ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΣΤΗ ΒΑΘΜΟΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ ΜΕΤΡΗΣΗΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΣΤΗ ΒΑΘΜΟΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ηµήτριος Ρωσσικόπουλος Αριστοτέλειο Πνεπιστήµιο Θεσσλονίκης Τµήµ Αγρονόµων κι Τοπογράφων Μηχνικών e-mil: rossi@topo.uth.gr Περίληψη O εντοπισµός κι η εκτίµηση των συστηµτικών σφλµάτων που προέρχοντι πό έν όργνο µέτρησης εξιτίς της κκής ρύθµισής του, ποτελεί νγκί διδικσί. H νγκιότητ υτής της διδικσίς σε τκτά χρονικά διστήµτ, εξιτίς των µετβολών των στθερών του οργάνου µε την πάροδο του χρόνου, ή εξιτίς της κκής χρησιµοποίησης του, τονίζετι τόσο στ εγχειρίδι χρήσης του οργάνου που δίνοντι πό τις κτσκευάστριες ετιρείες, όσο κι στις προδιγρφές πολλών κρτών. H βρύτητ δε που δίνουν οι κτσκευάστριες ετιρείες στο πρόβλη- µ του ελέγχου κι της δικρίβωσης των οργάνων φίνετι κι πό το πλήθος των δηµοσιευµάτων τους σε διάφορ περιοδικά ή δικά τους εγχειρίδι. Στην εργσί υτή νλύοντι τόσο τ θεωρητικά όσο κι τ πρκτικά θέµτ που σχετίζοντι µε τη διδικσί που κολουθείτι γι τον έλεγχο κι τη διόρθωση ενός οργάνου, ώστε οι µετρήσεις του ν συµφωνούν µε τ εθνικά πρότυπ. Λέξεις-Κλειδιά: βθµονόµηση, δικρίβωση οργάνων, κρίβει, ξιοπιστί των µετρήσεων. 1. Eισγωγή Bθµονόµηση ή δικρίβωση ενός οργάνου µέτρησης είνι το σύνολο των δρστηριοτήτων, οι οποίες σκοπό έχουν τον εντοπισµό κι την εκτίµηση των τιµών των σφλµάτων του. O όρος βθ- µονόµηση ποδίδει τον γγλικό όρο clibrtion. H έννοι της βθµονόµησης έρχετι πό τις ρχές του δεκάτου ογδόου ιών, όπου οι λέξεις "clibre" κι "clliper" περιέγρφν έν όργνο µέτρησης ή σύγκρισης διµετρηµάτων. H ελληνική πόδοση του όρου clibre είνι διάµετρος όπλου κι το ρήµ clibrte σηµίνει µέτρηση διµετρηµάτων όπλων η οποί γινότν µε ειδικό βθµολογηµένο κνόν, του οποίου το διάστηµ µετξύ της k χργής κι της µηδενικής ήτν ίσο µε τη διάµετρο µπάλς κνονιού βάρους k pounts. O όρος clibrte σχετιζότν µε µετρήσεις κι κνόνες µέτρησης. Tον δέκτο έντο ιών, ο όρος clibrte σχετίζετι µε τη διίρεση της µετρικής κλίµκς θερµο- µέτρων, βροµέτρων κι άλλων οργάνων µέτρησης πίεσης, κθώς κι µε τον έλεγχο ήδη βθµολογηµένων οργάνων. Aρχίζει ν νφέρετι σε µετρικά όργν κι η διδικσί clibrtion σκοπό έχει τη δηµιουργί πίνκ διορθώσεων, που θ πρέπει ν εφρµοσθούν στις µετρήσεις οργάνου, ώστε ν πλειφθούν ή ελχιστοποιηθούν τ εσωτερικά του σφάλµτ. Στη σύγχρονη ορολογί όρος clibrtion κι η ελληνική πόδοσή του βθµονόµηση δηλώνει τη διδικσί που κολουθείτι γι τον έλεγχο κι τη διόρθωση ενός οργάνου, ώστε οι µετρήσεις του ν συµφωνούν µε τ εθνικά πρότυπ. Oι δύο όροι, µέτρηση κι πρτήρηση, έχουν την ίδι έννοι. Kι οι δύο, χρησιµοποιούντι στην πράξη κι νφέροντι στη διδικσί που κολουθείτι, στη σύγκριση δηλδή κάποιων ποσοτήτων της φύσης µε γνωστές ποσότητες, τις λεγόµενες στθερές µέτρησης, λλά κι στο ποτέλεσµ της διδικσίς υτής, που είνι ένς ριθµός. Oι ποσότητες που πρτηρούντι, ονοµάζοντι πρτηρούµενες ποσότητες. Oι πιο κλσικές πρτηρούµενες ποσότητες στη γεωδισί

κι στην τοπογρφί είνι οι οριζόντιες γωνίες νάµεσ σε τρί σηµεί στην επιφάνει της γης, οι κτκόρυφες γωνίες, οι διευθύνσεις, τ ζιµούθι, οι οριζόντιες ή κεκλιµένες ποστάσεις κι οι υψοµετρικές διφορές νάµεσ σε δύο σηµεί στην επιφάνει της γης. Aν κι σκεφτόµστε συνήθως την πρτήρηση σν µί πλή πράξη, στην πργµτικότητ περιλµβάνει πολλούς επιµέρους χειρισµούς, όπως, π.χ., στη µέτρηση µις πλής γωνίς µε θεοδόλιχο έχουµε την κέντρωση του θεοδολίχου πάνω στο σηµείο στάσης, την οριζοντίωσή του, την εστίση του τηλεσκοπίου, την ποκτάστση των συνθηκών του συστήµτος νάγνωσης, τη σκόπευση των σηµείων κι τέλος την νάγνωση της τιµής της γωνίς. Το σύνολο των σφλµάτων που υπεισέρχοντι στην πρτήρηση πό τους πρπάνω χειρισµούς ποτελούν το σφάλµ της πρτήρησης. Tο σηµντικό πρόβληµ κτά τη βθµονόµηση ενός οργάνου είνι ο διχωρισµός των σφλµάτων που υπεισέρχοντι κτ ρχάς πό τους πρπάνω χειρισµούς, λλά κι πό το περιβάλλον των µετρήσεων, πό τ εσωτερικά του σφάλµτ. Aνάλογ µε τον τρόπο που γίνετι υτός ο διχωρισµός, οι µέθοδοι βθµονόµησης χωρίζοντι σε εργστηρικές κι σε µεθόδους πεδίου. Kι στις δύο περιπτώσεις όµως πιτούντι: Eιδικές διτάξεις (κυρίως στις εργστηρικές µεθόδους) Eιδικές τεχνικές µέτρησης Eιδικά µέθοδοι νάλυσης των πρτηρήσεων κι υστηρά κριτήρι ξιολόγησης της κρίβεις κι της ξιοπιστίς των ποτελεσµάτων (κυρίως στις µεθόδους πεδίου). Oι εργστηρικές µέθοδοι βθµονόµησης εφρµόζοντι στις περιπτώσεις σφλµάτων τέτοιων, που δεν διχωρίζοντι εύκολ πό άλλ σφάλµτ. Eπίσης, εφρµόζοντι στις περιπτώσεις όπου η πευθείς επέµβση στ µέρη του οργάνου είνι ευκολότερη, πιο ξιόπιστη κι πιο οικονοµική. Πρ όλ υτά όµως όλ τ όργν µπορούν ν ελεγχθούν µε µετρήσεις πεδίου πό µετρήσεις των ιδίων οργάνων κι πρέπει ο κάθε χρήστης ν γνωρίζει τις τεχνικές υτές ώστε ν είνι σε θέση ν τ ελέγχει. Γι την σωστή επιλογή της τεχνικής των µετρήσεων κι της νάλυσης των υπολογισµών, ώστε ν ελεγχθεί κι ν βθµονοµηθεί έν όργνο, πρίτητη προϋπόθεση είνι ν γνωρίζουµε πολύ κλά το τι µετράµε, κι τι σφάλµτ υπεισέρχοντι κάθε φορά στις µετρήσεις µς. Aν, γι πράδειγµ, µετρούµε µε έν θεοδόλιχο µε σκοπό ν ελέγξουµε το σύστηµ νάγνωσης κι ν πρέπει ν εκτιµήσουµε το σφάλµ που τυχόν προυσιάζει, τότε θ πρέπει ν κολουθήσουµε ειδικές τεχνικές ώστε ν ποφύγουµε άλλης µορφής σφάλµτ, ή ν δεν µπορέσουµε ν τ ποφύγουµε θ πρέπει ν τ νγνωρίσουµε κι ν τ περιγράψουµε µε µθηµτικές σχέσεις στις εξισώσεις των πρτηρήσεων. 2. T σφάλµτ των πρτηρήσεων T σφάλµτ των µετρήσεων µπορούν ν χωρισθούν σε τρεις µεγάλες κτηγορίες: Eκείν που πλείφοντι ή περιορίζοντι στο ελάχιστο ν εφρµόσουµε κάποιες ειδικές τεχνικές µέτρησης Eκείν που υπολογίζοντι µε τη διδικσί της βθµονόµησης κι στη συνέχει χρησιµοποιούντι γι τη διόρθωση των πρτηρήσεων, κι Eκείν τ οποί πρµένουν στις µετρήσεις κι δεν εντοπίζοντι, λλά χρκτηρίζοντι τυχί. T σφάλµτ υτά ορίζουν την κρίβει των µετρήσεων. Γι την κλύτερη νάλυση των σφλµάτων κι την επιλογή του τρόπου ντιµετώπισής τους, τ χωρίζουµε σε τέσσερις κτηγορίες, νάλογ µε την προέλευσή τους: Στ προσωπικά σφάλµτ του πρτηρητή, που θεωρούντι τυχί. Στ σφάλµτ του περιβάλλοντος των µετρήσεων. T σφάλµτ υτά ποτελούντι πό έν

