POSLOVNA MATEMATIKA IVANA DOMJAN

POSLOVNA MATEMATIKA IVANA DOMJAN

Višješolski strokovi program: Ekoomist Učbeik: Poslova matematika (1.del predmeta Poslova matematika s statistiko) Gradivo za 1. letik Avtorica: Ivaa Domja, uiv. dipl. eko. EKONOMSKA ŠOLA MURSKA SOBOTA Višja strokova šola Strokova recezetka: Milea Fudak, pred. učit. mat. i fiz., uiv. dipl. eko. Lektorica: Kataria Balažic, prof. slov. j. i uiv. dipl. komparat. CIP - Kataloži zapis o publikaciji Naroda i uiverziteta kjižica, Ljubljaa 51-7:33(75.8)(.34.2) DOMJAN, Ivaa Poslova matematika [Elektroski vir] : gradivo za 1. letik / Ivaa Domja. - El. kjiga. - Ljubljaa : Zavod IRC, 28. - (Višješolski strokovi program Ekoomist / Zavod IRC) Nači dostopa (URL): http://www.zavod-irc.si/docs/skriti_dokumeti/ Poslova_matematika-Domja.pdf. - Projekt Impletum ISBN 978-961-682-52-3 249248256 Izdajatelj: Kozorcij višjih strokovih šol za izvedbo projekta IMPLETUM Založik: Zavod IRC, Ljubljaa. Ljubljaa, 28 Strokovi svet RS za poklico i strokovo izobraževaje je a svoji 12. seji de 1. 12. 29 a podlagi 26. člea Zakoa o orgaizaciji i fiaciraju vzgoje i izobraževaja (Ur. l. RS, št. 16/7-ZOFVI-UPB5, 36/8 i 58/9) sprejel sklep št. 131-6/29 / 11-3 o potrditvi tega učbeika za uporabo v višješolskem izobraževaju. Avtorske pravice ima Miistrstvo za šolstvo i šport Republike Sloveije. Gradivo je sofiacirao iz sredstev projekta Impletum Uvajaje ovih izobraževalih programov a področju višjega strokovega izobraževaja v obdobju 28 11. Projekt oz. operacijo delo fiacira Evropska uija iz Evropskega socialega sklada ter Miistrstvo RS za šolstvo i šport. Operacija se izvaja v okviru Operativega programa razvoja človeških virov za obdobje 27 213, razvoje prioritete Razvoj človeških virov i vseživljejskega učeja i predoste usmeritve Izboljšaje kakovosti i učikovitosti sistemov izobraževaja i usposabljaja. Vsebia tega dokumeta v obeem primeru e odraža meja Evropske uije. Odgovorost za vsebio dokumeta osi avtor.

Kazalo Poslova matematika KAZALO VSEBINE 1 UVOD V RAČUNANJE...6 2 RAZMERJA IN SORAZMERJA...1 2.1 RAZMERJA...1 2.2 SORAZMERJA...12 2.2.1 Eostavo sorazmerje...12 2.2.2 Sestavljeo sorazmerje...13 2.2.3 Premo sorazmerje...15 2.2.4 Obrato sorazmerje...17 3 SKLEPNI RAČUN...21 3.1 ENOSTAVNI SKLEPNI RAČUN...21 3.1.1 Metoda direktega sklepaja...21 3.1.2 Sorazmerje...23 3.1.3 Sklepa shema...25 3.2 SESTAVLJENI SKLEPNI RAČUN...26 3.2.1 Metoda direktega sklepaja...26 3.2.2 Sorazmerje...27 3.2.3 Sklepa shema...28 3.2.4 Reševaje s pomočjo eačb...29 4 VERIŽNI RAČUN...32 5 RAZDELILNI RAČUN...39 5.1 ENOSTAVNI RAZDELILNI RAČUN...39 5.1.1 Delitev a eake dele...4 5.1.2 Delitev v razmerju...4 5.1.3 Delitev z uporabo ulomkov ali odstotkov...42 5.1.4 Delitev z razlikami...43 5.2 SESTAVLJENI RAZDELILNI RAČUN...45 5.2.1 Sestavljei razdelili raču z združljivimi ključi...45 5.2.2 Sestavljei razdelili raču s parcialimi ključi...46 6 ODSTOTNI RAČUN...52 6.1 RAČUNANJE OSNOVNIH KOLIČIN ODSTOTNEGA RAČUNA...54 6.2 RAČUNANJE POVEČANE IN ZMANJŠANE CELOTE...57 6.3 REŠEVANJE Z ENAČBAMI...64 7 KALKULACIJE...69 7.1 TRGOVINSKA KALKULACIJA...69 7.1.1 Eostava delitvea kalkulacija...72 7.1.2 Sestavljea delitvea trgoviska kalkulacija...75 7.2 PROIZVODNA KALKULACIJA...76 7.2.1 Eostava delitvea kalkulacija...76 7.2.2 Kalkulacija z ekvivaletimi števili...77 7.2.3 Kalkulacija za vezae proizvode...78 7.2.4 Kalkulacija z dodatki...78 8 OBRESTNI RAČUN...84 8.1 NAVADNI OBRESTNI RAČUN...88 8.1.1 Povečaa glavica i avadi obresti raču...93 8.1.2 Zmajšaa glavica i avadi obresti raču...96 8.2 OBRESTNOOBRESTNI RAČUN...98 8.2.1 Dekurzivi ači obrestovaja celoleta kapitalizacija...99 8.2.2 Aticipativi ači obrestovaja celoleta kapitalizacija...13 i

8.2.3 Pogostejša kapitalizacija... 18 8.2.4 Ekvivaleta i povpreča obresta mera... 115 9 HRANILNE IN PERIODIČNE VLOGE... 121 9.1 VLOGE IN DVIGI... 121 9.1.1 Progresiva metoda... 122 9.1.2 Stopjevala metoda... 125 9.2 PERIODIČNI DENARNI TOKOVI IN RENTE... 127 9.2.1 Periodiče vloge... 128 9.2.2 Periodiča izplačila... 132 9.2.3 Reto varčevaje... 135 1 POSOJILA... 139 1.1 METODA ENAKIH RAZDOLŽNIN... 141 1.2 METODA ENAKIH ANUITET... 143 POJMOVNIK... 147 REŠITEV NALOG... 153 PREGLED OBRAZCEV... 155 LITERATURA IN VIRI... 165

Kazalo Poslova matematika KAZALO SLIK Slika 1: Graf premosorazmerih količi...15 Slika 2: Graf odvisosti teže i vredosti blaga...17 Slika 3: Graf oobratosorazmerih količi...17 Slika 4: Graf odvisosti števila delavcev i časa dela...18 Slika 5: Razdelili raču s parcialimi ključi...5 Slika 6: Izraču odstotkov, ki se aašajo a isto osovo...66 Slika 7: Izraču zaporede spremembe odstotokov...66 Slika 8: Dekurzivo obrestovaje...91 Slika 9: Aticipativo obrestovaje...1 Slika 1: Navadi obresti raču...87 Slika 11: Obresto obresti raču...92 Slika 12: Primerjava avadega i obresto obrestega račua...93 Slika 13: Shematski prikaz progresive metode...127 Slika 14: Shematski prikaz progresive metode z razobrestovajem...128 Slika 15: Shematski prikaz retega varčevaja...1 Slika 16: Preumerada vloga...129 Slika 17: Postumeradaa vloga...131 Slika 18: Preraču preumeradih zeskov a koec obdobja...134 Slika 19: Preraču postumeradih zeskov a koec obdobja...129 Slika 2: Preraču postumeradih vlog a začetek obdobja...131 iii

KAZALO TABEL Tabela 1: Tabela merskih eot... 35 Tabela 2: Tečajica bake Sloveije a da 17. 7. 28... 36 Tabela 3: Zapis odstotih (promilih) mer... 57 Tabela 4: Osove eačbe odstotega i promilega račua... 58 Tabela 5: Osovi obrazci za količie izračuae i C + i C -... 63 Tabela 6: Osovi obrazci za količie avadega obrestega račua... 98 Tabela 7: Osovi obrazci za izraču osovih količi iz povečae glavice... 1 Tabela 8: Osovi obrazci za izraču osovih količi iz zmajšae glavice... 13 Tabela 9: Osovi obrazci pri pogostejši kapitalizaciji relativa obresta mera... 116 Tabela 1: Osovi obrazci pri pogostejši kapitalizaciji koforma obresta mera... 118 Tabela 11: Osovi obrazci za izraču ekvivaletih obrestih mer... 122

