Kruh a kružnica interaktívne

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Mgr. Róbert Truchan Kruh a kružnica interaktívne Osvedčená pedagogická skúsenosť edukačnej praxe Prešov 2013

Vydavateľ: Metodicko-pedagogické centrum, Ševčenkova 11, 850 01 Bratislava Autor OPS/OSO: Mgr. Róbert Truchan Kontakt na autora: Názov OPS/OSO: Rok vytvorenia OPS/OSO: Odborné stanovisko vypracoval: Základná škola, Školská 389, 094 13 Sačurov, truchan.robert@gmail.com Kruh a kružnica interaktívne 2013 RNDr. Mária Kredátusová, PhD. Za obsah a pôvodnosť rukopisu zodpovedá autor. Text neprešiel jazykovou úpravou. Táto osvedčená pedagogická skúsenosť edukačnej praxe bola vytvorená z prostriedkov národného projektu Profesijný a kariérový rast pedagogických zamestnancov. Projekt je financovaný zo zdrojov Európskej únie.

Kľúčové slová kruh, kružnica, polomer, priemer, interaktívna tabuľa, tetiva, obsah, obvod, dotyčnica, opísaná kružnica, vpísaná kružnica, metodika, interaktivita, prezentácia, výkres, test, Hot Potatoes, PowerPoint, Cabri Geometry Anotácia Edukačný proces zohráva dôležitú úlohu v spoločnosti. Každému subjektu, ktorý vstupuje do tohto procesu, by malo záležať na tom, aby bol tento proces na čo najvyššej úrovni. Nevyhnutnosťou je neustále bádanie a zdokonaľovanie naučených postupov a metód. Cieľom tejto osvedčenej pedagogickej skúsenosti je predstaviť a popísať konkrétne učebné pomôcky vytvorené aplikáciou PowerPoint, Hot Potatoes a softvérom Cabri Geometry. Tieto učebné pomôcky boli vytvorené pre tematický celok Kruh a kružnica, ktorý sa vyučuje v 8. ročníku na základných školách. V tejto práci by som chcel prezentovať možnosti využitia vytvorených pomôcok a popísať ich metodiku pri ich aplikácii do edukačného procesu. V súvislosti s využívaním informačno komunikačných technológií je dôležité využívanie a implementácia modernej výpočtovej techniky a interaktívnych tabúľ pri vyučovaní geometrie.

OBSAH Úvod... 5 1 VÝCHODISKÁ OPS... 7 1.1 Špecifikácie OPS... 8 1.2 Požadované kompetencie od žiaka... 8 1.3 Požadované kompetencie od učiteľa... 8 1.4 Získané kompetencie od žiaka... 8 1.5 Ciele OPS... 8 2 INTERAKTIVITA VYUČOVACEJ HODINY... 9 2.1 Interaktívne tabule a didaktická technika... 9 2.2 Pozitíva využitia interaktívnych výučbových pomôcok... 9 3 SOFTVÉR CABRI GEOMETRY... 11 3.1 Vzájomná poloha priamky a kružnice... 11 3.2 Vzájomná poloha dvoch kružníc... 13 3.3 Dotyčnica ku kružnici... 15 3.4 Kružnica opísaná trojuholníku... 18 3.5 Kružnica vpísaná trojuholníku... 20 4 APLIKÁCIA POWERPOINT... 23 4.1 Interaktívna prezentácia Kruh a kružnica... 23 5 APLIKÁCIA HOT POTATOES... 31 5.1 Interaktívne cvičenie JQuiz Kruh a kružnica... 31 5.2 Interaktívne cvičenie JQuiz Obsah a obvod kruhu... 34 Záver... 36

ÚVOD Využitie informačno komunikačných technológií už dnes nie je žiadnou novinkou. Napriek tomu, že sú moderné technológie pomerne cenovo drahé, mnoho škôl sa nebojí investovať do nových počítačov, interaktívnych tabúľ a rôznej výpočtovej techniky. Informačno komunikačné technológie sa stali neoddeliteľnou súčasťou života každého človeka. Tvorcom vyučovacej hodiny je učiteľ a je len na jeho rozhodnutí, aké prostriedky a pomôcky využije na vyučovacej hodine. On musí žiakov motivovať k tomu, aby nestratili pozornosť, a aby pri následnej kontrole vedomostí podali čo možno najlepší výkon. Preto je nevyhnutné, aby sa moderné technológie a metódy v značnej miere začlenili do edukačného procesu a usmernili ho tým správnym smerom. Matematika je vyučovací predmet, ktorý sa už dlhodobo musí zmieriť s tým, že u väčšiny žiakov nepatrí medzi najobľúbenejšie predmety. Čím vyšší ročník, tým sa preberajú abstraktnejšie pojmy a postupy. Matematika je pre žiakov akýmsi strašiakom. Pred každým učiteľom matematiky stojí ťažká úloha. Musí si vo vyučovacom procese zvoliť také metódy a postupy, ktoré budú viesť žiakov k záujmu o tento vyučovací predmet. Učiteľ musí využiť také učebné pomôcky, ktoré budú žiakovi prezentovať pokrok, ktorý sa dá dosiahnuť v danej oblasti, vďaka snahe a usilovnosti jednotlivcov v spoločnosti. Práve využitím modernej techniky a vhodne vytvorených učených pomôcok môžeme dosiahnuť u žiakov zvýšenú motiváciu a kvalitnejší proces odovzdávania vedomostí a zručností medzi učiteľom a žiakom. Správne motivovaný žiak sa bude sám zapájať do vyučovacieho procesu a stane sa jej potrebnou a neoddeliteľnou súčasťou. V tejto práci som sa rozhodol predstaviť osvedčenú pedagogickú skúsenosť, ktorá spočíva vo využití aplikácií PowerPoint, Hot Potatoes a softvéru Cabri Geometry vo vyučovaní geometrie na základných školách. Zameral som sa na tematický celok Kruh a kružnica, pre ktorý som vytvoril interaktívne výučbové pomôcky. Jadro práce bude tvoriť ich opis a metodika využitia na hodinách geometrie. Mojím zámerom je poukázať na to, že využitie prezentovaných učebných pomôcok zvyšuje motiváciu u žiakov a výrazným spôsobom zefektívňuje proces odovzdávania vedomostí a zručností od učiteľa k žiakom. Geometria je oblasť matematiky, ktorá si azda najviac vyžaduje, aby bolo učivo prezentované názorne. Názornosť je kľúčová, pretože zrak je zmysel, ktorým človek prijíma drvivú väčšinu získaných informácií. Žiakovi môžeme donekonečna slovne opakovať postup konštrukcie, ale aj tak si vždy osvojí daný postup najlepšie vtedy, keď ho vidí pred sebou názorne. Vidí prostriedky, ktoré boli pritom využité a kde sa presne aký nástroj použil. Okrem názornosti musí byť postup učiteľa pri tabuli aj efektívny. Nemôže polovicu vyučovacej hodiny stráviť tým, že bude tabuľovým kružidlom a pravítkom rysovať zopár konštrukcií, ktoré navyše nie sú vždy narysované presne. Práve efektivita a názornosť sú vlastnosti, ktoré v sebe zahŕňa softvér Cabri Geometry, aplikácie PowerPoint a Hot Potatoes. Výsledkom využitia vhodne vytvorenej pomôcky je motivovaný žiak, ktorého vedomosti a zručnosti sú rozvíjané omnoho efektívnejšie ako v prípade klasickej vyučovacej hodiny s kriedou a tabuľou. Ambíciou tejto práce je ukázať opodstatnenosť využitia interaktívnych výučbových výkresov, prezentácií a testov vo vyučovaní geometrie na základných školách. Podľa

môjho názoru je proces implementácie informačno komunikačných technológií do vyučovania nezvratným javom. Ich vplyv v celej spoločnosti neustále rastie a zároveň ponúkajú vždy nové možnosti ich využitia. Táto osvedčená pedagogická skúsenosť je ukážkou toho, ako sa môže zmeniť spôsob výučby, ak sa učiteľ nechá inšpirovať modernými didaktickými technológiami.

