Ηλίς Μπουγΐδης Ιωάννης Ντινόπουλος Θεσσλονίκη

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΒΗΜΑΤΙΚΗ ΡΟΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δεδομέν: Γρμμικός φορές, J, J Φορτίσεις:,,,, q Σχ.. ΒΗΜΑ : ) Διερεύνηση γι ύπρξη συμμετρίς ή ντισυμμετρίς εάν ΝΑΙ ------------------- επιλογή ΝΕΟΥ συστήμτος γι μείωση υπολογιστικού όγκου (πάντοτε; Πότε είνι σύμφορη η θεώρηση υτή;) π.χ. ΑΝΤΙΣΥΜΕΤΡΙΑ Σχ..

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης Q Q F Γενικά: ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Σχ.. Επίπεδο Συμμετρίς Επίπεδο Αντισυμμετρίς όπου: :πιθνές μεττοπίσεις :πιθνές στροφές Σχ.. Τί πρτηρείτε; β) Αρίθμηση κόμβων/αρίθμηση γρμμικών στοιχείων Σχ..5

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης ΒΗΜΑ : ) Επιλογή του ΤΥΠΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ (π.χ. δοκός, ράβδος κ.λ.π.) β) Προσδιορισμός του ΜΗΤΡΩΟΥ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ/ΔΥΣΤΕΝΕΙΑΣ/ ΔΥΣΤΡΕΨΙΑΣ γι το -οστό στοιχείο, νφερόμενο στο τοπικό σύστημ συντετγμένων ( ). Σημείωση: Η προσήμνση των δυνάμεων/ροπών στην κλσσική σττική θεωρεί θετικές τις φορές όπως πεικονίζοντι στο Σχ.. Σχ.. Στην προύσ νάπτυξη θ θεωρηθεί η κόλουθη προσήμνση ως θετική (Σχ..7) Γιτί; Σχ..7 Δηλδή, θετική ροπή είνι η ριστερόστροφη κι θετικές τέμνουσες υτές που κολουθούν τη θετική φορά των ντιστοίχων τοπικών ξόνων. Τ φορτί διτομής στους κόμβους προκύπτουν πό την πρκάτω σχέση: v (.)

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης όπου: μητρώο δυσκμψίς του -οστού στοιχείου στο τοπικό του σύστημ (). v διάνυσμ Β.Ε. του -οστού στοιχείου (τοπικό σύστημ) (Β.Ε.: Βθμοί Ελευθερίς). διάνυσμ φορτίων διτομής στους κόμβους εξιτίς εξωτερικών φορτίσεων στο εσωτερικό του -οστού στοιχείου (τοπικό σύστημ) διάνυσμ φορτίων διτομής του -οστού στοιχείου (τοπικό σύστημ) Το μητρώο δυσκμψίς γι την δοκό (μφίπκτη, μόνο κάμψη) στο επίπεδο είνι της εξής μορφής:, (Πλήθος στοιχείων) J (.) Η φυσική ερμηνεί του μητρώου δυσκμψίς δίνετι κολούθως: Κάθε στήλη του μητρώου περιέχει τ φορτί διτομής που νπτύσσοντι στους κόμβους του στοιχείου, ν θεωρήσουμε την ντίστοιχη επικόμβι στροφή ή μετκίνηση του στοιχείου ίση με τη μονάδ κι τις υπόλοιπες μηδενικές. π.χ. τ στοιχεί της στήλης εκφράζουν ντίστοιχ την τέμνουσ κι ροπή που νπτύσσοντι σε κάθε κόμβο του στοιχείου γι μονδιί στροφή του κόμβου του στοιχείου (όλες οι υπόλοιπες στροφές/μετκινήσεις): J J ϕ ( ) ϕ ( ) ϕ J ϕ Σχ..8 J ϕ ( )

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 5 [ Q Q ] (.) [ Q Q ] (.) [ ϕ ] ϕ [ ϕ ϕ ] v (.5) v (.), ϕ, ϕ, ϕ ϕ, Q, U Q U Q U,,, Q U Σχ..9 ΒΗΜΑ : Φόρτιση (εκτός πό μονχικά φορτί/ροπές στους κόμβους) Διάνυσμ φόρτισης στοιχείου v (.7) Οι εξωτερικές φορτίσεις είνι: ) Μεμονωμέν φορτί στους κόμβους:,, (λμβάνοντι υπόψη στο ΒΗΜΑ 7)

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης β) Θερμοκρσί: J d (.8) J d γ) Ομοιόμορφ κτνεμημένη φόρτιση: q q q (.9) q q Σημείωση: Η διδικσί υπολογισμού των δινυσμάτων είνι η κόλουθη: ): Θεωρούμε τις εξωτερικές φορτίσεις ν δρούν σε μφίπκτη δοκό: Σχ.. Από το Bton Kndr (π.χ) ορίζουμε τις τιμές των φορτίων διτομής που εμφνίζοντι στ δύο άκρ. β): Επειδή η προσήμνση των θετικών φορών του Bton Kndr κολουθεί το Σχ.., πολλπλσιάζουμε τις τιμές της ριστερής πλευράς ( ) με (-.), ώστε ν δίνοντι τ δεδομέν σύμφων με την προσήμνση του Σχ..7.

