Σελίδα από ΠΟΣΟ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΤΟΥ ΤΥΠΟΥ: ΣΩΣΤΟ- ΛΑΘΟΣ Αντώνης Κυριακόπουλος a_kiriak@otenet.gr Τηλ. 658543 69775853. Εισαγωγή Πολλές φορές στις εξετάσεις, σχολικές και πανελλαδικές, τίθενται θέµατα του τύπου Σωστό- Λάθος. Πρέπει να είµαστε πολύ προσεκτικοί στην κατασκευή τέτοιων θεµάτων, γιατί η ερώτηση πρέπει να είναι τέτοια ώστε να επιδέχεται µονοσήµαντη απάντηση. Με άλλα λόγια, στα θέµατα αυτά, πρέπει να διατυπώνουµε µια πρόταση και να ζητάµε να µας πουν αν είναι αληθής(σωστό) ή ψευδής (Λάθος). Είναι λοιπόν σηµαντικό να γνωρίζουµε µε ποιους τρόπος µπορούµε να κατασκευάσουµε µια πρόταση. Καταρχήν λοιπόν θα δούµε τους κυριότερους τρόπους, µε τους οποίους µπορούµε να κατασκευάσουµε µια πρόταση. Επισηµαίνουµε ιδιαίτερα το ρόλο των ποσοδεικτών στην κατασκευή προτάσεων. Αυτά, όπως θα δούµε στη συνέχεια, έχουν άµεση σχέση µε τα θέµατα του τύπου σωστό- λάθος. Ας πάρουµε τα πράγµατα από την αρχή.. Η έννοια της πρότασης Έκφραση ονοµάζουµε κάθε παράθεση συµβόλων γνωστών εννοιών. Μία έκφραση µπορεί να έχει ή να µην έχει νόηµα. Μερικές από τις εκφράσεις που έχουν νόηµα, µε τη βοήθεια γενικών συµφωνιών, χαρακτηρίζονται ως αληθείς ή ως ψευδείς. Στα Μαθηµατικά πρόταση ονοµάζουµε κάθε έκφραση, η οποία έχει πλήρες και αυτοτελές νόηµα και που µπορεί να χαρακτηριστεί κατά ακριβώς ένα τρόπο ως αληθής ή ως ψευδής. Επισηµαίνουµε ότι µια έκφραση για να µπορεί να χαρακτηριστεί ως αληθής ή ως ψευδής πρέπει απαραιτήτως να έχει νόηµα. Οι εκφράσεις που δεν έχουν νόηµα δεν χαρακτηρίζονται ούτε ως αληθείς, ούτε ως ψευδείς. Αν µια πρόταση: Είναι αληθής λέµε ότι έχει τιµή αληθείας α και αν Είναι ψευδής λέµε ότι έχει τιµή αληθείας y. Τις προτάσεις τις συµβολίζουµε συνήθως µε τα γράµµατα: p. q, r, Σηµείωση. Στη αξιωµατική θεµελίωση της Μαθηµατικής Λογικής οι όροι «πρόταση», «αληθής» και «ψευδής» λαµβάνονται ως αρχικοί ( δεν ορίζονται). Εκεί δεχόµαστε ότι σε κάθε πρόταση αντιστοιχεί ένας και µόνο ένας από τους δύο χαρακτηρισµούς «αληθής», «ψευδής». 3. Πράξεις µεταξύ προτάσεων Θεωρούµε ένα σύνολο προτάσεων, τις οποίες συµφωνούµε να τις αντιµετωπίζουµε ως αδιαίρετες (αδιαφορώντας για το περιεχόµενό τους και την εσωτερική τους δοµή και ενδιαφερόµενοι αποκλειστικά και µόνο για τις τιµές αληθείας τους) και τις οποίες θα ονοµάζουµε αρχικές προτάσεις. Έτσι οι αρχικές προτάσεις µπορούν να αντιµετωπίζονται ως µεγέθη που λαµβάνουν µία και µόνο µια από τις δύο τιµές: α και y. Έτσι, ξεκινώντας από ένα σύνολο αρχικών προτάσεων, µπορούµε µεταξύ των

Σελίδα από προτάσεων αυτών. να ορίσουµε «πράξεις», οι οποίες θα µας επιτρέπουν να σχηµατίζουµε νέες προτάσεις. Ορίζουµε πέντε τέτοιες πράξεις ( τις οποίες ονοµάζουµε λογικές πράξεις) µε τη βοήθεια των παρακάτω πέντε συµβόλων (τα οποία ονοµάζονται λογικοί σύνδεσµοι ή λογικές σταθερές): ( όχι), (ή), ( και), (αν,, τότε ), ( αν, και µόνο αν, ). Τις πράξη αυτές τις ορίζουµε ως εξής: p α ψ Άρνηση p ψ α ιάζευξη Σύζευξη Συνεπαγωγή Ισοδυναµία p q p q p q p q p q α α α α α α α ψ α ψ ψ ψ ψ α α ψ α ψ ψ ψ ψ ψ α α Ας θεωρήσουµε τώρα ένα σύνολο, έστω Π, αρχικών