ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ



Σχετικά έγγραφα
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. β α

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης

β) Μια συνάρτηση f είναι 1-1, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f(x)=y έχει ακριβώς μία λύση ως προς x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

β) Μια συνάρτηση f είναι 1-1, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f(x)=y έχει ακριβώς μία λύση ως προς x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

). Πράγματι, στο διάστημα [ x, x 1 2 ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει ξ x 1,

x x = e, x > 0 έχει ακριβώς δυο Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 28 ΜΑΪΟΥ 2012

Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε

Θέμα Α Α1. Θεωρία (απόδειξη), σελίδα 253 σχολικού βιβλίου. Έστω x1,

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΥΤΕΡΑ 28 ΜΑΙΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ. Άρα ο γ.τ. των Μ(z) είναι κύκλος µε κέντρο το Ο(0, 0) και ακτίνα ρ=1

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

= R {x συν x = 0} ισχύει: 1 ( εφ x)' = συν

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 25 MAΪΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ


ΑΠΑNTHΣΕΙΣ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ 2012

2015zi 2015zi 2015zi 2015zi 4030zi 4030zi z z

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑ Α : Α1. Σχολικό βιβλίο σελίδα 253. Α2. Σχολικό βιβλίο σελίδα 191. Α3. Σχολικό βιβλίο σελίδα 150. Α4. Α)Σ β)σ γ)λ δ)λ ε)λ ΘΕΜΑ Β : Β1.

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017

z-4 =2 z-1. 2z1 2z2 β) -4 w 4. ( ) x 1 3 x 2 e t dt, x 0

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2012 ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÕÖÇ ÓÅÑÑÅÓ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 19 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 262 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο.

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

2011 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Γ 1. Δίνεται η συνάρτηση f: δύο φορές παραγωγίσιμη στο, με f (0) = f(0) = 0, η οποία ικανοποιεί τη σχέση:

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ Β ( ) ( ) ( ) ( )

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

α) Για κάθε μιγαδικό αριθμό z 0 ορίζουμε z 0 =1

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. σε µια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρµοσµένα στις επιταγές του ΝΤ MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 05 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος

Α2. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Fermat. (Απάντηση : Θεώρημα σελ. 260 σχολικού βιβλίου) Μονάδες 4

α) Για κάθε μιγαδικό αριθμό z 0 ορίζουμε z 0 =1

( ) ( ) ɶ = = α = + + = = z1 z2 = = Οπότε. Έχουµε. ii) γ) 1ος Τρόπος. Οπότε Ελάχιστη απόσταση είναι:

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 28 MAΪΟΥ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ]

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

Τομέας Mαθηματικών "ρούλα μακρή"

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 1 ΛΥΣΗ. Η τελευταία σχέση εκφράζει μια εξίσωση κύκλου που επαληθεύεται για w=0.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 2 Μαΐου 2019 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

AΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. z z 0 που είναι τριώνυμο με διακρίνουσα. 2 Re z 4Im z R. x 2 y x y 2

) της γραφικής παράστασης της f που άγονται από το Α, τις οποίες και να βρείτε. Μονάδες 8 Γ2. Αν ( 1) : y x, και ( 2

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Γ. Το µέτρο της διαφοράς δύο µιγαδικών αριθµών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους στο µιγαδικό επίπεδο.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,

ΛΥΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΣ (

Κατεύθυνσης. Απαντήσεις Θεμάτων Πανελληνίων Εξετάσεων Ημερησίων Γενικών Λυκείων

Κατεύθυνσης. Απαντήσεις Θεμάτων Πανελληνίων Εξετάσεων Ημερησίων Γενικών Λυκείων

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 20 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 16 MAΪΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014

ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ. είναι μιγαδικοί αριθμοί, να αποδειχθεί ότι:

( ) ( ) lim f x lim g x. z-3i 2-18= z-3 2 w-i =Im(w)+1. x x x x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ:ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ

Π Ρ Ο Ο Π Τ Ι Κ Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2015 ΘΕΜΑ Α. Α1. Απόδειξη σελίδα 194. Α2. Ορισμός σελίδα 188. Α3. Ορισμός σελίδα 259

Τελευταία Επανάληψη. την ευθεία x=1 και τoν x x. 2 1 x. Λύση. x 2 1 x 0, άρα. x 1 x. x x 1. γ) x 1 e x x 1 x e ln x 1 x f x.