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 7 ΒΗΜΑ : Επιλογή ενός ΚΑΘΟΛΙΚΟΥ συστήμτος συντετγμένων: (,, Ζ) (Είνι πρίτητο; Μόνο έν; Μπορούμε ν έχουμε περισσότερ του ενός συστήμτ νφοράς; Βλέπε Κεφ. Μητρώ Μετσχημτισμού) Σχ.. Όπου: (,, Ζ) Τοπικό σύστημ κθολικό σύστημ συντετγμένων τ χρκτηριστικά/ιδιότητες του κάθε στοιχείου περιγράφοντι νεξάρτητ πό τ άλλ στοιχεί. Μόνο εν κθολικό σύστημ Διάφορ συστήμτ νφοράς τ χρκτηριστικά/ιδιότητες όλων των στοιχείων έχουν κοινό σημείο νφοράς το σύστημ υτό. Οι βθμοί ελευθερίς στους κόμβους νφέροντι σε διφορετικά συστήμτ

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 8 ΒΗΜΑ 5: ) Μητρώ μετσχημτισμού ( ) ϕ ϕ Φ U U Φ U Φ ϕ Γι το στοιχείο : Σχ.. τ v vg,,, τ Γενική περίπτωση: βλέπε Κεφ. 5 (σελ. ) Εδώ: ϕ ϕ άρ U Φ τ (.) ϕ Το μητρώο όλου του στοιχείου είνι της μορφής: ΚΟΜΒΟΣ ϕ I ϕ (.) ΚΟΜΒΟΣ

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 9 ϕ ϕ v ( v ) [ U Φ U Φ ] β) Μετσχημτισμός των μητρώων δυσκμψίς Γενικά: ( ) Εδώ : G ( ) ( ) K G G K (.) K I K I K (.5) όπου : I γ) Μετσχημτισμός των δινυσμάτων φόρτισης στοιχείων ( ) G (.) Θερμοκρσί: J d G (.7) J d Ομοιόμ. κτνεμ. φόρτιση: q q G (.8) q q ΒΗΜΑ : Συνολικός φορές Μέχρι τώρ: υπολογισμός μεμονομένων μητρώων στοιχείων. G KG vg G G G K K G G v v G... G

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης Τώρ: Σύνθεση Ιδιότητες όλου του συστήμτος / φορέ Σ K Σ VΣ Σ (.9) V Σ U Φ U Φ U Φ Φ Φ Φ U U U Σχ.. K Σ Σ Μητρώο δυσκμψίς του συστήμτος (Σ: Σύστημ) Διάνυσμ φόρτισης (εξωτερικά φορτί) του συστήμτος ) Σύνθεση του K Σ πό τ μητρώ δυσκμψίς Ποιά διδικσί κολουθείτι σε έν πρόγρμμ Πεπερσμένων Στοιχείων; K G Διδικσί (εδώ) : ) Σχεδιάζετι έν μητρώο N N N Πλήθος των Β.Ε. *) του συστήμτος V Σ ) Σημειώνοντι οι Β.Ε. του συστήμτος ριστερά κι πάνω πό το μητρώο. ) Τ στοιχεί του K G εισάγοντι στο K Σ στις ντίστοιχες θέσεις (σημειώνετι με διπλή γρμμή) ) Τ στοιχεί K G εισάγοντι στο K Σ στις θέσεις που ντιστοιχούν (σημειώνετι με δικεκομένη γρμμή) 5) Η περιοχή τομής των δύο μητρώων σημειώνετι με τονισμένη γρμμή. (Τ ντίστοιχ στοιχεί προστίθεντι!)

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης U Φ U Φ U Φ U Φ K Σ : U Φ (.) U Φ όπου: J β) Σύνθεση των δινυσμάτων φόρτισης Σ Από μί νάλογη διδικσί προς το ) προκύπτει: q J d q q q Σ J d J d q q q J d q (.) Λόγω *) Β.Ε.: Βθμοί Ελευθερίς γ) Μεμονωμέν φορτί Λόγω q Θεωρούντι θετικά ότν δρούν κτά τη φορά των μετκινήσεων ή στροφών του κθολικού συστήμτος ή του συστήμτος νφοράς. U Φ U Σ (.) Φ U Φ

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης δ) Χρκτηριστικές ιδιότητες του μητρώου δυσκμψίς του συστήμτος K Σ ) Θετικά διγώνι στοιχεί, συμμετρικά. β) Δομή τινίς (πλάτος τινίς). γ) dt K, λόγω ύπρξης κινήσεων στερεού σώμτος. tot Μόνο ύστερ πό πλοιφή των κινήσεων στερεού σώμτος με συνυπολογισμό των συνορικών συνθηκών- ορίζετι θετικά: K tot >, : τυχίο,, dt K ) Φυσική σημσί των σειρών; tot ΒΗΜΑ 7: Συνυπολογισμός των συνορικών συνθηκών (πλοιφή των κινήσεων στερεού σώμτος) Πώς λμβάνει υπόψη έν πρόγρμμ Πεπερσμένων Στοιχείων τις συνορικές συνθήκες; U Φ U Σχ..