POSLOVNA MATEMATIKA PREDGOVOR PREDGOVOR Vsak začeti korak je težak, saj imamo predstave o tem, kaj as čaka. Da bi vam olajšala prvi i vse asledje korake učeja poslove matematike, sem pripravila učbeik z izbraimi vsebiami iz kataloga zaj za aš predmet. Učbeik je ameje študetom višješolskega strokovega programa Ekoomist i je usklaje s katalogom zaj za poslovo matematiko v okviru predmeta poslova matematika s statistiko. Za strokovi pregled i priporočila se iskreo zahvaljujem ga. Milei Fudak, za jezikovi pregled pa ga. Katarii Balažic. Da bi bilo aše delo lažje, bomo skupaj pregledali vsebio učbeika. Učbeik je sestavlje iz desetih poglavij, ki as sistematičo vodijo skozi teoretiče osove i račuske primere ter vaje. Na začetku vsakega poglavja je predstavljea vsebio poglavja, temu sledi razlaga vsebie, a kocu vsakega poglavja pa so pripravljea vprašaja za utrjevaje, raziskovaje, razmišljaje i usmeritve za dodate vaje ter povzetek poglavja. V učbeiku srečamo asledje ozake: osove eačbe, ki si jih je vredo zapomiti praktiče aloge s postopkom reševaja praktiče aloge, ki jih reši študet sam utrjujemo, razmišljamo, raziskujemo, vadimo Dodate vaje z rešitvami za samokotrolo so pripravljee i vključee kot zbirka alog a kocu tega učbeika. Ivaa Domja 3

Poslova matematika

Poslova matematika Uvod v račuaje 1 UVOD V RAČUNANJE Z vsebio tega poglavja se vas je večia srečala že v sredji šoli pri predmetu matematika. Gre za poovitev izbraih vsebi, ki jih bomo potrebovali pri poslovih i fiačih račuih obravavaih v tem učbeiku. Pa dajmo. 5

Uvod v račuaje Poslova matematika 1 UVOD V RAČUNANJE Prede se lotimo vsebiske obravave posamezih vrst račuov v Poslovi matematiki, se ajprej ustavimo pri poovitvi osovih matematičih pravil račuaja. Že v osovi i sredji šoli smo vsa ta pravila dobro obvladali, vedar e bo odveč, če jih poovimo. Tako bomo bolje pripravljei a delo i se e bomo ubadali s pravili račuaja. V tem poglavju bomo poovili: vrste možic, račuske zakoe, pravila za račuaje z možicami, predvsem tistimi, ki jih bomo potrebovali za reševaje račuov v poslovi matematiki. Preglejmo številske možice. Odosi med posamezimi vrstami možic so razvidi iz odosa med številskimi možicami: ΙΝ Ζ Q R ΙΝ = { 1,2,3,... } možica aravih števil Ζ = {..., 2, 1,,1,2,... } možica celih števil a Q = ; a Ζ, b ΙΝ možica racioalih števil b a Ι = x ; x, a Ζ, b ΙΝ možica iracioalih števil b R = Q Ι možica realih števil Za omejee možice števil veljajo račuski zakoi: a + b = b + a ali a b = b a zako o zamejavi komutativost a b + c = a + b + c = a + b + a b c = a b c = a b c zako o združevaju ( ) ( ) c + ali ( ) ( ) ( a + b) d = a d + b d asociativost zako o razčlejevaju distributivost a d + b d = d ( a + b ) izpostavljaje skupega faktorja distributivost v drugo smer Pri račuaju z realimi števili pazimo a odpravljaje oklepajev i možeje števil z različima predzakoma: a b = a a b = a b + ( ) b ( ) + ( b + c) = a + b c ( ) + ( b c) = a + b c odpravljaje oklepajev ( ) ( ) ( b c) = a b c a + a a b = a b možeje števil a b = a b z različima a + a b = a b predzakoma Pazimo še a a b = a = ali b = ali a = i b =.

Poslova matematika Uvod v račuaje Matematičo ima operacija možeja i deljeja predost pred seštevajem i odštevajem. Ustavimo se še pri račuaju z racioalimi števili ulomki. Ulomek je deljeje dveh števil, ki jih prikažemo s količikom a a : b = ; b b Ulomke lahko seštevamo, odštevamo, možimo ali delimo: a b a + b + = ; d + = ;, d d d b d b d seštevaje ulomkov a b a b = ; d = ;, d d d b d b d odštevaje ulomkov a c a c a a = ; b, d = ;b b d b d b b možeje ulomkov a : = 1 b ;,, = ; b, a b d b c a a deljeje ulomkov b Pazimo tudi a predzak ulomka: a a a a +a a = = ; b i = = ;b b b b b +b b Ulomke lahko tudi razširjamo ali krajšamo ali jih med seboj izeačujemo: k a a = ;b,k razširjaje ulomkov k b b a k a = ; b, k krajšaje ulomkov b b k a c = a d = c b; b, d eakost dveh ulomkov b d Opozorimo še a ekaj pomembih račuskih eakosti: 1 1 1 ( a ) = 1; a ( a ) = ;a ( a) = ; a a a 2 2 2 + 1 2+ 1 a = a ( a ) = a ( ) Ker smo s tem prešli tudi a potece, omeimo še osova pravila za račuaje s potecami: m a a m+ = a možeje potec m a : a m = a deljeje potec m ( ) m a = a poteciraje potec ( ab ) = a b poteciraje produkta dveh števil a b a = b poteciraje količika dveh števil 7

Uvod v račuaje Poslova matematika Pregled omejeih možic števil i račuskih operacij bomo s pridom uporabljali pri obravavaju posamezih vrst račuov v poslovi matematiki.

Poslova matematika Razmerja i sorazmerja 2 RAZMERJA IN SORAZMERJA Poglavje am bo pomagalo, da bomo obvladali matematiči zapis i grafiči prikaz razmerja, premega i obratega sorazmerja ter sorazmere relacije med dvema spremeljivkama. 9

Razmerja i sorazmerja Poslova matematika 2 RAZMERJA IN SORAZMERJA V poglavju o razmerjih i sorazmerjih bomo spozali opredelitve razmerja i sorazmerja ter jihove vrste, pravila za račuaje z razmerji i sorazmerji ter odvisost spremeljivk v poslovih račuih, ki jih v tem poglavju predstavlja premo i obrato sorazmerje. Predstavili bom grafičo prikazovaje odvisosti količi. Usvojeo zaje tega poglavja bo predstavljalo osovo za reševaje poslovih račuov (sklepega, razdelilega, odstotega ter ostalih račuov). 2.1 RAZMERJA Kdo e za razložiti rezultata ogomete tekme? Nič lažjega, saj vemo, da gre za rezultat, ki sta ga dosegli dve ogometi ekipi. Ko ga izgovorimo, vemo koliko zadetkov so gledalci videli a tekmi. Če as zaima, kdo je igral, je potrebo, da am tisti, ki as obvešča o izidu, pove, kateri dve športi ekipa sta se srečali. Če isti primer pogledamo z vidika poslove matematike, gre v prvem primeru za razmerje, v drugem primeru pa za sorazmerje. V adaljevaju poglavja bomo ajprej predstavili razmerje, ato pa še sorazmerje. Razmerje predstavlja velikosti odos med dvema količiama. Razmerje je zato akazao deljeje števila a s številom b. V matematiki smo zapisali to razmerje v obliki ulomka, medtem ko bomo v poslovi matematiki uporabljali zapis odosa z razmerjem a : b. a = a : b = k b (preberemo a proti b) Če akazao deljeje izvedemo ali izračuamo, dobimo količik (kvociet) razmerja, ki ga ozačimo s k. Ker smo ugotovili, da je razmerje drugače zapisa ulomek, veljajo za račuaje z razmerji eaka pravila kot za račuaje z ulomki. Glede a število čleov v razmerju ločimo: eostava razmerja če sta v odosu dva člea (razmerski števili) razmerja a : b sestavljea razmerja če sta v odosu več kot dva člea razmerja a : b : c Spomimo se, da lahko ulomke razširjamo ali krajšamo z istim, od ič različim številom. Iz tega pravila izhaja, da se razmerje e spremei, če ga razširimo ali krajšamo z istim, od ič različim številom. Razširjamo ali krajšamo vedo oba člea razmerja. a : b = ak : bk; k razširjaje razmerja ak : bk = a : b,k krajšaje razmerja Uredimo daa razmerja: 125 : 75 = 5 : 3 (krajšamo s 25) 51,6 : 2,2 : 18 = 516 : 22 : 18 = 258 : 11 : 9 (razširimo s 1 i krajšamo z 2)