α) Για κάθε μιγαδικό αριθμό z 0 ορίζουμε z 0 =1

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

( ) ( ) ΘΕΜΑ 2 ο Α. Είναι. f (x) > 0 e 1 x > 0 1 x > 0 1 > x x < 1. η f είναι γνησίως αύξουσα Στο [ 1, + ) η f είναι γνησίως φθίνουσα.

Γ1. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (0, + ).

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x 0, τότε να αποδείξετε ότι είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά)

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 10 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Α1. Θεωρία Σελίδες Σχολικού Βιβλίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής& Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ, ΕΚΔΟΣΗ 2014

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι ο κύκλος με κέντρο

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2015 ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ

ΘΕΜΑ Α. lim f(x) 0 και lim g(x), τότε lim [f(x) g(x)] 0. lim.

f ( x) f ( x ) για κάθε x A

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Α2. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Βolzano. Μονάδες 5

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο 1, 2, 3)

2ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ. f ( x) 0 0 2x 0 x 0

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών

A1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x)=συνx είναι παραγωγίσιμη στο και για κάθε x ισχύει. = ημx Μονάδες 10

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2014

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Transcript:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. Μονάδες 7 Α. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Μονάδες 4 Α3. Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Πότε λέμε ότι η f παρουσιάζει στο Aτοπικό μέγιστο; Μονάδες 4 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα. β) Μια συνάρτηση f είναι -, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f () y έχει ακριβώς μία λύση ως προς. γ) Αν είναι lim f, τότε δ) σφ, ημ ημ f κοντά στο β β β ε) f g d α f g f g d, α όπου f, α g είναι συνεχείς συναρτήσεις στο [α,β]. Μονάδες ΘΕΜΑ Β Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z και w για τους οποίους ισχύουν οι επόμενες σχέσεις: z z 4 () w 5w () Β. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z στο επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ. Μονάδες 6 Β. Αν z, z είναι δύο από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς z με zz τότε να βρείτε το z z. Μονάδες 7

Β3. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w στο επίπεδο είναι η έλλειψη με εξίσωση y 9 4 και στη συνέχεια να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του w. Μονάδες 6 Β4. Για τους μιγαδικούς αριθμούς z, w που επαληθεύουν τις σχέσεις () και () να αποδείξετε ότι: z w 4. Μονάδες 6 ΘΕΜΑ Γ f ln,. Δίνεται η συνάρτηση Γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ (,] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ [, ). Στη συνέχεια να βρείτε το σύνολο τιμών της f. Μονάδες 6 3 Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση, έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες. Μονάδες 6 Γ3. Αν, με είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος Γ, να αποδείξετε ότι υπάρχει (, ) τέτοιο ώστε f ( ) f ( ). Μονάδες 6 Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g() f () με, τον άξονα και την ευθεία. Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Δ Έστω η συνεχής συνάρτηση f :(, ), η οποία για κάθε ικανοποιεί τις σχέσεις: f () f tdt ln t t ln dt f. ft Δ. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη και να βρείτε τον τύπο της. Μονάδες f ln,, τότε: Αν είναι Δ. Να υπολογίσετε το όριο: lim f ημ f. Μονάδες 5 f Δ3. Με τη βοήθεια της ανισότητας ln, που ισχύει για κάθε, να αποδεί- ξετε ότι η συνάρτηση όπου α, α F f t dt,, είναι κυρτή (μονάδες ). Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι: F F3 F, για κάθε (μονάδες 4). Μονάδες 6