προτάσεων: p, q, r,... Από αυτές, µε τη βοήθεια των παραπάνω πράξεων, µπορούµε να κατασκευάσουµε άλλες προτάσεις, όπως για παράδειγµα: p, p q, p q, κτλ. Από αυτές και τις αρχικές, µε τον ίδιο τρόπο, µπορούµε να κατασκευάσουµε άλλες προτάσεις, όπως για παράδειγµα: ( p q), ( p q) ( r), ( ) p q r, ( ) p, κτλ. Από αυτές και τις προηγούµενες, µε τον ίδιο τρόπο, µπορούµε να κατασκευάσουµε άλλες προτάσεις κ,ο,κ. Σηµειώνουµε ότι οι παρακάτω εκφράσεις γίνονται προτάσεις αληθείς για οποιεσδήποτε προτάσεις p και q ( νόµοι αρνήσεως): ) p p, ) p q p q 3) p q p q ( ) ( ) 4) p q p q 5) p q p q p q 4. Προτασιακοί τύποι Προτασιακός τύπος µιας µεταβλητής ονοµάζεται κάθε έκφραση, η οποία περιέχει τη µεταβλητή και η όποια (έκφραση) γίνεται µια πρόταση (αληθής ή ψευδής) όταν η µεταβλητή αντικατασταθεί µε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός ορισµένου (µη κενού) συνόλου Ω. Για παράδειγµα, η έκφραση: «ο είναι άρτιος»,όπου το διατρέχει το σύνολο Ω={,, 3, 4, 5}, είναι ένας προτασιακός τύπος µιας µεταβλητής (δεν είναι µια πρόταση). Τους προτασιακούς τύπους µιας µεταβλητής τους συµβολίζουµε µε: p(), q(), r(), Έστω p() ένας προτασιακός τύπος µιας µεταβλητής Ω. Το σύνολο Ω που διατρέχει η µεταβλητή ονοµάζεται σύνολο ορισµού ή σύνολο αναφοράς του p() και γράφουµε p() Ω. Ένα στοιχείο ξ του Ω λέµε ότι επαληθεύει τον p() αν, και µόνο αν, η πρόταση p(ξ) είναι αληθής. Λέµε ακόµα,τότε, ότι για το στοιχείοξ Ω ισχύει ο p(). Το σύνολο των στοιχείων του Ω που επαληθεύουν τον p(), δηλαδή το σύνολο: { Ω p( ) αληθής} ονοµάζεται σύνολο αλήθειας του p(). Πολλές φορές το σύνολο αυτό το γράφουµε απλούστερα{ Ω p( ) } ή, αν δεν υπάρχει αµφιβολία για

Σελίδα 3 από το σύνολο ορισµού Ω: { p( )}. Είναι φανερό ότι το σύνολο αυτό είναι υποσύνολο του Ω. Προτασιακός τύπος δύο µεταβλητών και y ονοµάζεται κάθε έκφραση η οποία περιέχει τις µεταβλητές και y και η όποια (έκφραση) γίνεται µια πρόταση (αληθής ή ψευδής) όταν οι µεταβλητές και y αντικατασταθούν µε οποιαδήποτε στοιχεία δύο δοσµένων (µη κενών) συνόλων Α και Β, αντιστοίχως. Για παράδειγµα, η έκφραση: «ο είναι µεγαλύτερος του y», όπου το διατρέχει το N =,,,... και το y διατρέχει το σύνολο R των πραγµατικών αριθµών, σύνολο { } είναι ένας προτασιακός τύπος δύο µεταβλητών και y. Τους προτασιακούς τύπους δύο µεταβλητών και y τους συµβολίζουµε µε: p(,y), q(,y), r(,y), Έστω ένας προτασιακός τύπος p(,y) δύο µεταβλητών Α και y Β. Προφανώς το (διατεταγµένο) ζεύγους (, y) διατρέχει το σύνολο (καρτεσιανό γινόµενο): Α Β=, y Ακαι y Β. Έτσι ο p(,y) µπορεί να θεωρηθεί ως προτασιακός {( ) } τύπος µε µία µεταβλητή, το ζεύγος (, y), και µε σύνολο ορισµού το παραπάνω σύνολο Α Β. Γράφουµε: p(, y) Α Βκτλ. Ανάλογα ορίζονται και οι προτασιακοί τύποι 3, 4, µεταβλητών. Σηµειώνουµε ότι αν p() και q(), είναι δύο προτασιακοί τύποι µε σύνολο ορισµού το Ω, τότε, για παράδειγµα, οι παρακάτω εκφράσεις είναι επίσης προτασιακοί τύποι µε σύνολο ορισµού το Ω: p( ), p() q(), p() q(), p( ) q() κτλ. Όµοια, αν θεωρήσουµε προτασιακούς τύπους, 3, µεταβλητών. 