ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ε (ρχή) φορές (πέρς) 1. Τι ορίζετι ως διάνυσµ ; Το διάνυσµ ορίζετι ως έν προσντολισµένο ευθύγρµµο τµήµ του οποίου τ άκρ θεωρούντι διτετγµέν. Έτσι το πρώτο άκρο ονοµάζετι ρχή ( ή ση- µείο εφρµογής ) ενώ το δεύτερο άκρο ονοµάζετι πέρς.. Ποι είνι τ χρκτηριστικά ενός δινύσµτος ΑΒ; Τ χρκτηριστικά ενός δινύσµτος είνι ) Το µέτρο ( µήκος του ευθύγρµµου τµήµτος ΑΒ ) ) Ο φορές του, δηλδή η ευθεί πάνω στην οποί ρίσκετι ( δηλ. η ε ) γ) Η φορά δηλδή ποι είνι η ρχή κι πιο το τέλος ( Έτσι το ΑΒ ΒΑ) 3. Ποιο είνι το µηδενικό διάνυσµ κι πιο το µονδιίο ; Μηδενικό είνι το διάνυσµ στο οποίο η ρχή κι το πέρς συµπίπτουν. Συµολίζετι 0 ή ΑΑ ή ΒΒ κ.ο.κ.. ( Ν θυµόµστε ότι έχει µέτρο 0 ενώ φορά κι διεύθυνση ότι επιλέξουµε ). Μονδιίο είνι το διάνυσµ του οποίου το µέτρο ισούτι µε 1. 4. Υπάρχει διφορά µετξύ φορέ κι διεύθυνσης ; Ο φορές όπως είπµε είνι η ευθεί πάνω στην οποί ρίσκετι το διάνυσµ ενώ η διεύθυνση είνι οποιδήποτε ευθεί // µε τον φορέ. Ππχρήστου Α. www.praxisgroup.gr 1

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 5. Ποι δινύσµτ ονοµάζοντι συγγρµµικά, ποι οµόρροπ κι ποι ντίρροπ ; ( ίδιο φορέ ή // φο- ύο µη µηδενικά δινύσµτ ΑΒ κι ρείς ) θ λέγοντι συγγρµµικά ( ή // ). Γ µε την ίδι διεύθυνση ύο µη µηδενικά δινύσµτ τ οποί είνι συγγρµµικά κι έχουν επιπλέον ίδι φορά ( δηλδή ίδι κτεύθυνση ) θ λέγοντι οµόρροπ ενώ ν έχουν ντίθετη φορά ντίρροπ ( ντίθετη κτεύθυνση ) Θ Γ Z E ΑΒ// ΗΘ// Γ // ΕΖ Οµόρροπ ( ) : ΑΒ ΗΘ Γ Αντίρροπ ( ) : ΑΒ ΕΖ, ΗΘ ΕΖ, Γ ΕΖ H 6. Ποι δινύσµτ λέγοντι ίσ κι ποι ντίθετ ; ύο δινύσµτ τ οποί είνι οµόρροπ µε ίδιο µέτρο λέγοντι ίσ ενώ ν είνι ντίρροπ µε ίσο µέτρο λέγοντι ντίθετ.! ΑΒ = ΒΑ ( δηλδή λλγή της σειράς των γρµµάτων επιφέρει λλγή προσήµου ) 7. Πως ορίζετι η γωνί δύο δινυσµάτων ; Έστω µη µηδενικά δινύσµτ κι µε ρχή έν κοινό σηµείο Ο θεωρούµε δύο δινύσµτ ΟΑ, ΟΒ ώστε ν ισχύει ΟΑ =, ΟΒ =. O Γωνί των δινυσµάτων, ( θ συµολίζουµε (, ) ή (, )) θ ονοµάζουµε την κυρτή γωνί ΑΟΒ ˆ που ορίζουν οι ηµιευθείες ΟΑ κι ΟΒ. Έτσι λοιπόν θ έχουµε ο ο 0 (, ) 180. ( Αν τότε (, ) = 0, ν τότε (, ) 180 ο = ενώ ν τότε, ) 90 ο = Ππχρήστου Α. www.praxisgroup.gr