Poslova matematika Razmerja i sorazmerja Iz primerov je razvido, da je potrebo daa razmerja okrajšati do koca, kar pomei, da so v rezultatu razmerja vedo arava števila, ki imajo edii skupi delitelj, aravo število 1. Razmerja krajšamo tako dolgo, da imajo člei razmerja ajvečji skupi delitelj število 1. Eako pravilo velja tudi za reševaje razmerja, če so člei razmerja podai v obliki ulomka. Kaj počemo z ulomki, že vemo. Izkoristimo svoje zaje i rešimo razmerje, ki je podao v obliki ulomkov. Pot je eostava. Poiščemo ajmajši skupi večkratik, ulomke razširimo a arava števila i jih uredimo tako, da dobimo urejeo razmerje. Preprosto, gre am že brez zapletov. 5 4 1 : :1, 2 8 5 = 13 4 12 : : 8 5 1 = 325 : 16 : 24 = 65 : 32 : 48 (odpravimo ulomek (skupi imeovalec 2) i krajšamo s 5) 2. 1 Poskusite še vi. Uredite daa razmerja: a. 2187 : 243 : 9 = b. 28 : 27,5 : 17 = c. 5 3 1 2 : : 9 5 25 = Poudarimo, da je poseba oblika razmerja še obrato razmerje. Beseda obrata vredost am je za pojem, saj smo ga v matematiki že zapisovali. Kako že? Na poteco -1 ali zapis z ulomkom 1/a. Razmerje torej obremo tako, da zapišemo obrato vredost čleov osovega razmerja. Za eostavo razmerje velja, da lahko obrato razmerje zapišemo tudi samo z zamejavo čleov osovega razmerja. ( ) 1 1 1 b a a : b = : = : = b : a a b ab ab Zapišimo obrato razmerje razmerja 7 : 15. ( 7 :15) 1 = 1 : 1 = 15 : 7 = 15 : 7 (odpravimo ulomek (skupi imeovalec 15)) 7 15 15 15 Za sestavljea razmerja zapišemo obrate vredosti čleov osovega razmerja i dobimo: ( ) 1 1 1 1 a : b : c = : : a b c Zapišimo obrato razmerje sestavljeega razmerja 1 2 : 5,7 : 2 4 1 1 9 57 2 4 1 1 = : : = : : = 152 : 6 : 171 4 1 1 9 57 2 1 2 : 5,7 : 2. 4 (vse člee zapišemo v obliki ulomka, zapišemo obrato vredost ulomka, odpravimo ulomek (skupi imeovalec 342)) 2. 2 Zapišite obrata razmerja daih razmerij: a. 2187 : 243 : 9 = b. 28 : 27,5 : 17 = c. 5 3 1 2 : : 9 5 25 = 11

Razmerja i sorazmerja Poslova matematika 2.2 SORAZMERJA Spomimo se izida ogomete tekme. Zdaj ko vemo tudi, kdo je igral, lahko spozamo začilosti sorazmerja. Eakost dveh razmerij imeujemo sorazmerje. Vrste sorazmerij delimo: glede a število eakosti razmerij v: a) eostavo sorazmerje eačba eostavih razmerij a : b = c : d b) sestavljeo sorazmerje eačbe sestavljeih sorazmerij a : b : c = d : e : f glede a odos med količiami a: a) premo sorazmerje povečaje (zmajšaje) ee količie povzroči povečaje (zmajšaje) druge količie za eako količio (faktor) odos VEČ VEČ ali odos MANJ MANJ b) obrato sorazmerje povečaje (zmajšaje) ee količie povzroči zmajšaje (povečaje) druge količie za eako količio (faktor) odos VEČ MANJ ali odos MANJ VEČ. 2.2.1 Eostavo sorazmerje Eostavo sorazmerje zapišemo kot eakost dveh eostavih razmerij: a : b = c : d (preberemo a proti b je kakor c proti d) Vsi simboli (a, b, c, d) ozačujejo člee (razmerska števila) sorazmerja. Člea a i d se imeujeta zuaja člea sorazmerja, medtem ko čle b i c otraja člea sorazmerja. Za lažje račuaje sorazmerij veljajo pravila, ki am omogočajo, da lahko aloge sorazmerij rešujemo brez problemov. Vsa avedea pravila (zakoitosti) so preprosta i pravijo takole: Produkt zuajih čleov sorazmerja je eak produktu otrajih čleov sorazmerja. otraji člei sorazmerja a : b = c : d a d = c b zuaji člei sorazmerja Preverimo pravilost tega pravila: a c a d c b a : b = c : d = = a d = c b b d b d b d Izračuajmo ezai čle sorazmerja: 7 1 5 : 7 = 1 : d 5 d = 7 1 d = d = 14 5 Sorazmerje se e spremei, če zamejamo položaj zuajih oziroma otrajih čleov. a : b = c : d a : c = b : d (zamejali smo položaj otrajih čleov b i c) d : b = c : a (zamejali smo položaj zuajih čleov a i d) Zamejajmo položaj otrajih i zuajih čleov tako, da se sorazmerje e bo spremeilo. 5 : 7 = 1 : 14 7 : 5 = 14 : 1 ali 5 : 1 = 7 : 14 ali 14 : 7 = 1 : 5 ali 14 : 1 = 7 : 5

Poslova matematika Razmerja i sorazmerja Sorazmerje se e spremei, če po e zuaji i e otraji čle delimo ali možimo z istim, od ič različim številom. a : b = c : d ( a m ) : b = ( c m ) : d (razširjaje člea a i c s številom m) b d ali a : = c : (krajšaje člea b i d s številom ) ali ( a r ) : ( b r ) = c : d (razširjaje člea a i b s številom r) Uredimo dao sorazmerje. 2 1 : = 7 : 5 14 :1 7 : 5 3 21 = 7 : 5 = 7 : 5 7 : 7 = 5 : 5 1 : 1 = 1 : 1 (odpravimo ulomek (skupi imeovalec 21) i krajšamo e zuaji (14) i e otraji čle (1) z 2, upoštevamo pravila reševaja sorazmerij) Razmerski števili a i b oziroma c i d sta večkratika istega števila. a : b = c : d a = c m, b = d m (a m) : (b m) = c : d Razmerski števili a i b sta mogokratika števila m, zato ju lahko krajšamo i dobimo osovo sorazmerje a : b = c : d. a : b = c : d c = a, d = b a : b = (c ) : (d ) Razmerski števili zapišimo kot produkt večkratikov istega števila. 42 : 3 = 7 : 5 (2 21) : (2 15) = 7 : 5 ali (6 7) : (6 5) = 7 : 5 8 :17 = 6 : 8 8 :17 = (2 3) : (2 4) 2.2.2 Sestavljeo sorazmerje Sestavljeo sorazmerje zapišemo kot eakost večjega števila sestavljeih razmerij: a : b : c = x : y : z Tudi pri sestavljeih sorazmerjih govorimo o pravilih, ki jih upoštevamo pri račuaju: Če izeačimo po vredosti več eostavih razmerij, dobimo sestavljeo sorazmerje: a : x = k b : y = k c : z = k Količik razmerij je v vseh primerih eak, zato velja k = k = k. Iz te trditve lahko zapišemo ureje zapis eakosti sorazmerij: a : x = b : y = c: z kar drugače zapišemo v urejei obliki: a : b : c = x : y : z Iz daih eostavih razmerij 1 : 5, 12 : 6 i 14 : 7 zapišimo urejeo sestavljeo sorazmerje. 1 : 5 = k 12 : 6 = k 14 : 7 = k k = 2 1 : 5 = 12 : 6 = 14 : 7 1 : 12 : 14 = 5 : 6 : 7 5 : 6 : 7 = 5 : 6 : 7 (levo stra sorazmerja krajšamo z 2) 13

Razmerja i sorazmerja Poslova matematika Poseba oblika sestavljeega sorazmerja je sistem eakosti eostavih sorazmerij ali podaljšao sorazmerje. Ker gre za posebo obliko, jo bomo imeovali glede a je izgled viseča oblika sistema sorazmerij. Zapišimo še pravilo, ki velja za omejei sistem: Sistem eostavih sorazmerij se pretvori v eo sorazmerje tako, da se tvorijo produkti istoležih čleov sorazmerja v sistemu. a : b = c : d a b c d b : e = f : g b : e = f : g a b e = c f i b e h d g j e h i j e : h = i : j a = c f i h d g j Kar lahko zapišemo tudi v obliki sorazmerja, ki ima posebo obliko, saj visi a levi strai sorazmerja: a : h = c : d = f : g = i : j Izračuajmo ezai čle sorazmerja: 1 1 9 16 x : 2 = 7 : 5 x4/ x : = 7 : /x3 4 3 4 3 1 25 3 = 2,5 :1 = : /x1 2 1 2 5 = 6 : 7 5 = 6 : /x7 7 Postopek izračua ezaega člea sorazmerja poteka tako, da ajprej uredimo ulomke, ato ulomke odpravimo (po pravilu: e zuaji i e otraji čle možimo z istim od ič različim številom), zapišemo urejeo sorazmerje v viseči obliki. Urejei zapis sorazmerja zapišemo v obliki ulomka, ki ga krajšamo, uredimo i izračuamo, če se da v obliki ulomka, decimalega ali celega števila. 4x : 9 = 21 : 16 = 25 : 15 = 42 : 5 9 21 25 42 11 x = = 41 4 16 15 5 32 2. 3 Izračuajte ezai čle sorazmerja: 1 1 1 a. 2 : x = : 3 b. 3 : 3 25 3 x 2 = 4 :1 3 1 = 1, 25 : 2 2 3 3 = : 5 8