1 VÝCHODISKÁ OPS Vyučovací proces ako celok musí dosahovať také výsledky, aby bol pre spoločnosť ako takú prospešný. Pre žiaka nie sú získané vedomosti a zručnosti ničím, ak ich nevie využiť vo svojom každodennom živote. Preto je potrebné výučbu obohacovať o praktické príklady z praxe. U žiaka je dôležité pestovať kritické myslenie voči sebe a svojmu okoliu, s čím súvisí schopnosť podoprieť svoje tvrdenia vhodnými argumentmi, ktoré sú schopné presvedčiť o správnosti vyjadrených názorov. Konštruktívna kritika je cesta k zdokonaľovaniu seba samého a takisto k pretváraniu okolia a prispieva tak k všeobecnému spoločenskému pokroku. Žiak po prebratí učiva musí ovládať potrebné pojmy. Naučené pojmy a postupy vie analyzovať a aplikovať v praxi. V dnešnej dobe je najžiadanejšou vlastnosťou v spoločnosti kreativita. Schopnosť vytvárať nové a jedinečné veci sa v spoločnosti veľmi cení a má pozitívny vplyv na žiaka a jeho okolie. Správnou motiváciou môžeme u žiaka vyvolať radosť z učenia sa, z vytvárania nových vecí a tvorivého nadobúdania nových zručností a postupov. V tejto práci som sa venoval konkrétnym témam vyučovacích hodín z tematického celku Kruh a kružnica. Sú to témy: Kruh, kružnica. Dotyčnica ku kružnici. Tetiva kružnice. Kružnicový oblúk a kruhový výsek. Obsah a obvod kruhu. Kružnica opísaná a vpísaná trojuholníku. 1.1 Špecifikácie OPS Typ školy: základná škola, nižšie stredné vzdelávanie Kategória pedagogických zamestnancov: učiteľ Podkategória: učiteľ pre nižšie stredné vzdelávanie Vzdelávacia oblasť: Matematika a práca s informáciami Ročníky: ôsmy Predmet: matematika Tematické celky: Kruh a kružnica; Dotyčnica ku kružnici; Tetiva kružnice; Kružnicový oblúk a kruhový výsek; Obsah a obvod kruhu; Kružnica opísaná a vpísaná trojuholníku

1.2 Požadované kompetencie od žiaka Považujem za dôležité, aby žiak ovládal: základy práce s počítačom, základy práce s interaktívnou tabuľou, základné znalosti práce so softvérom Cabri Geometry, aplikáciou Hot Potatoes a PowerPoint. 1.3 Požadované kompetencia od učiteľa Na učiteľa sú kladené nasledovné požiadavky: dobré znalosti práce s internetom a internetovými prehliadačmi, základné znalosti práce s počítačom a dataprojektorom, základné znalosti práce s interaktívnou tabuľou a perom, pokročilé znalosti práce so softvérom Cabri Geometry, aplikáciou Hot Potatoes a PowerPoint, pokročilé znalosti v oblasti úpravy obrázkov. 1.4 Získané kompetencie žiaka Prostredníctvom tejto OPS žiak získa tieto kompetencie: dokáže analyzovať a rozoberať geometrický problém, žiak získa nové zručnosti a vedomosti, rozvíja svoju predstavivosť, žiak sa stáva aktívnym spolutvorcom vyučovacej hodiny, systematizuje si získané zručnosti a vedomosti, rieši úlohu modelovaním situácie, nachádza viac možností riešenia, upevňuje si kvantitatívne vlastnosti pojmov obvod a obsah, osvojuje si prácu s modernou didaktickou technikou. 1.5 Ciele OPS Hlavné ciele OPS: demonštrácia využitia softvéru Cabri Geometry, aplikácie Hot Potatoes a PowerPoint pre učiteľov matematiky, opis a metodika využitia konkrétnych pomôcok vytvorených pomocou Cabri Geometry, Hot Potatoes a PowerPoint v tematickom celku Kruh a kružnica 8

2 INTERAKTIVITA VYUČOVACEJ HODINY Základným problémom na hodinách matematiky je nezáujem žiakov. Matematika je pre väčšinu z nich nudný predmet o abstraktných pojmoch, ktoré len sa len ťažko dajú nájsť v bežnom živote. Ak žiak nedáva pozor a matematika je to posledné, na čo na vyučovacej hodine myslí, nemôže sa toho veľa naučiť a takáto hodina je doslova stratou času nielen pre žiaka, ale aj pre učiteľa. Je potrebné, aby žiakov tešiacich sa na matematiku, bolo viacej. V súčasnosti má učiteľ k dispozícii jeden dobrý nástroj na zamedzenie nezáujmu žiakov. Tým nástrojom je využívanie informačno komunikačných technológií na hodinách, pomocou ktorých je možné vytvoriť interaktívnu vyučovaciu hodinu. 2.1 Interaktívne tabule a didaktická technika Už samotné využitie interaktívnej tabule pôsobí na žiaka veľmi motivujúco. Každý žiak má v sebe prirodzenú túžbu po objavovaní nových vecí. Interaktívna tabuľa je učebná pomôcka, ktorá žiaka zaujme na prvý pohľad. Keď žiak uvidí, čo taká interaktívna tabuľa dokáže, natrvalo si získa jeho sympatie. Interaktívna tabula je veľká elektronická tabuľa, ktorá je prepojená s počítačom a dataprojektorom. Dataprojektor premieta obraz, ktorý vidí učiteľ na obrazovke počítača, na plochu tabule. Interaktívna tabuľa je buď pripevnená pevne na stenu, alebo je na výškovo nastaviteľnom stojane. Existujú aj prenosné interaktívne tabule, ktoré dokážu zmeniť akúkoľvek bielu tabuľu na interaktívnu. Tieto tabule sa ovládajú výlučne perom. Napríklad na našej škole máme tieto interaktívne tabule a zariadenia: Activboard (Active Inspire), Smartboard, Interwrite a e-beam. Každý úkon v počítači sa pomocou dataprojektora premieta na plochu tabule. Jej interaktivita spočíva v tom, že tento proces funguje aj naopak. Pomocou pera, prstu alebo iného nástroja dokážeme ovládať to, čo sa deje na ploche tabule. Všetky úkony sa prenášajú z tabule do počítača. Interaktívna tabuľa je akoby prenesená dotyková obrazovka pre počítač. Pomocou interaktívnej tabule môžeme spúšťať všetky programy, ktoré sa nachádzajú v pripojenom počítači. Ak máme k dispozícii internet, môžeme prehliadať webové stránky. Prostredníctvom rôznych aplikácií sa môžeme skontaktovať s inými účastníkmi hodiny, ktorí práve nemôžu byť prítomní na hodine. Priamo na vyučovacej hodine môžeme vstupovať do vytvorenej pomôcky a meniť ju podľa vlastnej potreby. Každá interaktívna tabuľa je ovládaná softvérom, ktorý slúži na jej obsluhu. Pomocou neho sa z tabule stáva dokonalá interaktívna pomôcka. Môžeme kdekoľvek a kedykoľvek dopisovať informácie, gumovať, prefarbovať, zväčšovať a pretvárať pomôcku podľa vlastnej potreby. Existuje množstvo programov, aplikácií a softvérov, ktoré sú vhodné k spolupráci s interaktívnou tabuľou. Pomôcky, ktoré sú pomocou nich vytvorené, sú pre žiakov motivujúce a zlepšujú úroveň efektivity vyučovacej hodiny. V tejto práci som vytvoril pomôcky v programe Cabri Geometry a aplikáciách PowerPoint a Hot Potatoes ("horúce zemiaky"). 9