συστηµτικό κι έν τυχίο µέρος. Mπορούµε ν θεωρήσουµε ότι το συστηµτικό µέρος πλείφετι ή γίνετι σήµντο, κολουθώντς κάποιες ειδικές τεχνικές µέτρησης, ή υπολογίζοντς διορθώσεις µε τη βοήθει πρµέτρων που µετριούντι νεξάρτητ, ή διευρύνοντς τις ρχικές εξισώσεις των πρτηρήσεων. Στ σφάλµτ που προέρχοντι πό τις γεωµετρικές νγωγές, ώστε ν υπολογιστεί η τιµή της πρτήρησης πάνω στην επιφάνει νφοράς. T σφάλµτ υτά θεωρούντι τυχί, κι προέρχοντι πό την βεβιότητ των πρµέτρων εκείνων που χρησιµοποιούντι γι τον υ- πολογισµό των νγωγών, ή κι πό την πλοποίηση των σχετικών εξισώσεων. Kτά τη βθ- µονόµηση, οι µετρήσεις του οργάνου πρέπει ν σχεδιάζοντι έτσι ώστε ν µην πιτούντι γεωµετρικές νγωγές. Στ εσωτερικά σφάλµτ του οργάνου µέτρησης. T εσωτερικά σφάλµτ του οργάνου είνι υτά που οφείλοντι σε τέλειες της κτσκευής τους ή στην πορρύθµισή τους µε την πάροδο του χρόνου. Mε τον όρο βθµονόµηση εννοούµε την εκτίµηση υτών των σφλµάτων πό µετρήσεις που γίνοντι µε το ίδιο το όργνο ή πό εργστηρικές µετρήσεις στ µηχνικά ή/κι ηλεκτρονικά του µέρη, κθώς κι την εκτίµηση της εσωτερικής κρίβεις του οργάνου. 3. Aπόλυτη κι σχετική βθµονόµηση. Aυτοβθµονόµηση Tο πρόβληµ της βθµονόµησης, στη γενική του µορφή, τίθετι ως εξής: ίνοντι οι πρτηρήσεις y o b κι y b του πρότυπου οργάνου κι του οργάνου που ελέγχετι ντιστοίχως, των κοινών ποσοτήτων y () του πεδίου βθµονόµησης. Πεδίο βθµονόµησης είνι το σύστηµ πάνω στο οποίο γίνοντι οι µετρήσεις του οργάνου. Γι την περιγρφή του πεδίου βθµονόµησης επιλέγοντι κάποιες πράµετροι x ( ), οι οποίες ονοµάζοντι πράµετροι πεδίου ή πράµετροι νφοράς. Oι σχέσεις που συνδέουν τις πρτηρούµενες ποσότητες y ( ) µε τις πρµέτρους νφοράς x ( ) είνι της µορφής y ( ) = f (x ( ) ) Aν θεωρήσουµε ότι το όργνο που ελέγχετι δεν µετράει σωστά, τότε δεν µετρήθηκν κριβώς οι ποσότητες y ( ), λλά οι y ( ) +ψ, όπου ψ τ σφάλµτ µέτρησης εξιτίς των εσωτερικών σφλ- µάτων του οργάνου. Γι την νάλυση των πρτηρήσεων του οργάνου υτού, ντί της σχέσης (1), χρησιµοποιείτι η διευρυµένη y ( ) = f (x ( ), ( ) ) όπου ( ) οι πράµετροι βθµονόµησης ή πρόσθετες πράµετροι, οι οποίες περιγράφουν τ εσωτερικά σφάλµτ του οργάνου, ψ = ϕ( ( ) ). Zητείτι η εκτίµηση των πρµέτρων ( ). Aπόλυτη Bθµονόµηση: Aπευθείς µέτρηση µε το όργνο µις στθερής ή ορισµένης ποσότητς, ή πευθείς µέτρηση µε ειδικά (πρότυπ) όργν µηχνικών ή ηλεκτρονικών µερών του οργάνου που βθµονοµείτι. Tο πεδίο βθµονόµησης θεωρείτι πόλυτ ορισµένο. Tο σύστηµ των εξισώσεων των πρτηρήσεων σε γρµµική µορφή γράφετι (1) (2) b = F + v (3) όπου είνι το διάνυσµ των γνώστων πρµέτρων βθµονόµησης, b οι νηγµένες πρτηρήσεις κι v τ σφάλµτ των πρτηρήσεων γι τ οποί E{v} = 0 κι E{vv T } = C = σ 2 Q o πίνκς συµµετβλητοτήτων τους. Γι την εφρµογή της πιστής νλυτικής πρεµβολής, όπου έχουµε έν πλό πρόβληµ προσρµογής της συνάρτησης που περιγράφει τ σφάλµτ οργάνου στις πρτηρήσεις που θεωρούντι γνωστές χωρίς σφάλµτ, ικνοποιείτι το κριτήριο βελτιστοποίησης v T v = min. (λµβάνετι Q = I ), ενώ γι την εξοµλυντική νλυτική πρεµβολή, όπου

οι πρτηρήσεις συνοδεύοντι πό τον πίνκ συµµετβλητοτήτων τους, το κριτήριο βελτιστοποίησης γίνετι v T Q 1 v = min. O όρος F περιγράφει τ εσωτερικά σφάλµτ του οργάνου. T στοιχεί του πίνκ F είνι τι- µές γνωστών συνρτήσεων των µεγεθών που µετρά πευθείς το όργνο, λλά κι άλλων πρ- µέτρων, π.χ., της ηλικίς του οργάνου, της θερµοκρσίς περιβάλλοντος, του χρόνου λειτουργίς του οργάνου πό το "άνοιγµά" του, κλπ. Σχετική βθµονόµηση, όπου το όργνο βθµονοµείτι ως προς έν άλλο, υψηλότερης κρίβεις, που θεωρείτι σωστό. Tο πεδίο βθµονόµησης ορίζετι πό τις µετρήσεις του πρότυπου οργάνου, οι οποίες συνοδεύοντι πό τον πίνκ (συµ)µετβλητοτήτων τους. H νάλυση των πρτηρήσεων των δύο οργάνων γίνετι διχωρισµέν ή τυτόχρον. Tο σύστηµ των εξισώσεων των πρτηρήσεων σε µορφή πινάκων γράφετι b o = A o x + v o πρότυπο όργνο (4) b 1 = A 1 x + F 1 + v 1 το όργνο που ελέγχετι (5) όπου x κι είνι τ δινύσµτ των γνώστων πρµέτρων, b οι νηγµένες πρτηρήσεις κι v τ σφάλµτ των πρτηρήσεων γι τ οποί E{v} = 0 κι E{vv T } = C = σ 2 Q. O όρος A x περιγράφει το σύστηµ πάνω στο οποίο γίνετι η βθµονόµηση κι οι πράµετροι x είνι οι πρά- µετροι νφοράς. Aνάλογ µε τη µορφή του όρου F, τη µορφή δηλδή των συνρτήσεων που περιγράφουν τ σφάλµτ του οργάνου, σχεδιάζετι το πεδίο βθµονόµησης κι οι πρτηρήσεις που θ γίνουν στο πεδίο υτό. Συνήθως, το πρόβληµ της σχετικής βθµονόµησης τίθετι στη µορφή b o = A o x 1 + v o (6) b 1 = A 11 x 1 + A 12 x 2 + F 1 + v 1 (7) όπου δηλδή οι πρτηρήσεις του πρότυπου οργάνου, ποτελούν κάποιες πρµέτρους νφοράς γι τον ορισµό του πεδίου βθµονόµησης, το οποίο ορίζετι στη συνέχει πό τις πρτηρήσεις του οργάνου που ελέγχετι. Aυτοβθµονόµηση: Tο πεδίο βθµονόµησης ορίζετι πό τις ίδιες πρτηρήσεις του οργάνου που ελέγχετι. Tο σύστηµ των εξισώσεων των πρτηρήσεων του οργάνου που ελέγχετι γράφετι σε γρµµική µορφή b 1 = A 1 x + F 1 + v 1 H υτοβθµονόµηση κι η σχετική βθµονόµηση γίνετι συνήθως µε µεθόδους πεδίου, όπου τόσο οι µετρήσεις, όσο κι η υπολογιστική διδικσί είνι πιο πολύπλοκες. Ανκεφλιώνοντς τ πρπάνω, η βθµονόµηση ενός οργάνου περιλµβάνει: 1. Την περιγρφή των εσωτερικών σφλµάτων του οργάνου 2. Τον σχεδισµό του πεδίου βθµονόµησης κθώς κι των µετρήσεων 3. Τις µετρήσεις 4. Την νάλυση των µετρήσεων κι την σττιστική ξιολόγηση των ποτελεσµάτων Οι µετρήσεις γίνοντι µε ειδικά όργν (τ οποί θεωρούντι πρότυπ) πάνω σε µηχνικά ή ηλεκτρονικά µέρη του οργάνου που ελέγχετι (πόλυτη βθµονόµηση), ή µε ειδικά όργν υψηλής κρίβεις (πρότυπ όργν) του πεδίου βθµονόµησης γι τον ορισµό των πρµέτρων νφοράς (σχετική βθµονόµηση), ή είνι µετρήσεις του οργάνου που βθµονοµείτι. Οι τελευτίες γίνοντι σε γνωστό πεδίο (πόλυτη βθµονόµηση), ή σε πεδίο όπου έχουν γίνει πρτηρήσεις µε άλλο όργνο κι προϋπάρχουν εκτιµήσεις των πρµέτρων νφοράς (σχετική βθµονόµηση) ή σε άγνωστο πεδίο, που ορίζετι µόνο πό τις πρτηρήσεις του οργάνου που ελέγχετι (υτοβθ- µονόµηση) (8)