Poslova matematika Razmerja i sorazmerja 2.2.3 Premo sorazmerje Študeti ste doma v različih krajih. Če ste vezai a prevoz do šole, ki je oddaljea od vašega kraja bivaja ekaj kilometrov, boste morali a pot v šolo veliko prej kot študet, ki je doma v istem kraju kot je šola. Poglejmo, kakše odos velja med količio, ki predstavlja oddaljeost (v km) i časom (v mi). Kaj ugotovimo? Če smo bolj oddaljei, potrebujemo več časa za pot v šolo. Količii čas i oddaljeost sta v premem sorazmerju. Že pri opredelitvi sorazmerij smo omeili, da za premo sorazmerje velja odos: povečaje (zmajšaje) ee količie povzroči povečaje (zmajšaje) druge količie za eako količio (faktor). Če to defiicijo zapišemo bolj atačo (Čibej, 22), pravimo: dve količii sta premo sorazmeri, če se ob povečaju (zmajšaju) prve količie za 2-krat, 3-krat, 4- krat, poveča (zmajša) tudi druga količia za atako 2-krat, 3-krat, 4- krat, Matematiči zapis premo sorazmerih količi x i y: y = k x ali y = k x k premo sorazmerosta kostata Iz matematike vemo, da lahko arišemo graf sorazmerja, ki bo v ašem primeru premica lieara fukcija. Pri risaju i račuaju v poslovi matematiki bomo uporabljali le pozitive količie, zato bo graf ležal v prvem kvadratu koordiatega sistema. Za lažjo predstavitev uporabimo zapis lieare eačbe y = k x. Narisati želimo graf, zato je potrebo, da izračuamo koordiate točke T(x,y). Točke tabeliramo tako, da izberemo poljube vredosti za koordiato x i izračuamo pripadajoče vredosti za koordiato y. Iz grafa je razvido, da je rešitev premica, a kateri ležijo koordiate točke. x 1 2 3 4 y 1k 2k 3k 4k y y y 6 y 5 y 4 y 3 y 2 6 5 4 3 2 y=k x y 1 1 2k 3k 4k k 1 2 3 4 5 6 x x 1 x 2 x 4 x 5 x 6 x 3 k - smeri koeficiet Slika 1: Graf premosorazmerih količi 15

Razmerja i sorazmerja Poslova matematika Če te točke postavimo v medseboji odos, dobimo sorazmerje. Običajo v poslovi matematiki uporabljamo odos med dvema količiama (x,y), ki sta v ašem primeru v premem sorazmerju. Zato bomo dobili zapis v obliki x 1 : y 1 = x 2 : y 2. Če ta zapis uredimo i iste ezake damo a isto stra eačaja, dobimo eačbo za premo sorazmere količie: x 1 : x 2 = y 1 : y 2 Za 5 metrov blaga smo plačali 12.5, DE. Zapišimo i opišimo matematičo relacijo med količio blaga, izražeega v metrih (M), i vredostjo blaga, izražeega v DE (V). Določimo sorazmerosto kostato (k). Izdelajmo graf V (M) i v jem ozačimo točke, ki določajo metre blaga, ko je število metrov 2-krat, 4-krat i 5-krat majše. Opis relacije: y = k x V (M) = 25 M Izraču kostate: k = 12.5, = 25 DE/m 5 Količie: 5, 25, 12, 1, 1, Vredosti: 12.5,, 6.25,, 3., 2.5,, 25,, x y 5 12.5, 25 6.25, 12 3., 1 2.5, 1 25,, Narišimo graf odvisosti: DE 15 V m =25 M 125 1 75 y 5 25 1 2 3 4 5 m Slika 2: Graf odvisosti teže i vredosti blaga Zaključi kometar: Količia blaga, izražeega v metrih, je premo sorazmera vredosti blaga.

Poslova matematika Razmerja i sorazmerja 2.2.4 Obrato sorazmerje Večia študetov prihaja v šolo z avtomobilom. Poglejmo še, v kakšem odosu sta hitrost (km/h) prevozega sredstva i čas, ki ga študet porabi do kraja šolaja (v km). Če razmislimo, ugotovimo, da če vozimo hitreje, porabimo maj časa za prevoz do šole. Količii sta torej o obratem sorazmerju. Za obrato sorazmere količie velja asledja defiicija (Čibej, 22): Dve količii sta obrato sorazmeri, če se ob povečaju (zmajšaju) prve količie za 2-krat, 3-krat, 4- krat, zmajša (poveča) tudi druga količia za atako 2-krat, 3-krat, 4-krat, Matematiči zapis obrato sorazmerih količi x i y: 1 y = k x ali y x = k k obrato sorazmerosta kostata Graf obratega sorazmerja bo v ašem primeru hiperbola. Pri risaju i račuaju bomo v poslovi matematiki uporabljali le pozitive količie, zato bomo uporabljali prvi kvadrat koordiatega sistema. Za lažjo predstavitev uporabimo zapis lieare eačbe 1 y = k x. Da bi graf arisali atačo, je potrebo, da izračuamo koordiate točke T(x,y). Točke tabeliramo tako, da izberemo poljube vredosti za koordiato x i izračuamo pripadajoče vredosti za koordiato y. Iz grafa je razvido, da je rešitev grafa hiperbola, a kateri ležijo koordiate točke. Narišimo graf odvisosti: Točke y x y 1 2 3 4 k k/2 k/3 k/4 y 1 y 2 y = k 1 x y 3 y 4 k k/2 k/3 k/4 x 1 x 2 X3 X4 x k smeri koeficiet Slika 3: Graf obratosorazmerostih količi 17

Razmerja i sorazmerja Poslova matematika Zaima odos med dvema količiama (x,y), ki sta v obratem sorazmerju. Zapis odosa teh dveh količi je v obliki x 1 y 1 = x 2 y 2. Če ta zapis uredimo, dobimo eačbo za obrato sorazmere količie: x 1 : x 2 = y 2 : y 1 1 delavcev opravi celoto delo v 1 urah. Opišimo i grafičo prikažimo sorazmerje med časom dela (H) i številom delavcev (D) za izvedbo istega opravila. Rešitev: Opis relacije: 1 y = k x H = 1 Izraču kostate: k = 1 1 = 1 (čas dela 1 delavca) 1 D Količie: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1 Vredosti: 1, 5, 33, 25, 2, 17, 12,5, 11, 1 x y 1 1 2 5 3 33 4 25 5 2 6 17 Narišimo graf odvisosti: 12 1 delove ure 8 6 4 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 delavci Slika 4: Graf odvisosti števila delavcev i časa dela Zaključi kometar: Čas dela je obrato sorazmere številu delavcev.

Poslova matematika Razmerja i sorazmerja 2. 4 Narišite graf odvisosti za asledja primera: a) Kolesar prevozi pot 25 km v 45 miutah. Opišimo i grafičo predstavimo sorazmerje med dolžio poti i porabljeim časom. b) Kolesar prevozi pot 25 km s povprečo hitrostjo 2 km/h. Opišimo i grafičo predstavimo sorazmerje med dolžio poti i hitrostjo prevožee poti. Več poudarka boste grafičemu prikazovaju podatkov ameili pri drugem delu predmeta, to je pri statistiki. UTRJUJEMO, RAZMIŠLJAMO, RAZISKUJEMO, VADIMO 1. Pojasite pojem razmerje i sorazmerje. V čem je razlika v opredelitvi? 2. Razložite različe vrste razmerij a primerih. 3. Navedite pravila, ki veljajo za reševaje razmerij i sorazmerij. 4. Razmislite i pojasite, kakša je razlika med premo i obrato sorazmerimi količiami? 5. Izmislite si primer za premo i obrato sorazmere količie i ju prikažite z grafom. Razložite, kakša pravila veljajo za risaje grafov. V čem vidite predosti i slabosti grafiče poazoritve izmišljeih primerov? V poglavju razmerja i sorazmerja smo se aučili razlikovati oba osova pojma. Vemo, kako prepozavamo razliko med premosorazmerimi i obratosorazmerimi količiami i kako jue lastosti vplivajo a reševaje alog eostavih i sestavljeih razmerij i sorazmerij. Spozae tehike reševaja problemov smo povezali z zajem iz sredje šoli, kjer smo vključili tudi grafiči prikaz odvisosti količi. Poseba viseča oblika sorazmerja am bo dobro izhodišče za reševaje še ekaterih poslovih račuov v adaljevaju. 19

Sklepi raču Poslova matematika 3 SKLEPNI RAČUN V poglavju bomo govorili o osovih pojmih i račuskih tehikah za reševaje eostavega i sestavljeega sklepega račua z različimi metodami: sklepaje a eoto, sorazmerje, sklepa shema i lieara eačba. Z obvladajem tega račua bomo lažje orgaizirali svoja vsakodeva opravila, saj jih bomo zali tudi bolje ačrtovati.