2.2 Pozitíva využitia interaktívnych výučbových pomôcok Využitie interaktívnych výučbových pomôcok prináša pre učiteľa a aj žiakov množstvo pozitív. Medzi najzákladnejšie z nich patrí: Motivácia - pozitívny vplyv na motiváciu žiakov je obrovským krokom vpred oproti klasickej vyučovacej hodine. Ak sú pomôcky vytvorené softvérom ActivInspire a aplikáciami Hot Potatoes a PowerPoint vhodne konštruované, sú pre žiaka nesmierne motivujúce a dokážu udržať jeho pozornosť na vysokej úrovni počas celej vyučovacej hodiny. Najlepšími účastníkmi edukačného procesu sú motivovaní žiaci a takisto netreba zabúdať ani na motiváciu tvorcu vyučovacej hodiny, teda učiteľa. Názornosť - v porovnaní s klasickou vyučovacou hodinou, kedy sú informácie a vedomosti poskytované žiakovi kriedou a tabuľou, je prezentovanie výučby pomocou tohto softvéru a týmito aplikáciami omnoho názornejšie. Aktívni účastníci vyučovacieho procesu sa nemusia sústrediť na zbytočné aspekty vyučovania ako je čitateľnosť textu, zlá viditeľnosť objektov a podobne. Dôležitosť názornosti popísal už Ján Ámos Komenský a je jednou z najdôležitejších zásad didaktiky. Žiak sa môže plne sústrediť na prezentovanú tému vyučovacej hodiny a zároveň ho motivuje k udržiavaniu pozornosti. Názornosť má na žiakov pozitívny vplyv a výrazne prispieva k rozvoju rôznych druhov myslenia žiakov. Interaktivita - pomôcky vytvorené týmto softvérom a aplikáciami sú konštruované tak, že žiak sa stáva aktívnou súčasťou edukačného procesu. Vyžaduje si žiakovu pozornosť, bez ktorej by bola výučba len ťažko efektívna. Najviac vedomostí z vyučovacej hodiny si žiak odnesie, ak je názorná a žiak sa k vedomostiam dostane vlastnou aktivitou. Neodmysliteľnou súčasťou softvéru je interaktívna tabuľa, ktorej použitie vytvára skvelý kreatívny nástroj pre rozvoj vedomostí a zručností žiakov. Efektivita - s použitím edukačných interaktívnych pomôcok žiak získava vedomosti, zručnosti a schopnosti omnoho efektívnejšie v porovnaní s klasickou vyučovacou hodinou. Skúsenosti učiteľov, ktorí využívajú interaktívne edukačné pomôcky ukazujú, že aplikácia výučbových softvérov a didaktickej techniky do vyučovacieho procesu zvyšuje množstvo vedomostí a schopností žiakov, ktoré si so sebou žiak odnesie domov. Žiak si pamätá viac a omnoho dlhšie, pretože na získavaní vedomostí sa sám aktívne podieľal a jeho pozornosť bola udržiavaná dostatočne dlho. Možnosti použitia interaktívnych výučbových pomôcok: Priamo na vyučovacej hodine v učebni vybavenej interaktívnou tabuľou, dataprojektorom alebo počítačom. Učiteľ spustí edukačnú pomôcku na interaktívnej tabuli. Ovláda danú pomôcku a prispôsobuje si ju podľa potreby. Na vyučovacej hodine v učebni vybavenej dostatočným množstvom počítačov (notebookov). Žiaci pracujú samostatne alebo vo dvojiciach. Individuálnym tempom pracujú s pomôckou, riešia zadané úlohy, venujú sa daným aktivitám a hľadajú možné riešenia pripravených úloh. Samoštúdium. V prípade, že sa žiak nemôže zúčastniť vyučovania, napr. z dôvodu choroby. 10

3 SOFTVÉR CABRI GEOMETRY Cabri Geometry je čisto didaktický softvér. Neohuruje používateľa efektmi a úžasnými animáciami. Jeho sila a veľká rozšírenosť spočíva v jeho jednoduchosti a praktickosti. Pracuje na princípe analytickej geometrie Euklidovskej roviny. Pracovnú plochu tvorí výkres s rozmermi 1m x 1m. Užívateľ vidí len jej malú časť, pričom na zvyšnú časť sa môže jednoducho premiestniť. Oproti iným grafickým softvérom sa líši hlavne v tom, že objekty vytvorené na ploche užívateľom si uložia do pamäte spôsob akým boli vytvorené. Ak neskôr zmeníme objekt vytvorený na začiatku, má to za následok zmenu ostatných objektov, ktoré vznikli závisle na pôvodnom objekte. Strana zošita a rysovacie potreby sú v programe nahradené myšou a počítačom. Medzi najdôležitejšie výhody patrí hlavne dynamickosť a interaktivita. Vstupné údaje je možné meniť, čím sa mení aj množina riešení. Žiak má priamo pred sebou celú škálu možností, a tým môže skúmať rôzne vlastnosti geometrických útvarov. Namiesto namáhavého a často nepresného rysovania sa žiak môže venovať vlastnej kreativite. Program je veľmi vhodný pre kreatívne riešenie najrôznejších problémov geometrie. Existujú rôzne inovované verzie tohto softvéru. V tejto práci sú popisované výkresy vytvorené verziou Cabri Geometry II. Okrem vylepšenej verzie Cabri Geometry II Plus je na trhu dostupná aj trojrozmerná verzia s názvom Cabri 3D. 3.1 Vzájomná poloha priamky a kružnice Vzájomná poloha priamky a kružnice je názov učebnej pomôcky, ktorá bola vytvorená softvérom Cabri Geometry. Jej hlavným cieľom je poskytnúť učiteľovi novú možnosť, ako ľahko a bez rysovania názorne ukázať žiakom, aké vzájomné polohy môže mať kružnica s priamkou. Pomôcku môžeme využiť najmä pri vysvetľovaní nového učiva, ale môže byť použitá aj v iných častiach vyučovacej hodiny, ako je napríklad fixačná časť. Pomôcku tvorí kružnica k, so stredom v bode S (Obrázok 1). Obrázok 1 Výkres Vzájomná poloha priamky a kružnice Cez celý výkres prechádza priamka p, ktorá pretína kružnicu v dvoch bodoch. Majú teda spoločné dva body, ktoré som nazval X, Y. Interaktivita spočíva v tom, že poloha priamky p sa môže meniť užívateľom podľa jeho potreby. Na tento účel slúži zelená úsečka AB, ktorá leží v ľavej časti výkresu. Keď prejdeme kurzorom myši na bod B a 11

zaklikneme ho, tak následným pohybom sa môže meniť dĺžka úsečky AB. Výkres je skonštruovaný tak, aby sa so zmenou dĺžky úsečky AB, menila poloha priamky p (Obrázok 2). Citlivosť zmeny polohy je nastavená tak, aby sa s pomerne veľkou zmenou dĺžky úsečky AB, zmenila poloha priamky p len jemne. Učiteľ alebo aj žiak, môže priamo na hodine meniť polohu priamky oproti kružnici k. Posúvaním priamky nahor sa body X a Y posúvajú smerom k sebe, kým sa z nich nestane jeden bod. Vtedy sa priamka dotýka kružnice. Následným posúvaním priamky sa dostane priamka a kružnica do polohy, kedy nemajú žiaden spoločný bod. Na jednom výkrese môže žiak vidieť všetky tri vzájomné polohy priamky a kružnice: priamka pretína kružnicu v dvoch bodoch, priamka sa dotýka kružnice a priamka nemá s kružnicou žiadny spoločný bod. Obrázok 2 Zmena polohy priamky vzhľadom na kružnicu Tento softvér je výbornou interaktívnou pomôckou, ale má aj svoje nedostatky. Nedostatkom sú slabé možnosti pri zmene formátovania písma. Na obrázku je to vidieť na nadpise, v ktorom chýbajú interpunkčné znamienka. Tabuľka 1 Metodický list k pomôcke Vzájomná poloha priamky a kružnice Téma Tematický celok Ročník Dotyčnica ku kružnici, jej poloha voči príslušnému polomeru Kruh, kružnica Ciele Čo sa žiak naučí Východiská - určiť vzájomnú polohu priamky a kružnice - určiť počet spoločných bodov priamky a kružnice - pracovať s geometrickým útvarom v programe Cabri Geometry - analyzovať daný konštrukčný problém Kompetencie Čo si žiak osvojí - rozbor a analyzovanie danej úlohy - kompetencie v oblasti používania interaktívnej tabule a počítača - upevnenie vedomostí o vlastnostiach kruhu a kružnice - kompetencia samovzdelávania ôsmy Čo sa vopred od žiaka očakáva - vedomosti o vlastnostiach kruhu a kružnice - pozná kružnicu, ako množinu bodov, ktoré sú rovnako vzdialené od stredu kružnice - ovláda prácu s počítačom a interaktívnou tabuľou Didaktický Čím sa budeme problém zaoberať - vzájomnou polohou priamky a kružnice - analyzovaním a voľbou vhodného postupu riešenia úlohy - určením všetkých riešení vzájomnej polohy priamky a kružnice 12

- rozvoj matematického myslenia a vyjadrovania sa - rozvoj analytického a kritického myslenia Pomôcky - počítač - dataprojektor - interaktívna tabuľa - interaktívny výkres vzájomná poloha priamky a kružnice" - vlastnosťami priamky a kružnice Metódy a formy - heuristický rozhovor - motivačný rozhovor - problémová metóda - diskusia - výklad Odkaz na výkres: http://truchan.wbl.sk/vzajomna_poloha_priamky_a_kruznice.rar 3.2 Vzájomná poloha dvoch kružníc Vzájomná poloha dvoch kružníc je takisto učebná pomôcka, ktorá bola vytvorená softvérom Cabri Geometry. Bola navrhnutá hlavne pre potreby učiteľa, ale môže ju používať akýkoľvek iný užívateľ vrátane žiakov. Jej cieľom je uľahčiť a zefektívniť prezentáciu problematiky vzájomnej polohy dvoch kružníc. Pomôcka je určená predovšetkým na výklad nového učiva, ale je ju možné použiť aj na fixáciu učiva, alebo aj v iných častiach edukačného procesu podľa potrieb učiteľa a žiakov. Pomôcku tvoria dve kružnice k1 a k2 so svojimi stredmi S1 a S2 (Obrázok 3). Obrázok 3 Výkres Vzájomná poloha dvoch kružníc Vzdialenosť stredov d je zvýraznený zelenou farbou. Táto vzdialenosť stredov sa môže meniť pomocou úsečky, ktorá sa nachádza v ľavej hornej časti výkresu. Zakliknutím na bod S2 spomínanej úsečky a následným pohybom myši doprava alebo doľava sa so zmenou veľkosti úsečky mení aj vzdialenosť stredov kružníc. Ak sa nachádzame v takej polohe, že sa kružnice pretínajú, tak sú na kružniciach zvýraznené aj ich polomery r1 a r2 a takisto ich priesečníky A a B. Pri vysvetľovaní vzájomnej polohy dvoch kružníc je 13

vhodné, aby žiaci exaktne videli, akú dĺžku majú polomery kružníc a ako sú navzájom vzdialené ich stredy. Tieto hodnoty v centimetroch si môžu žiaci overovať na výkrese. Nachádzajú sa v ľavej časti výkresu, pod úsečkou, ktorá riadi vzdialenosť stredov kružníc. Polomery kružníc k1 a k2 je možné tiež meniť a to tak, že sa kružnica uchopí za ktorýkoľvek jej bod a následne ťahaním myšky sa zväčšuje, alebo zmenšuje jej polomer. S akoukoľvek zmenou polomerov kružníc, alebo vzdialenosti ich stredov na obrázku, sa menia aj hodnoty v centimetroch v ľavej časti výkresu (Obrázok 4). Zmenou vstupných parametrov môže učiteľ hravo predstaviť žiakom všetky možnosti vzájomnej polohy dvoch kružníc bez zdĺhavého a nepresného rysovania na tabuli. Obrázok 4 Zmenou parametrov sa mení poloha kružníc Tabuľka 2 Metodický list k pomôcke Vzájomná poloha priamky a kružnice Téma Tematický celok Ročník Kruh, kružnica Kruh, kružnica ôsmy Ciele Čo sa žiak naučí Východiská - určiť vzájomnú polohu dvoch kružníc - vymenovať všetky možnosti vzájomnej polohy dvoch kružníc - určiť vzťah medzi polomermi kružníc a vzdialenosťou ich stredov - pracovať s geometrickým útvarom v programe Cabri Geometry - analyzovať daný konštrukčný problém Kompetencie Čo si žiak osvojí - vedomosti o vzájomnej polohe dvoch kružníc - modelovanie konštrukčnej úlohy na výkrese - kompetencie v oblasti používania interaktívnej tabule a počítača - upevnenie vedomostí o vlastnostiach kruhu a kružnice Čo sa vopred od žiaka očakáva - pozná a dokáže aplikovať vetu o trojuholníkovej nerovnosti - ovláda vedomosti o vlastnostiach kruhu a kružnice - pozná kružnicu, ako množinu bodov, ktoré sú rovnako vzdialené od stredu kružnice - ovláda prácu s počítačom a interaktívnou tabuľou Didaktický problém Čím sa budeme zaoberať - vzájomnou polohou dvoch kružníc - analyzovaním a voľbou vhodného postupu riešenia úlohy - určením všetkých riešení vzájomnej polohy dvoch kružníc - vlastnosťami kružnice 14

- rozvoj matematického myslenia a vyjadrovania sa Pomôcky - počítač - dataprojektor - interaktívna tabuľa - interaktívny výkres vzájomná poloha dvoch kružníc" Metódy a formy - heuristický rozhovor - motivačný rozhovor - problémová metóda - diskusia - výklad Odkaz na výkres: http://truchan.wbl.sk/vzajomna_poloha_dvoch_kruznic.rar 3.3 Dotyčnica ku kružnici Táto edukačná pomôcka bola vytvorená pre názornejšiu a efektívnejšiu výučbu témy Dotyčnica ku kružnici. Zo vzájomnej polohy priamky a kružnice už žiaci vedia, že jednou zo vzájomných polôh je poloha, kedy sa priamka dotýka kružnice. Vtedy má priamka a kružnica spoločný práve jeden bod. Priamku, ktorá má s kružnicou spoločný jeden bod nazývame dotyčnica. Pred žiakmi stojí problém, ako zostrojiť priamku, ktorá sa bude dotýkať kružnice k a prechádzať daným bodom, ktorý môžeme nazvať M. Ak by bod M ležal na kružnici k, tak by úloha bola pomerne ľahká. Stačilo by spojiť stred kružnice S s bodom M a v bode M potom zostrojiť kolmicu na úsečku SM. Táto kolmica je hľadanou dotyčnicou. Tu je využitá jedna dôležitá vlastnosť dotyčnice, ktorou je vzájomná kolmosť medzi polomerom kružnice a ľubovoľnou dotyčnicou tejto kružnice. Ako však zostrojiť dotyčnicu v prípade, keď sa bod M nenachádza na kružnici? Na každú priamku potrebujeme dva body. Jedným bodom je bod M a tým druhým bude zrejme bod dotyku T. Keďže dotyčnica a polomer majú zvierať pravý uhol, tak zostrojíme Talesovu kružnicu, ktorej stred je stredom úsečky SM. Bodmi dotyku sú dva body T1 a T2, ktoré sú priesečníkmi kružnice k a Talesovej kružnice. Celý postup konštrukcie dotyčnice ku kružnici môže učiteľ žiakom prehrať krok po kroku pomocou funkcie prehrať konštrukciu. Učiteľ tak nemusí rysovať zdĺhavú konštrukciu pomocou kriedy a tabule, ktorá sa vďaka nepresnosti nemusí vždy podariť. Každým kliknutím myši alebo pera interaktívnej tabule sa konštrukcia posunie o jeden krok dopredu alebo dozadu. Táto funkcia prehratia konštrukcie je vhodná aj pre samostatnú prácu žiakov na vyučovacej hodine, alebo na samostatné štúdium v prípade choroby, keď sa žiak nemôže zúčastniť vyučovania. Samotný výkres pozostáva z kružnice k, bodu M a dvoch dotyčníc ku kružnici k, ktoré prechádzajú bodom M (Obrázok 5). Polomer kružnice a poloha bodu M sa dajú meniť pomocou úsečiek, ktoré sa nachádzajú v ľavej časti výkresu. Zväčšením, alebo zmenšením ich dĺžky sa zmení polomer kružnice, alebo vzdialenosť bodu M od stredu kružnice. Pod úsečkami je znázornená veľkosť týchto parametrov v centimetroch. Pomocou nich je možné prejsť so žiakmi všetky možné prípady konštrukcie dotyčnice ku kružnici. 15

Obrázok 5 Výkres Dotyčnica ku kružnici Po otvorení sa výkres nachádza v pozícii, kedy má konštrukcia dve riešenia. Sú nimi priamka t1 a t2. Zmenou parametra vzdialenosti bodu M od stredu S sa bude meniť aj riešenie úlohy (Obrázok 6). Čím bližšie je bod pri kružnici, tým viac sa dotyčnice približujú k sebe. Nakoniec, keď sa bod M dostane na kružnicu, dotyčnice splynú do jednej priamky. Úloha má vtedy jedno riešenie. Následným približovaním bodu M k stredu sa bod M dostane do vnútra kružnice. Vtedy samozrejme úloha nemá riešenie a dotyčnica zmizne. Takýmto spôsobom žiaci majú možnosť názorne sledovať všetky možné prípady konštrukcie dotyčnice ku kružnici. Sami môžu aktívne vstúpiť do procesu výučby a nastaviť si parametre podľa svojich požiadaviek a sledovať, ako sa zmení množina riešení tejto konštrukčnej úlohy. Obrázok 6 Zmenou parametrov sa menia riešenia konštrukcie 16

Tabuľka 3 Metodický list k pomôcke Dotyčnica ku kružnici Téma Tematický celok Ročník Dotyčnica ku kružnici, jej poloha voči príslušnému polomeru Čo sa žiak Ciele naučí - zostrojiť dotyčnice ku kružnici - určiť všetky možné riešenia konštrukcie dotyčnice ku kružnici - určiť polohu medzi polomermi kružníc a dotyčnicou - pracovať s geometrickým útvarom - pracovať v programe Cabri Geometry - analyzovať daný konštrukčný problém Čo si žiak Kompetencie osvojí - postup konštrukcie dotyčnice ku kružnici - aplikáciu už získaných vedomostí do tvorby nových poznatkov - modelovanie konštrukčnej úlohy na výkrese - kompetencie v oblasti používania interaktívnej tabule a počítača - upevnenie vedomostí o vlastnostiach kruhu a kružnice - rozvoj matematického myslenia a vyjadrovania sa Pomôcky - počítač - dataprojektor - interaktívna tabuľa - interaktívny výkres vzájomná poloha dvoch kružníc" Kruh, kružnica Východiská ôsmy Čo sa vopred od žiaka očakáva - pozná konštrukciu Talesovej kružnice - ovláda vedomosti o vlastnostiach kruhu a kružnice - ovláda vzájomné polohy priamky a kružnice - pozná kružnicu, ako množinu bodov, ktoré sú rovnako vzdialené od stredu kružnice - ovláda prácu s počítačom a interaktívnou tabuľou Didaktický problém Čím sa budeme zaoberať - konštrukciou dotyčnice ku kružnici - analyzovaním a voľbou vhodného postupu riešenia úlohy - určením všetkých riešení konštrukcie dotyčnice ku kružnici vzhľadom k zadaným podmienkam - vlastnosťami kružnice Metódy a formy - heuristický rozhovor - motivačný rozhovor - problémová metóda - diskusia - výklad Odkaz na výkres: http://truchan.wbl.sk/dotycnica_ku_kruznici.rar 17

3.4 Kružnica opísaná trojuholníku Hlavným cieľom tejto učebnej pomôcky je vhodným spôsobom pomôcť zefektívniť výučbu konštrukcie kružnice opísanej trojuholníku. Pomôcka pozostáva z trojuholníka ABC, ktorého veľkosť sa môže meniť pomocou parametrov (Obrázok 7). Parametrami sú dve strany trojuholníka a uhol, ktorý tieto dve strany zvierajú. Dĺžka strán trojuholníka sa môže meniť pomocou úsečiek, ktoré sa nachádzajú v ľavej časti výkresu. Zmenou ich veľkosti sa zmena prenesie aj na dĺžku strán trojuholníka v samotnej konštrukcii trojuholníka. Ako tretí parameter som zvolil veľkosť uhla, ktorý dané strany zvierajú. Jeho veľkosť sa bude meniť posunom bodu C po kružnici. Tento parameter sa takisto nachádza v ľavej časti výkresu. Obrázok 7 Výkres Kružnica opísaná trojuholníku Kružnica opísaná trojuholníku je peknou ukážkou toho, ako sa dajú aplikovať už získané vedomosti a zručnosti do riešenia konštrukcie novej úlohy. V tomto prípade je úlohou žiakov zostrojiť kružnicu, ktorá bude prechádzať všetkými tromi vrcholmi trojuholníka. Existuje vôbec takáto kružnica? Ak existuje, tak na jej zostrojenie budeme potrebovať veľkosť polomeru kružnice a polohu jej stredu. Zo základnej vlastnosti kružnice opísanej trojuholníku vieme, že ak by sme poznali polohu stredu, tak polomerom opísanej kružnice bude vzdialenosť stredu od ktoréhokoľvek vrcholu trojuholníka. Hľadáme teda miesto, kde sa nachádza stred opísanej kružnice. Tu si pomôžeme tým, že trojuholník sa vlastne skladá z troch úsečiek. Kde by sa mal nachádzať stred kružnice tak, aby prechádzal cez oba krajné body úsečky? Musí sa samozrejme nachádzať na takom mieste, aby mal tento stred rovnako ďaleko od jedného krajného bodu, k druhému krajnému bodu úsečky. Žiaci by už mali ovládať, že množina bodov, ktoré majú rovnakú vzdialenosť od krajných bodov úsečky sa nazýva os úsečky. Teda, aby zostrojená kružnica prechádzala cez obidva krajné body úsečky, musí jej stred ležať nevyhnutne na osi úsečky. Ak takú istú úvahu aplikujeme na všetky tri strany trojuholníka, zistíme, že stred opísanej kružnice musí ležať na všetkých troch osiach strán trojuholníka. Jediný bod, ktorý to spĺňa je priesečník osí strán trojuholníka. Pri vysvetľovaní postupu konštrukcie opísanej kružnice trojuholníku je opäť vhodné použiť funkciu prehrať konštrukciu. Učiteľ môže krok po kroku pridávať na výkres nové objekty a vysvetľovať pritom, prečo sa postupuje takýmto spôsobom. Takýto výklad je 18

názorný, rýchly, ale hlavne efektívny. Učiteľ nestráca čas úkonmi pri klasickej tabuli, ktoré sú zbytočné. Pomocou zmeny dĺžok úsečiek môže učiteľ prezentovať žiakom konštrukciu opísanej kružnice všetkých možných druhov trojuholníkov (Obrázok 8). Učiteľ môže aktívne zapojiť žiakov do bádania, kde sa bude nachádzať stred opísanej kružnice, aké má vtedy trojuholník veľkosti strán a uhlov. Postupne s pomocou učiteľa žiaci zistia, že v ostrouhlom trojuholníku sa stred opísanej kružnice nachádza vnútri trojuholníka. V pravouhlom trojuholníku sa stred opísanej kružnice nachádza na najdlhšej strane, ktorá je oproti pravému uhlu. Nakoniec, ak je trojuholník tupouhlý stred opísanej kružnice bude ležať mimo trojuholníka. Napokon sa dostaneme k záveru, že každý trojuholník má svoju opísanú kružnicu. Obrázok 8 Zmenou vnútorného uhla sa mení poloha stredu opísanej kružnice Tabuľka 4 Metodický list k pomôcke Kružnica opísaná trojuholníku Téma Tematický celok Ročník Kružnica opísaná trojuholníku Kruh, kružnica ôsmy Ciele Čo sa žiak naučí Východiská - zostrojiť kružnicu opísanú trojuholníku - určiť všetky možné riešenia konštrukcie kružnice opísanej trojuholníku - určiť vzťah medzi typom trojuholníka a polohou stredu opísanej kružnice - pracovať s geometrickým útvarom - pracovať v programe Cabri Geometry - analyzovať daný konštrukčný problém Kompetencie Čo si žiak osvojí - postup konštrukcie opísanej kružnice - polohu stredu opísanej kružnice vzhľadom na typ trojuholníka Čo sa vopred od žiaka očakáva - ovláda vlastnosti a konštrukciu osi úsečky - ovláda vedomosti o vlastnostiach kruhu a kružnice - ovláda vlastnosti trojuholníka - dokáže určiť typ trojuholníka na základe veľkosti jeho vnútorných uhlov - pozná kružnicu, ako množinu bodov, ktoré sú rovnako vzdialené od stredu kružnice - ovláda prácu s počítačom a interaktívnou tabuľou Didaktický Čím sa budeme problém zaoberať - konštrukciou kružnice opísanej trojuholníku - analyzovaním a voľbou vhodného postupu riešenia úlohy 19

- aplikáciu už získaných vedomostí do tvorby nových poznatkov - modelovanie konštrukčnej úlohy na výkrese - kompetencie v oblasti používania interaktívnej tabule a počítača - upevnenie vedomostí o vlastnostiach kruhu, kružnice a trojuholníka Pomôcky - počítač - dataprojektor - interaktívna tabuľa - interaktívny výkres kružnica opísaná trojuholníku" - určením všetkých riešení konštrukcie opísanej kružnice vzhľadom k zadaným podmienkam - vlastnosťami kružnice - vlastnosťami osi úsečky Metódy a formy - heuristický rozhovor - motivačný rozhovor - problémová metóda - diskusia - výklad Odkaz na výkres: http://truchan.wbl.sk/kruznica_opisana_trojuholniku.rar 3.5 Kružnica vpísaná trojuholníku Kružnica vpísaná trojuholníku je v tejto práci poslednou učebnou pomôckou, ktorá bola vytvorená pomocou softvéru Cabri Geometry. Je určená hlavne pre využitie v motivačnej a výkladovej časti vyučovacej hodiny, ale môže byť aplikovaná aj v iných častiach vyučovacej hodiny. Pomôcku tvorí trojuholník ABC, ku ktorému je zostrojená vpísaná kružnica k. Kružnica sa dotýka všetkých strán trojuholníka ABC (Obrázok 8). Vpísaná kružnica je už síce zostrojená, ale postup jej konštrukcie je možné prehrať krok za krokom pomocou funkcie prehrať konštrukciu. Obrázok 8 Výkres Kružnica vpísaná trojuholníku Najlepší spôsob, ako naučiť žiakov dané učivo, je ten, kedy sami žiaci svojím bádaním nájdu správne riešenie. Samozrejme, pod odborným vedením svojho učiteľa, ktorý dokáže vhodne koordinovať snahu tam, kde je potrebná. Ako teda narysujeme vpísanú kružnicu ľubovoľnému trojuholníku? Narysovať vpísanú kružnicu znamená, že musíme 20

nájsť jej stred a polomer. Stred opísanej kružnice sme našli ako priesečník osí strán trojuholníka. Pri jeho hľadaní sme si pomohli úvahou. Kde by mal byť stred opísanej kružnice, aby prechádzal dvomi vrcholmi trojuholníka? Podobne by sme si mohli rozložiť aj problém hľadania stredu vpísanej kružnice. Kde by mal ležať jej stred tak, aby sa dotýkala dvoch strán trojuholníka? Aby sa kružnica dotýkala oboch strán trojuholníka, jej stred musí byť rovnako vzdialený od oboch strán trojuholníka, inak by kružnica musela niektorú zo strán pretínať. Ak by sme vyznačili viacej takých bodov, ktoré majú rovnakú vzdialenosť od oboch strán, zistili by sme, že ležia na priamke. Z tvaru a polohy priamky je zjavné, že táto priamka je zároveň osou vnútorného uhla trojuholníka, ktorý dané dve strany zvierajú. Stred vpísanej kružnice teda musí ležať na osi vnútorného uhla trojuholníka. Rovnakú úvahu môžeme použiť na zvyšné dvojice strán trojuholníka. Prišli sme k záveru, že stred vpísanej kružnice musí ležať na osiach všetkých troch vnútorných uhlov trojuholníka. Z výkresu je zjavné, že túto podmienku spĺňa jediný bod, ktorým je priesečník osí uhlov trojuholníka. Stred by sme teda mali, ale ešte potrebujeme poznať polomer vpísanej kružnice. Tu využijeme vlastnosť dotyčnice, ktorou je jej kolmosť na polomer kružnice. Zostrojíme teda kolmicu, ktorá prechádza stredom vpísanej kružnice. Polomerom kružnice musí byť vzdialenosť stredu vpísanej kružnice od ktorejkoľvek strany trojuholníka. V ľavej časti výkresu máme rovnaké parametre, ako v prípade opísanej kružnice. Týmito parametrami môžeme meniť veľkosť a tvar trojuholníka ABC. Po zmene tvaru trojuholníka sa automaticky zmení aj poloha a polomer vpísanej kružnice (Obrázok 9). Takýmto spôsobom môže učiteľ žiakom prezentovať tvar vpísanej kružnice akéhokoľvek trojuholníka. Takto so žiakmi prídeme k záveru, že stred vpísanej kružnice vždy leží vnútri trojuholníka a k tomu, že vpísanú kružnicu má každý trojuholník. Obrázok 9 Konštrukcia vpísanej kružnice u rôznych typov trojuholníkov Tabuľka 4 Metodický list k pomôcke Kružnica vpísaná trojuholníku Téma Tematický celok Ročník Kružnica vpísaná trojuholníku Kruh, kružnica ôsmy Ciele Čo sa žiak naučí Východiská Čo sa vopred od žiaka očakáva - zostrojiť kružnicu vpísanú trojuholníku - ovláda vlastnosti a konštrukciu osi vnútorného uhla trojuholníka - určiť všetky možné riešenia konštrukcie kružnice vpísanej - ovláda vedomosti o vlastnostiach kruhu a kružnice trojuholníku - ovláda vlastnosti trojuholníka - určiť polomer vpísanej kružnice - ovláda konštrukciu a vlastnosti - pracovať s geometrickým útvarom dotyčnice ku kružnici - pracovať v programe Cabri Geometry - pozná kružnicu, ako množinu bodov, ktoré sú rovnako vzdialené od stredu 21

- analyzovať daný konštrukčný problém Kompetencie Čo si žiak osvojí - postup konštrukcie vpísanej kružnice - polohu stredu vpísanej kružnice vzhľadom na typ trojuholníka - aplikáciu už získaných vedomostí do tvorby nových poznatkov - modelovanie konštrukčnej úlohy na výkrese - kompetencie v oblasti používania interaktívnej tabule a počítača - upevnenie vedomostí o vlastnostiach kruhu, kružnice, dotyčnice a trojuholníka Pomôcky - počítač - dataprojektor - interaktívna tabuľa - interaktívny výkres kružnica opísaná trojuholníku" kružnice - ovláda prácu s počítačom a interaktívnou tabuľou Didaktický problém Čím sa budeme zaoberať - konštrukciou kružnice vpísanej trojuholníku - určením polomeru vpísanej kružnice - analyzovaním a voľbou vhodného postupu riešenia úlohy - určením všetkých riešení konštrukcie opísanej kružnice vzhľadom k zadaným podmienkam - vlastnosťami kružnice - vlastnosťami osi uhla Metódy a formy - heuristický rozhovor - motivačný rozhovor - problémová metóda - diskusia - výklad Odkaz na výkres: http://truchan.wbl.sk/kruznica_vpisana_trojuholniku.rar 22