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης Τρόποι ντιμετώπισης Τρόπος : 5 Σ 5 K Σ Σ Διδικσί: Έστω U ντιστοιχεί στο Β.Ε. ρ.: θέτουμε στην η στήλη κι στη η σειρά μηδενικά εκτός πό τη θέση (,) όπου τίθετι μονάδ. Μειονεκτήμτ:) Πολύ χρονοβόρ η εκ των υστέρων προσθήκη των κι. ) Το μέγεθος του συστήμτος εξισώσεων μένει μετάβλητο, πρ όλο που πολλοί άγωστοι είνι μηδενικοί. Τρόπος : Συμπύκνωση του συνολικού μητρώου με πομάκρυνση των ντίστοιχων σειρών κι στηλών. Εστω ότι πομκρύνουμε την η, η κι 5 η σειρά κι στήλη. Απομένει το μητρώο r Σ K : ( ) ( ) Σ Συμμετρ. r K (.) Περίπτωση, (, ) ( ) Σ d J d J d J Σ (.5) Λόγω Λόγω μεμονομένων φορτίων

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης ΒΗΜΑ 8: Κθορισμός των μετκινήσεων του συστήμτος r ( K ) ( ) r Σ K V Σ Σ V Σ Σ Σ Σ Σ (.) ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ J d J d m 5. m m. 5 N N / m Nm 5 (. ). Γι τ δεδομέν υτά, τ r K, Σ Σ, Σ δίνουν K r Σ. Συμμετρ..... (λόγω ) Σ 5, /. Σ 5 r ( K ) Σ 8 8 8 8 8. 9 8 Περίπτωση φόρτισης ( ) : V Σ.7889 r ( K ).9 Σ 5.7859 Περίπτωση φόρτισης ( ): V Σ r ( K ) 5 Σ 5 Περίπτωση φόρτισης :

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 5 V V Σ Σ 5 5.7889 r ( K ) 5.9 Σ [ U Φ Φ ].7857 Φ Σχ..5 Φ Έλεγχος: Bton Kndr () 7 w.7 78J m ξ ξ J ( ) (); w.5958 m (c ): w 5 m d () () (c) Πώς λμβάνουν υπόψη τ προγράμμτ πεπερσμένων στοιχείων τ πρκάτω: ) Συνορικές συνθήκες (γεωμετρικές); β) Συνορικές συνθήκες (σττικές); Πώς γίνετι η επίλυση του συστήμτος εξισώσεων;

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΓΙΑ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ ΒΗΜΑΤΙΚΗ ΡΟΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ Δεδομέν: Δικτύωμ, F 5, F, F Σχ.. Φόρτιση: ΒΗΜΑ : ) Διερεύνηση γι ύπρξη συμμετρίς ή ντισυμμετρίς εάν ΝΑΙ επιλογή ΝΕΟΥ συστήμτος γι επίτευξη μείωσης υπολογισμών (Βλέπε ντίστοιχο βήμ του ου πρδείγμτος) β) Αρίθμηση των κόμβων / Αρίθμηση γρμμικών στοιχείων Σχ.. *) είνι πρίτητο; Προσοχή: Η ρίθμηση πρέπει ν είνι τέτοι, ώστε ν διτηρείτι το πλάτος της τινίς όσο το δυντόν μικρότερο (είνι πρίτητο;), επειδή το

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 7 πλάτος της τινίς επηρεάζει το χρόνο που πιτείτι γι την επίλυση του συστήμτος εξισώσεων. Τ πρκάτω δύο πρδείγμτ έχουν διφορετική δομή τινίς. Π.χ. 7 Μεγάλο πλάτος τινίς Μικρότερο πλάτος τινίς Ασφής δομή τινίς () (β) (γ) ΒΗΜΑ : Επιλογή ενός ΚΑΘΟΛΙΚΟΥ συστήμτος συντετγμένων: (,, Ζ) ( ) τοπικός άξονς Συντετγμένες κόμβων: Σχ.. Σημείωση: Η φορά του τοπικού άξον κθορίζει την ρίθμηση των κόμβων ενός στοιχείου :, : :,

