Ασκήσεις, Φυλλάδιο. Βρειτε το συνολο Φ A ολων των ανω ϕραγματων του A, και το συνολο φ A ολων των κατω ϕραγματων του A, οταν: a) A = m :, m N}, b) A = + m 2. Βρειτε το if και sup οποτε υπαρχουν) των συνολων A = m :, m N}, B = +, ), :, m N} C = 0, ) +, ) D = + : N}, E = x R : x > x2 }, F = r 0, ) : r = 0, r r 2 r 3..., r i 9 i}. το F περιεχει τα r 0, ) των οποιων το δεκαδικο αναπτυγμα δεν περιεχει το ψηϕιο 9). 3. Αν A, B ειναι μη κενα ϕραγμενα υποσυνολα του R δειξετε οτι το A B ειναι ϕραγμενο και supa B) = maxsup A, sup B} ifa B) = miif A, if B} συμβολισμος: για x, y R, maxx, y} συμβολιζει τον μεγαλυτερο απο τους δυο, και mix, y} τον μικροτερο απο τους δυο) 4. Αν A, B ειναι μη κενα ϕραγμενα υποσυνολα του R, οριζομε A+B = a+b : a A, b B}. Δειξετε οτι supa + B) = sup A + sup B ifa + B) = if A + if B. 5. Δειξετε οτι το αθροισμα, το γινομενο και το πηλικο οταν οριζεται) δυο ρητων αριθμων ειναι ρητοι αριθμοι. 6. α) Αν r ειναι ρητος και α αρρητος, τοτε το αθροισμα r + α, το γινομενο rα και το πηλικο r ειναι αρρητοι. α β) Αν α, β ειναι αρρητοι, τι μπορουμε να πουμε για το αθροισμα α + β, το γινομενο αβ και το πηλικο α; β 7. Αν α ειναι υπερβατικος αριθμος δειξετε οτι ο α ειναι υπερβατικος για καθε Z 0}. 8. Δειξετε οτι αν a, b R με a < b τοτε: α) στο διαστημα a, b) υπαρχουν απειροι το πληθος ρητοι αριθμοι. β) στο διαστημα a, b) υπαρχουν απειροι το πληθος αρρητοι αλγεβρικοι αριθμοι. γ) στο διαστημα a, b) υπαρχουν απειροι το πληθος υπερβατικοι αριθμοι. 9. Γραψετε ως κλασματα ακεραιων οσους απο τους παρακατω αριθμους ειναι ρητοι 0. Εστω A το συνολο α =, 232323..., β = 0, 0000000000... γ = 0, 4999..., δ = 0, 2345678902345..., ε = 0, 37606060... A = x 0, ) : το δεκαδικο αναπτυγμα του x περιεχει μονον τα ψηϕία 3 και 7} Δειξετε οτι το A δεν ειναι αριθμήσιμο.