4 APLIKÁCIA POWERPOINT Aplikáciu PowerPoint pravidelne inovuje a vydáva spoločnosť Microsoft ako súčasť balíka Microsoft Office. Vďaka tomu patrí táto aplikácia k najpoužívanejším na všetkých typoch škôl. Aplikácia PowerPoint slúži na tvorbu prezentácií. Aplikácia poskytuje učiteľovi široké možnosti a bohatú paletu nástrojov na vytváranie rôznych druhov cvičení. Cieľom tejto časti práce je podať našu osvedčenú pedagogickú skúsenosť s aplikáciou interaktívnych výučbových prezentácií v tematickom celku Kruh a kružnica. Najväčším prínosom aplikácie PowerPoint sú jedinečné funkcie, pomocou ktorých sa dajú vytvárať vizuálne prepracované učebné pomôcky. Z ponúkaných funkcií je to hlavne funkcia vloženia animácií a vlastných animácií, ktorých vhodné využitie má za následok tvorbu praktických a graficky unikátnych prezentácií. 4.1 Interaktívna prezentácia Kruh a kružnica Pomocou aplikácie PowerPoint som vytvoril prezentáciu, ktorej hlavným cieľom je aplikácia pri výklade nového učiva. Prezentácia slúži ako pomôcka pre učiteľov pri uvádzaní žiakov do problematiky kruhu a kružnice. Opisuje ich a zrozumiteľnou formou vysvetľuje základné vlastnosti kruhu a kružnice. Jednotlivé snímky nie sú statické, objekty a texty prichádzajú a odchádzajú počas prehliadky prezentácie podľa potreby. Preto sú v tejto práci snímky zobrazené viacerými obrázkami, ktoré ilustrujú jednu snímku (Obrázok 10). Obrázok 10 Interaktívna výučbová prezentácia Kruh a kružnica Pre žiakov sú takéto prezentácie veľmi zaujímavé a motivujú ich k pozornosti a väčšej aktivite na vyučovacej hodine. V nasledujúcej časti tejto práce sa budem venovať opisu tejto učebnej pomôcky a metodike jej využitia na hodinách geometrie. V prezentácii je obsiahnuté učivo z viacerých tém, preto sa na vyučovacích hodinách využíva vždy iba časť tejto prezentácie, ktorá je aktuálne potrebná pre vyučovanie. 23

Čo je kruh a kružnica? Žiaci sa už určite stretli s pojmom kruh. Vedia povedať, ktorý predmet má kruhovitý tvar a ktorý nie. Prvá snímka prezentácie začína praktickými ukážkami predmetov, ktoré majú kruhovitý tvar (Obrázok 11). Sú nimi napríklad minca, dopravná značka alebo cédečko. Geometria má však presnú definíciu kruhu a kružnice. Pojmu kruhu a kružnice je nutné venovať veľkú pozornosť, pretože ich definícia a z nej vyplývajúce vlastnosti majú širokú aplikáciu a dôsledky v nasledujúcich tematických celkoch geometrie. Takmer žiadna konštrukcia sa nezaobíde bez toho, aby sa pritom nepoužila kružnica. Obrázok 11 Ukážka kruhovitých predmetov a uvedenie do problematiky kruhu a kružnice K lepšiemu osvojeniu si pojmov kruhu a kružnice som v nasledujúcich snímkach prezentoval túto úvahu. Majme bod v priestore a nazvime ho S (Obrázok 12). Ako by sme našli bod, ktorý je od bodu S vzdialený dva centimetre? Na túto otázku žiaci reagujú okamžite. Stačí zobrať pravítko a odmerať dva centimetre od bodu S ktorýmkoľvek smerom. Nie je to však jediný takýto bod, musí ich byť viacej. Predsa dva centimetre môžeme odmerať ktorýmkoľvek smerom. Takto môžeme znázorniť dva body, ktorých vzdialenosť od bodu S je dva centimetre. Potom tretí bod. Až na nasledujúcej snímke tých bodov dvadsať. Obrázok 12 Množina bodov, ktoré sú vzdialené od bodu S dva centimetre 24

Ak sme všetky body rozmiestňovali do všetkých smerov, tak pri pohľade na obrázok nám už teraz nápadne pripomína známy kruhovitý tvar. Kružnica Obrázok 13 Body, ktoré sú rovnako vzdialené od bodu S vytvárajú kružnicu Takýmto spôsobom sa žiaci dopracujú k pojmu kružnica. Prezentácia pokračuje nutnými definíciami a názorným predstavením pojmov, ktoré je nutné poznať v tomto tematickom celku. Kružnica je množina všetkých bodov, ktoré majú od určitého bodu rovnakú vzdialenosť. Tento bod nazývame stred kružnice a vzdialenosť každého bodu od stredu kružnice nazývame polomer kružnice (Obrázok 14). Priemer kružnice je vzdialenosť dvoch bodov ležiacich na kružnici, ktorých spojnica prechádza stredom kružnice. Polomer a priemer sú na snímke zvýraznené animovanou šípkou pre názornejšiu predstavu u žiakov. Kružnica sa bude označovať malým písmenom k a kružnica k so stredom S a polomerom sa bude skrátene zapisovať ako k(s,r). Kruh Obrázok 14 Definícia kružnice a základných pojmov Kružnicu už poznáme, ale čo je kruh? Kruhu sa venuje nasledujúca snímka, ktorá zavádza pojem kruhu ( Obrázok 15). Kruh je množina bodov, ktoré majú od stredu rovnakú alebo menšiu vzdialenosť ako je polomer kruhu. Kružnici patrí iba samotná obvodová čiara. Kruhu patria aj body vnútri kružnice. Kruh je teda vlastne plocha, ktorá 25

je ohraničená kružnicou. Do kružnice by sa prst vložiť dal, ale do kruhu už nie, pretože ten je zvnútra plný. Pre názornejšie pochopenie rozdielu medzi kruhom a kružnicou som uviedol ešte aj príklady kruhu a kružnice zo života. Za kružnicu, ktorú tvorí iba akási obruč, by sme mohli považovať prsteň a za kruh by to mohol byť napríklad tanier, ktorý je zvnútra plný. Tetiva kružnice Obrázok 15 Zavedenie pojmu kruh a porovnanie s pojmom kružnice Táto snímka sa venuje pojmu tetiva kružnice. Tetiva kružnice je úsečka, ktorej krajné body ležia na kružnici. Žiaci majú počas prezentácie tejto snímky sledovať všetky spomínané geometrické pojmy na obrázkoch a tým si môžu k týmto pojmom priradiť zodpovedajúcu vlastnú predstavu o danom pojme. Ak žiakom podáme len takto formulovanú vetu, veľa žiakov si nezapamätá tento pojem. Ak však použijeme názornú ukážku, napríklad pomocou prezentácie, efektivita osvojenia si pojmu sa určite zvýši. V tejto časti prezentácie sa žiaci dozvedia o tom, že tetiva môže mať rôzne dĺžky (Obrázok 16). Záleží to od polohy krajných bodov úsečky na kružnici. Minimálna dĺžka tetivy sa pritom môže blížiť až k nule, keď sa budú krajné body približovať celkom k sebe. Tetiva s maximálnou dĺžkou vznikne vtedy, keď tetiva prechádza stredom kružnice. Vtedy je tetiva zároveň priemerom kružnice. Obrázok 16 Definícia pojmu tetiva a jej vlastnosti 26