Πίνκς 1. Oι λύσεις µε διάφορες επιλογές ελχίστων δεσµεύσεων γι τον ορισµό του συστήµτος νφοράς. H & x = z : R x = N x N x N 1 N T x + H T H x = R 1 x u x N x N 1 u + H T z [ ] [ ] y = R 1 u NT x x Q x = R 1 x E T ( H E T ) 1 ( E H T ) 1 E Q = N 1 + N 1 N T x Q x N x N 1 Q x = Q x N x N 1 κι E ο πίνκς των εσωτερικών δεσµεύσεων E x = 0. H x + H = z: R = N + H T H R x = N x + H T H R x = N x R x R 1 R T x + H T H x = R 1 x u x R x R 1 u + H T z [ ] T [ x + H T z] y = R 1 u R x Q x = R 1 x E T S 1 E Q = R 1 + R 1 R T x Q x R x R 1 E T S 1 E Q x = Q x R x R 1 + E T S 1 E S 1 = ( H E T + H E T ) 1 ( E H T + E H T ) 1 κι E, E οι πίνκες των εσωτερικών δεσµεύσεων E x + E = 0. H x = z, H = z R = N + H T H R x = N x N x R 1 N T x + H T H [ ] x = R 1 x u x N x R 1 u + H T z [ ] = R 1 u NT x x + H T z Q x = R 1 x E T S 1 E Q = R 1 + R 1 N T x Q x N x R 1 E T S 1 E Q x = Q x N x R 1 S 1 = ( H E T + H E T ) 1 ( E H T + E H T ) 1 κι E, E οι πίνκες των εσωτερικών δεσµεύσεων E x = 0, E = 0. 4. Η νάλυση των πρτηρήσεων Tο πρόβληµ της βθµονόµησης πό τη σκοπιά της νάλυσης των πρτηρήσεων, ντιµετωπίζετι µε την επέκτση του µθηµτικού µοντέλου ώστε ν περιλµβάνει κι τ εσωτερικά σφάλ- µτ του οργάνου που ελέγχετι. Tο σύστηµ των εξισώσεων πρτηρήσεων σε µορφή πινάκων γράφετι στη γενική του µορφή b = A x + F + v όπου x κι είνι τ δινύσµτ των γνώστων πρµέτρων νφοράς κι βθµονόµησης ντίστοιχ, b οι νηγµένες πρτηρήσεις του πρότυπου οργάνου κι του οργάνου που ελέγχετι, ή του οργάνου που ελέγχετι µόνο, v τ σφάλµτ των πρτηρήσεων γι τ οποί E{v} = 0 κι E{vv T } = C = σ 2 Q o πίνκς συµµετβλητοτήτων τους. O όρος A x περιγράφει το σύστηµ πάνω στο οποίο γίνετι η βθµονόµηση κι ο όρος F περιγράφει τ εσωτερικά σφάλµτ του οργάνου. Iκνοποιώντς το κριτήριο των ελχίστων τετργώνων v T P v = min., όπου P = Q 1, προκύπτει το σύστηµ των κνονικών εξισώσεων (9)

A T PA F T PA A T PF x = AT P b A T PF F T P b ή N x NT x N x N x = u x (10) u H λύση, στην περίπτωση που το πρπάνω σύστηµ είνι πλήρους βθµού, δίνετι πό τις σχέσεις x = N 1 x (u x N x N 1 u ) = N 1 (u NT x x ) Oι πίνκες των συντελεστών των (συµ)µετβλητοτήτων των πρµέτρων x κι, κθώς κι των µετξύ τους δισυµµετβλητοτήτων, είνι Q x = (N x N x N 1 N T x ) 1 Q = N 1 + N 1 NT x N 1 x N x N 1 Q x = N 1 x N x N 1 (12) Aν κι στ προβλήµτ βθµονόµησης οι άγνωστες πράµετροι επιλέγοντι έτσι ώστε ν είνι εκτιµήσιµες, οπότε η λύση δίνετι πό τις πρπάνω σχέσεις, πρόλ υτά σε ορισµένες περιπτώσεις ενδέχετι ν προκύψουν µη εκτιµήσιµες πράµετροι. Mη εκτιµήσιµες µπορεί ν είνι µόνο οι πράµετροι x, λλά κι οι πρόσθετες πράµετροι. Tο πρόβληµ υτό των µη εκτιµήσι- µων πρµέτρων ντιµετωπίζετι µε την εισγωγή ελχίστων δεσµεύσεων. Στην πρώτη περίπτωση οι ελάχιστες δεσµεύσεις νφέροντι µόνο στις πρµέτρους x, H x = z. Στην δεύτερη περίπτωση οι ελάχιστες δεσµεύσεις νφέροντι κι στις πρµέτρους κι µπορεί ν έχουν, νάλογ µε την εφρµογή, τη συνολική µορφή H x + H = z ή τη διχωρισµένη µορφή H x = z, H = z. Στον πίνκ (1) δίνοντι οι λύσεις γι τις τρεις υτές επιλογές των ελχίστων δεσµεύσεων. Aπό τις σχέσεις υτές προκύπτουν κι οι λύσεις µε εσωτερικές δεσµεύσεις E x = 0, ή E x + E = 0, ή E x = 0, E = 0, όπου οι πίνκες E κι E ικνοποιούν τις σχέσεις A T E = 0, ή A T E + F T E = 0 ή A T E = 0, F T E = 0 ντίστοιχ. Eκτός πό τις ελάχιστες δεσµεύσεις, χρήσιµη επιλογή κτά τη βθµονόµηση των οργάνων είνι κι η λύση µε ουσιστικές δεσµεύσεις, νεξάρτητ ν εµφνίζετι ή όχι δυνµί βθµού. Oι ουσιστικές δεσµεύσεις νφέροντι στις πρµέτρους νφοράς x. Mπορεί ν είνι κάποιες στθερές τιµές γι υτές τις πρµέτρους, οπότε έχουν τη µορφή x = x o (πόλυτη βθµονόµηση), ή ν έχουν τη γενικότερη µορφή H x = z. Στην πράξη οι τιµές x o δεν είνι κάποιες πόλυτ γνωστές τιµές, λλά προέρχοντι πό την νάλυση των πρτηρήσεων που έγινν στο πεδίο βθµονόµησης µε έν κριβέστερο κι πιο ξιόπιστο όργνο, το πρότυπο όργνο. Γι τον λόγο υτόν είνι προτιµότερη η ντιµετώπισή τους ως προϋπάρχουσ πληροφορί γι τις πρµέτρους x, που συνοδεύετι πό τον πίνκ βάρους P x = Q x 1. Στο µοντέλο που νλύουµε, x είνι το διάνυσµ γι τις οποίες υπάρχουν οι πρόσθετες πληροφορίες, οι πράµετροι που περιγράφουν το σφάλµ, κι v τ σφάλµτ των πρτηρήσεων. Γι τις πρµέτρους v κι x υποθέτουµε ότι ισχύει E{v}= 0, E{x} = µ κι οι πίνκες συµµετβλητοτήτων είνι E{vv T } = C = σ 1 2 Q, E{(x µ)(x µ) T } = C x = σ 2 2 Q x κι E{(x µ)v T } = C xv = 0 (13) Yπολογίζουµε τον πίνκ συµµετβλητοτήτων (11) M = AQ x A T + Q (14)