Poslova matematika Sklepi raču 3 SKLEPNI RAČUN Name poglavja sklepega račua je, da spozamo, usvojimo ali poovimo račuske tehike za reševaje eostavega i sestavljeega sklepega račua. Na osovi dejstva, da je večia eačb izpeljaa prav iz sklepaja i odvisosti med količiami, je za aše adaljje delo poglavje zelo pomembo. Ustavili se bomo pri posamezih metoda reševaja alog sklepega račua, ki so: sklepaje a eoto oziroma eposredo sklepaje, sorazmerje, sklepa shema i lieara eačba. Zali bomo uporabljati pridobljeo teoretičo zaje i postopke a kokretih primerih, ki jih vsak da srečujemo v življeju. Sklepi raču je postopek (ači, metoda), s katerim izračuamo eko ezao količio iz možice zaih količi, ki so z ezao količio v premem ali obratem sorazmerju. Ta odos med količiami smo spozali že v prejšjem poglavju. Sklepi raču se glede a možio količi deli a: eostavi sklepi raču v medsebojem odosu sta dve količii (trije zai podatki, četrti ezai podatek iščemo) sestavljei sklepi raču v medsebojem odosu so ajmaj tri količie (vsaj pet podatkov je zaih, eega iščemo). Načii (metode) reševaja alog sklepega račua so: metoda direktega sklepaja astavitev sorazmerja (sistema sorazmerij) sklepa shema (hitri postopek reševaja alog) lieara eačba (reševaje zahtevejših alog sklepega račua). Prede začemo z obravavo posamezih metod reševaja alog sklepega račua, je potrebo opozorilo, da splošo veljavih receptov za reševaje alog i. Pomembo je, da zamo logičo razmišljati i da pravilo določimo odose med posamezimi količiami. Vse obravavae metode bomo zaradi azorosti uporabe metod prikazali a istem primeru. V adaljevaju bomo ajprej spozali eostavi sklepi raču, ato pa še sestavljeega. Eostavi sklepi raču bo predstavlje s kokretimi alogami, a osovi katerih bomo predstavili teoretiče osove, sestavljei sklepi raču pa z reševajem kokretih alog, saj zaj veljajo eaka pravila reševaja kot za eostavi sklepi raču, razlika je le v tem, da račuamo z več količiami. 3.1 ENOSTAVNI SKLEPNI RAČUN Eostavi sklepi raču je raču, pri katerem pozamo dve vrsti količi. Za ti dve vrsti količi so zae tri skupie podatkov, četrti podatek pa moramo izračuati. 3.1.1 Metoda direktega sklepaja Za opremo učilice za študete potrebujemo 7 stolov, ki staejo 2.52, DE. Koliko bi stali stoli, če bi jih kupili le 56? 21

Sklepi raču Poslova matematika Prede so lotimo reševaja aloge, je potrebo ugotoviti, v kakšem odosu so dae količie. Gre za odos med številom stolov i vredostjo stolov v DE. Če kupimo več stolov, plačamo več DE. Odos VEČ VEČ am pove, da sta količii v premosorazmerem odosu (PS). 7 stolov.. 2.52, DE 1 stol.. 2.52, DE 7 56 stolov.. 2.52, 56 DE 7 x = 2.52, 56 = 2.16, DE 7 Odgovor: Če stae 7 stolov 2.52, DE, bi stalo 56 stolov 2.16, DE. Da bi lahko alogo rešili s pomočjo metode direktega sklepaja, povejmo, kakša pravila reševaja veljajo. Metoda ima vedo tri vrstice trdili stavek (prva vrstica), sklepaje a 1 eoto (druga vrstica), sklepaje a možio (tretja vrstica). Teh poimeovaj ob reševaju alog e pišemo, omejea so zaradi lažjega razumevaja. Raču ima levo i deso stra, ki sta med seboj ločei s pikami. Na levi strai avajamo glede a vrsto podatka zae količie, a desi strai pa je količia, ki jo želimo izračuati (iskaa količia). V trdilem stavku pozamo podatke za levo i deso stra vrstice. Mersko eoto v astavitvi ezake izpuščamo i jo zapišemo le ob izračuu i v odgovoru aloge. Če aaliziramo alogo, ugotovimo, da smo iz podatka 7 stolov sklepali ajprej a vredost 1 stola (sklepaje a eoto) i ugotovili, da če kupimo le 1 stol, plačamo 7-krat maj kot za 7 stolov, ato pa a količio 56 kg (sklepaje a možio), kjer plačamo 56-krat več kot če bi kupili le e stol. Iz aalize lahko ugotovimo, da sklepamo po delih i tvorimo raču tako, da vedo sklepamo za vrstico azaj. Društvo študetov je ob kocu koledarskega leta ustvarilo 3.65, DE dobička i imelo ob tem 1.55, DE stroškov. Koliko dobička bi ustvarilo, če bi stroške poslovaja društva uspelo zmajšati za 1 %? Izraču 1 % vredosti: 1 % vredosti stroškov..1.55, DE 1 % vredosti stroškov.. 1.55, DE 1 1 % vredosti stroškov.. 1.55, 1 DE 1 x = 1.55, 1 = 155, DE 1

Poslova matematika Sklepi raču Če uspemo privarčevati 1 % vredosti stroškov, bo torej aša vredost stroškov od 1.55, DE zmajšala za 155, DE a 1.395, DE. Te stroške lahko s sklepim račuom izračuamo tudi eposredo tako, da sklepamo a ostaek odstotka vredosti stroškov (1 % 1 % = 9 %). 1 % vredosti stroškov..1.55, DE 1 % vredosti stroškov.. 1.55, DE 1 9 % vredosti stroškov.. 1.55, 9 DE 1 x = 1.55, 9 = 1.395, DE 1 Izraču dobička: 1.55, DE stroškov..3.65, DE 1, DE stroškov..3.65, 1.55, DE 1.395, DE stroškov.. 3.65, 1.55, DE 1.395, x = 3.65, 1.55, = 4.55,56 DE 1.395, Odgovor: Če bi društvo privarčevalo 1 % stroškov, kar zaša 155, DE stroškov, bi ustvarilo 4.55,56 DE dobička. V alogi smo se ukvarjali z odosom med velikostjo stroškov i višio dobička. Pri zadjem izračuu smo ugotovili, da gre za odos VEČ MANJ, kar pove, da sta količii v obratosorazmerem odosu (OS). Če aaliziramo alogo, ugotovimo, da smo iz podatka 1.55, DE stroškov sklepali ajprej a vredost ee DE stroškov (sklepaje a eoto) i ugotovili, da če je strošek le 1, DE, bo aš dobiček 1.555-krat večji kot če bi stroški zašali 1.55, DE. Nato sklepamo a možio 1.395, DE stroškov (sklepaje a možio), kar pomei, da bo aš dobiček 1.395-krat majši, kot če je strošek le 1, DE. 3.1.2 Sorazmerje Za opremo učilice za študete potrebujemo 7 stolov, ki staejo 2.52, DE. Koliko bi stali stoli, če bi jih kupili le 56? Že prej smo ugotovili, da je odos med količio stolov i vredostjo stolov premosorazmere (VEČ VEČ). Že iz poglavja o sorazmerjih vemo, da če so količie v premem sorazmerju, velja odos x 1 : x 2 = y 1 : y 2 23