5. Ποσοδείκτες Έστω ένας προτασιακός τύπος p() Ω. Το σύνολο αλήθειας αυτού είναι: Α= Ω p( ) Ω. { }( ) Α) Καθολικός ποσοδείκτης. Η πρόταση η οποία είναι: αληθής, αν όλα τα στοιχεία του Ω επαληθεύουν τον p() ( δηλαδή αν Α = Ω) και ψευδής στην αντίθετη περίπτωση (δηλαδή αν Α Ω ), συµβολίζεται µε: Ω, p( ) και διαβάζεται: «για κάθε Ω, p()». Το σύµβολο, το οποίο µετατρέπει τον προτασιακό τύπο p() σε πρόταση, ονοµάζεται καθολικός ποσοδείκτης και διαβάζετε «για κάθε». Για παράδειγµα, έχουµε τις εξής προτάσεις: R, + > ( αληθής), ν N, ν > 3 ( ψευδής). Αν δεν υπάρχει αµφιβολία για το σύνολο ορισµού Ω του p(), τότε αντί: Ω, p( ),γράφουµε απλούστερα:, p(). Επίσης, πολλές φορές στα µαθηµατικά, αντί: Ω, p( ) γράφουµε: p( ), Ω. Β) Υπαρξιακός ποσοδείκτης. Η πρόταση η οποία είναι: αληθής, αν ένα τουλάχιστον στοιχείο του Ω επαληθεύει τον p() ( δηλαδή αν Α ) και ψευδής στην αντίθετη περίπτωση (δηλαδή αν Α = ), συµβολίζεται µε: Ω, p( ) και διαβάζεται: «υπάρχει Ω, p()». Το σύµβολο, το οποίο µετατρέπει τον προτασιακό τύπο p() σε πρόταση, ονοµάζεται υπαρξιακός ποσοδείκτης και διαβάζεται «υπάρχει» ( µε την έννοια :

Σελίδα 4 από «υπάρχει τουλάχιστον ένα» ). Για παράδειγµα, έχουµε τις εξής προτάσεις: 4 R, + 3= ( αληθής), ν N, ν = 3 ( ψευδής). Αν δεν υπάρχει αµφιβολία για το σύνολο ορισµού Ω του p(), τότε αντί: Ω, p( ),γράφουµε απλούστερα:, p(). 6. Ποσοδείκτες και προτασιακοί τύποι περισσοτέρων µεταβλητών Έστω ένας προτασιακός τύπος δύο µεταβλητών p(,y). Καθεµία από τις εκφράσεις:, p(, y) και, p(, y) () είναι ένας προτασιακός τύπος µιας µεταβλητής y. Επίσης καθεµία από τις εκφράσεις: y, p(, y) και y, p(, y) () είναι ένας προτασιακός τύπος µιας µεταβλητής.έτσι, καθεµία από τις εκφράσεις:, y, p(,y) y,, p(,y), y, p(,y) y,, p(,y), y, p(,y) y,, p(,y), y, p(,y) y,, p(,y) είναι µια πρόταση. Για παράδειγµα, έστω ο προτασιακός: «=y» N, y N. i) Η έκφραση: «, =y» είναι ένας προτασιακός τύπος µιας µεταβλητής y (π.χ. για y=8 γίνεται µια πρόταση αληθής, για y=5 γίνεται µια πρόταση ψευδής). ii) Η έκφραση: «, y,= y» είναι µια πρόταση (αληθής). iii) Η έκφραση: «y,,= y» είναι µια πρόταση (ψευδής). Θεωρώντας ένα προτασιακό τύπο τριών, τεσσάρων κτλ. µεταβλητών φθάνουµε σε ανάλογα συµπεράσµατα. Μια πρόταση που περιέχει και ποσοδείκτες λέγεται και ποσοδεικτική πρόταση. Στους παραπάνω προτασιακούς τύπους () λέµε ότι το είναι µια δεσµευµένη µεταβλητή και ότι το y είναι µια ελεύθερη µεταβλητή. Ανάλογα στους προτασιακούς τύπους () (y δεσµευµένη, ελεύθερη). Σηµειώνουµε ότι σε µια ποσοδεικτική πρόταση δεν υπάρχουν ελεύθερες µεταβλητές (όλες είναι δεσµευµένες). Σηµειώνουµε ότι αν σε µια ποσοδεικτική πρόταση, που περιέχει δύο ή περισσότερους ποσοδείκτες, αλλάξουµε τη σειρά των ποσοδεικτών, τότε η πρόταση που προκύπτει δεν έχει πάντοτε την ίδια τιµή αληθείας µε την αρχική. Για παράδειγµα, η πρόταση: «R, y R, < y» είναι αληθής. Ενώ η πρόταση: «y R, R, < y» είναι ψευδής. 7. Αρνήσεις ποσοδεικτικών προτάσεων Καταρχήν θα αποδείξουµε ότι: Για κάθε προτασιακό τύπο p() Ω, ισχύουν: α), p( ), p( ) (). β), p( ), p( ) (). Με άλλα λόγια: Η άρνηση της πρότασης:, p() είναι:, p( ) και