Πίνκς 2. Oι λύσεις µε ουσιστικές δεσµεύσεις. H x = z R x = N x N x N 1 N T x + H T H x = R 1 x [u x N x N 1 u ] x = x R R 1 x H T ( H R 1 x H T ) 1 ( H x R z) = N 1 [u NT x x ] Q x = R 1 x R 1 x H T ( H R 1 x H T ) 1 H R 1 x Q = N 1 + N 1 NT x Q x N x N 1 Q x = Q x N x N 1 x = x o = N 1 [u NT x x o ] = N 1 F T P (b Ax o ) Q = N 1 x = x 1 x 2 x 1 = x 1o H T H = 0 0 0 I, R 1 = Q 11 x Q T 12 x R = x 2 = x R T 1 ( x R x 1o ) Q 12 Q 11 = N 1 [u N x T x ] Q 12 Q 22 Q x = 0 0 0 Q 22 Q T 12 Q 1 11 Q 12 Q = N 1 + N 1 NT x Q x N x N 1 Q x = Q x N x N 1 Ότν προϋπάρχουν εκτιµήσεις γι κάποιες πό τις άγνωστες πρµέτρους, που συνοδεύοντι πό τον πίνκ συµµετβλητοτήτων τους, είνι δυντόν οι άγνωστες υτές πράµετροι, ή ν προστεθούν ως επιπλέον ψευδοπρτηρήσεις, ή ισοδύνµ, ν ντιµετωπιστούν ως τυχίες πρά- µετροι µζί µε τ σφάλµτ των πρτηρήσεων v. H ντιµετώπιση υτή γίνετι στ πλίσι της νεπηρέστης βέλτιστης γρµµικής εκτίµησης (BLUE), την οποί κολουθούµε συνήθως σ όλες τις γεωδιτικές εφρµογές, µε βάση την ισοδυνµί της µε τη µέθοδο των ελχίστων τετργώνων µε πίνκ βάρους τον ντίστροφο του πίνκ συµµετβλητοτήτων. Στις δύο υτές περιπτώσεις οι λύσεις είνι ισοδύνµες κι δίνοντι πό τι σχέσεις L = (F T M 1 F) 1 F T M 1 = L(b Ax o ) x = x o + Q x A T M 1 (I FL)(b Ax o ) v = Q M 1 (I FL)(b Ax o ) (15) Πέρ πό τη βέλτιστη νεπηρέστη γρµµική εκτίµηση, είνι δυντόν ν ντιµετωπισθεί προϋπάρχουσ πληροφορί σχετική µε κάποιες πό τις πρµέτρους, είτε υτή έχει τον χρκτήρ κάποιων διθέσιµων τιµών, είτε ενός διθέσιµου πίνκ συµµετβλητοτήτων, χρησιµοποιώντς διφορετικά κριτήρι, κυρίως στην κτεύθυνση της άρσης του κριτηρίου ν είνι η εκτίµηση νεπηρέστη κι στην ντικτάστση του κριτηρίου ελάχιστης µετβλητότητς µε υτό του ελάχιστου µέσου τετργωνικού σφάλµτος. Oι πρπάνω τύποι στην περίπτωση υτή πίρνουν τη µορφή = L (b A µ) x = µ + Q x A T M 1 (I FL)(b A µ) v = Q M 1 (I FL)(b A µ) (16) όπου πράµετρος, η οποί πίρνει τιµή νάλογ µε τη µορφή της εκτίµησης. Γι τη µη µη οµογενή βέλτιστη γρµµική εκτίµηση (inhomble, Best inhomogeneously Liner Estimtion), η οποί ισοδυνµεί µε την µη οµογενή βέλτιστη σθενώς νεπηρέστη γρµµική εκτίµηση (inhomblue, Best inhomogeneously Liner wekly Unbised Prediction) έχουµε = 1. Στην περίπτωση βθµονόµησης των οργάνων, επειδή η προϋπάρχουσ πληροφορί προέρχετι πό τις µετρήσεις του πρότυπου οργάνου, που κι υτό χρκτηρίζετι πό ορισµένη κρίβει, προτιµότερη είνι η εφρµογή της οµογενούς βέλτιστης γρµµικής εκτίµησης (homble, Best

homogeneously Liner Estimtion), ή της οµογενούς βέλτιστης γρµµικής σθενώς νεπηρέστης εκτίµησης (homblue, Best homogeneously Liner wekly Unbised Estimtion), οι οποίες είνι νθεκτικές ως προς τ σφάλµτ που περιέχει η πληροφορί υτή. Oι λύσεις γι τις δύο υτές εκτιµήσεις δίνοντι πό τους πρπάνω τύπους γι τιµές του συντελεστή µ = T A T M 1 (I FL)b 1+µ T A T M 1 (I FL)A µ κι = µt A T M 1 (I FL)b µ T A T M 1 (I FL)A µ (17) ντιστοίχως. Aπό τις εκτιµήσεις υτές η πρώτη (homble) τείνει ν γίνει επηρεσµένη γι τις πρµέτρους x, ενώ η δεύτερη είνι "σθενώς" νεπηρέστη. Θέτοντς µ = x o προκύπτουν οι εκτι- µήσεις γι τ εσωτερικά σφάλµτ του οργάνου, κθώς κι τις πρµέτρους x = L (b A x o ) x = x o + Q x A T M 1 (I FL)(b A x o ) (18) v = Q M 1 (I FL)(b A x o ) όπου = xt o A T M 1 (I FL)b (19) x ot A T M 1 (I FL)A x o Περισσότερες λεπτοµέρειες σχετικά µε τις εκτιµήσεις υτές δίνοντι πό τους Schffrin (1985) κι Dermnis (1991). Στη σύγχρονη βιβλιογρφί δίνοντι γι τη γενικότερη περίπτωση των εξισώσεων των πρτηρήσεων µε σφάλµτ στον πίνκ σχεδισµού (errors-in-vribles model) κι άλλες λύσεις βσισµένες στις τεχνικές των λεγόµενων ολικών ελχίστων τετργώνων (totl lest squres) που διφοροποιούντι πό τ προηγούµεν κυρίως στις ριθµητικές µεθόδους που ε- φρµόζοντι γι τη βελτίωση της τελικής λύσης κι βσίζοντι σε κάποιο σύστηµ διδοχικών επνλήψεων. Oι εκτιµήσεις των πινάκων (συµ)µετβλητοτήτων προκύπτουν πό τους πίνκες των συντελεστών των συµµετβλητοτήτων Q = (F T M 1 F) 1 Q x = Q x A T M 1 (I FL)A Q x Q v = Q M 1 (I FL)A Q (20) ν πολλπλσισθούν µε τις ντίστοιχες συνιστώσες της µετβλητότητς νφοράς. Γι τον υπολογισµό των µετβλητοτήτων νφοράς κι γενικότερ, των διστηµάτων εµπιστοσύνης κι των σττιστικών ποσοτήτων που πιτούντι γι την ξιολόγηση των ποτελεσµάτων προτείνετι στη σχετική βιβλιογρφί η εφρµογή των ριθµητικών µεθόδων Monte Crlo, σε ντικτάστση των κλσικών τεχνικών του νόµου µετάδοσης (συµ)µετβλητοτήτων, γι λόγους κρίβεις, εξιτίς κυρίως των σφλµάτων γρµµικοποίησης των µη γρµµικών εξισώσεων κι των σφλµάτων στρογγύλευσης που προκύπτουν στην νάλυση µεγάλου ριθµού δεδοµένων κυρίως κτά την ντιστροφή µεγάλων πινάκων. Οι µέθοδοι υτές γενικεύοντι κι επεκτείνοντι κι στη λύση του προβλήµτος εκτίµησης των συνιστωσών της µετβλητότητς νφοράς κθώς κι στην εκτίµηση των ρχικών πινάκων (συµ)µετβλητοτήτων των πρτηρήσεων. Οι πράµετροι των νλυτικών συνρτήσεων που περιγράφουν τ σφάλµτ των οργάνων - ντιµετωπίζοντι είτε ως άγνωστες πράµετροι χωρίς κµί άλλη πληροφορί, είτε ως πράµετροι µε βάρη. Στη δεύτερη περίπτωση οδηγούµστε σε µι υβριδική λύση, όπου ντιµετωπίζετι το πρόβληµ υπολογισµού ενός πίνκ βάρους W των πρµέτρων, γνωστό στη γενικότερη γεωδιτική ορολογί ως πρόβληµ επιλογής της νόρµς κι σχετίζετι µε την οµλότητ της επιλεγµένης νλυτικής συνάρτησης ( ερµάνης 1984, 1987). Σε µι πιο υστηρή προσέγγιση, είνι δυντή κι µι συνδυσµένη νλυτική - στοχστική ντι- µετώπιση των εσωτερικών σφλµάτων των οργάνων µέτρησης. Έν τµήµ των άγνωστων συνρ-

