Ονοματεπώνυμο Τμήμα ο Ερώτημα Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώματα α) ( + + ) e d β) + ( + 4)( 5) 5 89 ΘΕΜΑ d Απάντηση α) θέτω u = + +και υ = e, επομένως dυ = e και du = ( + ) d. ( + + ) e d= u dυ = uυ υ du = ( + + ) e ( ) e + d= ( + + ) e UdV όπου U = + και V = e dv = e ( ) e UV VdU + + = ( + + ) e (+ ) e e d = ( + + ) e ( ) e e d + = ( + + ) e (+ ) e e 49 49 = e ( 49 + 84+ ) ( + + ) e (+ ) e + e + c= + c 49 4 4 β) 5+ 89 A B C A( 5) + B( + 4)( 5) + C( + 4) = + + = ( + 4)( 5) + 4 ( 5) ( 5) ( + 4)( 5) 5 89 A( 5) B( 4)( 5) C( 4) + = + + + + = A B C A B A B C A B C Επομένως έχουμε: A+ B= 0A B+ C = 5 A= 5, B=, C = 5A 0B+ 4C = 89 ( 0 + 5) + ( 0) + ( + 4) = ( + ) + ( 0 + ) + (5 0 + 4 ) Έτσι το αρχικό ολοκλήρωμα γίνεται ( + 4)( 5) + 4 ( 5) ( 5) 5 + 89 5 d = d + d + d = 5ln + 4 + ln 5 ( 5) c + ο Ερώτημα Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης e sin + e sin y = στο σημείο (0,π)
Απάντηση H εξίσωση της εφαπτομένης μιας καμπύλης f( στο σημείο ( o, y o ) είναι dy y y0 = f ( o )( 0) με f ( = d Παραγωγίζοντας ως προς και τα δύο μέλη της εξίσωσης ( ) e sin + e sin y sin sin y d e + e sin sin sin y dy dy e cos = 0 e cos+ e cosy = 0 = sin y d d d e cos y = έχουμε: sin 0 dy e cos0 Επομένως στο (0,π) είναι = = = d sin π e cosπ άρα η εξίσωση της εφαπτομένης θα είναι y-π = ο Ερώτημα Να μελετηθεί η συνάρτηση f( = ) για R {0,} ΘΕΜΑ Λύση α) η f είναι συνεχής σε όλο το πεδίου ορισμού της β) το διάγραμμά δεν τέμνει τους άξονες και για (,0) (, + ) f(>0 και f(<0 (0,), γ) η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της και f ( = ( ) Είναι f ( = 0 για = (πιθανή θέση ακροτάτου) Διερευνούμε το πρόσημο της Άρα το είναι θέση τοπικού μέγιστου. f (. Ισχύει (0, ) f ( >0, και (,) f ( <0 δ) η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της και + f ( = ( ) Είναι ( 0 για R 0,, οπότε δεν υπάρχουν σημεία καμπής Διερευνούμε το πρόσημο της f ( ). Ισχύει (,0) (, + ) f (>0, και (0, ) f ( <0 άρα f { } f κυρτή στο διαστήματα (,0) (, + ) και f κοίλη στο (0,)
ε) Είναι = 0 και = 0 οπότε η ευθεία y=0 οριζόντια ασύμπτωτη του + ) ) διαγράμματος στο Επίσης = +, ) + και στο =, ) =, ) + + 0 0 = + ) οπότε η ευθείες = 0, = είναι κατακόρυφες ασύμπτωτες του διαγράμματος από δεξιά κι αριστερά ο Ερώτημα Να λυθεί και να διερευνηθεί το σύστημα + y+ z = a y+ z = b + y z = c όπου οι άγνωστοι,y,z ανήκουν στο R και α,b,c παράμετροι που επίσης ανήκουν στο R. Απάντηση Η ορίζουσα του συστήματος είναι D = = + = (4 ) ( ) + ( + ) = 6 + + = 0 Επομένως το σύστημα έχει λύση και μάλιστα άπειρες λύσεις μόνο εάν D =D y =D z =0 a D = b = a(4 ) ( b c) + ( b+ c) = a+ b+ c c
a D y = b = ( b c) a( ) + ( c b) = a + b + c c a D z = b = ( c b) ( c b) + a( + ) = a + b + c c Άρα θα πρέπει α +b+c =0 δηλαδή το σύστημα έχει άπειρες λύσεις μόνο αν α+b+c=0 + y+ z = a + y+ z = a Σε αυτήν την περίπτωση το σύστημα y+ z = b είναι ισοδύναμο με το + y z = c y+ z = b γιατί η τρίτη εξίσωση προκύπτει από το άθροισμα αυτών των δύο δεδομένου ότι α+b+c=0. Η λύσεις του συστήματος είναι λοιπόν: + y+ z = a + y+ z = a ( y z+ b) + y+ z = a y+ z = b = y z+ b = y z+ b a b 4y+ z b+ y+ z = a y = a z+ b y = + z = y z+ b = y z+ b = y z+ b a b a b y = + z y = + z a b a 4b = ( + z ) z + b = + z z+ b a b y = + z a b = + z ΘΕΜΑ ο Ερώτημα. Να βρεθεί το λ ώστε η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α(,0) και Β(5,-) να είναι κάθετη στην ευθεία ε: + + + = ( λ ) ( λ ) y 004 0. Να βρεθεί το μ ώστε η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α(,0) και Β(5,-) να διέρχεται από το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος με άκρα τα σημεία P(λ,0) και Σ (μ+, ) Λύση ) Έστω AB = (, ) το διάνυσμα το παράλληλο στην ευθεία που περνά από τα σημεία Α και Β Για να είναι η εξίσωση ευθεία θα πρέπει λ 0 και λ + 0 δηλαδή λ () 4
Έστω a = (λ+, -λ +) το διάνυσμα που είναι παράλληλο στην ευθεία ε. Για να είναι AB ε αρκεί AB a λ λ λ λ λ λ = 0 ( + ) + ( )( + ) = 0 + + = 0 + + = Η δευτεροβάθμια εξίσωση έχει ρίζες λ=- και λ= - Από αυτές λόγω της () είναι δεκτή η λ=-, άρα για να είναι AB ε θα πρέπει λ= - ) Το μέσο Μ του ευθύγραμμου τμήματος που περνά από τα σημεία P και Σ έχει συντεταγμένες μ + μ + 0 + M = = μ + και y M = = δηλαδή Μ (μ+,) Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και Β έχει τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης με το διάνυσμα y-0 = ( AB και είναι ) y = + Για να διέρχεται η ευθεία ΑΒ από το Μ θα πρέπει οι συντεταγμένες του Μ να επαληθεύουν την εξίσωσή της δηλαδή = (μ+ ) + = μ + μ = ο Ερώτημα Να υπολογίσετε το όριο + + λ + 0 Λύση f + + λ = + + λ = + + λ = ( αλλά επειδή + περιοριζόμαστε στο διάστημα (0, + ) οπότε = άρα f ( = + + λ = + + λ Επειδή = + και + ) αν +λ>0 λ > τότε + + + λ = + λ 5
f ( = ( + + λ) = + ( + λ) = + + + + ) αν +λ<0 λ < τότε f ( = ( + + λ) = + ( + λ) = + + + ) αν +λ=0 λ = τότε f ( = ( + + λ) = + ( + λ) = + 0 απροσδιοριστία + + + Αντικαθιστούμε στην f( όπου λ= - κι έχουμε + + + = + ) + + ) + = ( + ( + + + + = + + + + Να απαντηθούν και τα πλήρη θέματα. Τα θέματα είναι βαθμολογικά ισοδύναμα ενώ τα ερωτήματα των θεμάτων έχουν ίση συνεισφορά στην βαθμολογία του κάθε θέματος. Υπενθυμίζεται ότι θα πρέπει να συμπληρώσετε το βαθμό 5 σε κάθε εξέταση και ότι ο συνολικός σας βαθμός των γραπτών εξετάσεων θα είναι 0.5 (βαθμός Μηχανικής) +0. (βαθμός στα ) +0. (βαθμός στον Ηλεκτρομαγνητισμό). Καλή Επιτυχία 6