2. Εστω B το συνολο που περιεχει τις ριζες καθε ταξης, καθε ϕυσικου αριθμου. Δειξετε οτι το B ειναι αριθμησιμο. 2. Αποδειξετε τις ταυτοτητες a) + x + x 2 + x 3 + + x = x+, x R, x, N x b) x y = x y)x + x 2 y + x 3 y 2 + + y ), x, y R, N. 3. Αν b, b 2,, b ειναι θετικοι πραγματικοι αριθμοι με γινομενο b b 2 b = δειξετε οτι b + b 2 + + b. υποδ.: επαγωγη επι του ) 4. Ανισοτητα αριθμητικου, γεωμετρικου και αρμονικου μεσου). Αν a, a 2,, a ειναι θετικοι πραγματικοι αριθμοι δειξετε οτι a + a 2 + + a a a 2 a a + a 2 + + a υποδ.: χρησιμοποιησετε την προηγουμενη ασκηση). 5. Για x R και N δειξετε οτι [ x] = [ [x] ]. οπου [x]=ακεραιο μερος του x). 6. Γραϕουμε κx) = x [x] για το κλασματικο μερος του x R αντι για x} = x [x], για μεγαλυτερη σαϕηνεια). Δοθεντος x R θεωρουμε το συνολο, A = κx) : N} = κx), κ2x), κ3x),, κx), } Βρειτε το sup A και if A οταν ο x ειναι θετικος ρητος αριθμος. 7 α) Με τον συμβολισμο της προηγουμενης ασκησης βρειτε το sup A και if A οταν ο x ειναι αρρητος αριθμος. β) Βρειτε το sup S και if S του συνολου S = si) : N} = si), si2), si3),, si), } γ) Ειναι το συνολο Θ = si) : N} = si), si2), si3),, si), } ϕραγμενο; ανω ϕραγμενο;
Ασκήσεις, Φυλλαδιο 2. Ελεγξετε με χρηση του ορισμου την συγκλιση ή μη των ακολουθιων a = +, b = 2 ). 2. Αν a ) ειναι ακολουθια θετικων ορων με a a και k N, k 2 δειξετε οτι lim k a ) = k a. 3. Δειξετε οτι καθε πραγματικος αριθμος ειναι το οριο μιας γνησιως αυξουσας ακολουθιας ρητων αριθμων. 4. Δειξετε οτι η αναδρομικη ακολουθια a =, a + = + a, ειναι αυξουσα και οτι a 2 για καθε. 5. Στις παρακατω ακολουθιες οι, m συμβολιζουν ϕυσικους αριθμους. Βρειτε το οριο καθε μιας. a = + m, N b m = + m, m N c = m, N d m = m, m N 6. α) Αν a ) ειναι ακολουθια που συγκλινει στο 0 και b ) ειναι ϕραγμενη ακολουθια, δειξετε οτι η ακολουθια c ), c = a b, συγκλινει στο 0. β) Βρειτε ακολουθιες a ), b ) με a a 0, και b ) ϕραγμενη, ωστε η ακολουθια c = a b δεν συγκλινει. 7. α) Εστω x R και a = κ!x), N, οπου κx) = x [x], το κλασματικο μερος του x. Δειξετε οτι ) Αν x Q τοτε υπαρχει N N ωστε a = 0 για N 2) Αν x R Q τοτε a 0 για καθε N. β) Εστω m N, m 2, και b = mκ m ), N. Βρειτε τους αρχικους 2m + ορους της ακολουθιας b ), και βγαλτε συμπερασμα για την συνολικη μορϕη της b ). 8. Βρειτε το οριο καθε ακολουθιας a =!, b = 5!, c = si2 ), d = si2 ) + + 3. 