τήσεων που περιγράφουν τ εσωτερικά σφάλµτ, η κυρίρχη τάση όπως ονοµάζετι στη σχετική ορολογί, περιγράφετι µέσω ενός γρµµικού συνδυσµού των νλυτικών συνρτήσεων κι έν µικρό µέρος που ποµένει µπορεί ν ντιµετωπισθεί ως στοχστική πράµετρος, µε τη βοήθει µις συνάρτησης συµµετβλητότητς. Τ σφάλµτ των οργάνων προσεγγίζοντι πό σχέση της µορφής F + s, όπου είνι οι άγνωστες ντετερµινιστικές πράµετροι κι s οι στοχστικές µετβλητές. Τέλος, σχετικά µε τη λύση του πλοποιηµένου µοντέλου b = F + v, µι διφορετική προσέγγιση στο πρόβληµ της προσρµογής µις συνάρτησης σε βέβι δεδοµέν συνίσττι στην περιγρφή των συντετγµένων των σηµείων όλων των εποχών µε τις τεχνικές της σφούς λογικής. Οι πράµετροι πρµόρφωσης ντιµετωπίζοντι ως σφείς ριθµοί σε έν σφές µοντέλο γρµµικής πλινδρόµησης, που κθιστά δυντή την εισγωγή πληροφοριών µε τη λογική της δη- µιουργίς ενός έµπειρου συστήµτος υπολογισµών. Από τη διδικσί προκύπτουν εκτιµήσεις, που διχωρίζουν την χωρική βεβιότητ πό την βεβιότητ των πρµέτρων του µοντέλου κι σττιστικά κριτήρι που ντικτοπτρίζουν την πιθνολογική βεβιότητ της πρεµβολής. 5. Oι σττιστικοί έλεγχοι Στη συνέχει περιγράφοντι οι σττιστικοί έλεγχοι που εφρµόζοντι γι ν εξετστεί ν τ σφάλµτ του οργάνου είνι σηµντικά, σε σχέση µε τ τυχί σφάλµτ των πρτηρήσεων. Πριν όµως πό την εφρµογή των σττιστικών υτών µεθόδων, θ πρέπει ν γίνει ο έλεγχος της ξιοπιστίς των πρτηρήσεων κι της σωστής επιλογής του µθηµτικού κι του στοχστικού µοντέλου. Oι σττιστικοί έλεγχοι που εφρµόζοντι χωρίζοντι σε δύο µεγάλες κτηγορίες:. Aξιολόγηση της ξιοπιστίς των ποτελεσµάτων, κι β. Έλεγχος σηµντικότητς των εσωτερικών σφλµάτων των οργάνων. H έννοι της ξιοπιστίς σχετίζετι µε τις ρχικές υποθέσεις, που φορούν στις πρτηρήσεις, στις µθηµτικές σχέσεις που συνδέουν τις πρτηρήσεις µε τις επιλεγµένες άγνωστες πρ- µέτρους κι στην διδικσί υπολογισµού υτών των πρµέτρων. Aν υτές οι ρχικές υποθέσεις δεν ισχύουν, τότε οι σχετική υπολογισµοί οδηγούν σε λνθσµέν ποτελέσµτ. H ορθότητ των ρχικών υποθέσεων ελέγχετι µε την εφρµογή του ελέγχου της γενικής υπόθεσης. Στ θέµτ των βθµονοµήσεων των οργάνων µέτρησης, ο έλεγχος της γενικής υπόθεσης γι την ξιολόγηση της ξιοπιστίς εφρµόζετι στις πρκάτω περιπτώσεις: Έλεγχος µοντέλου (τ συστηµτικά σφάλµτ του οργάνου συµπεριφέροντι όπως περιγράφοντι πό τις συνρτήσεις που επιλέχτηκν) Έλεγχος γι την ύπρξη χονδροειδών ή άλλων συστηµτικών σφλµάτων (εκτός πό υτά που περιγράφοντι στις εξισώσεις των πρτηρήσεων) στις µετρήσεις. Έλεγχος των δεσµεύσεων κι των γεωµετρικών συνθηκών που νφέροντι στο πεδίο βθµονόµησης. Ένς ρχικός έλεγχος, γι όλες τις πρπάνω υποθέσεις, γίνετι µε τη βοήθει του ολικού ελέγχου της µετβλητότητς νφοράς, ν είνι γνωστή η ρχική κρίβει των πρτηρήσεων. Aν ο ολικός έλεγχος γίνει δεκτός, τότε µπορούµε ν πούµε ότι µε τη συγκεκριµένη πιθνότητ το µθηµτικό µοντέλο (περιγρφή των εσωτερικών σφλµάτων, διορθώσεις κι νγωγές των πρτηρήσεων κλπ.), κθώς κι το στοχστικό µοντέλο είνι σωστά. Μπορεί ο ολικός έλεγχος ν ποτελέσει κι τον σττιστικό έλεγχο σχετικά µε τη σωστή λειτουργί του οργάνου; Νι, ότν οι µετρήσεις γίνοντι πάνω σε γνωστό πεδίο βθµονόµησης. Oι διάφορες µορφές του ελέγχου της γενικής υπόθεσης, όπως χρησιµοποιείτι στις πρπάνω περιπτώσεις, δίνοντι στη συνέχει.

5.1 Έλεγχοι γι την ύπρξη χονδροειδών σφλµάτων στις πρτηρήσεις O έλεγχος υτός γίνετι µε την τεχνική της σάρωσης δεδοµένων. Γι κάθε πρτήρηση y i b υπολογίζοντι οι ποσότητες v τ i = i σ ( v i ), t i = τ i f 1 f τ i 2 (21) όπου τ i είνι το εσωτερικά οµλοποιηµένο σφάλµ, σ ( v i ) = σ [Q v ] ii είνι η τυπική πόκλιση της εκτίµησης του σφάλµτος v i, t i το εξωτερικά οµλοποιηµένο σφάλµ, f είνι οι βθµοί ε- λευθερίς κι Q v ο πίνκς των συντελεστών των συµµετβλητοτήτων των εκτιµήσεων των σφλµάτων v. Στη συνέχει, ελέγχετι ν ισχύει η σχέση t i t o /2 f 1 (22) ή ισοδύνµ, ν πάρουµε υπόψη µς τις σχέσεις (21) κι ότι t /2 o f 1 = F o 1, f 1 τ i f F o 1, f 1 f 1+ F o 1, f 1 = τ o /2 f 1 (23) όπου το επίπεδο σηµντικότητς o πίρνει συνήθως τιµές πό 0.001 (γι συνηθισµένες εφρµογές), έως 0.01 (γι εφρµογές υψηλής κριβείς). Αν θεωρήσουµε την ρχική κρίβει των πρτηρήσεων γνωστή, ο έλεγχος γίνετι σύµφων µε τη σχέση v z i = i σ( v i ) z /2 όπου σ( v i ) = σ o [Q v ] ii είνι η τυπική πόκλιση της εκτίµησης του σφάλµτος v i, σ 2 o η γνωστή µετβλητότητ νφοράς κι z /2 το εκτοστιίο σηµείο της τυπικής κνονικής κτνοµής. 5.2 Έλεγχος συµβτότητς δύο οµάδων πρτηρήσεων O έλεγχος των πρτηρήσεων της µις οµάδς συνολικά (π.χ. του πρότυπου οργάνου), σε σχέση µε τις πρτηρήσεις της άλλης οµάδς (π.χ. του οργάνου που ελέγχετι), που στην ουσί ποτελεί τη γενίκευση της σάρωσης δεδοµένων γι µι οµάδ πρτηρήσεων, µπορεί ν γίνει ή πό τ ποτελέσµτ της τυτόχρονης συνόρθωσης των πρτηρήσεων των δύο οµάδων, ή πό τ ποτελέσµτ της συνόρθωσης των πρτηρήσεων της µις οµάδς κι την εφρµογή µεθόδων πρόγνωσης γι τον υπολογισµό των σττιστικών στοιχείων της δεύτερης οµάδς. Kι οι δύο µέθοδοι είνι ισοδύνµες µετξύ τους. Στην πρώτη περίπτωση ο έλεγχος βσίζετι στις σχέσεις κι v T = T 2 Q 2 1 v 2 n 2 σ 2, F = T f n 2 f n 2 T F F n2, f n 2 (24) (25) (26) ή ισοδύνµ T f F n2, f n 2 f n 2 + n 2 F n2, f n 2 = T n2, f n 2 (27)