Σελίδα 5 από η άρνηση της πρότασης:, p( ) είναι:, p( ). Πράγµατι, έχουµε: α), p( ) αληθής (, p( ) ) ψευδής για ένα τουλάχιστο ξ Ω, p( ξ ) ψευδής [ ] ( p ) για ένα τουλάχιστο ξ Ω, p( ξ ) αληθής, ( ),αληθής, ( ) αληθής (, p( ) ) ψευδής [ για οποιοδήποτε ξ Ω, p(ξ) ψευδής] β) p για οποιοδήποτε ξ Ω, p(ξ) αληθής. p( ) αληθής Γενικότερα, για να σχηµατίσουµε την άρνηση µιας ποσοδεικτικής πρότασης, αντικαθιστούµε το µε το, το µε το και τον προτασιακό τύπο που ακολουθεί p(,y, ) µε την άρνησή του p(, y,...). Παραδείγµατα. ) όχι,( ή < ), όχι( ή < ) R R,( < ή ) R ( > > ) όχι( > > ) R και όχι( ) R ) όχι R, R, ( ), > >, > και 3) Έστω µια συνάρτηση f : ΑR ορισµένη κοντά στο R. Θέλουµε να µάθουµε πότε είναι l, όπουl R. Για να απαντήσουµε στο ερώτηµα αυτό θα πρέπει πρώτα να γράψουµε συµβολικά τι σηµαίνει lim f ( ) =l και µετά να σχηµατίσουµε την άρνηση της πρότασης αυτής. Έχουµε, κατά τα γνωστά: lim f ( ) = l ε >, δ >, Α, < δ f < ( ) < ε l. Εφαρµόζοντας τους παραπάνω νόµους βρίσκουµε: lim f ( ) l ε >, δ >, Α, < δ και f < ( ) ε l. 8. Μερικοί άλλοι χρήσιµοι ποσοδεικτικοί νόµοι Θεωρούµε δύο προτασιακούς τύπους p() και q() µε σύνολο ορισµού ένα σύνολο Ω. Οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς:., ( p( ) και q( ) ) (, p( ) ) και (, q( ) )., ( p( ) ή q( ) ) (, p( ) ) ή (, q( ) ) 3. (, p( ) ) ή (, q( ) ), ( p( ) ή q( ) ) 4., ( p( ) και q( ) ) (, p( ) ) και (, q( ) ) Στις δύο τελευταίες προτάσεις οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν πάντοτε. Έτσι δεν ισχύουν πάντοτε οι παρακάτω δύο ισοδυναµίες: 5., ( p( ) ή q( ) ) (, p( ) ) ή (, q( ) )

Σελίδα 6 από 6., ( p( ) και q( ) ) (, p( ) ) και (, q( ) ) Σηµειώνουµε ότι µερικές φορές, κυρίως σε θέµατα συναρτήσεων, εφαρµόζουν την παραπάνω ισοδυναµία (5), η οποία δεν ισχύει πάντοτε, µε αποτέλεσµα να φθάνουν σε λανθασµένα συµπεράσµατα. Για παράδειγµα, έστω ότι ζητάµε να βρούµε τις συναρτήσεις f : RR,για τις οποίες, για κάθε R, ισχύει: f ( ) = 4. Λανθασµένη λύση. Έχουµε: R, f ( ) = 4 R, f ( ) = R,( f ( ) = ή f ( ) = ) (, f ( ) ) ή (, f ( ) ) R = R =. Έτσι φτάνουµε στο συµπέρασµα ότι οι ζητούµενες συναρτήσεις είναι οι εξής δύο: f ( ) = και f ( ) =. Το συµπέρασµα είναι λανθασµένο, γιατί τέτοιες συναρτήσεις υπάρχουν πολλές ( άπειρες ), όπως για παράδειγµα η εξής:, αν f ( ) =, αν < Φθάσαµε στο λανθασµένο συµπέρασµα, γιατί στη λύση η τελευταία ισοδυναµία δεν ισχύει( παραπάνω λανθασµένη ισοδυναµία (5)). 9. παρατηρήσεις Τα σύµβολα της Λογικής:,, και δεν είναι σύµβολα στενογραφίας και δεν πρέπει να γράφονται στα κείµενα. Ο συµβολισµός στα µαθηµατικά δεν είναι µια µορφή στενογραφίας. Το να γράφουµε τα σύµβολα αυτά στα κείµενα, όπως και µερικές άλλες συντοµογραφίες του τύπου: ν.δ.ο.( να δείξετε ότι ), εκτός του ότι δεν είναι «κοµψό», εκτός του ότι δείχνουν µια προχειρότητα και εκτός του ότι δεν δείχνουν και µεγάλο σεβασµό προς αυτούς που θα τα διαβάσουν, κάνουν τα µαθηµατικά δυσκολότερα από ότι είναι. Τα σύµβολα της Λογικής στα µαθηµατικά τα χρησιµοποιούµε µόνο όταν πρόκειται να γράψουµε µια πρόταση στη συµβολική της µορφή. Αλλά και τότε πρέπει να είµαστε πολύ προσεκτικοί γιατί πρέπει να τα γράφουµε σωστά. ιαφορετικά δεν έχουν νόηµα και δεν µπορούµε να σχηµατίσουµε τις αρνήσεις τους. Για παράδειγµα δεν είναι σωστό να γράφουµε εκφράσεις όπως οι εξής: ) «Επειδή το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές ότι». ) «Να αποδείξετε ότι πραγµατικό αριθµό». 