Každá tetiva rozdeľuje kruh na dve časti. Každú z týchto dvoch rozdelených častí nazývame kruhový odsek. Po oboznámení sa a kruhovým odsekom sa ešte žiaci dozvedia dôležitú vlastnosť tetivy, ktorou je poznatok o tom, že os každej tetivy prechádza stredom kružnice. Obsah kruhu a kruhový výsek Ešte pred tým, ako sa prezentácia venuje obsahu kruhu, je potrebné zopakovať si samotný pojem obsah geometrického útvaru. Pre zopakovanie tohto pojmu bol zvolený geometrický útvar obdĺžnik, ktorý je vďaka kolmosti jeho strán na to veľmi vhodný. Žiak má v tejto časti prezentácie pred sebou obdĺžnik so stranami sedem centimetrov a štyri centimetre. Určite pre žiakov nebude problém určiť obsah obdĺžnika, ktorý je dvadsať osem centimetrov štvorcových. Ale prečo vlastne počítame obsah obdĺžnika práve takto? Čo je to vlastne obsah geometrického útvaru? Keďže má obsah svoju veľkosť, tak musí mať aj svoju jednotku. Jednotkou obsahu je štvorček s jednotkovou dĺžkou úsečky. Ak chceme určiť obsah geometrického útvaru, je potrebné zistiť, z koľkých štvorčekov s jednotkovou dĺžkou úsečky sa geometrický útvar skladá. Obrázok 17 Zopakovanie si pojmu obsah geometrického útvaru V prezentácii máme geometrický útvar obdĺžnik (Obrázok 17). Strana s dĺžkou sedem centimetrov sa dá rozdeliť na sedem úsečiek s jednotkovou dĺžkou. Podobne strana s dĺžkou štyri centimetre sa dá rozdeliť na štyri úsečky s jednotkovou dĺžkou. Ak zo všetkých znázornených bodov na stranách obdĺžnika zostrojíme kolmé úsečky, tak sa nám obdĺžnik rozdelí na štvorčeky, ktorých dĺžka strany je jeden centimeter. Teraz už stačí iba spočítať štvorčeky, z ktorých sa obdĺžnik skladá a máme jeho obsah, ktorý je dvadsať osem centimetrov štvorcových. Kruh je však tvarovo odlišný geometrický útvar (Obrázok 18). Jeho kruhovitý tvar spôsobuje to, že sa nedá takto ľahko ako obdĺžnik, rozčleniť na štvorčeky s jednotkovou úsečkou. Kruhovitý tvar kruhu vyjadruje nový pojem, ktorý nazývame Ludolfovo číslo a označujeme znakom gréckej abecedy π. Jeho hodnota po zaokrúhlení na stotiny je približne 3,14. Po zavedení Ludolfovho čísla prezentácia prechádza k vzorcu pre výpočet obsahu kruhu a uvádza závislosť medzi obsahom kruhu a jeho polomerom. Pre hlbšiu analýzu podstaty výpočtu obsahu kruhu žiak potrebuje mať vedomosti a schopnosti na vyššej úrovni, preto sa prezentácia nevenuje tomu, prečo je vzorec presne v takomto tvare, v akom je. 27

Obrázok 18 Zavedenie Obsahu kruhu S obsahom kruhu priamo súvisí téma Kruhový výsek. Na snímke venovanej kruhovému výseku sa tento pojem definuje ako časť kruhu, ktorá vznikne rozdelením kruhu dvomi polomermi SA a SB, kde A a B sú rôzne body ležiace na kružnici a S je stred kruhu (Obrázok 19). S kruhovým výsekom majú žiaci bohaté skúsenosti z praxe. Kruhový výsek vznikne napríklad na oslave pri krájaní torty, alebo pri rezaní pizze v reštaurácii. Veľkosť kruhového výseku závisí od veľkosti stredového uhla α. Na ďalšej snímke sa odvodzuje vzorec pre výpočet veľkosti obsahu kruhového výseku. Kruhový výsek s plným stredovým uhlom má rovnaký obsah ako celý kruh. Ak by mal stredový uhol jeden stupeň, obsah kruhového výseku by musel byť tristošesťdesiatkrát menší, ako je obsah kruhu. Ak teraz bude mať stredový uhol veľkosť α, tak obsah kruhového výseku bude α krát väčší. Výsledný vzorec je zvýraznený v rámčeku. Obrázok 19 Zavedenie pojmu Kruhový výsek Jednotlivé objekty a texty, ktoré prichádzajú na snímku sú riadené učiteľom. Je možné sa v prezentácii vrátiť na predošlú snímku, alebo nechať na snímke len tie objekty, ktoré potrebujeme. PowerPoint dáva v tomto ohľade naozaj široké možnosti. 28

Obvod kruhu a Dĺžka kružnicového oblúka Posledné snímky tejto výučbovej prezentácie sú venované obvodu kruhu a s tým súvisiacou dĺžkou kružnicového oblúka. Pojem obvodu kruhu je vlastne totožný s pojmom dĺžka kružnice. Pojem dĺžka kružnice je žiakom omnoho bližší, pretože s pojmom dĺžka sa často stretávali v bežnom živote. Snímka je obohatená obrázkom kružnice, na ktorej môže učiteľ názorne vysvetliť žiakom, čo predstavuje obvod kruhu. Vzorec pre jeho výpočet je zvýraznený obrysovou čiarou. Podobne ako u kruhového výseku, aj dĺžku kružnicového oblúka vyjadruje veľkosť stredového uhla α. Vzorec pre výpočet dĺžky oblúka sa môže vyjadriť cez jednotkový stredový uhol. Samotný vzorec je zvýraznený obrysom a všetky pojmy, ktorých sa týka kružnicový oblúk sú znázornené na obrázku. Obrázok 20 Zavedenie pojmov Obvod kruhu a Dĺžka kružnicového oblúka Tabuľka 5 Metodický list k výučbovej prezentácii Kruh a kružnica Téma Tematický celok Ročník Kruh, kružnica Tetiva kružnice Obsah kruhu a dĺžka kružnice Kruhový výsek a kružnicový oblúk Kruh, kružnica Ciele Čo sa žiak naučí Východiská - zadefinovať pojmy kruh, kružnica, tetiva kružnice, obsah a obvod kruhu, kruhový výsek a kružnicový oblúk - určiť vzorec pre výpočet obsahu a obvodu kruhu, obsahu kruhového výseku a dĺžku kružnicového oblúka - určiť vlastnosti kruhu, kružnice, tetivy kružnice a hodnotu Ludolfovho čísla π - odvodiť vybrané vzorce - pracovať s geometrickým útvarom - pracovať v aplikácii PowerPoint ôsmy Čo sa vopred od žiaka očakáva - ovláda pojem obsah a obvod - ovláda pojmy os úsečky a uhol - ovláda obsahy a obvody rovinných útvarov - dokáže určiť vzdialenosť dvoch bodov v rovine - pozná prostredie a prácu s aplikáciou PowerPoint - ovláda prácu s počítačom a interaktívnou tabuľou 29

Kompetencie Čo si žiak osvojí - definíciu pojmov kruh, kružnica, tetiva kružnice - chápanie kružnice ako množinu bodov danej vlastnosti - aplikáciu už získaných vedomostí do tvorby nových poznatkov - vzorce pre výpočet obsahu a obvodu kruhu - vzorce pre výpočet obsahu kruhového výseku a dĺžky kružnicového oblúka - upevnenie vedomostí o výpočte obsahu kolmého rovinného geometrického útvaru - veľkosť a označenie Ludolfovho čísla π Pomôcky - počítač - dataprojektor - interaktívna tabuľa - interaktívna výučbová prezentácia "Kruh a kružnica" Didaktický problém Čím sa budeme zaoberať - pojmami kru, kružnica, tetiva kružnice, kružnicový oblúk, kruhový výsek - definovaním kružnice ako množiny bodov danej vlastnosti - analyzovaním a voľbou vhodného postupu riešenia úlohy - vlastnosťami kružnice, kruhu, tetivy kružnice, kruhového výseku, kružnicového oblúka - vlastnosťami osi úsečky - zavedením Ludolfovho čísla π Metódy a formy - heuristický rozhovor - motivačný rozhovor - problémová metóda - diskusia - výklad Odkaz na prezentáciu: http://truchan.wbl.sk/kruh_a_kruznica.pptx 30