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 8. Ορίζοντι πράξεις µε τ δινύσµτ κι ποιες είνι υτές ; Οι πράξεις µετξύ των δινυσµάτων είνι : Η πρόσθεση, η φίρεση, ο πολλπλσισµός ριθµού µε διάνυσµ, ο πολλπλσισµός δινύσµτος µε διάνυσµ ( εσωτερικό γινόµενο, εξωτερικό γινό- µενο, µικτό γινόµενο ) Πρτήρηση εν θ σχοληθούµε µε εξωτερικό µικτό γινόµενο κι φυσικά δεν υπάρχει διίρεση δινυσµάτων 9. Πως ορίζετι η πρόσθεση των δινυσµάτων κι ποιες οι ιδιότητές της ;. Με ρχή το σηµείο Ο πίρνουµε δινύσµτ ΟΑ = κι στη συνέχει ( διδοχικά ) µε ρχή το Α πίρνουµε διάνυσµ ΑΜ =. Το διάνυσµ ΟΜ λέγετι άθροισµ ( συνιστµένη ) των κι ( σχ. 1 ). Έστω δυο δινύσµτ, Πρτήρηση Το άθροισµ µπορούµε ν το ρούµε κι µε το λεγόµενο κνόν πρλληλογράµµου. Αν κάνουµε τ δινύσµτ κι ν έχουν κοινή ρχή έν σηµείο Ο ( δηλδή ΟΑ =, ΟΒ = ) τότε η διγώνιος ΟΜ του # που κτσκευάζετι µε πλευρές ΟΑ κι ΟΒ είνι κι πάλι η συνιστµένη (σχ.). O Μεθοδολογί τρόπος (διδοχικά) M O + σχήµ 1 σχήµ τρόπος (µε κοινή ρχή) Πολλές φορές γι ν ποδείξουµε µι σχέση δινυσµάτων πρέπει ν νλύσουµε κάποι πό υτά. Ένς τρόπος είν ι ν νλύσουµε σε άθροισµ διδοχικών δινυσµάτων πχ. ΚΛ = ΚΑ + ΑΒ + ΒΝ + ΝΛ. Φυσικά οι συνιστώσες θ είνι δινύσµτ που έχουν «σχέση» µε την πόδειξη. M Ππχρήστου Α. www.praxisgroup.gr 3

Οι ιδιότητες της πρόσθεσης είνι: i. Αντιµετθετική : + = + ii. Προσετιριστική : ( + ) + γ = + ( + γ) iii. Ουδέτερο : + 0= iv. Συµµετρικό ( ντίθετο ) : + ( ) = 0 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 10. Τι ονοµάζουµε διάνυσµ θέσεως ( δινυσµτική κτίν ) ; Έστω Ο έν στθερό σηµείο του επιπέδου. Τότε γι κάθε σηµείο Μ του επιπέδου το διάνυσµ ΟΜ θ λέγετι διάνυσµ θέσεως Μ ή δινυσµτική κτίν του Μ. Έστω το στθερό σηµείο Ο θ λέγετι σηµείο νφοράς. 11. Πως ορίζετι η φίρεση των δινυσµάτων κι ποιες οι ι- διότητές της ; Η διφορά ορίζετι ως το άθροισµ των δινυσµάτων κι. ηλδή = + ( ). Έχουµε λοιπόν : +(- ) - O ηλδή =ΟΑ ΟΒ=ΒΑ - Μεθοδολογί Αν θεωρήσουµε έν σηµείο νφοράς Ο τότε µπορούµε ν νλύσουµε οποιοδήποτε διάνυσµ ως διφορά της δινυσµτικής κτίνς του τέλους του µείον την δινυσµτική κτίν της ρχής του. Π.χ. ΚΛ = ΟΛ ΟΚ. Αυτό είνι ιδιίτερ «ολικό» ότν η νάλυση σε διδοχικά δινύσµτ µις δίνει µεγάλες σχέσεις. Οι ιδιότητες της φίρεσης είνι: i. = + γ = + γ ( Νόµος διγρφής ) ii. = κιγ= δ ± γ= ± δ ( πρόσθεση φίρεση σχέσεων ) 4 Ππχρήστου Α. www.praxisgroup.gr