3) «Να αποδείξετε ότι πραγµατικός αριθµός». 4) «Επειδή α α >». 5) «Για u= t=». 6) «Αν α α = α». Το σωστό είναι: «α R, α α = α». 3 7) «R : + =». Το σύµβολο : δεν είναι σύµβολο της µαθηµατικής 3 λογικής. Το σωστό είναι: «R, + =». 8) «R». ιαβάζουµε: «αν, για κάθε R, τότε». Βγαίνει νόηµα; Το σωστό είναι: «R,». 9) «Α y Β : y= f ( )». Το σωστό είναι: «Α, y Β, y= f ( )». ) ( Όλα τα παραπάνω τα παραδείγµατα έχω πάρει από βιβλία). Θέµατα του τύπου: Σωστό- λάθος

Σελίδα 7 από Όπως είδαµε παραπάνω, ένας προτασιακός τύπος δεν έχει µια ορισµένη τιµή αληθείας. εν είναι µια πρόταση. Έτσι λοιπόν δεν έχει νόηµα και είναι λάθος να δίνουµε ένα προαστιακό τύπο και να ρωτάµε αν είναι Σωστό ή Λάθος. Τα παραδείγµατα που αναφέρουµε παρακάτω είναι από εξετάσεις. Μερικά είναι από πανελλαδικές εξετάσεις. ) «Θεωρούµε ένα διάστηµα και ένα σηµείο α του. Αν f είναι µια συνεχής συνάρτηση στο, τότε ισχύει: f ( t) dt = f ( ) f ( α), για κάθε». Σωστό- Λάθος α ( Πανελλαδικές εξετάσεις 5, Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, θέµα Βδ). Βρίσκουµε εύκολα ότι; Με f()=, =R και α= η παραπάνω ισότητα ισχύει. Με f()=+, =R και α= η παραπάνω ισότητα δεν ισχύει. Τι θα έπρεπε λοιπόν να απαντήσουν οι µαθητές Σωστό ή Λάθος; Αφού για άλλες συναρτήσεις είναι σωστό και για άλλες είναι λάθος. Όπως έχει τεθεί το θέµα δεν επιδέχεται µονοσήµαντη απάντηση. Πρόκειται για έναν προτασιακό τύπο µε µια ελεύθερη µεταβλητή f που έχει σύνολο αναφοράς το σύνολο των συναρτήσεων που είναι ορισµένες και συνεχείς στο διάστηµα. Μία σωστή διατύπωση είναι: «Θεωρούµε ένα διάστηµα και ένα σηµείο α του. Για κάθε συνάρτηση f, η οποία είναι ορισµένη και συνεχής στο, ισχύει: f ( t) dt = f ( ) f ( α), για κάθε». Σωστό- Λάθος α εσµεύσαµε την ελεύθερη µεταβλητή f µε τον ποσοδείκτη «για κάθε», και έτσι ο προαστιακός τύπους έγινε µια πρόταση, η οποία έχει µια ορισµένη τιµή αληθείας. Τώρα µπορούµε να ρωτήσουµε αν είναι αληθής ή ψευδής. Βέβαια η πρόταση αυτή είναι ψευδής, αφού παραπάνω βρήκαµε µια συνάρτηση που δεν την επαληθεύει. Και η απάντηση θα ήταν «Λάθος». Μια άλλη σωστή διατύπωση θα µπορούσε να είναι η εξής: «Αν η f είναι µια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστηµα και α είναι ένα σηµείο του, τότε αναγκαίως ισχύει: f ( t) dt = f ( ) f ( α), για κάθε». Σωστό- Λάθος α Στη διατύπωση αυτή η λέξη «αναγκαίως»( «κατ ανάγκην», «πάντοτε») σηµαίνει «για κάθε τέτοια συνάρτηση f», δηλαδή υποκαθιστά τον ποσοδείκτη «για κάθε». ) «Αν z= α + βi µε α, β C, τότε: z α β = +». Σωστό- Λάθος (Από διαγώνισµα σχολικών εξετάσεων) Όπως βρίσκουµε εύκολα: Με α=3 και β=4 ισχύει. Με α=3 και β=4i δεν ισχύει. Σηµειώνουµε ότι οι αριθµοί: 3, 4, και 4i ανήκουν στο σύνολο C. Τι θα έπρεπε λοιπόν να απαντήσουν οι µαθητές Σωστό ή Λάθος; Αφού για άλλους αριθµούς είναι σωστό και άλλους είναι λάθος.