9. Εξετασετε την συγκλιση και βρειτε το οριο καθε μιας απο τις ακολουθιες. a = 2, b = 2 + 3, c = 2 + si), d = 2 + 2, 0. Εξετασετε την συγκλιση και βρειτε το οριο καθε μιας απο τις ακολουθιες. a = 2 + 2, b = 2 + 3 + 4, c = log) + log 3 ) + Σημ.: log συμβολιζει τον ϕυσικο λογαριθμο ). Υποθετουμε οτι a ) ειναι μια ακολουθια θετικων πραγματικων αριθμων με a a. ) Αν 0 < a < δειξετε οτι η ακολουθια s = a εχει οριο lim s =. 2) Ισχυει το ιδιο αν a = 0 ή a = ; 2. Εστω a ) ακολουθια για την οποια υπαρχουν m, M R ωστε 0 < m a M < για καθε N. Δειξετε οτι s = a. 3. Δειξετε οτι οι ακολουθιες a = 2 + 4 + 6 + + 2, b = + 3 + 5 + 7 + + 2, N δεν ειναι ανω ϕραγμενες. 4. Δειξετε οτι η ακολουθια a = ειναι αυξουσα και ανω ϕραγμενη. 5. Αν a 0, ) δειξετε οτι η ακολουθια + + + 2 + + 3 + + 2, N, a = + a + a 2 + a 3 + + a, N, ειναι ανω ϕραγμενη. 6. Αν a ) ειναι ϕραγμενη ακολουθια δειξετε οτι και η ακολουθια b ) με ειναι επισης ϕραγμενη. b = a + a 2 + a 3 + + a, N,
Ασκήσεις, Φυλλάδιο 3. Βρειτε το οριο καθε ακολουθιας a = + 2, b = log), c = 2 2 2 +, d = + 2 + 3 + + 2. Αν px) = a 0 +a x+a 2 x 2 + +a m x m ειναι πολυωνυμο με θετικους συντελεστες δειξετε οτι η ακολουθια p = p) εχει οριο τον αριθμο. 3. Εξετασετε την συγκλιση και βρειτε το οριο για οσες απο τις ακολουθιες υπαρχει. a = 2 + 3, b = )+ + 4. Δειξετε οτι: ) Αν < a < και k N, τοτε a = k a 0. 2) Αν a > 0 και b R τοτε a = log))b a 0. +, c = 5. Εξετασετε την συγκλιση και βρειτε το οριο για οσες απο τις ακολουθιες υπαρχει. + )3 )2 7) 2. + )2 ) a = si), b = si ), c = si ), d = + 2 ). 6. Εξετασετε την συγκλιση των ακολουθιων a = + ) 2, b = + 2 ). 7. Εξετασετε την συγκλιση και βρειτε το οριο για οσες απο τις ακολουθιες υπαρχει. a = 2!, b = 3!, c = 2 ), d = ). 8. Αν a R δειξετε οτι η ακολουθια a = [a] 9. Θεωρουμε την ακολουθια ) Δειξετε οτι a 2 για καθε. 2) Ειναι σωστος ο παρακατω υπολογισμος; συγκλινει στο a. [ ] το ακεραιο μερος). a = + + + 2 + + 3 + + 2, lim a = lim + + + + + 2 2 ) = lim + + lim N + + lim + 2 = 0+ +0 = 0. 2 0. Θεωρουμε την ακολουθια b = + 2 + 3 + +, N. Δειξετε οτι b 2 b /2 για καθε προηγουμενη ασκηση). Σαν συνεπεια συμπερανετε οτι: ) Η b ) δεν ειναι ακολουθια Cauchy. 2) Η b ) δεν ειναι ανω ϕραγμενη.. Με χρηση του ορισμου δειξετε η ακολουθια a = ) + + δεν ειναι ακολουθια Cauchy. 2. Δειξετε οτι η ακολουθια που οριζεται a = και a + = 2a για συγκλινει και βρειτε το οριο. Υποδ. η a ) ειναι αυξουσα και ανω ϕραγμενη απο το 2, επαγωγη.) 3. Εξετασετε την συγκλιση και βρειτε το οριο της ακολουθιας x = 3 2 και x + = 3x 2 για. Υποδ. με επαγωγη δειξετε: ) 3/2 x 2 για καθε. 2) η x ) ειναι αυξουσα.)