Sklepi raču Poslova matematika V aalizi aloge pišemo podatke z istimi eotami a isto stra (torej jih podpišemo). Ozačimo podatke a levi strai zapisa (zaa količia) z y, a desi strai zapisa (ezaa količia) pa z x. Z x vedo ozačimo podatke, v katerih se ahaja ezaka, ki jo iščemo. Aaliza aloge: y 1 7 stolov.. 2.52, DE x 1 y 2 56 stolov x DE x 2 Iz avedeega zapisa e bo težko zapisati premega sorazmerja x 1 : x 2 = y 1 : y 2 i vstaviti podatke iz aalize. x 1 : x 2 = y 1 : y 2 2.52, : x 2 = 7 : 56 Izpišemo ezako, ki jo iščemo. Verjeto se še spomite pravila, da je produkt zuajih čleov sorazmerja eak produktu otrajih čleov. Nezako x 2 izrazimo tako, da produkt asproti ležečih čleov sorazmerja delimo s čleom, ki je istoleži ezaki. x 2 2.52, 56 = = 2.16, DE 7 Odgovor: Če stae 7 stolov 2.52, DE, bi stalo 56 stolov 2.16, DE. Rešitev preverimo z rešitvijo aloge, ki smo jo reševali s pomočjo metode direktega sklepaja. Rezultat bi moral biti isti, le da je ezaka ozačea drugače. Ne pozabimo zapisati tudi odgovora. I še drugi primer. Društvo študetov je ob kocu koledarskega leta ustvarilo 3.65, DE dobička i imelo ob tem 1.55, DE stroškov. Koliko dobička bi ustvarilo, če bi stroške poslovaja društva uspelo zmajšati za 1 %? Z izpisom i aalizo aloge e bo več problema, pazimo samo a 1 % zmajšaje stroškov, ki jih eposredo izračuamo. Aaliza aloge: y 1 1.55, DE stroškov.. 3.65, DE x 1 y 2 1.395, DE stroškov.. x DE x 2 Spet ugotovimo odos med količiami. Gre za obrato-sorazmeri odos, kjer več stroškov povzroča majši dobiček (VEČ MANJ). Zapišemo pravili odos razmerja i vstavimo podatke. x 1 : x 2 = y 2 : y 1 3.65, : x 2 = 1.395, :1.55, x = 3.65, 1.55, = 4.55,56 DE 1.395, Odgovor: Če bi društvo privarčevalo 1 % stroškov, kar zaša 155, DE stroškov, bi ustvarilo 4.55,56 DE dobička.

Poslova matematika Sklepi raču 3.1.3 Sklepa shema Tretja metoda, ki jo bomo spozali, je reševaje alog s pomočjo sklepe sheme. Kot smo že omeili, je to metoda, s katero a hiter ači rešujemo aloge sklepega račua. Da bi lahko pravilo rešili alogo, moramo upoštevati asledja pravila: Sklepa shema ima dve vrstici. V prvo vrstico, ki jo imeujemo trdili stavek, vpišemo vse zae količie, v drugo vrstico (vprašali stavek) vpišemo vse zae količie i količio, po kateri se sprašujemo (x) tako, da podpišemo ustreze količie v vprašalem stavku pod ustreze količie v pogojem stavku. Vse količie morajo biti opremljee z ustrezimi eakimi merskimi eotami (m pod m, kg pod kg). Odos med količiami ozačujemo s puščicami. Za postavljaje puščic veljajo asledja pravila: a) Najprej postavimo puščico pri ezai količii (x) tako, da ta kaže vedo od ezae količie (v vprašalem stavku) proti zai (istoimeski) količii v pogojem stavku. b) Odose med ostalimi količiami postavljamo glede a vrsto sorazmerja: o premo sorazmere količie puščice so obrjee v isto smer ali kot ezaa količia o obrato sorazmere količie puščice so obrjee v asproto smer ali kot ezaa količia Nezao količio x zapišemo v obliki ulomka tako, da je v: a) števcu vedo vredost ad ezako x i vse vredosti ob začetku puščic b) imeovalcu so vse vredosti ob kocu puščic. Izračuamo vredost ulomka, dodamo mersko eoto ter zapišemo odgovor. Poglejmo spet alogi, ki smo ju reševali že pri prejšjih metodah. Za opremo učilice za študete potrebujemo 7 stolov, ki staejo 2.52, DE. Koliko bi stali stoli, če bi jih kupili le 56? Aaliza aloge: 7 stolov.. 2.52, DE 56 stolov x DE Določitev odosa: Če kupimo več stolov, plačamo več (VEČ VEČ premo sorazmerje) 7 stolov.. 2.52, DE 56 stolov x DE x = 2.52, 56 = 2.16, DE 7 Odgovor: Če stae 7 stolov 2.52, DE, bi stalo 56 stolov 2.16, DE. Društvo študetov je ob kocu koledarskega leta ustvarilo 3.65, DE dobička i imelo ob tem 1.55, DE stroškov. Koliko dobička bi ustvarilo, če bi stroške poslovaja društva uspelo zmajšati za 1 %? 25

Sklepi raču Poslova matematika Aaliza aloge: 1.55, DE stroškov...3.65, DE 1.395, DE stroškov... x DE Določitev odosa: Če poslujemo z majšimi stroški, ustvarimo večji dobiček (MANJ VEČ obrato sorazmerje) 1.55, DE str 3.65, DE 1.395, DE str. x DE x = 3.65, 1.55, = 4.55,56 DE 1.395, Odgovor: Če bi društvo privarčevalo 1 % stroškov, kar zaša 155, DE stroškov, bi ustvarilo 4.55,56 DE dobička. Prikazae metode reševaja so primere za reševaje alog eostavega sklepega račua. Poskusite še vi. 3.1 Rešite asledje aloge. Metoda reševaja je predpisaa v oklepaju. a) Kolesar prevozi pot 25 km v 45 miutah. Koliko časa potrebuje za 5 km daljšo pot (direkto sklepaje)? b) Kolesar prevozi pot 25 km s povprečo hitrostjo 2 km/h. S kakšo hitrostjo bi moral prevoziti 3 km dolgo pot, če bi želel a cilj priti v istem času (sorazmerje)? c) Za trasport krompirja potrebujemo 5 vreč, če gre v vsako vrečo 24 kg krompirja. Koliko vreč bi potrebovali za isto količio krompirja, če gre v vsako vrečo 4 kg krompirja maj (sklepa shema)? 3.2 SESTAVLJENI SKLEPNI RAČUN Sestavljei sklepi raču je sestavlje iz več eostavih sklepih račuov. Naloge rešujemo po že prej omejeih metodah, zahtevejše pa tudi s pomočjo liearih eačb. Podatkov za račuaje v aloge je več, saj se eostavi i sestavljei sklepi raču razlikujeta prav po številu spremeljivk. V sestavljeem sklepem račuu imamo opravka z ajmaj tremi količiami, pri katerih je ajmaj pet zaih podatkov i e ezai podatek (ezaka, ki jo želimo izračuati). V adaljevaju bomo predstavili metodo direktega sklepaja, s katero so aloge sklepega račua sicer rešljive, vedar je postopek izračua dolg, zato rajši uporabljamo metodo s pomočjo sorazmerja ali sklepe sheme. Nekatere zahtevejše aloge pa so rešljive le z astavitvijo lieare eačbe. 3.2.1 Metoda direktega sklepaja Skupia 4 študetov opravi eko delo v 2 deh, če dela 8 ur/da. Koliko študetov bi isto delo opravilo v 22 deh, če delajo 7 ur/da i če je jihov obseg dela za 2 % večji? Za razliko od avadega sklepega račua imamo a levi strai pogojega stavka