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 8 ΒΗΜΑ : ) Επιλογή του ΤΥΠΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ (π.χ. δοκός, ράβδος, σχάρ κ.λ.π.) β) Προσδιορισμός του ΜΗΤΡΩΟΥ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ νφερόμενο στο τοπικό σύστημ συντετγμένων ( ) όπου:,, (πλήθος στοιχείων) Εδώ ( ) γι το -οστό στοιχείο,. v (.) A (.) [ N N ] (.) [ N N ] (.) [ N N ] (.5) [ ] v (.) [ ] v (.7) [ ] v (.8) N N N N N N Σχ..5

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 9 ΒΗΜΑ : Φόρτιση : Διάνυσμ φόρτισης στοιχείου v (.9) Εδώ ( ) (μόνο μονχικά φορτί, βλ. Βήμ ) ΒΗΜΑ 5: ) Μητρώ μετσχημτισμού ( ) Σχ.. Γι το στοιχείο : G v v,,, π.χ.: ( v ) [ ] ( v ) [ U U U U ] G (.) ΚΟΜΒΟΣ ΚΟΜΒΟΣ (.) (.)

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης β) Μετσχημτισμός των μητρώων δυσκμψίς Γενικά: K G K (.) K G (.5) A K G (.) A K G (.7) A Σημείωση: Έχει νφερθεί ότι τ διγώνι στοιχεί του μητρώου δυσκμψίς πρέπει ν τηρούν τη σχέση d j >. Στην περίπτωση της ράβδου, επειδή η ράβδος νπτύσσει εσωτερικές δυνάμεις μόνο κτά τον άξονά της, εμφνίζοντι κτά το μετσχημτισμό μηδενικά στη διγώνιο (η δεδομένη διεύθυνση δεν προυσιάζει ντίστση!). Αυτό γίνετι στην περίπτωση που ο άξονς της ράβδου είνι κάθετος προς ένν κθολικό άξον. Αν η ράβδος σχημτίζει κάποι o γωνί με τους κθολικούς άξονες, τότε όλ τ διγώνι στοιχεί του μητρώου είνι >. γ) Μετσχημτισμός των δινυσμάτων φόρτισης στοιχείων G (.8)

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης ΒΗΜΑ : Συνολικός φορές (.9) Σ K Σ VΣ Σ U U U U U U Σχ..7 V Σ U U U U U U :Μετκινήσεις του συστήμτος U U U U U U U * * U * * K Σ : U * * * * (.) U * * * * U * * U * * * * * * όπου: A,, A

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης γ) Μεμονωμέν φορτί (θετικά ότν έχουν τη φορά των θετικών μετκινήσεων του συστήμτος) Σ (.) δ) Ιδιότητες K Σ ) Θετικά διγώνι στοιχεί β) Δομή τινίς (το πλάτος της τινίς εξρτάτι πό το πλήθος των γνώστων νά κόμβο κι την ρίθμηση). γ) dt K, λόγω κίνησης στερεού σώμτος (γρμμική εξάρτηση) tot Μετά την πλοιφή των κινήσεων στερεού σώμτος (λμβάνοντς υπόψη τις συνορικές) θετικά ορισμένο: K : μισό πλάτος τινίς tot K tot >, : τυχίο,

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης ΒΗΜΑ 7: Συνυπολογισμός των συνορικών συνθηκών (πλοιφή της κίνησης στερεού σώμτος) Σχ..8 Τρόποι ντιμετώπισης Τρόπος : 5 Σ 5 K Σ Διδικσί: Έστω U ντιστοιχεί στο : θέτουμε στην η στήλη κι στη η σειρά μηδενικά εκτός πό τη θέση (,) όπου τίθετι μονάδ. Μειονεκτήμτ: ) Πολύ χρονοβόρ η εκ των υστέρων προσθήκη των κι. ) Το μέγεθος του συστήμτος εξισώσεων μένει μετάβλητο, πρ όλο που πολλοί άγνωστοι είνι μηδενικοί. Τρόπος : Συμπύκνωση του συνολικού μητρώου με πομάκρυνση των ντίστοιχων σειρών κι στηλών. Εστω ότι πομκρύνουμε την η, η κι η σειρά κι στήλη. Απομένει το μητρώο r Σ K : U U U

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης U U U Σ r K, Σ (.), (.) ΒΗΜΑ 8: Κθορισμός των μετκινήσεων του συστήμτος ( ) ( ) Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ K V V K r r (.) ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ N m N m A m m A A m /... ( ) ( ) ( ) 9 9...... Με ντικτάστση στις (.), (.) προκύπτει 9. - r Σ K Σ Με ντιστροφή ( ) 9. Σ r K Περίπτωση φόρτισης : ( ) 9. Σ Σ r K V