Σελίδα 8 από Όπως έχει τεθεί το θέµα δεν επιδέχεται µονοσήµαντη απάντηση. Πρόκειται για έναν προτασιακό τύπο µε δύο ελεύθερες µεταβλητές α και β που καθεµιά έχει σύνολο αναφοράς το σύνολο C των µιγαδικών αριθµών. Μία σωστή διατύπωση είναι: «Για κάθεα C και για κάθε β C το µέτρο του αριθµού: z= α + βi, είναι: z α β = +». Σωστό- Λάθος εσµεύσαµε τις ελεύθερες µεταβλητές α και β µε τον ποσοδείκτη «για κάθε», και έτσι ο προαστιακός τύπους έγινε µια πρόταση, η οποία έχει µια ορισµένη τιµή αληθείας. Η πρόταση αυτή είναι ψευδής και εποµένως η απάντηση θα ήταν «Λάθος». Μια άλλη σωστή διατύπωση είναι η εξής: «Αν z= α + βi µε α, β C, τότε αναγκαίως : z α β = +». Σωστό- Λάθος 3) «Για το γινόµενο δύο παραγωγίσιµων συναρτήσεων f και g ισχύει ότι: f ( ) g( ) = f ( ) g ( ) + f ( ) g( )». Σωστό- Λάθος ( ) ( Πανελλαδικές εξετάσεις 9, Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας, θέµα Γα) Όπως βρίσκουµε εύκολα: Με f ( ) = e και g( ) = e ισχύει. Με f()= και g()= δεν ισχύει. Τι θα έπρεπε λοιπόν να απαντήσουν οι µαθητές Σωστό ή Λάθος; Αφού άλλοτε είναι σωστό και άλλοτε είναι λάθος. Όπως έχει τεθεί το θέµα δεν επιδέχεται µονοσήµαντη απάντηση. Πρόκειται για έναν προτασιακό τύπο µε δύο ελεύθερες µεταβλητές f και g που καθεµιά έχει σύνολο αναφοράς το σύνολο των παραγωγίσιµων συναρτήσεων. Μία σωστή διατύπωση είναι: «Για οποιεσδήποτε ορισµένες και παραγωγίσιµες συναρτήσεις f και g σε ένα σύνολοα R, ισχύει: f ( ) g( ) = f ( ) g ( ) + f ( ) g( ), για κάθε Α». Σωστό- Λάθος ( ) Η πρόταση αυτή είναι ψευδής και εποµένως η απάντηση θα ήταν «Λάθος». Μια άλλη σωστή διατύπωση είναι η εξής: «Για το γινόµενο δύο παραγωγίσιµων συναρτήσεων f και g σε ένα σύνολο Α R,ισχύει αναγκαίως: f ( ) g( ) = f ( ) g ( ) + f ( ) g( ), για κάθε Α». Σωστό- Λάθος ( ) 4) «Αν α β = α γ, τότε β = γ». Σωστό- Λάθος (Από διαγώνισµα σχολικών εξετάσεων) Όπως βρίσκουµε εύκολα: Με α = (,), = (3,) και γ = (3,) είναι σωστό. β Με α = (4,3), = (,5) και γ = (,) είναι λάθος. Τι θα έπρεπε λοιπόν να απαντήσουν οι µαθητές Σωστό ή Λάθος; Αφού για άλλα διανύσµατα είναι σωστό και για άλλα είναι λάθος. Μία σωστή διατύπωση είναι: β «Για οποιαδήποτε διανύσµατα α, β καιγ, ισχύει: Αν α β = α γ, τότεβ = γ» Σωστό- Λάθος Η πρόταση αυτή είναι ψευδής και εποµένως η απάντηση θα ήταν «Λάθος».