Poslova matematika Sklepi raču več količi, a desi strai pa količio, ki jo želimo izračuati. Sklepaj a eoto i možio je več, saj sklepamo za vsako količio posebej. Mersko eoto v astavitvi ezake izpuščamo i jo zapišemo le ob izračuu ter v odgovoru aloge. Rešitev: 2 deh, 8 ur/da, 1 %.. 4 študetov 1 da, 8 ur/da, 1 %.. 4 2 študetov 22 di, 8 ur/da, 1 %... 4 2 študetov 22 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 22 di, 1 ura/da, 1 %.... 4 2 8 študetov 22 22 di, 7 ur/da, 1 %... 4 2 8 študetov 22 7 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 22 di, 7 ura/da, 1 %.... 4 2 8 študetov 22 7 1 22 di, 7 ur/da, 12 %... 4 2 8 12 študetov 22 7 1 Če aaliziramo alogo, ugotovimo, da smo iz podatka 2 di sklepali ajprej a 1 da (sklepaje a eoto) i ugotovili, da če delajo študeti le 1 da, potrebujemo 2-krat več študetov, ato pa a 22 di (sklepaje a možio), kjer potrebujemo 22-krat maj študeotv kot če bi delali le e da. Ko smo rešili odos med študeti i devi, smo istočaso določali tudi odos med delavimi urami a da i študeti. Podatke, ki smo jih dobili za študete, ohraimo i adaljujemo s sklepajem. Če delamo le eo uro a da, potrebujemo 8-krat več študetov (obrato sorazmerje) kot če bi delal e sam študet. Ker pa delajo študeti 7 ur a da, potrebujemo za isto delo 7-krat maj študetov kot če bi delali študeti po eo uro a da. Ostae am še sklepaje a poveča obseg dela i študete. Če povečamo obseg dela, potrebujemo več študetov (premo sorazmerje). Če obseg dela zaša le 1 %, potrebujemo 1-krat maj maj študetov, ker pa je obseg dela za 2 % večji, potrebujemo (1+2)-krat več študetov kot če bi bil obseg dela 1 %. Iz aalize lahko ugotovimo, da sklepamo po delih i tvorimo račue tako, da postopo sklepamo za eo vrstico azaj. Izračuamo ezako: x = 4 2 8 12 = 49,87 5 študetov 22 7 1 Odgovor: 4 študetov opravi delo v 2 deh, če delajo po 8 ur a da. Če pa bi študetje delali 22 di po 7 ur a da i bi jim obseg povečali za 2 %, bi jih potrebovali 5. 3.2.2 Sorazmerje Skupia 4 študetov opravi eko delo v 2 deh, če dela 8 ur a da. Koliko študetov bi isto delo opravilo v 22 deh, če delajo 7 ur a da i če je jihov obseg dela za 2 % večji? Določimo odose med študeti i delovi devi, študeti i delovimi urami ter študeti i obsegom dela. Če delamo VEČ di, potrebujemo MANJ študetov, če delamo VEČ ur a da, potrebujemo MANJ študetov i za VEČJI obseg dela potrebujemo VEČ delavcev. 27

Sklepi raču Poslova matematika Že iz poglavja o sorazmerjih vemo, da: če so količie v premem sorazmerju, velja odos x 1 : x 2 = y 1 : y 2 i če so količie v obratem sorazmerju, velja odos x 1 : x 2 = y 2 : y 1. Naredimo aalizo aloge i ozačimo podatke. Aaliza aloge: y 1 2 deh, y 1 8 ur/da, y 1 1 %... x 1 4 študetov y 2 22 di, y 2 7 ur/da, y 2 12 %..x 2 x študetov Razlika med eostavim i sestavljeim razdelilim račuom je v tem, da gre pri eostavem za odos med dvema količiama, pri sestavljeem pa za odos med večjim številom količi (v ašem primeru štirih). Vsi podatki vplivajo a izraču rezultata, zato jih bomo zapisali v posebi viseči obliki podaljšaega sorazmerja (ta zapis sorazmerja pozamo že iz prejšjega poglavja). študeti : delovi devi (OS) x 1 : x 2 = y 2 : y 1 : delove ure (OS) = y 2 : y 1 : obseg dela (PS) = y 1 : y 2 Za rešitev aloge vstavimo podatke ozačee v aalizi aloge: 4 : x 2 = 22 : 2 = 7 : 8 = 1 :12 Vsako visečo obliko sestavljeega sorazmerja pretvorimo v eostavo sorazmerje tako, da pomožimo podatke v stolpcih i upoštevamo pravilo zapisa z ezako x (zuaji i otraji člei). 4 2 8 12 x 2 = = 49,87 5 študetov 22 8 1 Odgovor: 4 študetov opravi delo v 2 deh, če delajo po 8 ur a da. Če pa bi študetje delali 22 di po 7 ur a da i bi jim obseg povečali za 2 %, bi jih potrebovali 5. 3.2.3 Sklepa shema Tretja metoda, ki jo bomo spozali, je reševaje alog s pomočjo sklepe sheme. Kot smo že omeili, je to metoda, s katero a hiter ači rešujemo aloge sklepega račua. Pravila reševaja pozamo že iz eostavega sklepega račua, zato jih e bomo poavljali. 7 delavcev bo opravilo eko delo v 9 deh, če delajo 7 ur a da. Koliko delavcev mora še priti a delo, če mora biti delo opravljeo 2 di prej, če delajo delavci eo uro več a da i če se obseg dela poveča za 1 %?

Poslova matematika Sklepi raču Rešitev: 9 deh,... 7 ur/da,... 7 delavcev... 1 % obseg 7 di,... 8 ur/da,..... x delavcev... 11 % obseg x= 7 9 7 11 = 8,66 9 delavcev 7 8 1 Odgovor: Na delo morata priti še dva delavca, da bo delo opravljeo v 7 deh pri 8 urem delaviku. 3.2.4 Reševaje s pomočjo eačb Naloge sklepega račua se dajo reševati tudi s pomočjo lieare eačbe ali sistema liearih eačb. Za reševaje alog i predpisaega recepta, temveč gre za logičo sklepaje i upoštevaje pravil reševaja eačb. Opozorimo le a osovo pravilo reševaja s pomočjo liearih eačb, ki pravi, da je leva stra eačbe vedo eaka desi strai. Rešili bomo dva primera alog, ki vam bodo omogočila vpogled v ta ači reševaja. Študetje so se vpisovali v drugi letik študija. Po predhodih željah se jih želi 65 vpisati v izbiri modul Komercialist i 4 v modul Račuovodja. Dejasko razmerje med študeti v obeh modulih pa je bilo 9 : 5. Kolikšo je bilo dejasko število vpisaih študetov, če se je jihovo skupo število pri vpisu v v drugi letik zmajšalo za 1/15? Aaliza aloge: Želje: 65 KOM + 4 RČN = 15 študetov 65 Dejasko število: KOM : RČN = 9 : 5 Rešitev: 9x + 5x = 98 KOM: 9x = 9 7 = 63 14x = 98 RČN: 5x = 5 7 = 35 x = 7 skupaj: 98 14 KOM + RČN = = 98 15 Odgovor: Dejasko vpisaih študetov v modul komercialist je 63 i 35 v modul račuovodja, če upoštevamo, da se je dejasko število zmajšalo za 1/15 glede a želje študetov. Če bi se študet pripravljal a izpit sam, bi potreboval 14 di. Ko je študiral že 3 di, se mu je pridružil še drugi študet, ki za pripravo a izpit potrebuje le 1 di. V kakšem času bosta oba skupaj pripravljea a izpit? Aaliza aloge: prvi študet rabi 14 di jegova hitrost je 1/14 eote študija devo, drugi študet rabi 1 di jegova hitrost je 1/1 eote študija devo, prvi študet potrebuje za študij x di, drugi študet se mu priključi po 3 deh, torej x 3 deh, oba skupaj potrebujeta za izpit celo pripravo, kar ozačimo z 1. 29

Sklepi raču Poslova matematika Rešitev: 1 1 + ( x 3 ) = 1 14 1 12 ( x 3 ) = 1 7 Uredimo eačbo tako, da izraz v oklepaju seštejemo, ko smo ašli skupi imeovalec 7. Uredimo eačbo i izračuamo: 12 ( x 3 ) = 7 12x 36 = 7 12x = 16 x = 8, 83 x = 9 di Odgovor: Če bi oba študeta študirala skupaj, bi potrebovala za pripravo a izpit približo 9 di. 3.2 Rešite asledje aloge. Metoda reševaja je predpisaa v oklepaju. a) 5 delavcev izdela 2. kosov izdelkov, če dela a 2 strojih 7 mesecev. Koliko časa bo za 2 izdelaih kosov več potrebovalo 7 delavcev, če število delavih strojev povečajo za dva (sklepa shema)? b) Za tlakovaje dvorišča potrebujemo 5.5 tlakovacev, ki so dolgi 15 cm i široki 2 cm. Kako široki bi morali biti tlakovaci, da bi jih za isto dvorišče potrebovali 5 maj, če bi bili dolgi 2 cm (sorazmerje)? c) 15 metrov blaga, širokega 15 cm, je stalo 45, DE. Koliko istovrstega blaga, ki je 3 cm ožje, dobimo za 75, DE (poljuba metoda)? d) Razmerje med dosežeimi točkami treh študetov a izpitu iz poslove matematike je bilo 5 : 2 : 3. Prvi študet je dosegel za 15 točk več, kot je četrtia vsote dosežeih točk ostalih dveh študetov. Koliko točk so dosegli posamezi študeti a izpitu iz poslove matematike (lieara eačba)? UTRJUJEMO, RAZMIŠLJAMO, RAZISKUJEMO, VADIMO 1. Razložite pojem sklepi raču. 2. Ugotovite bistvee začilosti i razlike med vrstami sklepega račua. 3. Naštejte i opišite ačie reševaja alog sklepega račua. 4. Utemeljite a izmišljeem primeru začilosti eostavega i sestavljeega sklepega račua? Izberite ajustrezejšo metodo reševaja i pojasite, zakaj ste jo izbrali. 5. Da bi vaše zaje še bolj utrdili, rešite aloge iz prvega poglavja Zbirke vaj iz poslove matematike (Fudak, Domja 28, 3 5). V poglavju sklepi raču smo se aučili razlikovati i uporabljati razmerja. Pozamo razliko med premosorazmerimi i obratosorazmerimi količiami i kako jue lastosti vplivajo a reševaje alog z različimi problemi. Naloge, ki so se am zdele a prvi pogled zapletee, smo s pomočjo metod, ki jih pouja sklepi raču, zlahka rešili. Vedar je potrebo vedo logičo razmišljati i se držati dogovorjeih pravil igre.