Ασκήσεις, Φυλλάδιο 4. Εστω a > 0. Θετουμε x = και x + = 2 x ) και βρειτε το οριο της. 2. Βρειτε την τιμη του συνεχομενου κλασματος ) x + a x για. Μελετησετε την ακολουθια a = + + + + ερμηνευοντας την σαν οριο της αναδρομικης ακολουθιας: a = και a + = + a για 2 Υποδ. Δειξετε οτι < a < 2 για καθε, και οτι η ακολουθια συγκλινει) 3. Δειξετε οτι lim + 2 + 3 + + ) = 0. 4. Γενικωτερα αν a ) ακολουθια θετουμε b = a +a 2 + +a, N. Δειξετε οτι αν a a R τοτε και b a. 5. Βρειτε τα οριακα σημεια και το lim sup και lim if καθε ακολουθιας π + 2si 2 ) a = ) +, b = +2 ), c = + 2 ) d = si π 4 ), e = cos!π ), m N. m 6. Βρειτε τα οριακα σημεια της ακολουθιας a ) με ορους 2, 4, 2 4, 3 4, 8, 2 8, 7 8, 6 2, 2 2,, 2, 2 2, + 7. Εστω a ) ϕραγμενη ακολουθια και S = a R : το a ειναι οριακο σημειο της a )}. Αν x ) ειναι ακολουθια σημειων του S με x x δειξετε οτι x S. 8. Αν C = c, c 2, c 3, } ειναι αριθμησιμο συνολο πραγματικων αριθμων δειξετε οτι υπαρχει ακολουθια a ) ωστε καθε σημειο του C να ειναι οριακο σημειο της a ). 9. Αν a ), b ) ειναι δυο ϕραγμενες ακαλουθιες, δειξετε οτι υπαρχει επιλογη ϕυσικων αριθμων m, m 2,, m k, ωστε οι υπακολουθιες a mk ) και b mk ) να ειναι και οι δυο συγκλινουσες. Γενικευσετε το συμπερασμα για πεπερασμενες το πληθος δοθεισες ϕραγμενες ακολουθιες. 0. Αν a ) ειναι ακολουθια θετουμε b = a +, N. Δειξετε οτι καθε οριακο σημειο της a ) ειναι επισης οριακο σημειο της b ).. Αν a ) ειναι ϕραγμενη ακολουθια και a R δειξετε οτι a = lim sup a αν και μονον αν: Για καθε ε > 0 το συνολο N : a ε < a } ειναι απειρο και το συνολο N : a + ε < a } ειναι πεπερασμενο.
. Ποιες απο τις σειρες ειναι αθροισιμες; a) d) k + k), e) log). 3 Ασκήσεις, Φυλλαδιο 5 + 2 +, b) log), c) si ), 2. Εξετασετε ποιες απο τις σειρες συγκλινουν: a) 3!, b) 2, c) +, d) =2 3. α) Αν a > 0 για καθε και η σειρα a συγκλινει, δειξετε οτι η σειρα a2 συγκλινει. β) Αν a > 0, b > 0 για καθε και οι σειρες a, και b συγκλινουν δειξετε οτι η a b συγκλινει. log). 4. Εστω a ακολουθια θετικων αριθμων. Δειξετε οτι η σειρα a συγκλινει αν και μονον αν η σειρα a +a συγκλινει. 5. Δειξετε οτι: α) =2 2 = 3 4, β) 2+ =, γ) 2 +) 2 2 =. 2 + 6. Εξετασετε την συγκλιση των σειρων και το αντιστοιχο αθροισμα. α) + m), β) + m), m=, m N). 7. Απο το συνολο, 2, 3,,, } διαγραϕομε τα στοιχεια με παρονομαστη τελειο τετραγωνο = k 2, k N), και αυτα με παρονομαστη τελειο κυβο = k 3, k N). Δειξετε οτι η σειρα με ορους ολα τα υπολοιπα στοιχεια αποκλινει. 8. Ποιες απο τις παρακατω σειρες συγκλινουν; 4 a) 2, b) 3!, c) 2!, d) 3!, e) 3 2,! 9. Ποιες απο τις παρακατω σειρες συγκλινουν; 2 a) + 3, b) 2 3 2, c) 2 2 2 + ), d) + ) 2, e) + 2 + + ). =3 0. Εξετασετε την συγκλιση των σειρων a) log2), b) =2 log)) 2, c) =2. Εστω a, b > 0. Εξετασετε την συγκλιση της σειρας =2 log)) 2, d) log)) b a, log a )) b. 2. Εστω p > 0 και b R. Δειξετε οτι η σειρα =2 ) αν p > και b R συγκλινει. 2) αν 0 < p < και b R αποκλινει. 3) Αν p = τοτε για b < συγκλινει ενω για b αποκλινει. =2 + log) log)) 2, e) 2 log).
Φυλλάδιο 6. Εξετασετε την συγκλιση και την απολυτη συγκλιση των σειρων a) ) + + ) ), b) log)) 3, c) ) + + log), d) =2 2. Εξετασετε αν συγκλινει η σειρα )+ a οπου a = =2, αρτιος 2, περιττος. + 2 )!. 3. Βρειτε τις τιμες s R για τις οποιες συγκλινει καθε σειρα a) s s, b)!, c) sis) 2, d) =0 s, e) 2 s. 4. Θεωρουμε την ακολουθια a με ορους:, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6,. ) Αν S ειναι τα μερικα αθροισματα της σειρας a δειξετε οτι 0 S για καθε. 2) Δειξετε οτι η σειρα δεν συγκλινει. 5. Εξετασετε τη συγκλιση της a οπου a = 6. *) Θετομε s =, αν ο ειναι τελειο τετραγωνο ϕυσικου αριθμου, αν ο δεν ειναι τελειο τετραγωνο ϕυσικου αριθμου 2 ) +, και θεωρουμε την ακολουθη αναδιαταξη της σειρας 2 4 + 3 6 8 + 5 0 2 + Δειξετε οτι η αναδιατεταγμενη σειρα συγκλινει, με αθροισμα s/2. Υποδειξη: S 3 = 2 4 + 3 6 8 + + 2 4 2 2 4 2 ) 4 = 2 2 + 3 4 + + lims 3 ) = lims 3+ ) = lims 3+2 ). 2 7. Αν a > 0, N, και a + a a, a > 0, δειξετε οτι a a. 4 = 2 ) 4 + 3 6 ) 8 + + 2 ) = 2 σ 2, οπου σ = ) k+ k s, και 8. Αν a = 2 ) βρειτε το lim a και δειξετε οτι lim if a + a < lim a < lim sup a + a 9. Εστω a k > 0, k N, και s τα μερικα αθροισματα της σειρας k= a k. Δειξετε οτι η ) s συγκλινει αν και μονον αν η k= a k αποκλινει. 0. Αν r = k= δειξετε οτι η k 2 )+ r συγκλινει αλλα οχι απολυτως. Υποδ.: Για m >, r > + + + > 2 +) 2 m 2 +) + +)+2) + + mm+) = + +2 ) + + m m+ ) = m+ > 2. + ) +
. Δειξετε οτι η fx) = σημειο. x 2, αν x αρρητος, αν x ρητος, Ασκήσεις, Φυλλαδιο 7 ειναι συνεχης στα σημεια, και σε κανενα αλλο 2. Βρειτε τα ορια. a) lim x 0 x si x ), b) lim x 0 x2 si x ), c) lim x[ si x) ], d) lim. x 0 x x 0 + x 3. Αν a, b ειναι θετικοι αριθμοι βρειτε τα ορια lim x 0 + x a [ b x ]) και lim x 0 + b x [ x a ]) 4. Δειξετε οτι αν f : [0, ] [0, ] ειναι συνεχης συναρτηση τοτε υπαρχει ξ [0, ] με fξ) = ξ. 5. Εστω f : R R συναρτηση που ικανοποιει την συναρτησιακη εξισωση Cauchy: fx + y) = fx) + fy), για καθε x, y R. Δειξετε οτι: α) f0) = 0 και f x) = fx) για καθε x R. β) Υπαρχει c R ωστε f ) = c για καθε N. γ) fr) = cr για καθε r Q. δ) Αν η f ειναι επιπλεον συνεχης τοτε fx) = cx για καθε x R. 6. Βρειτε σε ποια σημεια ειναι συνεχης η συναρτηση fx) = 0, αν x αρρητος, cosx), αν x ρητος. 7. Δωσετε παραδειγμα συναρτησης f : R R που δεν ειναι συνεχης σε κανενα σημειο, αλλα η f ειναι συνεχης παντου. 8. Εστω f : [0, ] R συνεχής με f0) = f). Δείξτε ότι υπάρχει ξ [0, 2 ] τέτοιο ώστε fξ) = fξ + 2 ). 9. Δείξτε ότι το πολυώνυμο P x) = x 4 + 7x 3 9 έχει τουλάχιστον δύο πραγματικές ρίζες. 0. Εστω f : [a, b] R συνεχης με την ιδιότητα: Για καθε x [a, b] υπαρχει y [a, b] ωστε fy) 2 fx). Δείξετε ότι υπαρχει ξ [a, b] ωστε fξ) = 0.. Αν f, g : [a, b] R ειναι συνεχεις θετουμε A = x [a, b] : fx) = gx)}, και υποθετουμε A. Δειξετε οτι sup A A και if A A. 2. Αν f, g : [a, b] R ειναι συνεχεις και ισχυει fx) > gx) για καθε x [a, b] δειξετε οτι υπαρχει ρ > 0 ωστε fx) > gx) + ρ για καθε x [a, b]. 3. Αν f : [a, b] R ειναι συνεχης και x, x 2,, x [a, b] δειξετε οτι υπαρχει y [a, b] ωστε fy) = fx )+fx 2 )+ +fx ). 4. Αν f : [0, ) R ειναι συνεχης και το οριο lim x fx) υπαρχει και ειναι πεπερασμενο, δειξετε οτι η f ειναι ϕραγμενη στο [0, ).
Ασκήσεις, Φυλλαδιο 8. Εξετασετε αν οι συναρτησεις f, g : 0, ] R, fx) = si x ), gx) = x si x ), ειναι ομοιομορϕα συνεχεις στο 0, ]. 2. Βρειτε συναρτηση f :, ) R παραγωγισιμη σε καθε σημειο του πεδιου ορισμου της, της οποιας η παραγωγος δεν ειναι συνεχης συναρτηση στο σημειο x 0 = 0. 3. Εξετασετε αν οι συναρτησεις ειναι παραγωγισιμες στο σημειο x 0 = 0. a) fx) = x 2 si x ), x 0 0, x = 0, 4. Εξετασετε αν η συναρτηση fx) = b) gx) = six) x, x 0, x = 0, 2 si x 2 ) x, 0 < x < π, 0, x = 0, c) hx) = x x. ειναι παραγωγισιμη στο 0. fc+h) fc h) 5. Αν f : [a, b] R ειναι παραγωγισιμη στο c a, b) δειξετε οτι lim h 0 2h = f c). 6. Εστω m, N, m, 2. Βρειτε τη μεγιστη τιμη της συναρτησης fx) = x x) m στο διατημα [0, ]. 7. α) Αν f : 0, ) R παραγωγισιμη και lim x f x) = 0, τοτε lim x fx + ) fx)) = 0. β) Αν f : 0, ) R παραγωγισιμη με f) = 0 και f x) 2x για καθε x >, τοτε fx) < 2x 2 για καθε x >. 8. Εστω f : R R παραγωγισιμη με f x) = fx) για καθε x R. Δειξετε οτι υπαρχει c R ωστε fx) = ce x για καθε x R. 9. Εστω f :, ) R παραγωγισιμη συναρτηση για την οποια ισχυει f0) = 0 και f x) 3 x για καθε x, ). Δειξετε οτι η σειρα =2 f ) συγκλινει. 0. Εστω f :, ) R παραγωγισιμη με f0) = 0 και f 0) =. Δειξετε οτι η σειρα =2 f/) δεν ειναι αθροισιμη. Γενικα, για ποιες ακολουθιες x ) με ορους στο 0, ) και x 0 ειναι η σειρα fx ) αθροισιμη;. Μια ακομη αποδειξη οτι η αρμονικη σειρα δεν ειναι αθροισιμη). Με χρηση του θεωρηματος μεσης τιμης δειξετε οτι + < log + ) < για καθε N. Δειξετε στην συνεχεια οτι 2 + 3 + + < log) + 2 + 3 + +, 2 log) και συμπερανετε οτι lim S = οπου S ειναι το -υοστο μερικο αθροισμα της σειρας. 2. Εστω f : 0, ) R παραγωγισιμη συναρτηση για την οποια ισχυει f x) = x για καθε x 0, ) και f) = 0. Δειξετε οτι fxy) = fx) + fy) για καθε x, y 0, ). 3. Εστω f : a, b) R συναρτηση. Αν υπαρχουν 0 < M < και < ρ < ωστε να ισχυει fx) fy) M x y ρ για καθε x, y a, b) δειξετε οτι η f ειναι σταθερη. 4. Δειξετε οτι για καθε x 0 ισχυουν οι ανισοτητες: a) six) x, b) six) x x3, c) six) x x3 3! 3! +x5, d) cosx) x2 5! 2! six) x+ 5. Βρειτε τα ορια: i) lim x 3 cosx) + 3! x 0, ii) lim x 2 x 5 2 x 0, iii) lim x 0 6. ) α) Δειξετε οτι η συναρτηση fx) = στο x 0 = 0. β) Δειξετε οτι η συναρτηση gx) = παραγωγισιμη σε καθε x R. e x, x > 0, 0, x 0, si 4 x) e x + x, x 0, ), 0, x, 0] [, ),, e) cosx) x2 2! +x4 4!. ). six) six) x ειναι απειρες ϕορες παραγωγισιμη ειναι απειρες ϕορες
ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι, Χειμ. Εξαμ. 208 Ασκήσεις, Φυλλάδιο 9. Βρειτε το συνολο συγκλισης καθε δυναμοσειρας: α) x ), β) + ) x ), γ) ϵ) =0 2 x ), ζ) =0 =0 log) x, η) 2. Βρειτε την ακτινα συγκλισης καθε δυναμοσειρας =0 2 x 2), δ) =0 2! x, θ) =0 =0 2 x + ), ι) a) + 3x + x2 2 2 + 33 x 3 + x4 2 4 + 35 x 5 + x6 2 6 +, b) 3 + cos))x, c) 2 x + ), 2 x 2).! +! )x, 3. Βρειτε την ακτινα συγκλισης της δυναμοσειρας a x σε καθε μια απο τις παρακατω περιπτωσεις ) a = 2 + si 2 ), 2) 2 a 3, 3) a 2, αρτιος, 4) a = 2 2, περιττος,, = 3k, 2 5) a = 3, = 3k +, k Z. 2, = 3k + 2 4. Βρειτε ολα τα x για τα οποια καθε μια απο τις σειρες συγκλινει a) x, b) x+ =0 x ). 5. Βρειτε τα πολυωνυμα Taylor P 5,a x) της συναρτησης fx) = +x στα σημεια α) a = 0, β) a =. 6. Γραψετε το πολυωνυμο P x) = + 2x x 2 + 5x 3 x 4 σε δυναμεις του x ). 7. Βρειτε το πολυωνυμο Taylor βαθμου 8 στο a = 0 για την συναρτηση fx) = cos x + 2! x2 4! x4 + 6! x6 8. Για τις παρακατω συναρτησεις βρειτε τα αντιστοιχα πολυωνυμα Taylor fx) = e x2, P 3,0 x). gx) = + x 2, P 4,x). hx) = 3 + cosx), kx) = six), P 2,0 x). P 6, π 6 x). ϕx) = e x + x + x2 2 ), P 5,0x). sx) = 3 + x, P 3,0 x). 9. Βρειτε το αναπτυγμα σε δυναμοσειρα καθε μιας απο τις παρακατω συναρτησεις στο αντιστοιχο σημειο fx) = e x, x 0 =. gx) = x, x 0 =. hx) = log + x), x 0 = 0. ϕx) = cos x, x 0 = π. 0. Βρειτε το μεγιστο σϕαλμα κατα την προσεγγιση της fx) = cosx) απο το πολυωνυμο P 4,0 x) = x2 2! + x4 4! στο διαστημα [ 2, 2 ].. Βρειτε το μικροτερου δυνατου βαθμου πολυωνυμο Taylor P,0 x) της fx) = e x, τετοιο ωστε να ισχυει e x P,0 x) για καθε x [, ]. 0 4 2. Κανετε τις γραϕικες παραστασεις της συναρτησης fx) = six) και των πολυωνυμων Taylor της, P,0 x), P 3,0 x), P 5,0 x), P 7,0 x), στο ιδιο συστημα αξονων, στο διαστημα [ π, π].