όπου ο δείκτης (2) νφέρετι στους υποπίνκες που ντιστοιχούν στις n 2 πρτηρήσεις που ε- λέγχοντι, κι ο πίνκς Q 2 = P 2 A 2 N g A T 2 είνι υποπίνκς των συντελεστών συµµετβλητοτήτων Q v των σφλµάτων v που ντιστοιχεί στις πρτηρήσεις υτές (στ σφάλµτ v 2 ). Στη δεύτερη περίπτωση, ο έλεγχος βσίζετι στον ενλλκτικό τύπο v F = 2T Q v n 2 1 v 2 σ 2 1 F n2, f n 2 όπου v 2 = y 2b y είνι η πρόγνωση των σφλµάτων της δεύτερης οµάδς των πρτηρήσεων ( y = f ( x ) ), η οποί γίνετι µε τη βοήθει των ποτελεσµάτων της συνόρθωσης της πρώτης οµάδς, κι Q v είνι ο ντίστοιχος πίνκς συµµετβλητοτήτων. Πίνκς 3. Έλεγχος της προϋπάρχουσς πληροφορίς του πεδίου βθµονόµησης πό τις πρτηρήσεις του οργάνου που ελέγχετι Eκτίµηση Πρόγνωση Έλεγχος (28) b 1 = A 1 x + v 1 ή b 1 = A 1 x + F 1 + v 1 σ 12, x (1), Q x b o = A o x + v o v o = b o A o x (1) Q v = P 1 o + A o Q x AT o x o = x + v o v o = x o x (1) Q v = Q x + Q x v F = ot Q v n o 1 v o σ 2 1 F no, f 1 5.3 Έλεγχοι σχετικοί µε τις δεσµεύσεις των πρµέτρων νφοράς Σε όλους τους πρπάνω ελέγχους η µηδενική υπόθεση H o : H x = z, ελέγχετι σε σχέση µε την ενλλκτική της H : H x z κι γίνετι ποδεκτή γι επίπεδο σηµντικότητς, ν ισχύει η σχέση F = (H x z) T (H Q x H T ) 1 (H x z) k σ 2 e = T S 1 e k σ 2 F k, f (29) όπου e = H x z είνι τ σφάλµτ κλεισίµτος, S = H Q x H T ο πίνκς συµµετβλητοτήτων τους, k είνι ο ριθµός των εξισώσεων της γενικής υπόθεσης κι οι εκτιµήσεις x κι σ 2, κθώς κι ο πίνκς Q x, νφέρετι στη λύση των εξισώσεων b = A x + v ή b = A x + F + v (χωρίς ν λµβάνοντι υπόψη οι δεσµεύσεις H x = z). Eνλλκτικοί τύποι γι τον υπολογισµό της ποσότητς F είνι F = f δϕ k ϕ = f δϕ k ϕ H δϕ όπου f + k = f H, δ ϕ = ϕ H ϕ = e T S 1 e κι ϕ H = v T H P v H είνι το κριτήριο που ελχιστοποιείτι λµβάνοντς υπόψη κι τις εξισώσεις H x = z ως δεσµεύσεις κι ϕ = v T P v είνι το κριτήριο που ελχιστοποιείτι χωρίς τις πρπάνω δεσµεύσεις, f H είνι οι βθµοί ελευθερίς µε τις δεσµεύσεις που ελέγχοντι, κι f είνι οι βθµοί ελευθερίς των υπολογισµών χωρίς υτές τις δεσµεύσεις. Αν θεωρήσουµε γνωστή την κρίβει των πρτηρήσεων ο έλεγχος βσίζετι στη σχέση (30)

F = δ ϕ k σ = e T S 1 e 2 o k σ 2 o όπου σ o 2 η γνωστή µετβλητότητ νφοράς. F k, (31) Σύµφων µε το διχωρισµένο λγόριθµο, οι δεσµεύσεις υτές µπορούν ν εισχθούν µι-µι χωριστά κι όχι τυτόχρον όλες µζί. Έτσι έχουµε τη δυντότητ ελέγχου κάθε δέσµευσης σε σχέση µε τις προηγούµενες λύσεις. H υλοποίηση του λγόριθµου γίνετι ως εξής: 1. Aρχική λύση χωρίς δεσµεύσεις (υπολογίζοντι οι πίνκες x o κι Q (o) x ). 2. Eισάγουµε µί-µί τις δεσµεύσεις κι πίρνουµε διδοχικά τις ντίστοιχες λύσεις µέχρι την ολοκλήρωση της εισγωγής όλων των δεσµεύσεων. H εισγωγή γι πράδειγµ της k δέσµευσης h T x = z, όπου h T είνι η k σειρά του πίνκ H, γίνετι ως εξής: Yπολογίζοντι οι ποσότητες e = h T x (k 1) z = h r x (k 1) r z (32) q 2 ( e ) = h T (k Q 1) h = h r h s [Q x r r (k 1) x ] rs (k όπου h r, h s είνι τ στοιχεί r κι s ντίστοιχ του πίνκ h κι [Q 1) x ] rs είνι το στοιχείο της r (k γρµµής κι της s στήλης του πίνκ Q 1) x. O πίνκς είνι υτός που προέκυψε πό τις προηγούµενες k 1 δεσµεύσεις. Ότν εισάγετι η πρώτη δέσµευση ο πίνκς υτός είνι ο Q (o) x. Tο διάνυσµ x (k 1) είνι η λύση του συστήµτος των κνονικών εξισώσεων µε τις προηγούµενες k 1 δεσµεύσεις. Ότν η δέσµευση k είνι η πρώτη δέσµευση, το διάνυσµ υτό είνι το x o. E- λέγχετι η ορθότητ της δέσµευσης e 2 2 q 2 ( e ) σ k 1 ~ F 1, f k 1 κι στη συνέχει, ν γίνει ποδεκτή, η κάθε συντετγµένη x (k ) i του δινύσµτος x προκύπτει πό τον τύπο x (k ) i = x (k 1) (k i δ x ) i = x (k 1) e i q 2 ( e ) (k κι το κάθε στοιχείο [Q ) (k x ] ij του πίνκ [Q ) x ], πό τον τύπο [Q x (k ) (k ] ij = [Q 1) ] ij x 1 q 2 ( e ) (33) (34) (k [Q 1) ] ir h r (35) r x (k [Q 1) (k x ] ir h r [Q 1) x ] sj h s (36) r s Σε όλους τους πρπάνω τύπους, οι θροίσεις γίνοντι µόνο γι τις συντετγµένες που συµµετέχουν στην δέσµευση. 5.4 Έλεγχοι σηµντικότητς κι επιλογή των πρόσθετων πρµέτρων Ο έλεγχος σηµντικότητς των εσωτερικών σφλµάτων των οργάνων γίνετι πευθείς στις ε- κτιµήσεις των πρόσθετων πρµέτρων πό τη λύση των διευρυµένων εξισώσεων των πρτηρήσεων b = A x + F + v, ή µε βάση τ ποτελέσµτ των πλοποιηµένων εξισώσεων b = A x + v, όπου δηλδή δεν συµπεριλµβάνοντι οι πρόσθετες πράµετροι. Στη δεύτερη περίπτωση ο έλεγχος κολουθεί συνήθως τη σάρωση δεδοµένων ότν φίνετι ν υπάρχει έν γενικότερο πρόβλη- µ ξιοπιστίς κι όχι κάποι χονδροειδή σφάλµτ σε µί ή δύο πρτηρήσεις. Ο ολικός έλεγχος των πρόσθετων πρµέτρων ( H o : = 0, H : 0) προκύπτει στην ουσί ως σύγκριση των λύσεων του πλού κι διευρυµένου συστήµτος των εξισώσεων των πρτηρήσε-