iii. + x = x = ( επίλυση εξίσωσης ) ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Οι σχέσεις i,ii, δεν περιέχοντι στο ιλίο µς πρόλο που χρησιµοποιούντι συχνά. Γι την iii έχουµε την πόδειξη + x = ( ) + ( + x) = ( ) + ( + ) + x = + ( ) Ο+ x = x = 1. Τι ισχύει γι το µέτρο του θροίσµτος + ; Από την γεωµετρί κι την τριγωνική νισότητ έχουµε: + + O + Πρτήρηση : Με την οήθει του εσωτερικού γινοµένου µπορούµε ν δείξουµε ότι: i. + = + ii. + = Μεθοδολογί Οι πρπάνω εξισώσεις i, ii είνι µέθοδος πόδειξης πρλληλίς κι εφρµόζετι ότν τ δεδο- µέν της άσκησης νφέροντι µόνο σε µέτρ. 13. Πως ορίζετι ο πολλπλσισµός ριθµού λ µε έν διάνυσµ ; Έστω λ ένς πργµτικός ριθµός µε λ IR * κι 0. Τότε ονοµάζουµε γινόµενο του λ µε το κι θ συµολίζουµε µε λ έν νέο διάνυσµ γι το οποίο ισχύουν. ) έχει µέτρο λ ) λ γι λ > 0 ενώ λ γι λ < 0 Τέλος ν λ = 0 ή = 0 τότε λ = 0 Ππχρήστου Α. www.praxisgroup.gr 5

14. Ποιες είνι οι ιδιότητες της πράξης υτής ; Οι ιδιότητες που ισχύουν είνι οι σικές λ + = λ + λ, λ IR i. ( ) λ + µ = λ + µ, λ, µ IR ii. ( ) λµ iii. λ ( µ ) = ( ) ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ κι οι συνέπειές τους i. λ = 0 λ = 0η = 0 λ = λ = λ ii. ( ) ( ) ( λ = λ λ iii. ( ) iv. ( λ µ ) = λ µ v. ν λ = λ κι λ 0 τοτε = vi. ν λ = µ κι 0 τοτε λ = µ ) 15. Τι ονοµάζετι γρµµικός συνδυσµός δινυσµάτων. Αν θεωρήσουµε δυο δινύσµτ κι κι έν άλλο διάνυσµ γ πράγετι πό υτά π.χ. γ = 5 3 τότε θ λέµε ότι το γ είνι ένς γρµµικός συνδυσµός των κι. Γενικά γρµ- µικό συνδυσµό των κι, θ ονοµάζουµε κάθε διάνυσµ της µορφής v = κ + λ όπου κ, λ ΙR. Σηµείωση Αποδεικνύετι ότι ν τότε το v γράφετι κτά µονδικό τρόπο ως γρµµικός συνδυσµός των,. ( Αυτή είνι κι η ιδέ που οδήγησε τον Κρτέσιο στην κτσκευή των συντετγµένων ). 6 Ππχρήστου Α. www.praxisgroup.gr