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 5 [ ] r U U U Σ V Σχ..9 ΒΗΜΑ 9: Υπολογισμός κομβικών δυνάμεων του στοιχείου G G G G v K (.5) γνωστό πό ΒΗΜΑ 8 ) ( N N N N N G ) ( N N N N N G ) ( N N N N N G

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης Σχ.. Δύνμη ράβδου: S N θλίψη S N θλίψη S N Ελεγχος: S S S N ΣF : S ΣF : S S Αξονικές Δυνάμεις (τοπικό σύστημ): v v g, K v

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 7. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΣ ΠΛΑΙΣΙΟΥ J J J A Σχ.. Δεδομέν: J A J J. 7 J.75 5 q o Περιπτώσεις φόρτισης:.. Δοκοί,,: θεωρείτι μελητέ η επίδρση των ξονικών πρμορφώσεων ) q ),, ) Στροφή πάκτωσης o ϕ ΒΗΜΑ : ) Συμμετρί; όχι διτηρείτι ρχικό σύστημ β) Αρίθμηση κόμβων, ρίθμηση στοιχείων, τοπολογί Σχ..

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 8 ΒΗΜΑ : Τοπικά συστήμτ, κθολικό σύστημ συντετγμένων: Σχ.. ΒΗΜΑ : Μητρώ δυσκμψίς, τοπικά συστήμτ. ) Στοιχεί δοκών: (.,, ) J (.) v (.) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Q Q Q Q Q Q ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ v v v

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 9 Q,, ϕ, ϕ, ϕ Q, Q,, ϕ, ϕ Q, Q, Q,, ϕ Σχ.. β) Στοιχείο ράβδου: A (.) [ N N ] (.) [ ] v (.5) N, N, Σχ..5 ΒΗΜΑ : ) Μεμονωμέν φορτί: λμβάνοντι υπόψη μετά τη σύνθεση του Σ β) Στροφή πάκτωσης : λμβάνοντι υπόψη μετά τη σύνθεση του Σ γ) Ομοιόμορφη κτνεμημένη φόρτιση : Bton Kndr

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης q q q q : προσήμνση q q q q : προσήμνση ΒΗΜΑ 5: Μητρώ μετσχημτισμού ( ) v G v (.) U U Φ ϕ (.7) (.8) (.9) (.)

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης Σημείωση: Ο γενικός υπολογισμός του μητρώου μετσχημτισμού γίνετι ώς εξής (βλέπε Κεφάλιο: Μητρώ Μετσχημτισμού) τ τ όπου co(, ) co(, ) co(, ) co(, ) co(, ) co(, ) co(, ) co(, ) co(, ) τ (.) Σχ.. Αν το στοιχείο είνι ράβδος, τότε πλοίφοντι όλοι οι όροι των ), co( j με, (τοπικά) (βλέπε πρδείγμτος) 5) Μετσχημτισμός των μητρώων δυσκμψίς G K K J G K (.)

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης J G K (.) J G K (.) J G K (.5) Σημείωση: Ο όρος στο G K προκύπτει πό τ συνημίτον κτεύθυνσης μετξύ των τοπικών ξόνων της ράβδου κι των κθολικών ) co(5 o. Κτά τον υπολογισμό του G K χρησιμοποιείτι δύο φορές το μητρώο μετσχημτισμού, το οποίο έχει ως έν πράγοντ τον όρο

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 5β) Μητρώο μετσχημτισμού του δινύσμτος φόρτισης G (.) ( ) [ q q q q ] (.7) G φ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Σχ..7 Μεττοπίσεις/στροφές κόμβων (Κθολικό Σύστημ)

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης K Σ Όπου J J J A U U Φ U U Φ U U Φ U U Φ

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 5 ΒΗΜΑ 7: Συνορικές συνθήκες (βλέπε Κεφ. ) ΚΟΜΒΟΣ : πάκτωση U U Φ ΚΟΜΒΟΣ : πάκτωση U Φ U Διγρφή των γρμμών κι στηλών:,,,,,. Πρμένει το μητρώο που είνι τονισμένο (βλ. μητρώο [.9]) Επειδή θεωρήθηκε μελητέ η επιρροή των ξονικών πρμορφώσεων U U / / / / / / / / / / / / / / / / / / / (.) κι U U η κι η γρμμή κι στήλη προστίθεντι Πώς όμως λμβάνετι υπόψη ότι: U Το σκεπτικό είνι: 5 5 κι U ; ( ) ( ) 8 ( ) 5 8 ( 5) Δηλδή πό έν σύστημ εξισώσεων, με δεδομένη τη σχέση μετξύ δύο γνώστων ( ), προκύπτει με ντικτάστση κι πρόσθεση έν σύστημ ( ) προς επίλυση. Ανάλογη διδικσί εφρμόζετι κι στο μητρώο (.) κι προκύπτει τελικά:

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης Σ K (.) U Φ Φ Περίπτωση φόρτισης: Μεμονωμέν φορτί,, Σ Περίπτωση φόρτισης: Ομοιόμορφο κτνεμημένο φορτίο O Σ Περίπτωση φόρτισης: Στροφή στην πάκτωση ϕ Δίνετι: 5 9 55 5 5 ϕ 85 55 9 5 55 Σύστημ προς επίλυση Στην περίπτωση μς είνι:

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 7 5 ϕ Σ 5 Επίλυση του συστήμτος εξισώσεων K r tot V r ( ) V ( K ) ( - - ) tot ϕ tot tot ϕ (.) Από την επίλυση με υπολογιστή προκύπτουν τ πρκάτω ποτελέσμτ: U V, Φ Φ.7.7 :,.9, V, tot U Φ Φ.55985.95 : q.87 U.95 V, ϕ Φ.7988 :ϕ Φ.9 Υπολογισμός κομβικών φορτίων διτομής στοιχείων G K G VG G (.) K V (.5)

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 8 85 9,7 75,8 5, 7 9,95 75,8 9 58,95 9,9 58 7 Περίπτωση φόρτισης:,,

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 9 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δίδετι: q q C...... 5 C 5 5 555 A A A A A A 5 5 I I I I I I 5. 5 o o β., d., Ζητείτι: Α) K Σ, Σ, Σ, Σ K (ορθογωνική μορφή), U G Β) Φορτί διτομής της δοκού κι τιμές γι Q, στον κόμβο της ράβδου γι την περίπτωση: U U Φ Φ,, Φ,, U

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης Α) Αρίθμηση κόμβων, Τοπικά συστήμτ, Τοπολογί β 5 Πρτηρήσεις: ) Γιτί δεν υπάρχει το ελτήριο C ; ) Γιτί ισχύει I C I 5 5, C ; 5 (Βλ. BON-KANDR, Περίπτωση 57, 8) ) Ενλλκτικά 5 5 Στην περίπτωση υτή πώς θ ληφθεί υπόψη το ; n co? Σ?

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης ) Δοκός :?? 5) Ράβδος : Ενλλκτικά; Α) Μητρώ δυσκμψίς,,, o Περίπτωση: Επίπεδο πλίσιο, A J, Δοκοί:,, ϕ ϕ β β β β, A β J Q N Q N ϕ ϕ ϕ ϕ N N Q Q

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης Περίπτωση: Ρβδος : β, N N β A Ενλλκτικά: εάν J Δοκός τότε :? Α) Δινύσμτ o q Bton-K.: Q Q A B q Περ. 5 A B q o q q q q q, A, B Bton-K.: Q QB q Περ. 5 A A B 5 9 q

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης Τ o 9 5 9 5 q q q q ϕ ϕ Bton-K.:, Q Q B A 8 B A Περ. 5 Bton-K.:, B A Q Q d J B A Περ. 58 o 8 8 d J d J

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης Α) Μητρώ μετσχημτισμού (βλ. Κεφ. 5) ( ) ( ) j j, co G v v U U Φ U U G Φ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Τ τ τ ϕ ϕ Δοκός τ τ τ Πρτήρηση Πότε, τ τ Περίπτωση;

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 5 Ράβδος: U U ( ) ( ) U U ( ) ( ) : ( ) ( ) ( co n ) ( co β n β ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( n co ) ( n β co β ) τ τ τ co n n co co β n β co β n β co β n β co β n β ( )

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης Α5), K G G G K ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( K β β β β β β β β τ τ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ˆ β β β β G

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 7 β β β β G ; co c ; n J 5 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( β β β β β β β β β β β β β β β β c c f c c c c c c f c c c c c c c f c c f c f c c c c c c f c c c c c c c f c G K n co c γι Σ K 8 9 7 ` 8 7 5 5 9 5 9 5 8 8 7 f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f K G, co β c, n β A β β c c c c K

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 8 ( ) G c c c c c c c c c c c c K K β ) Τί πρτηρείτε γι τ K ; G o o 8 9 5 8 9 5 d J q q c q q d J q q c q q o G o G o G Α), ΣG K, o Σ G Σ G, K K K K K G, K K K K K G K K K K K G 55 5 5 K K K K K G : j K ) ( γι,, ) ( γι Π.χ.: 5 c c c K β K

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 9 : : : : : : : : : U U U U U U Φ Φ Φ Σ o 8 8 9 5 9 5 d J c d J q c q q q q q G Σ, U, U Φ, U, U Φ, U, U Φ K K c K Σ G K ":!" Γιτί; K K K 5 c c K K " " K K

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 5 U U Φ β β c Φ U U ϕ c f 5 f c f f f 5 f 7 f c c f c f 5 f 8 f f 7 f f 9 f 8 f K Σ G K Σ m β β c 5 c f f f 5 f c c f f7 c f 8 f 9 f f n

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης A7) o U K ( Σ ) Σ GΣ 5 Β) Περίπτωση U, U, Φ, U Φ Φ U c 5 c f f q 5 J f q 9 8 d f c 5 9 q ( ) ( ) ( ) f f 5 f f [ c ] 7 8 Φ Φ Φ Φ U c f 5 f c f f c

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 5 Φ U c 5 c f f f f c 5 q q 9 f f 5 f8 f7 c 5 9 q 8 J d, 5,. 8 7 5 c 5, c 5 f 9,, 7.5 c. 8.5 7 f f..5.5.75. 75 7 9 7 5 f f f.8 7 7.5.8.5.8 7 7 f 8.5 7 8. 5.