ων. Μπορεί ν προκύψει πό τ ποτελέσµτ της λύσης του διευρυµένου συστήµτος των εξισώσεων των πρτηρήσεων b = A x + F + v µε τη βοήθει της σχέσης F = T Q 1 m σ 2 δ F m, fδ (37) όπου οι βθµοί ελευθερίς f δ κι η µετβλητότητ νφοράς σ δ 2 νφέροντι στη λύση του διευρυµένου µοντέλου, ή µπορεί ν προκύψει πό τη σύγκριση της λύσης του πλού συστήµτος των εξισώσεων των πρτηρήσεων b = A x + v µε υτήν του διευρυµένου, σύµφων µε τη σχέση F = f m m δϕ f σ 2 δϕ F m, f m όπουϕ, f είνι η τιµή του κριτηρίου των ελχίστων τετργώνων κι οι βθµοί ελευθερίς κτά τη λύση του πλού µοντέλου, ενώ δϕ = ϕ ϕ δ είνι η διφορά νάµεσ στην τιµές των δύο κριτηρίων. Αποδεικνύετι ότι η τιµή δϕ µπορεί ν υπολογιστεί κι πευθείς πό τη λύση του συστήµτος των εξισώσεων πρτήρησης b = A x + v, σύµφων µε τη σχέση [ ] 1 F T P δϕ = v T P F F T P Q v P F (38) v (39) Αν ισχύει η σχέση (37) ή η ενλλκτική της (38), τότε θεωρούµε ότι ο όρος F είνι σήµντος, διφορετικά τ σφάλµτ είνι σηµντικά κι πρέπει ν προχωρήσουµε στην πιο νλυτική επιλογή των πρµέτρων. Έστω = I, Q = Q I Q I,II T (40) II Q II Q I,II όπου II η οµάδ των πρµέτρων των συνρτήσεων f i που ελέγχοντι γι τη σηµντικότητά τους. Γι τον έλεγχο σηµντικότητς των πρµέτρων II ( H o : II = 0 ~ H : II 0 ) χρησιµοποιούντι οι σχέσεις F II = T II Q 1 II II m II σ 2 δ, F II F mii, f δ (41) όπου m II είνι ο ριθµός των γνώστων πρµέτρων II. Σχετικά µε τον έλεγχο σηµντικότητς µις µόνο πρµέτρου ( H o : i = 0 ~ H : i 0 ), ν ισχύει η σχέση t i = i σ q( i ) > t /2 f = F 1, f όπου q( i ) = { Q } ii (42) η πράµετρος i είνι σηµντική. Σηµντικό πρόβληµ γι τον έλεγχο κι την επιλογή των πρόσθετων πρµέτρων δηµιουργούν οι συσχετίσεις, τόσο µετξύ των πρόσθετων πρµέτρων, όσο κι µετξύ των πρόσθετων κι των άλλων πρµέτρων των υπολογισµών. Γι την ντιµετώπιση του προβλήµτος υτού, µι τεχνική βσίζετι στον έλεγχο σηµντικότητς µις πρµέτρου, ή οµάδς πρµέτρων, που δεν συµµετέχουν στις σχετικές εξισώσεις κι που πρόκειτι όµως ν συµπεριληφθούν, ν ο έλεγχος δείξει ότι είνι σηµντικές. H σηµντικότητ των νέων πρόσθετων πρµέτρων *, µε πίνκ συντελεστών F *, που δεν συµπεριλµβάνοντι στο ρχικό σύστηµ εξισώσεων b = A x + F + v, ελέγχετι µε βάση τη σχέση

F = f q q δϕ f σ 2 δϕ F q, f q (43) [ ] 1 F * T P όπου δϕ = v T P F * F T * P Q v P F * v (44) q είνι ο ριθµός των νέων πρόσθετων πρµέτρων * κι οι ποσότητες f, Q v, v, σ 2 νφέροντι στις ρχικές εξισώσεις, χωρίς τις πρµέτρους υτές. Γι µί πράµετρο *, µε διάνυσµ συντελεστών f * T, o έλεγχος πίρνει τη µορφή t = r f 1 f r 2 [ 1 ] 2 t /2 f 1 όπου r 2 = f * T P Q v v (45) σ 2 f *T P Q v P f * Πρέπει στο σηµείο υτό ν τονίσουµε πως η γενική υπόθεση επιτρέπει τη σύγκριση µόνο δύο υ- ποθέσεων που ντιστοιχούν σε µθηµτικά µοντέλ τέτοι ώστε το έν, υτό της µηδενικής υπόθεσης, ν ποτελεί ενφωλισµένη µορφή του άλλου, εκείνου της ενλλκτικής υπόθεσης. Στην περίπτωση όµως της βθµονόµησης των οργάνων µέτρησης, µέσ στ διφορετικά ενλλκτικά µθηµτικά µοντέλ συµπεριλµβάνοντι κι περιπτώσεις όπου έν µοντέλο δεν µπορεί ν ποτελέσει ενφωλισµένη µορφή του άλλου, κι εποµένως η εφρµογή της γενικής υπόθεσης σν εργλείο σύγκρισης είνι δύντη. Eκτός πό τους πρπάνω ελέγχους, που στηρίζοντι στην εφρµογή του γνωστού πό τη θεωρί εκτίµησης εργλείου της σττιστικής ερµηνείς που ονοµάζετι έλεγχος της γενικής υπόθεσης κι που εφρµόζοντι στ ποτελέσµτ της τελικής νάλυσης των πρτηρήσεων, κτά την ρχική επεξεργσί επνλµβνόµενων µετρήσεων, µπορούν ν εφρµοσθούν, κι πολλές φορές πιτούντι, κι άλλοι έλεγχοι, συνήθως οι γνωστοί ως µη πρµετρικοί, όπως είνι o ο έλεγχος της κτνοµής των πρτηρήσεων, ο έλεγχος τυχιότητς, κλπ. 5.5 Κριτήρι ποιότητς γι τον σχεδισµό του πεδίου βθµονόµησης Πριν προχωρήσουµε στην τελική υλοποίηση του πεδίου βθµονόµησης που έχει σχεδισθεί, θ πρέπει ν ξιολογηθεί η ποιότητά του. Aξιολόγηση ποιότητς σηµίνει: Έλεγχος της κρίβεις: Συνίσττι στην ρχική εκτίµηση των κριτηρίων κρίβεις των εσωτερικών σφλµάτων του οργάνου, γι τ οποί έχει σχεδισθεί το πεδίο βθµονόµησης. Έλεγχος της ξιοπιστίς: Aνφέρετι στ κριτήρι ξιοπιστί των σττιστικών ελέγχων που ε- φρµόζοντι ώστε ν γίνουν ποδεκτά τ ποτελέσµτ της βθµονόµησης (Ρωσσικόπουλος 1999, ούκς κι Ρωσσικόπουλος 2010). Π.χ. ν γνωρίζουµε πόσο µεγάλ είνι τ πιθνά χονδροειδή σφάλµτ σε κάθε πρτήρηση που πορροφώντι στην νάλυση των πρτηρήσεων κι εµφνίζοντι ως σφάλµτ οργάνου κτά τη βθµονόµηση (έλεγχος εσωτερικής ξιοπιστίς), κι πώς επιδρούν τ χονδροειδή υτά σφάλµτ στις τελικές εκτιµήσεις των εσωτερικών σφλµάτων (έλεγχος εξωτερικής ξιοπιστίς). Eπειδή στις µετρήσεις η πιο συνηθισµένη ιτί γι νξιόπιστ ποτελέσµτ είνι τ χονδροειδή σφάλµτ, γι τον λόγο υτό κι η έννοι της ξιοπιστίς, όπως εµφνίζετι στη σχετική βιβλιογρφί, συνδέετι µε την ύπρξη χονδροειδών σφλµάτων στις τιµές των µετρήσεων. Aυτό που ενδιφέρει ιδιίτερ κτά τον σχεδισµό του πεδίου βθµονόµησης, είνι ν κτλήξουµε σ έν τέτοιο σχήµ ώστε ν ελχιστοποιηθεί το µέγεθος του σφάλµτος (χονδροειδούς ή συστηµτικού που δεν περιγράφετι στο διευρυµένο µοντέλο) κάθε µέτρησης, που µπορεί ν φοµοιωθεί κτά τους υπολογισµούς, λλά κι ν ελχιστοποιηθεί η µετβολή των πρ- µέτρων που ορίζουν το πεδίο βθµονόµησης κθώς κι των πρµέτρων που περιγράφουν τ ε- σωτερικά σφάλµτ, εξιτίς του σφάλµτος υτού. H επίδρση του ορικού χονδροειδούς σφάλµτος µις µέτρησης πάνω στις εκτιµήσεις των πρµέτρων, που περιγράφουν το πεδίο κι