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 16. Πως συµπερίνουµε ότι δύο δινύσµτ είνι // ; Θεώρηµ. Αν, είνι δύο δινύσµτ µε 0 τότε ισχύει η ισοδυνµί // = λ όπου λ ΙR. Απόδειξη ευθύ: ν // τότε ή ή = 0. Ορίζουµε τον ριθµό κ = άρ = κ, κ > 0 Έτσι ν τότε = κ Αν τότε = κ Αν = 0 τότε = 0 ηλδή υπάρχει πάντοτε λ ( κι µάλιστ µονδικός ) έτσι ώστε = λ Αντίστροφο: Εφόσον = λ κι λ // πό την πράξη του πολλπλσισµού ριθµού µε διάνυσµ προκύπτει άµεσ ότι κι //. 17. Τι γνωρίζουµε γι την δινυσµτική κτίν µέσου τµήµτος ; Αν ΑΒ έν τυχίο τµήµ κι Μ το µέσον του, τότε έχουµε ( Ο σηµείο νφοράς ) ΑΜ=ΜΒ ΟΜ ΟΑ=ΟΒ ΟΜ ΟΜ =ΟΒ+ΟΑ 1 ΟΜ = ( ΟΑ + ΟΒ) O M Γ Σηµείωση: Η πρπάνω σχέση εκφράζει τον κνόν ν πό τ Α, Β φέρουµε // προς τις ΟΒ, ΟΑ ντίστοιχ, οπότε κι το ΟΜ είνι η διγώνιος ΟΓ δηλδή η συνιστµένη των ΟΑ, ΟΒ Μεθοδολογί Σε σκήσεις που στ δεδοµέν δίνοντι µέσ τµηµάτων, σκεφτόµστε πάντοτε την δινυσµτική κτίν του µέσου. Ππχρήστου Α. www.praxisgroup.gr 7

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 18. Τι ονοµάζουµε ) άξον, ) ποιο είνι το ορθοκνονικό σύστηµ ξόνων ( Κρτεσινό επίπεδο), γ) πως ορίζοντι οι συντετγµένες ενός δινύσµτος ; ) Αν πάνω σε µι ευθεί x x επιλέξουµε σηµεί Ο κι Α, έτσι ώστε το διάνυσµ ΑΟ ν έχει µέτρο 1 κι ν ρίσκετι στην ηµιευθεί ΟΧ τότε λέµε ότι έχουµε έν άξον µε ρχή Ο κι µονδιίο διάνυσµ ΟΑ = i i x Ο M x Είνι φνερό ότι γι οποιοδήποτε σηµείο Μ του x x θ υπάρχει µονδικός ριθµός x έτσι ώστε ΟΜ = x O δηλδή ΟΜ = xi x y M j Ο i x y ) Αν πάνω στο επίπεδο σχεδιάσουµε δύο κάθετους άξονες x x κι y y µε κοινή ρχή Ο κι µονδιί δινύσµτ i κι j ντίστοιχ τότε έχουµε έν ορθοκνονικό σύστηµ συντετγµένων. ηλδή i j ι = j = γ) Αν Μ έν σηµείο του επιπέδου τότε µπορούµε ν φέρουµε // στον y y κι στον x x ( πό το Μ ) που τέµνει στ Α κι Β τον x x κι y y ντίστοιχ. Έχουµε λοιπόν ότι ΟΜ =ΟΑ+ΟΒ ( κνόνς #) δηλδή ΟΜ = xi+ yj. Εποµένως τους συντελεστές των i, j δηλδή τ x,y θ τ ονοµάσουµε συντετγµένες του σηµείου Μ λλά κι του δινύσµτος OM. Θ γράφουµε Μ(x,y), OM = (x,y ). Το x ονοµάζετι τετµηµένη, ενώ το y τετγµένη. Αποδεικνύετι δε ότι οι συντετγµένες είνι µονδικές. Πράγµτι ν ( x, y ) ήτν έν άλλο ζευγάρι µε x x, y y, τότε γι το a θ είχµε a = xi+ yi ' x x y' y xi + yi = x' i + y' j ( x x') i = ( y' y) j i = j i// j άτοπο φού a = x' i+ y' j x x' i j 8 Ππχρήστου Α. www.praxisgroup.gr

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 19. Πως χρησιµοποιούµε τις συν/νες στην ισότητ των δινυσµάτων ; ύο δινύσµτ είνι ίσ ν κι µόνο ν οι ντίστοιχες συντετγµένες είνι ίσες δηλδή: a = ( a1, a) 1 = 1 τότε = = ( 1, ) = 0. Πως χρησιµοποιούµε τις συντετγµένες στις πράξεις των δινυσµάτων ; (, ) κι = ( x, y) τότε γι την πρόσθεση έχουµε a+ = ( x1 + x, y1 + y), γι την φίρεση έχουµε a = ( x1 x, y1 y), γι τον πολλπλσισµό ριθµού µε δινύσµτ έ- χουµε λ = ( λx ) 1, λy κι γενικά γι τον γρµµικό συνδυσµό 1 λ + µ = ( λ x1 + µ x, λ y1 + µ y Αν = x1 y1 ) 1. Ποιες είνι οι συντετγµένες µέσου τµήµτος ΑΒ; Αν ( x1, y 1) κι Β ( x, y ) οι συν/νες των άκρων του τµήµτος ΑΒ τότε ν Ο το σηµείο νφοράς κι Μ (x,y ) µέσον ΑΒ, γνωρίζουµε ότι: 1 1 OM = ( O + O) ( x, y) = [( x1, y1) + ( x, y )] x + x y + y ( xy, ), =. Ποιες είνι οι συντετγµένες ενός δινύσµτος ; Ο y (x,y) 1 1 (x,y) x Ότν το διάνυσµ δεν είνι διάνυσµ θέσης ( δινυσµτική κτίν ) τότε νλύετι µε την οήθει των δινυσµτικών κτινών κι οι συντετγµένες του προκύπτουν ν πό την τετµηµένη του τέλους - φιρέσουµε την τετµηµένη της ρχής κι πό την τετγµένη του τέλους την τετγµένη της ρχής. Αν Α( x 1 y 1 ) κι Β ( x, y ) τότε O = ( x1, y1), O = ( x, y) κι ΑΒ = ΟΒ ΟΑ = ( x x, y ) y 1 1 3. Ποιος είνι ο τύπος του µέτρου ενός δινύσµτος ; i) Στην περίπτωση που το διάνυσµ είνι διάνυσµ θέσης πχ a = O τότε προάλλουµε το τέλος Α στους άξονες x x, y y κι εφρµόζουµε Πυθγόρειο Θεώρηµ. ηλδή: Ππχρήστου Α. www.praxisgroup.gr 9

y ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ (0,y) (x,y) Άρ ( O1) = x, ( O) = y κι πό Πυθγόρειο Θεώρηµ στο Ο 1(x,0) x O 1 έχουµε = ( ΟΑ ) + ( Α Α ) = ( ΟΑ ) + ( ΟΑ ) = x + y = x + y 1 1 ή a = x + y ii) Στην περίπτωση που το διάνυσµ δεν είνι διάνυσµ θέσης λλά έν ΑΒ µε συν/νες x x, y y ) κι πάλι µπορούµε ν εφρµόσουµε τον πρπάνω τύπο φού µπορούµε πάντ ( 1 ν «µετφέρουµε» έν διάνυσµ στην ρχή ( ελεύθερο διάνυσµ ). Έτσι έχουµε: = ( x x ) + ( y y ) = ( ) 1 που είνι κι η πόστση των σηµείων Α κι Β. 4. Πως εκφράζετι η // των δινυσµάτων µε τις συντετγµένες ; δύο δινύσµτ του επιπέδου µε 1 1 τότε ποδεικνύετι η ισο- Έστω a, = ( x, y ) κι = ( x, y) x1 y1 δυνµί a// det( a, ) = 0 όπου det( a, ) = x1y x y = y x ( ορίζουσ συντγµένων ). 5. i)τι ονοµάζουµε γωνί δινύσµτος µε x x, ii) πως ορίζετι ο συντελεστής διεύθυνσης του δινύσµτος κι iii) ποι η σχέση του µε την // των δινυσµάτων ; (x,y) Ο y φ x i) Έστω a = ( x, y) έν µη µηδενικό διάνυσµ του επιπέδου. Θ ονοµάζουµε γωνί που σχηµτίζει το διάνυσµ a µε τον άξον x x την γωνί φ ότν υτή προκύπτει πό την περιστροφή του Ox γύρω πό το Ο κτά την θετική φορά ( ντίθετ πό το ρολόι ) κι µέχρι ν συµπέσει µε το διάνυσµ γι την γωνί υτή πρέπει ν ισχύει 0 φ < π ii) Αν γι το διάνυσµ = ( x, y) ισχύει x 0( δηλδή δεν είνι // µε y y) τότε το πηλίκο λ = x y 10 Ππχρήστου Α. www.praxisgroup.gr