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 5.5 8. 5 5 5 5.8.5 5..5.. 7 5. 8. 5.. Φ U 779 8. 7 7. 8.5 7 8. dt Φ U A 8.5 7. 7. Φ Φ Φ Φ U U U U U U U U

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 5 Β) Φορτί διτομής δοκός, 7. G v.8.5.8.5 o G o G G G G v.... G 9.997. 7559.5 55..5 7.5.8.5.8.5 7, 7. 7. 7.. 7. o G G v? 55,8 9,997 7559,95 75,5

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 55 Γι τη δοκό ισχύει επίσης o Q N Q N v 7. 7. * v v *,.....8.5.8.5 o.8 7559.95. 55.8 75.5..8.5.8.5. 7.5 5.5 7.5 o Q N Q N v

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 5 7559,95 9,997 q 8 75,5 55,8 B) v G, Q της ράβδου [ 7. 8.5 ] v v G, v 7. 7. v 8.5co n 7. 8.5n co 7.5 o Q [ ] v v 8 J d

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 57 5. ΜΗΤΡΩΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ V V G K G K G! Γιτί ; ϕ ϕ A / A/ K : A/ A / J

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 58,,,, π.χ. ), co( G G G U U U V ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) G G G G G G U U U V U U U V Aντιστοίχως: G G G Φ Φ Φ Φ ϕ ϕ ϕ ( ) ( ) ( ) G G G Φ Φ Φ Φ ϕ V Φ V Φ

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 59 U G U G U G Φ G Φ G Φ G U G U G G U ( ) Φ G ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Υπομητρώο: τ τ τ τ V V G,, co (, ) τ τ : πότε; ( Φ G ) Φ Φ Φ G G G τ : όμοιο με τ (ντί,,,, )

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης Πράδειγμ [ ] [ ] [ ], [ ] [ ], [ ] τ τ Δοκός: U G U G Φ G U G U G Φ G ϕ ϕ Δοκός (μόνο κάμψη) ϕ ϕ

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης Πράδειγμ (βλ. Πράδειγμ ) ) Βθμοί Ελευθερίς:, ϕ β : [ ], [ ] [ ], : [ co n ], [ ] [ n co ] : [ ], [ ],, [ ] : [ co β n β ], [ ] [ n β co β ], 5 U G U G Φ G U G U G Φ G ϕ ϕ n co n co

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης U G U G U G U G co β n β co β n β ) Περίπτωση: Βθμοί ελευθερίς,, ϕ U G U G Φ G U G U G Φ G ϕ τ ϕ τ τ co n τ n co τ

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης. ΜΗΤΡΩΑ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ ΔΟΚΟΥ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΕΙΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ. Δοκός στο χώρο (Προσήμνση ) Στη δοκό στο χώρο ντιστοιχεί το μητρώο (.) ϕ N ϕ ϕ N Q Q Q ϕ ϕ ϕ Σχ... Στοιχείο ράβδου (Αξονική πρμόρφωση) N N Σχ.. N A N (.). Στοιχείο δοκού (Στρέψη) ϕ ϕ Σχ.. GJ ϕ ϕ [.]

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης. Δοκός: κάμψη (Μεγέθη Q, κάμψη επίπεδο ) ϕ ϕ Q Q Σχ.. Q Q J ϕ ϕ (.) K. Δοκός: κάμψη (Μεγέθη Q, κάμψη επίπεδο ) Q Q ϕ ϕ Σχ..5 Q Q J ϕ ϕ (.5)

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 5. Σχάρ (Μεγέθη Q, κάμψη επίπεδ, ) ϕ ϕ ϕ ϕ Q Q Σχ.. Q Q ϕ ϕ ϕ ϕ (.) όπου : J GJ

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγϊδης ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ N A -A Q J J J J Q J J J J GJ GJ J J J J J J J J N -A A Q J J J J Q J J J J GJ GJ J J J J J J J J (.)

ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ: ΤΕΥΧΟΣ Α σελίδ ΜΕΡΟΣ Γ: ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 7 Δημοσθένης Τλσλίδης Ηλίς Μπουγΐδης Ιωάννης Ντινόπουλος Θεσσλονίκη

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Γ Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 7 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Ζητείτι: )? γι δ ) Q B, B Δίδετι: J J J J A A A A " " A, A 5 q, t t, d, A A C 5 ( ) ϕ ϕ K Σ J J A A5 m. J J

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Γ Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 8 o BK : q q 7 q q Q Q o q q 7 q q o BK : J J d d o J d J d q 7 q q J d Σ Σ! ) δ ϕ ϕ ( ) ϕ 8ϕ ϕ.595 ϕ. 78, ).7 Q B B.7 9.5.7 57.5

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Γ Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 9 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ I R I S t d S t d R h I R I t t d R d St.. 5,.5,. B.K : t t A B J ; A B d t ; w, t 9 9 9 9 fd R S t.. 5 5.5 9. R St I R R. R I St S. t St

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Γ Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 7 ϕ ϕ ϕ ϕ R St R St m R St R St St St!! ϕ ϕ ϕ R R ϕ ϕ ϕ..5.8..8.5..8..8...8..5.8..8.5..8. ϕ ϕ.....! ϕ ϕ ϕ.. ϕ 5. ϕ. 7.. 7.58 R (.ϕ 5.ϕ ).58

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Γ Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 7 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ q.5 h ΕΑF " ",, R S St W Ζητείτι: ϕ, R, S, St C I C I C I ( 5).5.5 5 8.5 ϕi 5.8.5.5 ϕ.559 I R ϕ.95.588 I St ϕ.75.5.5 I S ϕ.5 5.5.5

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Γ Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 7 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ A A A5 " " t t 5 99 I,, d d Τ t t o A A 99! ϕ Ζητείτι: ) K, β) N Σ Σ Πρδοχή: ~ C J A A C ( ) ) K Σ ϕ ϕ F, I Σ J J Τ d Τ d J : Θερμοκρσ. συντελεστής

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Γ Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 7 β)! ϕ ϕ! ϕ N ϕ.998. 5 ~ C F A.5 5. N 5..757 A N C.5 5. N 5..757

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Γ Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 7 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 A (,, ) B (,, ) A F C (,, ) D (,, ) J. GJ Ζητείτι: ) Μεττοπίσεις, στροφές στο Β β) Φορτί διτομής Α A B A C F A ϕ ϕ C ϕ ϕ fr! ϕ ϕ ϕ ~ ϕ A

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Γ Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 75 m ϕ ( β ) ϕ J q GI q β ~ ϕ m. 75 ~ ϕ. 95 ϕ ϕ ~ co 5 ϕ ϕ ϕ n 5 ~ ϕ Q... q........75....

ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ: ΤΕΥΧΟΣ Α ΜΕΡΟΣ Δ: ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ σελίδ. Δοκοί με ρθρώσεις 7. Αντικτάστση υποσυστημάτων με γενικευμέν ελτήρι /φορτί 8. Άκμπτοι σύνδεσμοι 85. Αριθμητικά ποτελέσμτ 89 5. Συνθήκες που διέπουν τη σττική συμπεριφορά της δοκού 9. Αρχή των δυντών έργων: Μητρώ δυσκμψίς/ Εργικά ισοδύνμ φορτί 95 7. Δεσμεύσεις Δημοσθένης Τλσλίδης Ηλίς Μπουγΐδης Ιωάννης Ντινόπουλος Θεσσλονίκη

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 7 Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης. ΔΟΚΟΙ ΜΕ ΑΡΘΡΩΣΕΙΣ Πώς θ ληφθεί υπόψη η δοκός κι το φορτίο ; Γιτί; Πώς θ ληφθεί υπόψη η δοκός j κι το φορτίο ; Γιτί; Πώς λμβάνουν υπόψη προγράμμτ πεπερσμένων στοιχείων (π.χ. SA) την άρθρωση στο σημείο j ; ) Περίπτωση: Q Q ϕ ϕ () J ( )! ϕ ϕ ( ) ϕ ϕ () j Q N j

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 77 Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης () () ϕ Q Q ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 ) ( Φορτί π.χ. Τ Β.Κ.:, d J Q Q B A Τ d J A Τ

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 78 Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης ) Περίπτωση: [ ]! ϕ ϕ [ ] ϕ ϕ ( ) Q ϕ ϕ Q ) Περίπτωση: Q Σχολισμός!

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 79 Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης Δίδοντι - Το μητρώο K της δοκού (δείκτης : τοπικό σύστημ νφοράς) βθμοί ελευθερίς:,, ϕ,,, ϕ - Τ 5 5 μητρώ K κι K τ οποί λμβάνουν υπόψη τις συνθήκες κι ελευθερίς ϕ κι ϕ, ντιστοίχως (δεν υπάρχουν βθμοί, ντιστοίχως) K K Οι βθμοί ελευθερίς του κόμβου σε έν κοινό σύστημ νφοράς συμβολίζοντι ως εξής: