ΣΥΝΟΛΑ Σηµείωση. Γράφουµε νν ντί του ν κι µόνον ν.. Προλεγόµεν. Σε ότι κολουθεί, ο νγνώστης θ έρθει σε επφή µε έννοιες πό την Μθηµτική Λογική, την Θεωρί Συνόλων, κι την Άλγεβρ. Σύµφων µε την Πλτωνική ντίληψη του Κόσµου, οι έννοιες υτές θεωρούµε ότι προϋπάρχουν κι ότι δεν είνι κενές περιεχοµένου. Μί οντότης γι µς εδώ, είνι το περιεχόµενο µιάς έννοις. Το ενδιφέρον µς θ επικεντρώνετι στις σχέσεις που νπτύσσοντι νάµεσ στις οντότητες που θεωρούµε. Έτσι, τ ερωτήµτ που θέτουµε, είνι του τύπου τι ιδιότητες έχει κάτι κι όχι του τύπου τι είνι κάτι. γι πράδειγµ, δεν θέτουµε το ερώτηµ τι είνι η µονάς λλά τι ιδιότητες θ πρέπει ν έχει κάποι οντότης, γι ν την ονοµάσουµε µονάδ. Τις οντότητες τις σηµειώνουµε µε σύµβολ. Προσοχή όµως! Το ίδιο σύµβολο χρησιµοποιείτι συχνά γι ν σηµειώσει διφορετικές οντότητες. Ενδιφερόµεθ συνεπώς, γι τον προσδιορισµό σχέσεων µετξύ συµβόλων, των οποίων την ύπρξη δεχόµεθ, κι γι την εξγωγή συµπερσµάτων, τ οποί θ φορούν τ σύµβολά µς, κι µόνον υτά, κι τ οποί συµπεράσµτ θ στηρίζοντι στις πρπάνω σχέσεις κι στην ποδεκτή λογική. Το σύνολο των ρχικά χρησιµοποιουµένων συµβόλων κι σχέσεων κλείτι Αξιωµτικό σύστηµ. Εφόσον στ χρησιµοποιούµεν σύµβολ επισυνάπτουµε οικείες έννοιες θ λέµε ότι, το σύνολο υτών των εννοιών, ποτελεί έν µοντέλο το οποίο νπριστά το ξιωµτικό µς σύστηµ. Επειδή, τώρ, µε ορισµέν µοντέλ έχουµε µεγάλη οικειότητ, τ σύµβολ του ξιωµτικού µς συστήµτος λβίνουν ονοµσίες, που εµπνέοντι πό το ιδιίτερο υτό µοντέλο. Έν ξιωµτικό σύστηµ πρέπει ν είνι: ) Συµβτό. Μέσ σ υτό, δηλδή, δεν υπάρχει ζεύγος ντιφτικών προτάσεων, που ν µπορούν κι οι δύο ν εξχθούν µε την ποδεκτή λογική, πό τ ξιώµτ του συστήµτος. β) Ανεξάρτητο. Τούτο σηµίνει, ότι το σύνολο των ρχικών σχέσεων, που κλούντι κι ξιώµτ (= ιτήµτ) του συστήµτος, δεν προυσιάζουν πλεονσµούς. Κνέν δηλδή ξίωµ δεν προκύπτει, µε την ποδεκτή λογική, πό τ υπόλοιπ. γ) Πλήρες. Τούτο σηµίνει ότι, γι κάθε σχέση που γράφετι γι τ σύµβολά µς, είµστε σε θέση ν ποφνθούµε ν κι κτά πόσον η σχέση υτή συνάγετι πό προτάσεις του ξιωµτικού µς συστήµτος. Ερχόµστε, τώρ, στην έννοι σύνολο. εχόµεθ τ πρκάτω ως προς την δυντότητά µς ν θεωρούµε σύνολ. Τ σύνολά µς τξινοµούντι σε επίπεδ. Μηδενικό επίπεδο: Περιέχει τις οντότητες. Πρώτο επίπεδο: Περιέχει συλλογές πό οντότητες. εύτερο επίπεδο: Περιέχει συλλογές πό ντικείµεν που νήκουν είτε στο πρώτο, είτε στο µηδενικό, είτε κι στ δύο προηγούµεν επίπεδ. Τρίτο επίπεδο: Περιέχει συλλογές στοιχείων, που νήκουν είτε στο δεύτερο, είτε στο πρώτο, είτε στο µηδενικό επίπεδο, είτε σε οιονδήποτε συνδυσµό π τ προηγούµεν. Τ επίπεδ κτά τον τρόπο υτόν υξάνουν. Σύνολο κλείτι το στοιχείο του τυχόντος k-επιπέδου. Κλάσης κλείτι ότι δεν είνι σύνολο. Συνέπει υτής της τξινοµήσεως, είνι ότι το σύνολο όλων των συνόλων είνι κλάσης, κι όχι σύνολο. Ιστορική σηµείωση. Η τξινόµησης υτή των συνόλων, έγινε πό τον Russell στο Prnpa Mathemata γι ν ποφύγει την νάπτυξη πρδόξων ορισµένου τύπου (βλέπε Χρονικό, στο τέλος της ενότητς υτής). Η κτσκευή υτή των συνόλων, είνι γνωστή ως umulatve theory of types ή ως umulatve type struture.. Το ξιωµτικό σύστηµ των Zermelo-Fraenkel. Τις οντότητες του µηδενικού επιπέδου θ τις κλούµε στοιχεί κι θ τις συµβολίζουµε µε µικρά γράµµτ. Τις οντότητες του πρώτου επιπέδου θ τις κλούµε σύνολ κι θ τις συµβολίζουµε, συνήθως, µε κεφλί γράµµτ. Οντότητες του δευτέρου επιπέδου θ συµβολίζοντι µε κεφλί κλλιγρφικά γράµµτ.

Εισάγουµε, τώρ, µι συµβολική γλώσσ, µε την βοήθει της οποίς θ χειριζόµστε τ στοιχεί κι τ σύνολ. ), διάβζε, το είνι έν στοιχείο του Α. Α, διάβζε, το δεν νήκει στο Α. β), διάβζε, γι κάθε., διάβζε, υπάρχει. :, διάβζε, τέτοιο ώστε. γ), (ή ), διάβζε συνεπάγετι. (ή ) διάβζε διπλή συνεπγωγή. δ), διάβζε κι., διάβζε είτε.!, διάβζε έν κι µόνον έν. Οποιοσδήποτε λογικός συνδυσµός των πρπάνω συµβόλων, ποτελεί µί λογική πρότση φ. Μί πρότση, που φορά την οντότητ x, την συµβολίζουµε µε το φ(x). Με φ(x), ή φ(x) ή ~φ(x) συµβολίζετι η άρνησης της λογικής προτάσεως φ(x). Αν θέλουµε ν δηλώσουµε ότι το σύνολο Α ποτελείτι πό τ στοιχεί, β, κ.ο.κ., γράφουµε Α = {, β}, κ.ο.κ. Αν τ, β, κ.ο.κ. είνι στοιχεί, δηλδή οντότητες του µηδενικού επιπέδου, τότε το {, β} είνι µί οντότης του πρώτου επιπέδου. Ιδιίτερ, στο πρώτο επίπεδο νήκουν τ σύνολ της µορφής {}. Εξ ορισµού είνι, {, } = {}. Το δεύτερο επίπεδο είνι δυντόν, σύµφων µε την πρπάνω εκτεθείσ θεωρί των τύπων, ν περιέχει κάποιο συνδυσµό πό οντότητες του τύπου, β, είτε {}, {β}, είτε {, β}, είτε {}, {, β}. Το σύνολο λοιπόν {, {}, {, β}} είνι µί οντότης του δεύτερου επιπέδου. Α. Αξίωµ κενού συνόλου. Υπάρχει έν σύνολο, χωρίς στοιχεί. Το σύνολο υτό το συµβολίζουν µε το, κι κλείτι κενό σύνολο. Κάνοντς χρήση της πρπάνω γλώσσς, το ξίωµ υτό είνι δυντόν ν γρφεί κι ως εξής: x(x ). Εξ ορισµού το περιέχετι σε κάθε σύνολο. Α. υντότητ σχηµτισµού υποσυνόλων. Έστω E κάποιο σύνολο, κάποιου επιπέδου, το οποίο πό δω κι στο εξής θ θεωρούµε ότι υτό περιέχει τις οντότητες µε τις οποίες πρόκειτι ν σχοληθούµε. Έν υποσύνολο τότε Χ του E, ορίζετι πό µι λογική πρότση φ. Έχουµε, δηλδή, ότι Χ z(z X z E φ(z)). Έν υποσύνολο που ορίζετι πό την φ(z), θ το συµβολίζουµε πλά ως Χ = {z φ(z)}. Χρησιµοποιούµε τον συµβολισµό Α Β, γι ν δηλώσουµε ότι το Α ορίζετι ως εξής: Α = {z z Β}. Γράφουµε κι Β Α. 3. Τ σύνολ Α κι Β τυτίζοντι, γράφουµε Α = Β, ν κι µόνον ν, ποτελούντι πό τ ίδι στοιχεί. Χρησιµοποιώντς την συµβολική µς γλώσσ, το Α3 γράφετι κι ως εξής: z(z X z Y) X = Y. Ισχύει φνερά κι η Χ = Υ z(z X z Y). Ισχύει, λοιπόν, ότι {, β} = {β, }. γι ν ποδείξουµε ότι δύο σύνολ Α κι Β τυτίζοντι, ρκεί ν δείχνουµε µφότερες τις σχέσεις Α Β κι Α Β. Γράφουµε Α Β, ν δεν έχουµε Α = Β. Αν Α Β, λλά Α Β, γράφουµε Α Β. Α4. Σύµφων µε την θεωρί των τύπων, το σύνολο των υποσυνόλων ενός συνόλου Χ, είνι σύνολο. Το συµβολίζουµε µε το X = P(X). Το σύνολο όλων των συνόλων, δεν είνι σύνολο. 5. υντότητ ενώσεως κι τοµής δύο συνόλων. Το ξίωµ υτό εξσφλίζει ότι τ Α Β κι Α Β είνι σύνολ. Αυτά ορίζοντι ως εξής: Α Β = {z z z B} κι Α Β = {z z z B}. Σηµειώνουµε την δυντότητ θεωρήσεως συνόλων της µορφής W = {{z}}. Επειδή τ z, {z} κι {{z}} νήκουν σε διφορετικά επίπεδ, το ξίωµ υτό µς δίδει την δυντότητ ν θεωρούµε κάθε φορά το κτάλληλο επίπεδο γι το σύνολο E. Α6. Αξίωµ ντικτστάσεως. Σύνολ σχηµτίζοντι κι ως εξής: Χ = {x z!(z E φ(x,z))}. Το ξίωµ υτό, µς δίδει την δυντότητ ν ντιστοιχίζουµε το πολύ έν z σε κάθε x, µέσω κάποις λογικής προτάσεως φ.

3 Ιστορική σηµείωση. Τ πρπάνω ξιώµτ, τ οποί ουσιστικά κθορίζουν τ επιτρεπτά σύνολ, διµορφώθηκν πό τους Zermelo (98) - Fraenkel (9) - Skolem (93). Α7. Αξίωµ της επιλογής. Έστω S τυχόν µη κενό σύνολο, κι Ρ(S) το σύνολο των υποσυνόλων του. Μπορούµε ν θεωρούµε τότε το σύνολο C = {z!z(z P(S) z Z)}. Το C ποτελείτι δηλδή, πό στοιχεί z, γι τ οποί είµστε βέβιοι, ότι υπάρχει έν κι µόνο υποσύνολο Ζ του Μ, που ν το περιέχει. 3. Άλγεβρ των Συνόλων. Στις πρκάτω σχέσεις, τ χρησιµοποιούµεν σύνολ, είνι όλ υποσύνολ του E. ) Γι τ σύνολ Α, Β, Γ ισχύουν ότι: ) Α Α β) Α Β Β Α Α = Β γ) Α Β Β Γ Α Γ. ) γι κάθε σύνολο S ισχύει ότι: ) S β) S ν κι µόνον ν S =. 3) {x} S ν κι µόνον ν x S. 4) Γι τ σύνολ Α, Β, Γ ισχύουν ότι: ) Α Α = Α = Α Α. β) Α Β = Β Α κι Α Β = Β Α. γ) Α (Β Γ) = (Α Β) Γ = Α Β Γ κι Α (Β Γ) = (Α Β) Γ = Α Β Γ. δ) Α (Β Γ) = (Α Β) (Α Γ) κι Α (Β Γ) = (Α Β) (Α Γ). ε) Α Α Β Β Α Β Α Β κι Α Α Β Β Α Β Α Β. στ) Α Β Α Α Β ζ) Α Β = Α Α Β κι Α Β = Α Β Α. η) Α = Α = Α κι Α = Α = Α θ) Α Β = Α = Β =. 5) Ορίζετι το συµπλήρωµ του Β ως προς το Α πό την σχέση: Α = {x x B}. Γράφουµε κι Α = Α Β. γι τ σύνολ Α, Β, Γ ισχύουν ότι: ) Α Β Α. β) Α Β = Α Α Β =. γ) Α Β = Α Β. δ) Α Β = Α (Α Β) κι Α Β = Α (Α Β). ε) (Α Β) Γ = (Α Γ) (Β Γ). στ) (Α Β) Γ = (Α Γ) (Β Γ) = (Α Β) (Α Γ) = Α (Β Γ). ζ) Α (Β Γ) = (Α Β) (Α Γ) = (Α Β) Γ. η) Α (Β Γ) = (Α Β) (Α Γ). 6) Γι το συµπλήρωµ του Α ως προς το E έχουµε τις σχέσεις, ) E = κι = E. β) ( ) =. γ) = E. δ) =. ε) στ) B B κι 7) Νόµοι του de Morgan. ) B= B. B B ( B) = B κι β) ( B) = B 8) Η συµµετρική διφορά δύο συνόλων Α κι Β ορίζετι πό την σχέση Α Β= ( Α Β) ( Β Α) Όλες οι πρπάνω σχέσεις νάµεσ στ σύνολ, πεικονίζοντι γρφικά, στο διάγρµµ του Venn:

4 E B B 4. υϊκές σχέσεις. Έστω τ σύνολ Α κι Β. Το διτετγµένο ζεύγος (, β) όπου Α κι β Β ορίζετι ως το σύνολο (, β) = {, {, β}}. Φνερά, (, β) (β, ). Το κρτεσινό γινόµενο Α Β ορίζετι ως το σύνολο {(, β) Α β Β}. Πρδείγµτ. ) γι κάθε σύνολο S ισχύει ότι, S = S =. Αντίστροφ, ν Α Β =, τότε είτε Α =, είτε Β =. ) {} {β} = {(, β)}. 3) Αν Α Γ κι Β, τότε κι Α Β Γ. 4) Α (Β Γ) = (Α Β) (Α Γ). 5) Α (Β Γ) = (Α Β) (Α Γ). Έν υποσύνολο R Β κλείτι δυϊκή σχέση εκ του Α εις το Β. Ιδιίτερ ενδιφερόµεθ γι την περίπτωση που είνι Β = Α, οπότε η R κλείτι δυϊκή σχέση επί του Α. Θ λέµε ότι η R ληθεύει γι το στοιχείο (, β) Α Β, ν κι µόνον ν (, β) R. Αντί του (, β) R γράφουµε πλά, Rβ. Συνώνυµ: δυϊκή σχέση = διµελής σχέση = δυδική σχέση. Πρδείγµτ. ) Το ως υποσύνολο του Α Β ορίζει την κενή δυϊκή σχέση. ) Το Α Β ως υποσύνολο του ευτού του ορίζει την τετριµµένοι δυϊκή σχέση. 3) Έστω R µί δυϊκή σχέση εκ του Α εις το Β κι Α, Β υποσύνολ των Α κι Β ντίστοιχ. Το υποσύνολο R = R (Α Β ) κλείτι περιορισµός της R επί του Α Β. Η ντίστροφος σχέσης της δυϊκής σχέσεως R ορίζετι ως το σύνολο R = {(β, ) (, β) R}. Πρδείγµτ. ) = ) ( ) ) β) Q = Q R = R 3) Αν έχουµε δύο δυϊκές σχέσεις Q κι R επί το Α, τότε ισχύουν : R ν κι µόνον ν Q = R κι R ν κι µόνον ν Q R. 5. Σχέση ισοδυνµίς. Μί δυϊκή σχέση κλείτι σχέση ισοδυνµίς επί του Α, ν κι µόνον ν, υτή είνι υτοπθής (ή νκλστική), συµµετρική κι µετβτική. ηλδή, ν κι µόνον ν,, β Α, R, Rβ βr κι Rβ βrγ Rγ. Την σχέση ισοδυνµίς την δηλώνουµε µε το. Η σχέση ισοδυνµίς λέγετι σχέση ισότητς = ν κι µόνον ν, ισχύει επιπλέον ότι, Α!β Α (, β) R. Έστω ότι, µς δίδετι το µη κενό σύνολο Α, κι µί σχέση ισοδυνµίς R έπ υτού. Τότε, µε το τυχόν στοιχείο του Α, θεωρούµε κι όλ τ ισοδύνµ προς υτό στοιχεί. Αυτά, ποτελούν το σύνολο, (λέµε την κλάση) C. Φνερά, C µί κι C φού. Είνι λοιπόν x C, ν κι µόνον ν, x. Πρτηρούµε ότι, το σύνολο Α, µερίζετι σε

5 τάξεις ισοδυνάµων στοιχείων. Μερίζετι δηλδή σε υποσύνολ C, έχουν νά δύο τοµή κενή, κι η ένωση όλων ν είνι το Α. Πράγµτι, ν C C β, κι γ C Cβ, τότε, γ C κι όµως, γ κι επειδή το γ είνι κι στοιχείο του C β, γ β. Άρ κι µι κι υτό, περιέχει όλ τ ισοδύνµ προς το β στοιχεί. είξµε έτσι ότι, C C. β Με τον ίδιο τρόπο ποδεικνύετι κι η C C. Άρ είνι C = C. β C β, κλπ., τέτοι ώστε, ν γ Cβ. Γι κάθε εν µπορούµε λοιπόν, ν έχουµε διφορετικές κλάσεις, µε τοµή µη κενή. Ξεκινάµε λοιπόν, πό το τυχόν στοιχείο του Α. Σχηµτίζουµε την κλάση τυτίζετι µε το Α, λβίνουµε το στοιχείο β Α µε προς υτό στοιχεί. Αυτά, φνερά, δεν θ νήκουν στο C C β β β, οπότε, C είνι Cβ C. Αν υτή δεν β κι θεωρούµε όλ τ ισοδύνµ C C, κι ποτελούν την C β. Αν, λβίνουµε εκείνο το στοιχείο γ του Α, που δεν νήκει στην προηγούµενη ένωση, κ.ο.κ. Με τον τρόπο υτό, επιτυγχάνουµε τον µερισµό του Α. Σύνολο Πηλίκο ονοµάζουµε το σύνολο εκείνο, που έχει σν στοιχεί του, τις κλάσεις ισοδυνµίς του Α. Το συµβολίζουµε µε Α / R. 6. Συνρτησική σχέση. Μί δυϊκή σχέση F B κλείτι συνρτησική σχέση εκ του Α εις το Β, ή πλά συνάρτηση ή πεικόνιση µε πεδίον ορισµού το Α κι πεδίον τιµών το Β, ν κι µόνον ν x (!y B (x, y) F). Συµβολίζουµε µε f(x) το µονδικό υτό y, γι το οποίο (x, y) F, κι γράφουµε y = f(x). Το y κλείτι τιµή ή εικόν του x δι της f. Χρησιµοποιούµε κι τον συµβολισµό f: B ή τον x a y. Στην περίπτωση που το σύνολο τιµών Υ της f είνι διάφορο του Β η f κλείτι εντός. Αν όµως είνι Υ = Β η f κλείτι επί. Η f κλείτι έν-έν ν κι µόνον ν κι η F είνι συνάρτηση. Λόγω των ξιωµάτων Α6 κι Α7 µπορούµε ν θεωρούµε συνρτήσεις επιλογής. Μπορούµε, δηλδή, ν θεωρούµε την F: P(S) S η οποί ορίζει µί ντιστοιχί, που στο τυχόν υποσύνολο Α P(S) ντιστοιχεί το στοιχείο Α. Πάντ, F, F({ }) =. Έχουµε, δηλδή, P(S), F() =, όπου Α. Το F(P(S)) είνι λοιπόν έν σύνολο, γι το οποίο είµστε βέβιοι, ότι κάθε στοιχείο του, νήκει σε έν κι µόνο υποσύνολο, (στοιχείο) του P(S). Πρδείγµτ. ) Η σχέση ισότητς I επί του Α, είνι µί πεικόνιση έν-έν του Α επί το Α. Αυτή κλείτι τυτοτική πεικόνιση του Α. ) Η κενή σχέση είνι συνάρτηση, ν κι µόνον ν Α =. 3) Η σχέση F = {(x, y) x y {y}} = {y} είνι µί συνάρτηση, η οποί κλείτι στθερά επί του Α. 4) Έστω N m = {,,..., m} N, όπου N το σύνολο των φυσικών ριθµών. Κάθε σύνολο S, το οποίο πεικονίζετι έν-έν επί του υποσύνολου N m του N, κλείτι πεπερσµένο σύνολο. Συνρτήσεις = πεικονίσεις = µετσχηµτισµοί, κλπ. Με τον όρο συνάρτηση πό το σύνολο Α στο σύνολο Β κλύπτουµε εκείνον τον µηχνισµό, που ορίζει την συνρτησική σχέση επί του B. Κι τον µηχνισµό υτόν, τον πριστάνουµε µε f, g, κλπ. Ώστε, γι ν µπορούµε ν λέµε ότι έχουµε µί συνάρτηση, θ πρέπει ν πληρούντι τ κόλουθ: ) Ν έχουν δοθεί δύο σύνολ Α κι Β (, χωρίς ν ποκλείουµε Β = Α). ) Ν γνωρίζουµε, γι κάθε x, το µονδικό y Β, που ντιστοιχεί µέσω κάποιου συγκεκριµένου µηχνισµού, σ υτό. 3) Γι ν είνι κλά ορισµένη η f, θ πρέπει ν ποδείξουµε την µονδικότητ του f(x). Θ πρέπει δηλδή, ν ποδείξουµε ότι, η σχέση f(x ) f(x ) x x. Θεωρούµε κι το σύνολο f (B ) = {x f (x) B B}, που κλείτι, ντίστροφη εικόν του συνόλου Β. Στην

6 περίπτωση που, το f ({y}) = f (y) είνι µονοσύνολο, ορίζετι η συνάρτηση f : B, που κλείτι, ντίστροφη συνάρτηση της f. Με f δηλώνουµε το γεγονός ότι, η f ορίζετι πάνω στο Α. Ο περιορισµός g της f επί του υποσυνόλου Α Χ, είνι εκείνη η g: Y, γι την οποί ισχύει ότι g(x) = f(x), x. Συνήθως, τον περιορισµό της f τον συµβολίζουµε µε το ίδιο σύµβολο (δηλδή το f). Στην περίπτωση υτή, η f λέγετι κι επέκτση της g. Injetve (ενίσιµος) κλείτι µί έν-έν πεικόνιση f:u V. Αν δηλδή, x,x U,f (x) = f (x ) x= x. Surjetve κλείτι κάθε επί πεικόνιση. Bjetve κλείτι η f, νν είνι έν-έν κι επί. Αυτοµορφισµοί κλούντι οι πεικονίσεις ενός συνόλου επί τον ευτό του. Αν οι πεικονίσεις υτές είνι κι έν-έν, τότε ονοµάζοντι µετθέσεις. Φνερά, η f είνι συνάρτηση, νν η f είνι έν-έν. Θεωρούµε y f(u) το σύνολο f (y). Είνι, Uf ( y) = U κι γι y y, f ( y) f ( y ) =. y f ( U) Το σύνολο U, µερίζετι συνεπώς πό τ υποσύνολ ισοδυνµίς R:,x R f (x ) f (x ) x = ( V f (y), κι η f εισάγει στο U την σχέση Το σύνολο f ), όπου V f(u) ορίζετι ως το σύνολο f ( V ) = {x U f(x) V }. Το σύνολο f V ) υπάρχει, νεξάρτητ πό το ν η f είνι έν-έν ή όχι. ( Έστω η f: X Y κι Α, οι σχέσεις : ) f (f ())., I, υποσύνολ του Χ κι B, B j, j J υποσύνολ του Υ. Ισχύουν = ) f (f (B)) f (B). ) f (B) f (B f (X)) v) f v) f U I U I = U f ( ) I = U I f ( ) v) f I If ( I I v) f I I ) Θεωρούµε τις πεικονίσεις f: U V κι g: f(u) W. Μπορούµε ν ορίσουµε την πεικόνιση fg: U W πό την σχέση, x U, x(fg) = (xf)g = g(f(x)). Η h = fg κλείτι γινόµενο ή σύνθεση των f κι g. Γι ν δηλώσουµε την σύνθεση των συνρτήσεων, χρησιµοποιούµε τ ντιµετθετικά διγράµµτ: f Το γινόµενο δύο συνρτήσεων, δεν ορίζετι βέβι πάντοτε, πολύ δε U V g περισσότερο, δεν ισχύει πάντ ότι gf = fg. Οπότε σηµειώνουµε πάντως h στ πρκάτω την σύνθεση δύο συνρτήσεων, θ υποθέτουµε, χωρίς ν W το λέµε, ότι υτή ορίζετι. f Γι τρεις πεικονίσεις που συντίθεντι, ισχύει ο προσετιριστικός νόµος. Είνι δηλδή, (fg)h = f(gh), ως προκύπτει πό το U V gh g διάγρµµ που εµφνίζετι πρπλεύρως. fg Z Η σύνθεση έν προς έν πεικονίσεων, είνι, φνερά έν προς W h έν πεικόνιση. Θεωρούµε, τώρ, έν σύνολο Ε, κι µί σχέση ισοδυνµίς R πάνω σ υτό. Στη συνέχει, θεωρούµε κι το σύνολο πηλίκο Ε/R. Ορίζετι τότε, η συνάρτηση p του Ε επί το Ε/R πό την σχέση, x a C x όπου x E κι Cx E/R η κλάση ισοδυνµίς στην οποί το x νήκει. Η p είνι κλά ορισµένη, µι κι όπως δείξµε (βλ. σελ. ) δεν υπάρχουν κλάσεις ισοδυνµίς µε κοινά στοιχεί. Υποθέτουµε κόµ, ότι έχουµε κι κάποιο άλλο σύνολο S, κι την πεικόνιση f: E S, τέτοι ώστε, η σχέση (x,y) R f(x) = f(y). = I I f ( )

7 p ΘΕΩΡΗΜΑ. Υπάρχει η g: E/R S κι είνι µονδική, έτσι ώστε, το E E/R δίπλ διάγρµµ, ν κθίσττι ντιµετθετικό. Επιπλέον, ν f g surjeton, η g είνι bjeton. f Απόδειξη. Θ πρέπει ν δείξουµε ότι, f = pg. Πράγµτι, πό υπόθεση, S η f πεικονίζει όλ τ ισοδύνµ στοιχεί του Ε, σε έν στοιχείο s S. Αν λοιπόν ορίσουµε την g έτσι ώστε C a s = f(x), το πιο πάνω διάγρµµ κθίσττι ντιµετθετικό. Η g είνι έν-έν, γιτί ν είχµε ότι x C x a s κι C y a s µε C C, οπότε κι το x δεν θ είνι ισοδύνµο του y, τότε θ έπρεπε λόγω του τρόπου µε τον οποίον ορίστηκε η f, ν έχουµε κι f(x) f(y), πράγµ δύντον, µί κι f = pg. ηλδή, g(p(x)) = g(p(y)) = s νν x y. 7. Εσωτερικές πράξεις - οµές. Μί πεικόνιση f: (Α ) κλείτι εσωτερική πράξη επί του Α. Αντί ν σηµειώνουµε µε το f(,β) την εικόν του στοιχείου (,β) Α Α, γράφουµε fβ. Στην γρφή υτή, ντί του συµβόλου f, που δηλώνει την πράξη µς, χρησιµοποιούµε σύµβολ, ως τ + (πρόσθεση), (πολλπλσισµός), ή. Συνήθως, το πολλπλσιστικό σύµβολο νάµεσ σε δύο στοιχεί του Α, πρλείπετι. Το (Α, ) κλείτι δοµή µιάς εσωτερικής πράξεως. Μί εσωτερική πράξη λέγετι προσετιριστική, ν κι µόνον ν, (β)γ = (βγ) οπότε γράφουµε πλά βγ, γι κάθε,β,γ Α. Οµδοειδές κλείτι µί δοµή µιάς εσωτερικής πράξεως. Ηµιοµάδ κλείτι µί δοµή µιάς προσετιριστική εσωτερικής πράξεως. Έν στοιχείο e, ν υπάρχει, κι γι το οποίο ισχύει ότι Α, e =, κλείτι ριστερά µονδιίο στοιχείο του Α. Φνερός είνι ο ορισµός του δεξιά µονδιίου στοιχείου. Ουδέτερο στοιχείο του Α είνι το e, νν είνι τυτόχρον ριστερά κι δεξιά µονδιίο στοιχείο. Συµβολίζουµε το e µε το ή το, ότν βέβι δεν υπάρχει η πιθνότητ συγχύσεως του ουδετέρου στοιχείου e µε τον ριθµό, ή το. Μί ηµιοµάδ µε ουδέτερο στοιχείο, την κλούµε επίσης κι ηµιοµάδ µε µονάδ. Αριστερά ντίστροφο στοιχείο, του τυχόντος στοιχείου µιάς ηµιοµάδς µε ουδέτερο στοιχείο, κλείτι το στοιχείο γι το οποίο ισχύει ότι, = e. Ανάλογ ορίζετι το δεξιά ντίστροφο στοιχείο. Στην περίπτωση, που το είνι κι ριστερά κι δεξιά ντίστροφο στοιχείο του, κλείτι πλά ντίστροφο στοιχείο n n n m n+ m m n του. Θέτουµε =. Ισχύει ότι, = =. Μορφισµοί ή οµοµορφισµοί κλούντι γενικώς, οι συνρτήσεις, που διτηρούν την δοµή του πεδίου ορισµού τους. Αν δηλδή φ : B ένς µορφισµός της δοµής (, ) επί την δοµή ( B, ), ισχύει τότε το ντιµετθετικό διάγρµµ : (a, b) a a b φ φ φ() φ() ( φ(a), φ(b)) a φ(a) φ(b) Έχουµε συνεπώς, την ισότητ: φ ( a b) = φ(a) φ(b). ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. Η πεικόνιση λογάριθµος log R + R των θετικών πργµτικών ριθµών εντός του συνόλου των πργµτικών ριθµών, είνι ένς µορφισµός της δοµής ( R +, ) εντός της δοµής ( R, + ) κι, πράγµτι, ισχύει ότι, log( ab) = log a+ log b. Ο πολλπλσισµός συνεπώς δύο ριθµών, ντικθίσττι πό την πρόσθεση των λογρίθµων τους. Με την λογική υτή, λειτουργεί ο λογριθµικός κνών. x y

8 Επιµορφισµοί, λέγοντι οι µορφισµοί f : B, που είνι επί, δηλδή, f(α) = Β. Ενδοµορφισµοί, οι µορφισµοί f, που είνι εντός, δηλδή, f(α) Β. Μονοµορφισµοί, κλούντι οι µορφισµοί, που είνι έν-έν πεικονίσεις. Ισοµορφισµοί, κλούντι οι επιµορφισµοί που, είνι επιπλέον κι µονοµορφισµοί (είνι δηλδή, bjetve). Πρότση. Αν φ : B ισοµορφισµός, ισχύουν τότε οι πρκάτω σχέσεις: ) Η πεικόνιση φ : B είνι κι υτή ισοµορφισµός. Αφού η φ είνι έν έν κι επί κι η φ είνι έν έν κι επί. Συνεπώς, γι τ τυχόντ b, b B υπάρχουν µονδικά a, a, τέτοι ώστε, φ ( a) = b, φ(a ) = b. Όµως, φ ( aa ) = φ(a) φ(a ) = bb άρ κι, φ ( bb) = aa = φ (b) φ (b) ) Η σύνθεση δύο ισοµορφισµών είνι ισοµορφισµός. Πράγµτι, φού οι πεικονίσεις φ : B, φ : B Γ είνι έν έν κι επί, κι η φ φ= φ3 : Γ θ είνι έν έν κι επί. Έστω τ a, a. Είνι τότε, φ φ( aa ) = φ( φ(aa )) = φ( φ(a) φ(a )) = φ ( φ(a)) φ ( φ(a )) = φ φ(a) φ φ(a ) 3) Αν η δοµή Α έχει µονδιίο στοιχείο e, το φ (e) είνι µονδιίο στοιχείο της δοµής Β. Απόδειξη. Έστω ότι φ ( e) = b, κι y= φ(x). Τότε κι, by = φ (e) φ(x) = φ(ex) = φ(x) = y. 4) Αν η δοµή Α έχει ντίστροφο στοιχείο του στοιχείου a, τότε κι,. Απόδειξη. φ (e) = φ(a a) = φ(a ) φ(a) = b. Το φ (a ) είνι συνεπώς το ντίστροφο στοιχείο του φ (a). 8. Το θεώρηµ των Cantor Bernsten. Το ξίωµ 3 (σελ. ) ορίζει πότε δύο σύνολ Α κι Β τυτίζοντι. Μέσω των έν-έν κι επί συνρτήσεων, ορίζουµε πότε δύο σύνολ είνι ισοδύνµ. Γράφουµε B κι λέµε ότι το σύνολο Α είνι ισοδύνµο µε το σύνολο Β, νν υπάρχει bjeton g : B. Φνερά η σχέση όπως ορίσθηκε, είνι µί σχέση ισοδυνµίς. Ισχύει επιπλέον το ΘΕΩΡΗΜΑ των Cantor-Bernsten. ίδοντι δύο µη κενά σύνολ Α κι Β, γι τ οποί υπάρχουν συνρτήσεις έν-έν κι εντός, (njetons) f : B κι g : B. Είνι, τότε, B. g Απόδειξη. Έχουµε ότι, f () B g(b) = Y κι g(b). Θέτουµε f Y= g(b). Η συνάρτηση B g s= g(f()) : ορίζετι, κι είνι έν-έν κι εντός, κι επιπλέον, s() Y. f() Το θεώρηµ θ έχει ποδειχθεί, f ν ορίσουµε µι έν-έν κι επί συνάρτηση σ : B. Θέτουµε Z= B f () κι S= g(z) s() s () K. Την συνάρτηση σ την ορίζουµε ως εξής: f (x) γι x S σ (x) = f (s(x)) γι x S ) Η σ είνι επί.. Είνι = S ( S), κι συνεπώς, σ() = σ(s) σ( S) = f (S) f ( S).

9 Όµως, f (S) = f (g(z)) f (s()) f (s ()) K, άρ κι, f (S) = f (g(z)) s(s). Άρ κι σ (Α) = f (g(z)) s(s) f ( S) = f (g(z)) f () = B. β) Η σ είνι έν-έν. Επειδή όλες οι συνρτήσεις που χρησιµοποιήσµε είνι έν-έν, ρκεί ν δείξουµε ότι, σ (S) σ( S) =. Είνι, όµως, σ (S) = f (S) κι σ( S) = f ( S) = f () f (S) Φνερά, δύο σύνολ που τυτίζοντι, είνι ισοδύνµ. Κτόπιν τούτου, κι του προηγου- µένου θεωρήµτος, δικιούµεθ ν γράφουµε πλά = ντί του γι ν δηλώσουµε την ισότητ ή την ισοδυνµί δύο συνόλων. Πρτήρηση. Υπάρχουν σύνολ, τ οποί είνι ισοδύνµ προς κάποιο υποσύνολό τους. Πράδειγµ το σύνολο N των φυσικών ριθµών. Η σχέση n N, na n είνι µί bjeton του συνόλου N στο υποσύνολό του που περιλµβάνει τους ρτίους φυσικούς. Η ιδιότης υτή µάλιστ, χρκτηρίζει τ άπειρ σύνολ. 9. Σχέσεις διτάξεως. Μί δυϊκή σχέση κλείτι σχέση διτάξεως επί του Α, νν, υτή είνι υτοπθής (ή νκλστική), ντισυµµετρική κι µετβτική. ηλδή, ν κι µόνον ν,, β Α, R, Rβ βr = β κι Rβ βrγ Rγ. Την σχέση διτάξεως την δηλώνουµε µε το. Γράφουµε < β, ν κι µόνον ν β κι β. Χρησιµοποιούµε επίσης κι τον συµβολισµό κι > µε το προφνές νόηµ. ύο στοιχεί, που νήκουν στην R λέγοντι συγκρίσιµ. Αν γι τ, β Α ισχύει ότι είτε (, β) R είτε (β, ) R, τότε η σχέση διτάξεως R λέγετι ολική. Αν η R είνι ολική, ισχύει ότι R R =. Κάθε ολικά διτετγµένο υποσύνολο ενός συνόλου κλείτι άλυσσος. Το σύνολο N των φυσικών ριθµών είνι άλυσσος. Την σχέση διτάξεως την πεικονίζουµε µε έν επίπεδο διάγρµµ, θέτοντς το ριστερά του ευρισκόµενο στοιχείο κάτω πό το δεξιά του ευρισκόµενο στοιχείο, κι συνδέοντς τ δύο υτά στοιχεί µε έν ευθύγρµµο τµήµ. Υποτίθετι, βέβι, ότι γι την του διγράµµτος, ισχύει ότι, ν x z< y, τότε z= x. ( ιάγρµµ του Hasse). Μί άλλη µέθοδος νπρστήσεως µις σχέσης διτάξεως επί ενός συνόλου, είνι µέσω της κτσκευής του συνηµµένου πίνκος (adjaeny matrx). Ο πίνκς υτός περιέχει το στοιχείο r= ή το r=, νάλογ µε το ν τ στοιχεί που γρµµής / κολώνς που ορίζουν την θέση του r νήκουν ή όχι στην εν λόγω διάτξη. Πρδείγµτ. Στο σύνολο των υποσυνόλων ενός συνόλου, η σχέση ποτελεί µιά σχέση διτάξεως πάνω σ υτό. Το σύνολο {, } έχει σν σύνολο υποσυνόλων το {, {}, {}, {, }}. Επίσης, το σύνολο {,, 3} έχει σν σύνολο υποσυνόλων το {, {}, {}, {3}, {, }, {, 3}, {, 3}, {,, 3}}. Τ διγράµµτ της σχέσεως πάνω στ δύο υτά σύνολ είνι τ πρκάτω. {, } {} {} { } {,,3} {,} {,3} {,3} {} {} {3} { } Το υποσύνολο {, {}, {,}, {,,3}} ποτελεί µί (πεπερσµένη) άλυσσο του Ρ({,,3}). Ο συνηµµένος πίνκς που ορίζει η σχέση διτάξεως στο σύνολο των υποσυνόλων του {,, 3} είνι

{} {} {3} {, } {,3} {, 3} {,,3} {} {} {3} {, } {,3} {, 3} {,,3} ο πίνκς. Έστω P κι Q σχέσεις διτάξεως επί των συνόλων Α κι Β ντίστοιχ, κι f: B µί πεικόνιση εκ του Α εις το Β. Θ λέµε ότι η f διτηρεί την διάτξη ν κι µόνον ν, (, β) P (f(), f(β)) Q. Ένς ισοµορφισµός της διάτξης θ λέγετι η f, ν υτή είνι έν-έν κι επί, διτηρεί την διάτξη, κι η f διτηρεί την διάτξη. Πρδείγµτ. ) Μί συνάρτηση που διτηρεί την διάτξη, µετσχηµτίζει λύσσους σε λύσσους. Μί συνάρτηση που διτηρεί την διάτξη κι ορίζετι πάνω σε µί άλυσσο είνι ισοµορφισµός, ν είνι έν-έν. Μί άλυσσος µε διάτξη την λέγετι ύξουσ. Με διάτξη την λέγετι φθίνουσ. ) Κάθε Α S που έχει ισόµορφο εικόν το N m = {,,..., m}, είνι µί πεπερσµένη άλυσσος. Κάθε Α S που έχει ισόµορφο εικόν το N είνι µί άλυσσος.. Φράγµτ. Αξεπέρστ στοιχεί. Θεωρούµε έν σύνολο S κι Α κάποιο υποσύνολό του. Υποθέτουµε ότι το S έχει την διάτξη. Έν στοιχείο x S λέγετι άνω φράγµ του Α, ν κι µόνον ν, Α, x. Το x κλείτι κάτω φράγµ του S, νν Α, x. Στην περίπτωση, που Α =, το x S είνι κι άνω κι κάτω φράγµ του Α. Κάθε άνω φράγµ x του Α ως προς την είνι κάτω φράγµ ως προς την. γι κάθε πρότση, που φορά την κι τ κάτω φράγµτ, έχουµε µί δυϊκή πρότση, που φορά την κι τ άνω φράγµτ. Έν άνω φράγµ του Α, είνι άνω φράγµ κι κάθε υποσυνόλου του Α. (Ανάλογ ισχύουν γι τ κάτω φράγµτ). Μί συνάρτηση που διτηρεί την διάτξη, µετφέρει τ άνω (ντ. κάτω) φράγµτ σε άνω (ντ. κάτω) φράγµτ. Το πολύ έν στοιχείο του Α είνι δυντόν ν είνι άνω φράγµ του Α. Πράγµτι, ν τ στοιχεί, j Α ήτν κι τ δύο άνω φράγµτ του Α, τότε θ ίσχυν µφότερες οι σχέσεις κι. Άρ νγκίως είνι, =. Το µονδικό υτό στοιχείο του Α, κλείτι j j µέγιστο στοιχείο του Α. Ανάλογ, έχουµε κι τον ορισµό του µονδικού ελχίστου στοιχείου του Α. j

Αν το Α είνι φργµένο, κι το σύνολο των άνω φργµάτων του έχει στοιχείο ελάχιστο, τότε το στοιχείο υτό, κλείτι νώτερο πέρς του Α. Το συµβολίζουµε µε sup. Αν το σύνολο των κάτω φργµάτων του Α έχει στοιχείο µέγιστο, το στοιχείο υτό κλείτι κτώτερο πέρς του Α. Το συµβολίζουµε µε nf. Αν το Β είνι κάποιο υποσύνολο του Α κι τ sup, supb υπάρχουν, τότε supb sup. Οι πρκάτω σχέσεις είνι ισοδύνµες: ) x y. β) sup{x,y} = y. γ) nf{x,y} = x. Έν στοιχείο του Α S λέµε ότι είνι ξεπέρστο προς τ επάνω εν Α, ν δεν υπάρχει στοιχείο του Α που είνι > του. Ανάλογ έχουµε τ ξεπέρστ προς τ κάτω στοιχεί του Α. Πρδείγµτ. ) Έστω S= {x,x,x 3,x 4,,, 3, 4} µε την διάτξη που εµφνίζετι στο πρκάτω διάγρµµ. Α= {,, 3, 4} S. Τ στοιχεί x 3, x 4 είνι άνω φράγµτ του Α, που δεν νήκουν στο Α. Το 4 είνι άνω φράγµ του Α, που νήκει στο Α. Τ στοιχεί x, x είνι κάτω φράγµτ του Α, που δεν νήκουν στο Α. Το είνι κάτω φράγµ του Α, που νήκει στο Α. Το υποσύνολο Χ = {x,x } δεν έχει κάτω φράγµ. Το υποσύνολο Χ = {x 3,x 4} δεν έχει άνω φράγµ. Το 4 είνι το µέγιστο στοιχείο του Α κι το το ελάχιστο στοιχείο του Α. x Το σύνολο { 4, x 3,x 4 } είνι σύνολο άνω φργµάτων του Α κι έχει 3 x4 ελάχιστο στοιχείο το 4. Είνι λοιπόν, sup = 4. Όµοι, nf =. Εδώ, τ sup κι nf του Α είνι κι στοιχεί του Α. Αυτό όµως δεν συµβίνει πάντοτε. 4 Αν Α = {,, 3 }, τότε τ στοιχεί, 3 είνι ξεπέρστ προς τ επάνω στοιχεί του Α. Το είνι στοιχείο ξεπέρστο προς τ κάτω. 3 4 ) Έν υποσύνολο N m N, έχει µέγιστο στοιχείο, το m. 3) Έν στοιχείο Α είνι ξεπέρστο προς τ επάνω, ν κι µόνον ν, x, x = x. Αν το Α έχει έν µονδικό στοιχείο ξεπέρστο προς τ επάνω, τότε υτό είνι κι το µέγιστο στοιχείο του Α. Αν το x Β Α είνι ξεπέρστο προς τ επάνω στοιχείο του Α, είνι τότε, κι ξεπέρστο στοιχείο του Β. Ένς x x ισοµορφισµός της διτάξεως µετσχηµτίζει ξεπέρστ στοιχεί σε ξεπέρστ στοιχεί. Πρότση. Κάθε διτετγµένο πεπερσµένο µη κενό σύνολο S, έχει στοιχεί ξεπέρστ προς τ επάνω. Απόδειξη. Αν S = {x}, το x είνι κι στοιχείο ξεπέρστο προς τ επάνω του S. Έστω τώρ, ότι το S έχει m+ στοιχεί, κι ότι η πρότση ισχύει γι το υποσύνολο εκείνο Α του S, που έχει m το πλήθος στοιχεί. Έστω x S. Αν το x είνι ξεπέρστο προς τ επάνω εν S, δεν έχουµε τίποτ ν δείξουµε. Έστω, λοιπόν, ότι το x δεν είνι ξεπέρστο προς τ επάνω εν S, κι Α = S {x}. Υπάρχουν τότε στοιχεί εν S, x, µε > x. Όµως, Α, κι το Α πό υπόθεση έχει στοιχεί ξεπέρστ προς τ επάνω. Υπάρχουν, λοιπόν, στοιχεί Α, τέτοι ώστε,, <. Άρ κι x <. Όµως, S, κι η προηγούµενη νισότητ δείχνει ότι, τ είνι κι ξεπέρστ στοιχεί του S. Κκώς, λοιπόν, υποθέσµε ότι το S δεν έχει ξεπέρστ στοιχεί προς τ επάνω. Αν το Α είνι µί άλυσσος, τότε ν έχει στοιχείο ξεπέρστο προς τ επάνω, υτό θ είνι κι µέγιστο στοιχείο του Α. Πόρισµ. Κάθε µη κενή πεπερσµένη άλυσσος, έχει µέγιστο στοιχείο. Πρότση. Κάθε άλυσσος µε m στοιχεί, είνι ισόµορφος ως προς την διάτξη, µε κάποιο N m.

Απόδειξη. Αν m =, δεν έχουµε τίποτ ν δείξουµε. Υποθέτουµε ότι η πρότση ισχύει γι m = m, κι έστω µί άλυσσος Α µε m στοιχεί. Έστω το µέγιστο στοιχείο της Α. Η άλυσσος Α {} έχει m το πλήθος στοιχεί. Άρ υτή είνι ισόµορφος του N m, µέσω κάποιου ισοµορφισµού φ. Θέτουµε a m+. Η πεικόνιση φ, τώρ, η οποί επί του Α {} συµπίπτει µε τον ισοµορφισµό φ κι έχει φ () = m+, ορίζει τον ζητούµενο ισοµορφισµό.. Συνθήκες µεγίστου-ελχίστου. Θεώρηµ. Έστω S διτετγµένο σύνολο. Οι πρκάτω προτάσεις είνι ισοδύνµες. ) Υπάρχει µη κενό υποσύνολο του S, που ν είνι ύξουσ άλυσσος. β) Υπάρχει µη κενό υποσύνολο του S, που δεν έχει ξεπέρστ προς τ άνω στοιχεί. Απόδειξη. Έστω ότι ισχύει η β). Ότι, δηλδή, το µη κενό υποσύνολο Α του S δεν έχει ξεπέρστ προς τ άνω στοιχεί. Θεωρούµε την συνάρτηση επιλογής F, που ορίζετι πάνω στο P(S), κι έστω ότι F() =, Α. Επειδή το Α δεν έχει στοιχεί ξεπέρστ προς τ επάνω, το σύνολο Α = {x x < x} είνι σίγουρ µη κενό. Έστω F( Α ) =, Α, κι γι τους ίδιους λόγους, το Α = {x x Α < x} είνι µη κενό. Η διδικσί υτή ορίζει το σύνολο {,,... }, που εκ κτσκευής, είνι µί ύξουσ άλυσσος. Άρ η β) ). Έστω ότι το µη κενό υποσύνολο Α του S είνι µί ύξουσ άλυσσος. Είνι τότε ισόµορφο του N. Άρ δεν έχει ξεπέρστ προς τ επάνω στοιχεί. Άρ η ) β). Πόρισµ. Έστω S διτετγµένο σύνολο. Οι πρκάτω προτάσεις είνι ισοδύνµες. ) εν υπάρχει µη κενό υποσύνολο του S, που ν είνι ύξουσ άλυσσος. Ή: Κάθε ύξουσ άλυσσος του S είνι πεπερσµένη. β) Κάθε µη κενό υποσύνολο του S, έχει ξεπέρστ προς τ άνω στοιχεί. ) εν υπάρχει µη κενό υποσύνολο του S, που ν είνι φθίνουσ άλυσσος. Ή: Κάθε φθίνουσ άλυσσος του S είνι πεπερσµένη. β ) Κάθε µη κενό υποσύνολο του S, έχει ξεπέρστ προς τ κάτω στοιχεί. Οι προτάσεις του πορίσµτος υτού, είνι η άρνησης των προτάσεων του προηγουµένου θεωρήµτος. Η ) κλείτι συνθήκη της υξούσης λύσσου. (Η ) κλείτι συνθήκη της φθινούσης λύσσου.) Η β) κλείτι συνθήκη του µεγίστου. (Η β ) κλείτι συνθήκη του ελχίστου.) Πόρισµ. Αν το S πληροί µί πό τις πρπάνω συνθήκες, κι κάθε υποσύνολό του θ την πληροί. Πράδειγµ. Το σύνολο N των φυσικών ριθµών, πληροί την συνθήκη του ελχίστου. Αρχή της επγωγής. Έστω ότι το διτετγµένο σύνολο S έχει τις ιδιότητες: ) Όλ τ ξεπέρστ προς τ κάτω στοιχεί του (εφ όσον υπάρχουν) πληρούν την πρότση φ. β) Αν η φ πληρούτι πό κάθε x <, πληρούτι κι πό το S. Συµπέρσµ. Η φ πληρούτι πό όλ τ στοιχεί του S. Θεώρηµ. Η συνθήκη του ελχίστου (β ), η συνθήκη της φθίνουσς λύσσου ( ) κι η συνθήκη της επγωγής (γ), είνι προτάσεις ισοδύνµες. Έχουµε δείξει την ισοδυνµί ( ) (β ). Θ δείξουµε την (β ) (γ) κι στην συνέχει, την (γ) ( ). Απόδειξη. ) Η συνθήκη της επγωγής έπετι πό την συνθήκη του ελχίστου. Έστω διτετγµένο σύνολο S, το οποίο πληροί την συνθήκη του ελχίστου, κι τις προϋποθέσεις της επγωγής. Έστω ότι η φ δεν ισχύει γι όλ τ στοιχεί του S. Θεωρούµε, εκείνο το υποσύνολο Α του S, που είνι βέβι, γι το οποίο δεν ισχύει η φ. Αυτό έχει έν

3 ξεπέρστο προς τ κάτω στοιχείο. Από υπόθεση όµως, γι το στοιχείο υτό ισχύει η φ. Άτοπο. Άρ Α =, δηλδή, η φ ισχύει γι όλ τ στοιχεί του S. β) Η συνθήκη της φθίνουσς λύσσου, έπετι πό την ρχή της επγωγής. Έστω διτετγµένο σύνολο S, το οποίο πληροί την ρχή της επγωγής. Λβίνουµε ως φ την πρότση ( ): Κάθε φθίνουσ άλυσσος του S είνι πεπερσµένη. Αρκεί ν δείξουµε ότι, η φ πληροί τις προϋποθέσεις της επγωγής. Πράγµτι, τ ξεπέρστ προς τ κάτω στοιχεί του S, ποτελούν πό µόν τους πεπερσµένες λύσσους. εξ άλλου, ν η φ πληρούτι πό το x <, πληρούτι κι πό το, µιά κι το {x, } ποτελεί πεπερσµένη άλυσσο. Ισχύει, λοιπόν η φ πντού εν S.. Κλή διάτξης. Λήµµ Zorn. Έν ολικά διτετγµένο σύνολο, το οποίο πληροί την συνθήκη του ελχίστου κλείτι κλά διτετγµένο. Το σύνολο N, όπως κι κάθε ισόµορφη εικόν του, είνι, λοιπόν, έν κλά διτετγµένο σύνολο. Έστω S διτετγµένο σύνολο κι Α τυχόν υποσύνολό του. Θ κλούµε το Α ρχικό τµήµ, ή πλά τµήµ, ν κι µόνον ν, Α x S (x x ). Λήµµ. Έστω κλά διτετγµένο σύνολο Α, κι C έν τµήµ. Υπάρχει τότε κάποιο Α, τέτοιο ώστε C = {x x x < }. Απόδειξη. Αρκεί ν λάβουµε = το ελάχιστο στοιχείο του Α C. Λήµµ. Έστω έν σύνολο πό κλά διτετγµέν σύνολ. Αν Α, µε Α συµβολίζουµε την κλή διάτξη του Α. Έστω ότι, γι κάθε Α, Β, είτε το Α είνι έν τµήµ του Β ως προς τον περιορισµό της είτε ντίστροφ. Υπάρχει τότε, µί διάτξη * επί του συνόλου Α * = U, τέτοι ώστε: Β ) Το Α * είνι κλά διτετγµένο ως προς την *. β) Ο περιορισµός της * πάνω σε κάθε Α, συµπίπτει µε την Α. γ) Κάθε Α, είνι έν τµήµ του Α *. Απόδειξη. Έστω τ, β Α *, µε Α, β Β, όπου Α, Β, κι το Α είνι τµήµ του Β. Οιδήποτε, συνεπώς, δύο τµήµτ του Α, ευρίσκοντι στο ίδιο σύνολο Β. Επιπλέον, ν µφότερ τ, β C, C, τότε η C είνι ο περιορισµός της B επί του C. Μπορούµε, συνεπώς, ν ορίσουµε την * ως εξής:, β Β, * β β. Η * διτάσει κλώς το Α *, κι συµπίπτει µε την Α γι κάθε Α. Έστω x Α, κι y *, τέτοιο ώστε, y * x. Κι πάλι, τ x, y είνι δυντόν ν θεωρηθεί ότι νήκουν σε κάποιο Β, τέτοιο ώστε, το Α ν είνι τµήµ του Β. Άρ y B x, κι επειδή το Α τµήµ, y Α. Άρ το Α τµήµ του Α *. Θ δείξουµε ότι, (γ) (). Έστω Τ Α *, µιά ισόµορφη εικόν του N. Αρκεί ν δείξουµε ότι Τ = N, δηλδή, ότι Α * Τ. Το Α * Τ είνι τµήµ. Αν λοιπόν Α * Τ, τότε, λόγω κτσκευής του (Α *, * ) το άνω φράγµ του N. Άτοπο. Το τυχόν σύνολο, είνι δυντόν ν θεωρηθεί ως σύνολο Α *. Το σύνολο Α *, κλά διτετγµένο µε την διάτξη *, κλείτι µεγίστη άλυσσος. Κάθε µί πό τις πρκάτω προτάσεις, είνι ισοδύνµος προς το ξίωµ της επιλογής. Θεώρηµ του Zermelo. Κάθε σύνολο µπορεί ν διτχθεί κλά. Θεώρηµ του Hausdorff. Κάθε άλυσσος διτετγµένου συνόλου S, περιέχετι σε µί µεγίστη άλυσσο. Θεώρηµ των Kuratowsk-Zorn. Αν κάθε άλυσσος του S είνι άνω φργµένη, τότε κάθε στοιχείο του S, είνι κι στοιχείο µιάς µεγίστης λύσσου. B

4 Αξίωµ επιλογής Θεώρηµ Zermelo Απόδειξη. Θεωρούµε την συνάρτηση επιλογής F: P(S) { } S. Το σύνολο f(p(s) { }) είνι τέτοιο ώστε, κάθε = f(α) f(p(s) { }) ν περιέχετι σε έν κι µόνο υποσύνολο Α P(S) { }. Θ λέµε το µη κενό υποσύνολο Α του S διφοροποιηµένο πό το, ν µπορεί ν διτχθεί κλά κτά τέτοιο τρόπο, ώστε Α το = f(s Α ) όπου Α έν τµήµ του Α ως προς την διάτξη, που διτάσει κλά το Α. Τέτοι υποσύνολ του S υπάρχουν. Είνι γι πράδειγµ όλ τ µονοσύνολ του S. Έστω κι δύο διφοροποιηµέν πό το υποσύνολ του S. Αµφότερ έχουν το κοινό στοιχείο κι συνεπώς έχουν έν τµήµ κοινό. Η ένωση Γ όλων των κοινών τµηµάτων των συνόλων υτών, είνι κοινό τµήµ υτών. Θ δείξουµε ότι, η ένωση υτή, συµπίπτει µε το κι το. Πράγµτι, ν η ένωση υτή Γ ήτν έστω διφορετική πό το, τότε το στοιχείο f(s Γ) θ προσδιόριζε εν έν τµήµ, που θ περιείχε το Γ. Άτοπο. Τ σύνολ συνεπώς κι είνι έτσι ώστε, το έν ν είνι τµήµ του άλλου. Θεωρούµε, τώρ, την ένωση όλων των διφοροποιηµένων συνόλων του S. Αυτή είνι έν διφοροποιηµένο σύνολο Λ. Πράγµτι, ν, β Λ µε Α, β Β, τ Α, Β Λ, τότε µφότερ τ, β, κείντι στο µεγλύτερο πό τ Α, Β, έστω το Α. Θέτοντς β εν Λ ν κι µόνον ν β εν Λ, επεκτείνουµε την κλή διάτξη εν Λ. Τέλος, µε κάθε Λ, το περιέχετι σε κάποιο διφοροποιηµένο υποσύνολο Α, κι προσδιορίζει εν Λ κι εν Α το ίδιο τµήµ Α, όπου = f(s Α ). Το Λ τέλος τυτίζετι µε το S, µιά κι σε άλλη περίπτωση, θ µπορούσµε ν κτσκευάσουµε έν διφοροποιηµένο σύνολο εν S µεγλύτερο πό το Λ, πράγµ άτοπο. Θεώρηµ Zermelo Θεώρηµ Hausdorff. Απόδειξη. Το τυχόν σύνολο, είνι δυντόν ν θεωρηθεί ότι ποτελείτι πό υποσύνολ Α, κάθε έν πό τ οποί, λόγω του θεωρήµτος του Zermelo, διτάσσετι κλά πό κάποι διάτξη Α. Από το λήµµ όµως, έπετι ότι, το είνι δυντόν ν θεωρηθεί ως µί µεγίστη άλυσσος Α *, µε διάτξη την *. Θεώρηµ Hausdorff Θεώρηµ Kuratowsk-Zorn. Απόδειξη. Έστω S έν διτετγµένο σύνολο, του οποίου κάθε άλυσσος έχει άνω φράγµ. Έστω το στοιχείο S. Η άλυσσος {} περιέχετι πό υπόθεση, σε µί µεγίστη άλυσσο C. Αν άνω φράγµ της C, τότε. Το είνι κι ξεπέρστο προς τ επάνω στοιχείο του S. Η C {} είνι άλυσσος περιέχουσ την C. Άτοπο. Άρ C, λλά κι κάθε x S µε x, νήκει στο C, µιά κι κάθε υποσύνολο του C είνι τµήµ. Θεώρηµ Kuratowsk-Zorn Αξίωµ της επιλογής. Απόδειξη. Έστω τυχόν σύνολο. Υπάρχουν υποσύνολ Α του, πάνω στ οποί είνι δυντόν ν ορισθεί µί συνάρτηση επιλογής. Π.χ. τ µονοσύνολ του. Θεωρούµε όλ τ τέτοιου τύπου υποσύνολ του, κι έστω Φ όλες οι δυντές συνρτήσεις επιλογής, που ορίζοντι πάνω σ υτά. Το σύνολο Φ διτάσσετι ως εξής: F F, ν κι µόνον ν, Σ Σ όπου F, F συνρτήσεις επιλογής, που ορίζοντι πάνω σε σύνολ υποσυνόλων Σ, Σ του. Έστω τυχούσ άλυσσος Γ µέσ στο σύνολο Φ. Αν F τ στοιχεί της Γ, κι Σ τ σύνολ επί των οποίων ορίζοντι οι F, θεωρούµε το Σ = U Σ, κι πάνω σ υτό, ορίζουµε τη F, η οποί συµπίπτει µε κάθε µί F επί κάθε ενός F. Φνερά F Φ, κι είνι άνω φράγµ της Γ. Από υπόθεση, η Γ περιέχετι σε µεγίστη άλυσσο. Αν, τώρ, το Σ, πάνω σ υτό, είνι δυντόν ν ορίσουµε µί συνάρτηση F β, έτσι ώστε, F β ( Σ) Σ Όµως, στην περίπτωση υτή, η Γ { F β } θ ήτν µί άλυσσος που θ περιείχε την µεγίστη άλυσσο Γ. Άτοπο. Βιβλιογρφί. General lgebra,.g. Kurosh, έκδοση Chelsea, σελίς 6.

5 3. Σύντοµο χρονικό της Θεωρίς συνόλων. Η θεωρί συνόλων ξεκίνησε µε τις εργσίες του Georg Cantor το 894. (Υπάρχουν στην βιβλιοθήκη, µετφρσµένες στ γγλικά, στις εκδόσεις Dover, µε τίτλο Contrbutons to the foundaton of the Theory of Transfnte Numbers). Η πρώτη ξιωµτική θεµελίωση της θεωρίς των συνόλων δόθηκε πό τον Zermelo το 98. Στ ξιώµτ υτά, περιλµβάνετι κι το ξίωµ της επιλογής. Η τελική µορφή των ξιωµάτων υτών δόθηκε πό τους Fraenkel κι Solem το 9. Η εισγωγή των ξιωµάτων υτών πό τον Zermelo, έγινε στην προσπάθειά του ν ντιµετωπίσει τις ντινοµίες που προέκυψν µέσ στην θεωρί των συνόλων, κι που ήτν γνωστές ήδη πό το 879 (ντινοµί Bural-Fort). Η ντινοµί υτή µελετήθηκε πό τον Russell, πό τον οποίο κι διτυπώθηκε στην πρκάτω µορφή: Όπως είδµε, υπάρχουν σύνολ, τ οποί είνι ισοδύνµ προς κάποιο υποσύνολό τους. Ας θεωρήσουµε εµείς, το σύνολο όλων των συνόλων, (το πριστάνουµε µε S), που δεν είνι ισοδύνµ προς κάποιο υποσύνολό τους. Μπορούµε άργε ν θεωρούµε έν τέτοιο σύνολο; Η πάντηση είνι ρνητική. Πράγµτι, το S είτε θ είνι έν σύνολο που είνι ισοδύνµο προς κάποιο υποσύνολό του, είτε δεν θ είνι κάποιο τέτοιο σύνολο. Στην ) περίπτωση, που το S είνι ισοδύνµο προς κάποιο υποσύνολό του, η σχέση S S οδηγεί σε άτοπο, µι κι το S είνι εξ ορισµού το σύνολο όλων των συνόλων, που δεν είνι ισοδύνµ προς κάποιο υποσύνολό τους. Στην περίπτωση β), που το S είνι έν σύνολο που δεν είνι ισοδύνµο προς κνέν υποσύνολό του, οδηγούµεθ κι πάλι σε άτοπο, µι κι το S θ έπρεπε ν περιέχετι στο S, λόγω κριβώς του τρόπου µε τον οποίο ορίσµε το S. Οι Russell κι Whtehead πρτήρησν ότι ο ορισµός των συνόλων εκείνων που οδηγούν σε ντινοµίες, κτστρτηγεί την ρχή του Φύλου Κύκλου. Σύµφων µε την ρχή υτή, έν στοιχείο, του οποίου ο ορισµός πιτεί το σύνολο των στοιχείων ενός συνόλου, δεν είνι δυντόν ν νήκει στο σύνολο. Οι Russell κι Whtehead γι ν ποφύγουν την ρχή υτή, επινόησν την Θεωρί των Τύπων, η οποί εκτίθετι εν εκτάσει στο σύγγρµµά τους Prnpa Mathemata. Βιβλιογρφί. N. Bourbak, Éléments de Mathématque. Théore des Ensembles, Chaptre 4. Jean Deudonné, bregé d Hstore des Mathématques. 4. Πληθάριθµος συνόλου. Πρδεχόµεθ ότι τ σύµβολ,, κλπ. συµβολίζουν σύνολ που περιέχουν έν, δύο, κλπ. Αντικείµεν. = {,, K} το σύνολο των φυσικών ριθµών. N Ορισµός. Ονοµάζουµε έν σύνολο Α ριθµήσιµο νν υπάρχει ντιστοιχί s έν έν κι επί νάµεσ σ' υτό κι το N. Πεπερσµένο κλείτι το Α νν υπάρχει ντιστοιχί s έν έν κι εντός του N. Την εικόν του συνόλου Α, συνήθως, την γράφουµε υπό την µορφή κολουθίς ( a ) I, I N Το πολύ ριθµήσιµο, νν είνι ή πεπερσµένο ή ριθµήσιµο. Ο πληθάριθµος ενός ριθµησίµου συνόλου είνι ο ριθµός που ντιστοιχεί στο πλήθος των στοιχείων του συνόλου. Συµβολίζετι µε το P (). Αν το σύνολο Α έχει ν το πλήθος στοιχεί, είνι, τότε, P () = ν. Πρότση. Γι τ σύνολ Α κι Β, ισχύει η σχέση, P( B) = P() + P(B) P( B) κι P( B) = P() + P(B) P( B). Γι µι κολουθί πεπερσµένων συνόλων, n n N, ισχύει η σχέση P U = P( ) P( j) + P( j k ) K = = < j < j< k n n κι η P I = P( ) P( j) + P( j k ) K = = < j < j< k

6 Λήµµ. Κάθε µη κενό υποσύνολο ριθµησίµου συνόλου είνι το πολύ ριθµήσιµο. Απόδειξη. Αφού το σύνολο είνι ριθµήσιµο, µπορεί ν γρφεί σν κολουθί. Φνερά, κάθε υποσύνολό του µπορεί ν γρφεί σν υπκολουθί υτής της κολουθίς. Άρ, είνι ή πεπερσµένο ή ριθµήσιµο. Λήµµ. Το N N είνι ριθµήσιµο. Απόδειξη. (G. Cantor). Πριστάνουµε µε (µ,ν) το τυχόν στοιχείο του N N. ίνουµε στο µ+ν, διδοχικά, τις τιµές, 3,.... Γιά κάθε φυσικό n, το µ (ντ. ν) µπορεί ν πάρει, το πολύ, n- διφορετικές τιµές. Άρ, η ως προς (µ,ν) εξίσωση µ+ν = n έχει πεπερσµένο πλήθος λύσεων. που, εποµένως, το σύνολό τους µπορεί ν γρφεί σν µιά πεπερσµένη κολουθί. Από υτό έπετι, µε τελεί επγωγή, ότι, το σύνολο των ( µ, ν) N N µπορεί ν γρφτή σν άπειρη κολουθί. κι, εποµένως, είνι ριθµήσιµο. Σχόλιο. ιτυπώσµε την πόδειξη του G. Cantor µε τρόπο, που ν υπογρµµίζετι το ότι είνι "κτσκευστική", δηλδή, µετά πό κάποιες συµφωνίες ως προς τις υπ' όψη πεπερσµένες κολουθίες, µπορούµε, γι κάθε (µ,ν), ν βρίσκουµε µε ποιόν όρο της τελικής (άπειρης) κολουθίς υτό συµπίπτει. Πορίσµτ των πρπάνω δύο ληµµάτων είνι τ επόµεν κλσικά ποτελέσµτ (G. Cantor). Ορολογί. Μιά οικογένει ( ) I κλείτι ριθµήσιµη ότν, κι µόνον ότν, το Ι είνι ριθµήσιµο. Αντ. γι το, "το πολύ ριθµήσιµο". Λήµµ 3. Η ένωση µιάς το πολύ ριθµήσιµης κολουθίς πό το πολύ ριθµήσιµ σύνολ είνι το πολύ ριθµήσιµη. Απόδειξη. Λόγω του Λήµµτος, ρκεί ν ποδείξουµε το Λήµµ 3 γι µιά ριθµήσιµη ένωση πό ριθµήσιµ σύνολ. Τώρ, φού η οικογένει είνι ριθµήσιµη, µπορεί ν γρφεί σν κολουθί. επίσης, κι το κθέν πό τ σύνολ υτά. Άρ, το σύνολο των στοιχείων της ενώσεως µπορεί ν γρφτή σν { µ, ν )}, όπου ( µ, ν) N N. Τώρ, η ντιστοίχηση του ( µ, ν ) στο (µ,ν) εγκθιστά, φνερά, µιά ντιστοιχί - νάµεσ στην ένωση, που θεωρούµε, κι το N. Άρ, η ένωση υτή ποτελεί ριθµήσιµο σύνολο. N Πόρισµ. Το σύνολο Q µ =, µ, ν N των ρητών ριθµών είνι ριθµήσιµο. ν Είνι όλ τ σύνολ ριθµήσιµ; Όχι, κθώς πέδειξε ο G. Cantor. Λήµµ 4. Το σύνολο των πείρων κολουθιών πό δύο διφορετικά γράµµτ δεν είνι ριθµήσιµο. Απόδειξη. Ας είνι κι β υτά τ γράµµτ. Έστω ότι το υπ' όψη σύνολο είνι ριθµήσιµο. Τότε, µπορεί ν γρφεί σν κολουθί Α, Α,.... όπου: Α η κολουθί,,... όπου, j = είτε, j = β Α η κολουθί,,... όπου, j = είτε, j = β.......... Γι ν φτάσουµε σε άτοπο, ρκεί ν δείξουµε ότι υπάρχει άπειρη κολουθί πό τ γράµµτ κι β που δεν συµπίπτει µε κµιά πό τις Α, Α,.... Φνερά, µιά τέτοι κολουθί είνι η γ, γ,..., που ορίζετι έτσι: Γι κάθε φυσικό ν, γ ν. νν δηλδή, ν νν =, γ ν = β κι ν νν = β, γ ν =. Με τον τρόπο που ορίστηκε η γ, γ,..., διφέρει πό την Α ν, τουλάχιστον ως προς τον ν-οστό όρο της. κι υτό γι κάθε φυσικό ν. Εποµένως, το υπ' όψη σύνολο δεν είνι ριθµήσιµο.

7 Σχόλιο. Ο λόγος που ρχίσµε µε υτό το ποτέλεσµ, είνι πως δείχνει κθρά ότι η µη ριθµησιµότητ οφείλετι στην πειρί των υθιρέτων εκλογών τιµών ή β κι όχι σε λόγους "ριθµο-θεωρητικού" κλπ. τύπου. Πόρισµ. Το σύνολο των πργµτικών ριθµών είνι µη ριθµήσιµο. Απόδειξη. Λβίνουµε πιο πάνω = κι β = κι τους εκφράζουµε, στο δυδικό σύστηµ.