το ονοµάζουµε συν/νη διεύθυνσης του a. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Από τριγωνοµετρί είνι φνερό ότι ισχύει. λ = εφφ Σχόλιο : Γι // x ' x προκύπτει λ = 0 ενώ γι a// y' y δεν ορίζετι. iii) Έστω a = ( x, y ) κι = ( x, y ) µε x1 0 κι x 0( άρ ορίζοντι συντελεστές διεύθυνσης 1 1 1 1 ) τότε έχουµε // x y = 0 xy y y = xy 1 = λ1 = λ x y x x 6. Τελικά πως ποδεικνύετι η // δύο δινυσµάτων ; ( Μεθοδολογί ) Οι τρόποι που έχουµε µέχρι τώρ συνντήσει είνι οι εξής : Με την εύρεση λ τέτοιου ώστε = λ ( δίνει κι φορά φού ν λ > 0 είνι ενώ ν λ < 0 τότε Με την οήθει της ορίζουσς εφόσον γνωρίζουµε συν/νες ( δεν δίνει φορά ) // det( a, ) = 0 Με την οήθει των συν/στών διευθύνσεις εφόσον ορίζοντι ( δεν δίνει φορά ) // λ = λ Με την οήθει των µέτρων εφόσον γνωρίζουµε τις τιµές τους ( δίνει κι φορά ) δηλδή + = + ( η πόδειξη υτής της σχέσης χρειάζετι εσωτερικό γινόµενο ) + = Με την εύρεση της γωνίς τους ή του συνηµιτόνου της γωνίς τους ( δίνει κι φορά ) δηλδή Λ Λ (, ) = 0 συν(, ) = 1 ( η χρήση υτής της µεθόδου πιτεί εσωτερικό γινόµενο (, ) = π συν (, ) = 1 7. Πως ορίζετι το εσωτερικό γινόµενο δινυσµάτων ; Ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δυο µη µηδενικών δινυσµάτων κι τον πργµτικό ριθµό = Λ φ συνφ, = (, ) = (, ). ο φ π Αν = ο ή = ο τότε ορίζουµε = 0 Ππχρήστου Α. www.praxisgroup.gr 11

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 8. Τι ονοµάζετι νλυτική έκφρση του εσωτερικού γινόµενου κι πως υπολογίζετι ; Η νλυτική έκφρση του εσωτερικού γινόµενου είνι η έκφρσή του πό τις συντετγµένες των δύο δινυσµάτων. Αν έχουµε = ( x1, y1) κι = ( x, y) τότε θ ποδείξουµε ότι: a = x1x + y1y y (x,y) Έστω a = O= ( x1, y1), = ΟΒ = ( x, y) τότε εφρµόζουµε νόµο συνηµίτονων στο (x,y) O 1 1 ( ΑΒ ) = ( ΟΑ ) + ( ΟΒ) ( ΟΑ)( ΟΒ ) συνφ (1) φ Όµως (ΑΒ) = ( ) x x1 + ( y y1), ( O) = x1 + y1 = a Ο x (ΟΒ) = x + y = άρ η σχέση (1) γίνετι ( ) ( ) 1 1 x x + y y = x + y + x + y συνφ x x x + x + y y y + y = x + y + x + y 1 1 1 1 xx + yy = a a = x1x + y1y ( ) 9. Τι γνωρίζουµε γι το συνηµίτονο της γωνίς δύο δινυσµάτων ; Αν λύσουµε τον τύπο του εσωτερικού γινοµένου ως προς το συνηµίτονο προκύπτουν οι εκφράσεις : Λ xx + yy συν 1 = = x + y x + y 1 Σχόλιο : Όπως έχουµε νφέρει το συνηµίτονο µς οηθάει στην εύρεση // λλ κι γενικότερ στην εύρεση γωνίς ( θ χρησιµοποιηθεί κι στο επόµενο κεφάλιο ). 30. Ποιες είνι οι ιδιότητες του εσωτερικού γινοµένου ; Υπάρχουν κι ιδιότητες που είχµε µάθει στους πργµτικούς κι δεν ισχύουν; i) Άµεσες συνέπειες πό τον ορισµό είνι οι εξής : ) = ( ντιµετθετική ιδιότητ ) 1 Ππχρήστου Α. www.praxisgroup.gr