τ εσωτερικά σφάλµτ των οργάνων, ονοµάζετι εξωτερική ξιοπιστί. Kτά τον σχεδισµό του πεδίου βθµονόµησης θ πρέπει τ κριτήρι της εξωτερικής ξιοπιστίς ν είνι µικρότερ ή το πολύ ίσ µε την πόδοση του οργάνου. Στην περίπτωση όµως των βθµονοµήσεων των οργάνων µέτρησης, είνι εξίσου σηµντική η - ξιολόγηση της ξιοπιστίς κάθε σττιστικού ελέγχου που εφρµόζετι στ ποτελέσµτ των υπολογισµών. Γι πράδειγµ, σχετικά µε την ξιοπιστί του ελέγχου της γενικής υπόθεσης που νφέρετι στις πρµέτρους νφοράς που ορίζουν το πεδίο βθµονόµησης, θ πρέπει ν νλυθούν τ πρκάτω ερωτήµτ: Mήπως ο έλεγχος της γενικής υπόθεσης δεν περνά επειδή τ σφάλµτ κλεισίµτος των υποθέσεων που ελέγχοντι δέχοντι την επίδρση ενός χονδροειδούς σφάλµτος που φοµοιώθηκε στους σχετικούς υπολογισµούς; Ποιό είνι το ορικό µέγεθος του σφάλµτος κλεισίµτος µις υπόθεσης που νφέρετι στο πεδίο βθµονόµησης κι που θεωρείτι σηµντικό στον ντίστοιχο σττιστικό έλεγχο; Ποι είνι η επίδρση ενός τέτοιου σφάλµτος στ τελικά ποτελέσµτ ν οι συνθήκες που ελέγχοντι συµπεριληφθούν ως δεσµεύσεις στην νάλυση των µετρήσεων; Σχετικά µε την ξιοπιστί του ελέγχου σηµντικότητς των πρόσθετων πρµέτρων που περιγράφουν τη συµπεριφορά των εσωτερικών σφλµάτων του οργάνου µέτρησης θ πρέπει ν νλυθούν τ πρκάτω ερωτήµτ: Mήπως µί πράµετρος είνι σηµντική επειδή δέχετι την επίδρση ενός χονδροειδούς σφάλµτος που φοµοιώθηκε στους σχετικούς υπολογισµούς; Ποιό είνι το ορικό µέγεθος της πρµέτρου που µπορεί ν δείξει ο σττιστικός έλεγχος ότι είνι σηµντική; Aν η υπολογισµένη τιµή της πρµέτρου είνι µικρότερη πό το µέγεθος υτό τότε ο έλεγχος δεν είνι ξιόπιστος. Ποι είνι η επίδρση στ τελικά ποτελέσµτ ν ποφσισθεί λάθος ότι η πράµετρος δεν είνι σηµντική ως συνιστώσ περιγρφής του σφάλµτος του οργάνου κι φιρεθεί πό τους υπολογισµούς; 6. O έλεγχος της κρίβεις των οργάνων µέτρησης O έλεγχος της κρίβεις του οργάνου, µπορεί ν γίνει κτά τη βθµονόµησή του ν υτό επιτρέπετι πό το πεδίο βθµονόµησης, ή διφορετικά ποτελεί µι χωριστή διδικσί. Kι στις δύο περιπτώσεις θ πρέπει ν νλυθούν οι επιδράσεις όλων των σφλµάτων στην κρίβει της µέτρησης κι οι επιδράσεις που δεν συµπεριλµβάνοντι στο διευρυµένο µθηµτικό µοντέλο ν εµφνισθούν ως συνιστώσες της τελικής κρίβεις. Στη συνέχει, ν εφρµοσθούν πολυπλοκότερ µοντέλ συνόρθωσης, όπως είνι γι πράδειγµ η εκτίµηση κι ο έλεγχος των συνιστωσών της µετβλητότητς νφοράς ή µέθοδοι νάλυσης πολλών µετβλητών. H τελική κρίβει προκύπτει ως η συνιστµένη του µέρους εκείνου που προέρχετι πό τις τεχνικές εκτίµησης των συνιστωσών της µετβλητότητς νφοράς, κθώς κι του µέρους εκείνου που προέρχετι πό τις εκτιµήσεις των µετβλητοτήτων των εσωτερικών σφλµάτων που υπολογίζοντι κτά η βθµονόµηση. Tο τελικό σφάλµ µις πρτήρησης όπως έχει ήδη νφερθεί, προκύπτει πό θροιστικές επιδράσεις πολλών επιµέρους σφλµάτων, όπως: τ εσωτερικά σφάλµτ του οργάνου που δεν πλείφοντι κολουθώντς ειδικές τεχνικές κτά τη µέτρηση, β) τ σφάλµτ του περιβάλλοντος κι γ) τ σφάλµτ των επιµέρους χειρισµών που κάνει ο πρτηρητής. Mι ρχική νάλυση της κρίβεις των πρτηρήσεων βσίζετι στην περιγρφή, µε τη βοήθει µθηµτικών σχέσεων, των σφλµάτων που επηρεάζουν τις πρτηρήσεις στη συγκεκριµένη τεχνική µέτρησης που κολουθείτι, κι στην εφρµογή του νόµου µετάδοσης των συµµετβλητοτήτων στις σχέσεις υτές. Aν υποθέσουµε ότι έχουµε m διφορετικές επιδράσεις στην τελική κρίβει των πρτηρήσεων, ο πίνκς των µετβλητοτήτων των πρτηρήσεων γράφετι

E{vv T } = C = σ 12 V 1 +σ 22 V 2 +...+σ m2 V m (46) όπου σ i2, i = 1,2,...,m είνι οι άγνωστες συνιστώσες κι V i είνι οι γνωστοί πίνκες των συντελεστών συµµετβλητοτήτων. Έν εργλείο της σττιστικής, χρήσιµο γι τη λύση του πρπάνω προβλήµτος, είνι η µέθοδος εκτίµησης των συνιστωσών της µετβλητότητς νφοράς (Vrince Component Estimtion). Eφρµογή του προβλήµτος των συνιστωσών της µετβλητότητς νφοράς, εκτός πό την νάλυση της κρίβεις ενός οργάνου έχουµε γι τον υπολογισµό της σχέσης µετξύ των βρών διφορετικών πρτηρήσεων (όπως είνι π.χ. οι πρτηρήσεις του πρότυπου οργάνου κι του οργάνου που ελέγχετι κτά τη σχετική βθµονόµηση), ή γι τον υπολογισµό της σχέσης των βρών πρτηρήσεων που έγινν σε διφορετικές εποχές ή σε διφορετικές συνθήκες. Kτά τη βθµονόµηση των οργάνων δεν είνι πάντοτε δυντή η νάλυση της κρίβεις του οργάνου που ελέγχετι, επειδή δεν µπορούν ν ορισθούν όλες οι συνιστώσες της. Σ υτές τις περιπτώσεις, ο έλεγχος της κρίβεις γίνετι διχωρισµέν πό τη βθµονόµηση, σε άλλο πεδίο µετρήσεων. Γι ν εφρµοσθούν οι µέθοδοι υτές κι ν είνι εκτιµήσιµες οι συνιστώσες της κρίβεις του οργάνου, θ πρέπει κι το πεδίο των µετρήσεων ν είνι ειδικά σχεδισµένο, λλά κι τ µεγέθη που µετριούντι ν είνι τέτοι ώστε οι συνιστώσες της κρίβεις ν είνι σηµντικές. Γι πράδειγµ, κτά την βθµονόµηση του EDM σε µι εργστηρική βάση γι το κυκλικό σφάλµ, δεν µπορεί ν ελεγχθεί η κρίβει του οργάνου επειδή η βάση έχει µήκος το πολύ 100 µέτρ κι η συνιστώσ που εκφράζει τις επιδράσεις των σφλµάτων κλίµκς στην τελική κρίβει δεν προσδιορίζετι. Σε µι τέτοι βάση όλες οι ποστάσεις θεωρούντι ίσης κρίβεις. Γενικά έν πεδίο βθµονόµησης είνι ειδικά σχεδισµένο έτσι ώστε ορισµένες επιδράσεις ν πλείφοντι ή ν ελχιστοποιούντι. Βιβλιογρφί ερµάνης, Α. (1984): Θεωρί κι εφρµογή της µεθόδου της σηµεικής προσρµογής σε τοπογρφικά προβλήµτ. Γεωδιτικά Τετράδι, τοµ. 5, Νο. 2. σελ. 125-162. ερµάνης, Α. (1987): Συνορθώσεις πρτηρήσεων κι θεωρί εκτίµησης. Εκδόσεις Ζήτη. Dermnis, A. (1991): A Unified Approch to Liner Estimtion nd Prediction. XXth Congress of the Interntionl Union of Geodesy nd Geophysics. IAG, Vienn, August 11-24, 1991. ούκς Ι.,. Ρωσσικόπουλος (2010). Η ξιοπιστί των σττιστικών ελέγχων. 3ο Τκτικό Εθνικό Συνέδριο Μετρολογίς. Λάρνκ, Κύπρος, 5-6 Φεβρουρίου. Ro, C. R. (1973): Liner Sttisticl Inference nd Its Applictions. J. Wiley. Pωσσικόπουλος,. (1989): Σχεδισµός της βάσης κι νάλυση των πρτηρήσεων γι τον έλεγχο κι την βθµονόµηση των ηλεκτρονικών οργάνων µέτρησης ποστάσεων. Eρτοσθένης, 26, 277-312. Pωσσικόπουλος,. (1999): Tοπογρφικά δίκτυ κι υπολογισµοί. Eκδόσεις Zήτη, Θεσσλονίκη. Schffrin, B. (1985): A Clibrtion Model for Geodetic Applictions. Interntionl Sttisticl Institute, 45th Session, Contributed Ppers, Book 2, 12-22 August, Amsterdm, pp. 523-525.