Σελίδα 9 από Μια άλλη σωστή διατύπωση είναι η εξής: «Αν α β = α γ, τότε αναγκαίως β = γ». Σωστό- Λάθος 5) «Αν η συνάρτηση f έχει στο όριο έναν πραγµατικό αριθµό α, δηλαδή αν lim f ( ) = α, τότε για κάθε φυσικό αριθµό ν µεγαλύτερο του θα ισχύει: lim ( ( )) f ν ν = να». Σωστό- Λάθος ( Πανελλαδικές επαναληπτικές εξετάσεις 9, Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας, θέµα Γα) Όπως βρίσκουµε εύκολα: Με f() = και = ισχύει (για κάθε φυσικό αριθµόν > ). Με f()= και = και ν=3,δεν ισχύει. 6) «Αν ένα κυρτό τετράπλευρο είναι ρόµβος, τότε οι διαγώνιοί του είναι ίσες». Σωστό- Λάθος (Από διαγώνισµα σχολικών εξετάσεων) Το σχολικό βιβλίο της Γεωµετρίας Α και Β Λυκείου( έκδοση 9) στη σελίδα και στην 5.4, γράφει: «Ορισµός. Ρόµβος λέγεται το παραλληλόγραµµο που έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες». Στην επόµενη σελίδα και στην 5.5, γράφει: «Ορισµός. Τετράγωνο λέγεται το παραλληλόγραµµο που είναι ορθογώνιο και ρόµβος». Σύµφωνα µε τις παραπάνω ορισµούς, κάθε τετράγωνο είναι και ρόµβος( το αντίστροφο δεν αληθεύει). Λοιπόν, ποια είναι η απάντηση στο θέµα αυτό; Σωστό ή Λάθος; Αφού ο ρόµβος µπορεί να είναι τετράγωνο οπότε οι διαγώνιοί του είναι ίσες, µπορεί όµως και να µην είναι τετράγωνο, οπότε οι διαγώνιοί του δεν είναι ίσες. Μία σωστή διατύπωση είναι η εξής: «Σε κάθε ρόµβο οι διαγώνιοί του είναι ίσες». Σωστό- Λάθος Η πρόταση αυτή είναι ψευδής και εποµένως η απάντηση θα ήταν «Λάθος». 7) «Έστω f µια συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστηµα και παραγωγίσιµη σε κάθε εσωτερικό σηµείο του. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο τότε f ( ) > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του». Σωστό- Λάθος ( Πανελλαδικές εξετάσεις 7, Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, θέµα Ββ). 5 Με f ( ) = και =R δεν ισχύει [αφού f () = ]. Με f ( ) = + και =R ισχύει. β β β» Σωστό- Λάθος 8) «Ισχύει: f ( ) g( ) d= f ( ) d g( ) d α α α ( Σχολικό βιβλίο Μαθηµατικών, Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Γ Λυκείου, έκδοση 6,σελίδα 354,) Εννοεί βέβαια ότι f και g είναι δύο συναρτήσεις ορισµένες και συνεχείς στο διάστηµα [α, β]. Με f()= στο [α, β], ισχύει.

Σελίδα από Έχουµε: ( ) d d d.στην περίπτωση αυτή δεν ισχύει. 9) «Αν α βγ, τότε α β ή α γ». Α Ψ ( Σχολικό βιβλίο Μαθηµατικών, Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Β Λυκείου, έκδοση 7,σελίδα 83.3()) Εννοεί βέβαια ότι οι αριθµοί α, β και γ είναι ακέραιοι. Έχουµε: 3 6.5 και 3 6. Στην περίπτωση αυτή ισχύει. Έχουµε: 4.6. Αλλά το 4 δεν διαιρεί ούτε το ούτε το 6. Στην περίπτωση αυτή δεν ισχύει. Ακόµα στην ίδια σελίδα γράφει: 3(iv): Αν α β, τότε α β Α Ψ 4(ii): Αν 4 α και 6 α, τότε 4 α Α Ψ ) «Η εικόνα f( ) ενός ανοικτού διαστήµατος, µέσω µιας συνεχούς και µη σταθερής συνάρτησης f είναι ανοικτό διάστηµα». Σωστό Λάθος (Από διαγώνισµα σχολικών εξετάσεων) Θεωρούµε τη συνάρτηση:, f ( ) = + 6, > Προφανώς η συνάρτηση αυτή είναι ορισµένη και συνεχής στο R και δεν είναι σταθερή. Με =(,), βρίσκουµε ότι f( )=(,4) (ανοικτό διάστηµα). Με = (,3) βρίσκουµε ότι f( )=[,4] ( κλειστό διάστηµα). Με =(,4), βρίσκουµε ότι f( )=(,4] ( ανοικτό- κλειστό