) = 0 γ) =, = ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ δ) = Ενώ ποδεικνύοντι οι ιδιότητες ε) ( λ) = ( λ) = λ( ) + γ = + γ ζ) ( ) η) λ λ = 1 εφόσον y' y, y' y Απόδειξη a = ( x, y ), = ( x, y ), γ = ( x, y ) κι λ Έστω 1 3 3 ε) λ = λx, λ y ( x, y ) = λx x + ( λ y ) y = λ( x x ) + λ( y y ) ( ) ( ) ( ) = λ ( xx + yy ) = λ ( ) 1 ( οµοίως κι γι ( λ) ) ζ) ( + γ) = ( x, y )( x + x, y + y ) = x ( x + x ) + y ( y + y ) 1 3 3 3 3 = ( x x + x x ) + ( y y + y y ) = ( x x + y y ) + ( x x + y y ) 1 3 1 3 1 3 1 3 = a + γ 1 0, 0 η) x x y y = 0 xx + yy = 0 yy = xx = x x 1 λ λ = 1 ii) Όµως πρέπει ν γνωρίζουµε ότι κάποιες ιδιότητες που γνωρίζουµε δεν ισχύουν ( τουλάχιστον πντού ) δηλδή : γ ( προσετιριστική ) ) ( γ) ( ) ) = γ / = γ ( νόµος διγρφής ) ο γ) Ππχρήστου Α. www.praxisgroup.gr 13

δ) ( ) ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ε) οι τυτότητες των κύων ( ενώ ισχύουν ) όλες των τετργώνων. 31. Πως ποδεικνύετι η κθετότητ δύο δινυσµάτων ; π Εφόσον τ δινύσµτ δεν είνι µηδενικά ρκεί ν δείξουµε ότι = 0 ή η γωνί τους είνι, = 0 συν ή λ λ = 1εφόσον όµως ορίζοντι οι συν/στες. ( ( ) ) Αν κάποιο πό υτά είνι µηδενικό είνι προφνές ότι είνι. 3. Πως γίνετι η προολή ενός δινύσµτος πάνω σε άλλο διάνυσµ κι ποι σχέση τ συνδέει ; O V V 1 δύο δινύσµτ µε τ οποί έχουν κοινή M Έστω, ν ο ρχή το Ο ( διφορετικά τ κάνουµε εµείς ). Από το τέλος του Μ του ν φέρνουµε κάθετη στον φορέ του κι έστω Μ 1 το ίχνος της κάθετης. Το διάνυσµ ΟΜ 1 θ λέγετι προολή του ν στο κι θ συµολίζετι µε προ M 1 ν. Έχουµε ν = ΟΜ +Μ Μ = ν = ΟΜ 1 + Μ1Μ= ΟΜ 1 = προ Μεθοδολογί κόµ ότι ( 1 1 ) Η πρπάνω σχέση µς δίνει ένν τρόπο ν λύνουµε σκήσεις γεωµετρικές όπου εµφνίζοντι κθετότητες. Ακόµ µς οηθάει γι ν νλύσουµε έν διάνυσµ σε δύο κάθετες µετξύ του συνιστώσες ( η µί είνι η προολή ). Τέλος µι ένδειξη ότι η άσκηση χρειάζετι προολές είνι ότν η σχέση που ζητάµε ν ποδείξουµε περιέχει εσωτερικό γινόµενο συγ/κων δινυσµάτων µε κοινή ρχή. 14 Ππχρήστου Α. www.praxisgroup.gr