Poslova matematika Veriži raču 4 VERIŽNI RAČUN V poglavju bomo spozali osove pojme za tvorbo verige, uporabo tečajice i tujih merskih sistemov ter obračuavaje stroškov (dodatki i popusti). Gre za posebo shemo reševaja alog sklepega račua, kjer so vse količie v premosorazmeri odvisosti. 31

Veriži raču Poslova matematika 4 VERIŽNI RAČUN Veriži raču boste pogosto uporabljali v svojem poslovem i zasebem življeju, saj vam omogoča hiter izraču podatkov i omogoča pravilo odločitev o tem, ali se vam tvegaje splača ali e. Spozali bomo posebo obliko sklepega račua, ki je istočaso tudi skrajšaa oblika zapisa sklepega račua. Raču je dobil svoje ime po začili obliki verigi. Vse količie, ki sestavljajo verigo, morajo biti v premosorazmerem odosu. V tem poglavju bomo spozali pravila za tvorbo verige, ačie iskaja podatkov za primer, ko so količie ali deare eote sestavie tujih merskih ali dearih sistemov, ačie obračuavaja dodatkov i popustov v otrajem i zuajetrgoviskem poslovaju. Zali boste poiskati podatke v tečajicah i tablicah tujih merskih eot. Poudariti je pomembo, da se podatki v tečajici devo spremijajo i da bomo v primerih izhajali iz podatkov tečajev, ki so veljali a da 17. 7. 28. Za vsakodevo uporabo pa boste poiskali podatke a iteretih straeh Bake Sloveije ali poslovih bak, v devem časopisju ali drugje. Koliko bomo plačali za 7 m blaga A, če smo za 2 kg blaga B plačali 7,5 EUR i stae 1 m blaga A isto kot 1 kg blaga B? Aaliza aloge: x DE 7 m blaga A 2 kg blaga B. 7,5 EUR 1 m blaga A 1 kg blaga B Rešitev: x DE 7 m blaga A 1 m blaga A 1 kg blaga B 2 kg blaga B 7,5 EUR 7 7,5 x = = 26, 25 EUR 2 Odgovor: Za 7 m blaga A bomo plačali 26,25 EUR, če smo za 2 kg blaga B plačali 7,5 EUR i stae 1 m blaga A isto kot 1 kg blaga B. Iz spodje sheme, ki predstavlja zuajo obliko verige, je razvido, da gre za posebo račusko shemo. Postopek reševaja aloge imeujemo veriži raču. a b c d b c d a Za sestavo verige veljajo asledja pravila: Po aalizi podatkov, ki jo aredimo z izpisom količi iz aloge, poiščemo še majkajoče količie, ki so običajo tuje merske ali deare eote (ajdemo jih v tablicah tujih merskih eot i v tečaji listi Bake Sloveije).

Poslova matematika Veriži raču Sestavimo verigo. Veriga ima levo i deso stra. Strai verige sta med seboj ločei z avpičo (vertikalo) črto. Verigo začemo vedo z vprašajem x i ezao količio ali dearo eoto, ki jo zapišemo a levo stra verige, a deso pa pripadajočo količio ali dearo eoto, ki je razvida iz vprašaja. V vsako ovo vrstico vpisujemo pogoje iz aloge tako, da ajprej zapišemo podatek, ki ima isto eoto, kot jo je imel podatek, s katero smo kočali prejšjo vrstico. Nadaljujemo tako dolgo, da zajamemo vse podatke iz aalize aloge. Verigo zaključimo, ko smo prišli do iste eote, kot jo ima podatek v vprašaju. Podatke a dese strai verige zapišemo kot faktorje v števcu, podatke a levi strai verige pa kot faktorje v imeovalcu. Izračuamo vredost ulomka i zapišemo odgovor. Veriži raču velikokrat uporabljamo v zuajetrgoviskem poslovaju, zato moramo pozati tuje merske eote (dolžiske, prostoriske, votle, uteže mere) i deare eote (tečaje, ki veljajo za posameze tuje valute). Na ostale posebosti pri poslovaju s tujio vas bodo opozorili izvajalci izbirih modulov (vedeje, običaji, avade). Poglejmo si ekaj primerov tujih merskih eot, ki jih uporabljamo v poslovem življeju kot isto smisele trgoviske merske eote različih merskih sistemov i jihove medseboje vredoste relacije (pretvorike). Prede jih prikažemo v obliki tablic (tabela 1) povejmo, da moramo obvezo ločiti med agleškimi i ameriškimi merskimi eotami. Nekateri pretvoriki so eaki, zato smo jih v tabeli 1 prikazali združeo. Tabela 1: Tabela merskih eot ANGLEŠKE IN AMERIŠKE DOLŽINSKE MERE ANGLEŠKE IN AMERIŠKE POVRŠINSKE MERE 1 mile (mi) 176 yd 169,35 m 1 square (sq mi) 64 A 2,59 km 2 1 yard (yd) 3 ft,9144 m 1 acre (A) 4.84 4.46,87 m 2 1 foot (ft) 12 i,348 m 1 square yard (sq yd) 9 sq ft,8361 m 2 1 ich (i) 12 l,254 m 1 square foot (sq ft) 144 sq i,929 m 2 1 lie (l),212 m 1 square ich (sq i) 144 sq l 6,4516 cm 2 1 square lie (sq l) 4.43 mm 2 ANGLEŠKE IN AMERIŠKE PROSTORNINSKE MERE DRUGE MERSKE ENOTE V POSLOVNEM SVETU 1 register toe (Rt) 3,7374 cu yd 2,8316 m 3 1 troy ouce (tr oz) za plemeite kovie 31,13481g 1 cubic yard (cu yd) 27 cu ft,7646 m 3 1 barrel (bbl) za afto i derivate,159m 3 1 cubic foot (cu ft) 11.728 cu i 28,317 dm 3 1 cubic ich (cu i) 1.728 cu l16. 16,3871 cm 3 1 cubic lie (cu l) 9,484 mm 3 ANGLEŠKE UTEŽNE MERE (trgovske) AMERIŠKE UTEŽNE MERE (trgovske) 1 log toe (lt) 2 cwt 1.16,47 kg 1 short toe (st) 2 ct 97,185 kg 1 huderedweight (cwt) 4 qt 5,823 kg 1 cetal (ct) 4 qr 45,3592 kg 1 quarter (qr) 28 lb 12,76 kg 1 quarter (qr) 25 lb 11,3397 kg 1 poud (lb) 16 oz,4536 kg 1 poud (lb) 16 oz,4536 kg 1 ouce (oz) 16 dr 28,3495 g 1 ouce (oz) 16 dr 28,3495 g 1 dram (dr) 1,7718 g 1 dram (dr) 1,7718 g ANGLEŠKE VOTLE MERE (za tekočie) AMERIŠKEVOTLE MERE (za tekočie) 1 galoe (gl) 4 qt 4,543 l 1 galoe (gl) 4 qt 3,7853 l 1 quart (qt) 2 pt 1,1365 l 1 quart (qt) 2 pt,9463 l 1 pit (pt) 4 gi,5683 l 1 pit (pt) 4 gi,4732 l 1 gill (gi),143 l 1 gill (gi),118 l ANGLEŠKE VOTLE MERE (za suhe sovi) AMERIŠKE VOTLE MERE (za suhe sovi) 1 quarter (qr) 8 bsh 29,912 l 1 quarter (qr) 8 bsh 281,912 l 1 bushel (bsh) 4 pk 36,348 l 1 bushel (bsh) 4 pk 35,239 l 1 peck (pk) 2 gl 9,87 l 1 peck (pk) 2 gl 8,898 l 1 galoe (gl) 4 qt 4,543 l 1 galoe (gl) 4 qt 4,45 l 1 quart (qt) 2 pt 1,1365 l 1 quart (qt) 2 pt 1,112 l 1 pit (pt) 4 gi,5683 l 1 pit (pt),556 l Vir: Vučak, Poslova matematika, 23 33