διάστηµα). Με = ( 3,) βρίσκουµε ότι f( )=[,9) ( κλειστό - ανοικτό διάστηµα). Τι θα έπρεπε λοιπόν να απαντήσουν οι µαθητές Σωστό ή Λάθος; Αφού άλλοτε είναι σωστό και άλλοτε είναι λάθος. ) «Μια συνάρτηση f είναι ορισµένη και συνεχής στο διάστηµα =(α, β) και στο έχει ελάχιστο. Τότε, υπάρχει διάστηµα ( γ, ), όπου α γ <, στο, δ, όπου < δ β, στο οποίο η f είναι αύξουσα». Σωστό- Λάθος οποίο η f είναι φθίνουσα. Επίσης, τότε, υπάρχει διάστηµα ( ) Με f ( ) = 4+ 3 και =R ισχύουν. Γιατί η f είναι συνεχής στο R. Επιπλέον, στο = η f έχει ελάχιστο. Ακόµα, η f στο διάστηµα ( ), είναι (γνησίως) φθίνουσα και στο διάστηµα (, 5) είναι (γνησίως) αύξουσα. ηµ, αν Με f ( ) = δεν ισχύουν. Γιατί η f είναι συνεχής στο R., αν = Επιπλέον, στο = η f έχει ελάχιστο. Αλλά, δεν υπάρχει διάστηµα ( ε,) οποίο η f είναι φθίνουσα και δεν υπάρχει διάστηµα (,ε ) (ε>) στο οποίο είναι στο αύξουσα. Πράγµατι. i) Έστω ότι υπάρχει διάστηµα( ε,) στο οποίο η f είναι φθίνουσα. Υπάρχει αρνητικός ακέραιος κ τέτοιος ώστε οι αριθµοί = κπ και = να π κπ

Σελίδα από ανήκουν στο διάστηµα( ε,) ( αρκεί κ < ). Έχουµε: επ άτοπο. ii) Έστω ότι υπάρχει διάστηµα(,ε ) στο οποίο η f είναι αύξουσα. Υπάρχει θετικός < και f ( ) f ( ) <, ακέραιος κ τέτοιος ώστε οι αριθµοί = και = να ανήκουν στο κπ π κπ + διάστηµα(,ε ) ( αρκεί κ > ). Έχουµε: > και f ( ) < f ( ), άτοπο. επ. Επίλογος Αγαπητοί συνάδελφοι. Η γνώµη µου είναι ότι οι ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» είναι πολύ καλές για αξιολόγηση γιατί συνδυάζουν γνώσεις, κριτική ικανότητα και λογική µε τις εξής όµως δύο προϋποθέσεις: ) Να είναι κατασκευασµένες από ανθρώπους που έχουν βαθιά γνώση του αντικειµένου και κυρίως να γνωρίζουν Μαθηµατική Λογική, ώστε να ξέρουν τη διαφορά µεταξύ µιας πρότασης και ενός προτασιακού τύπου. Έτσι, δεν θα παρουσιάζεται το απαράδεκτο φαινόµενο να δίνουν µια σχέση που άλλοτε ισχύει και άλλοτε δεν ισχύει και να ρωτάνε αν είναι «Σωστό» ή «Λάθος», που, όπως είδαµε παραπάνω, έχει συµβεί πολλές φορές στις πανελλαδικές εξετάσεις και όχι µόνο. Αυτό προσβάλλει όχι µόνο τη Μαθηµατική Λογική, αλλά και την κοινή Λογική. Η ερώτηση πρέπει να είναι τέτοια ώστε να επιδέχεται µονοσήµαντη απάντηση. ) Να µην ζητάνε ως απάντηση ένα ξερό «Σ» ή ένα ξερό «Λ», αλλά στην εκφώνηση να λένε: «Με δικαιολόγηση για το Σωστό και αντιπαράδειγµα για το Λάθος». Έτσι, όχι µόνο οι µαθητές δεν θα µπορούν να απαντάνε στην τύχη, αλλά δεν θα είναι και εύκολο να αντιγράψουν. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ. B.Gelbaum-J.Olmsted: «COUNTEREXAMPLES IN ANALYSIS».. Α. Κ. Κυριακόπουλου: «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ». 3. Σχολικό βιβλίο Μαθηµατικών, Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Γ Λυκείου, έκδοση 9. 4. Σχολικό βιβλίο Μαθηµατικών, Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Β Λυκείου, έκδοση 7. 5. Παιδαγωγικό Ινστιτούτο: Οδηγίες για τη διδακτέα ύλη και τη διδασκαλία των ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ του ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ, έκδοση 7. 6. Περιοδικό της Ε. Μ. Ε.: ΕΥΚΛΕΙ ΗΣ Β. 7. Θέµατα πανελλαδικών εξετάσεων. 8. www.mathematica.gr