Δ4. Δίνεται ο σταθερός πραγματικός αριθμός β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξ β,β τέτοιο ώστε: ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία, σχολικό βιβλίο σελ. 53. Α. Θεωρία, σχολικό βιβλίο σελ. 9. Α3. Θεωρία, σχολικό βιβλίο σελ. 58 Α4. α Σ, β Σ, γ Λ, δ Λ, ε Λ ΘΕΜΑ Β Β. ος τρόπος F β F 3β F ξ. Μονάδες 4 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Είναι z z 4 z z z z 4 zz z z zz z z 4 zz zz z yi z y, επομένως ο γ.τ. των εικόνων του z είναι κύκλος με κέντρο,y Ο(,) και ρ. ος τρόπος Είναι z i z i 4. Έστω A,, B,, M, y τότε: MA MB 4 και AB 4. Επομένως MA MB AB δηλαδή από το Πυθαγόρειο θεώρημα ο γ.τ. των σημείων Μ είναι κύκλος με διάμετρο την ΑΒ, άρα το κέντρο του είναι το μέσο του ΑΒ, δηλ. το Ο(,) και ρ. ΑΒ Β. ος τρόπος Ισχύει: z z z z z z () γιατί: z z z z z z z z z z z z zz zz zz zz zz zz zz zz z z z z z z άρα αφού zz και z z η () γίνεται άρα zz ος τρόπος Είναι zz άρα z z z z z z

z z z z z z z z z z z z Β3. Είναι z z z z z z z z z () z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z άρα zz w 5w w 5w w 5ww 5w ww 5w 5 w 5ww wyi 6ww 5 w w,y 6 y 5 y yi y yi y 6 36y 9 4 Επομένως ο γ.τ. των εικόνων του w είναι έλλειψη με α 9 α 3 β 4 β γ α β 5 γ 5 Ε γ, ή Ε 5, ή Ε 5, άρα εστίες και Ε γ, Είναι min w β και ma w α 3 Β4. Είναι από τριγωνική ανισότητα z w z w z w όμως ma w 3 άρα z w z w 3 4 και z και min w άρα z w w όμως w w επομένως z w δηλαδή z w 4. ΘΕΜΑ Γ f ln, Γ. Η f ως πράξεις συνεχών και παρ/μων είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (, ) με f ln ln,. Η f ως πράξεις συνε-

χών και παρ/μων είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (, ) με f για κάθε, επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, ) + f f f Αν f f f Αν - όταν (,] η f είναι συνεχής και f () στο (,), άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (,], επομένως το σ.τ. της είναι το f, lim f, lim ln ) γιατί lim ln (αφού - όταν [, ) η f είναι συνεχής και f () στο (, ) άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, ) επομένως το σ.τ. της είναι το γιατί f, lim f, lim f lim και Επομένως το σύνολο τιμών της f είναι το [, ). Γ. Η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται: 3 lim ln άρα 3 ln ln ln 3 ln f - όταν (,] το ανήκει στο σύνολο τιμών της f άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον (,) : f ( ) και επειδή η f είναι στο (,] γνησίως μονότονη, αυτή η ρίζα είναι μοναδική - όταν [, ) το ανήκει στο σύνολο τιμών της f άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) :f( ) και επειδή η f είναι στο [, ) γνησίως μονότονη, αυτή η ρίζα είναι μοναδική. Επομένως η εξίσωση έχει ακριβώς θετικές ρίζες, δηλαδή f ( ) και f ( ) (). Γ3. ος τρόπος k f f Έστω για, Η k ως πράξεις συνεχών (αφού η f είναι φορές παραγωγίσιμη) είναι συνεχής στο, f στο (,). k f f f γιατί και k f f f f f + ολ.ελ. το f()=

γιατί f στο, Δηλαδή kk Επομένως από θ. Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον k f f ος τρόπος Θεωρώ τη συνάρτηση, : φ f,, και εφαρμόζω θ. Roll γι αυτήν στο.,. Γ4. Είναι g f ln, Η g ως γινόμενο συνεχών είναι συνεχής στο, g ln (διπλή) και άρα ln ln ln και g στο, Επομένως το ζητούμενο εμβαδό είναι E g d g d ln d ln d ln d d 3 4 4 4 4 3 τ.μ. 4 ΘΕΜΑ Δ Δ. Η f είναι συνεχής στο, είναι συνεχής και f, επομένως η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο,. Η f είναι συνεχής στο, άρα ορίζεται η k f tdt στο είναι παραγωγίσιμη με k f, η g f tdt k με,. Για, και ως σύνθεση παρ/μων είναι παραγωγίσιμη g k f,.

φ g,,. Θεωρώ την Είναι φ φ,,, δηλαδή η φ στο παρουσιάζει ακρότατο (ολ.ελ.) και είναι παραγωγίσιμη με φ g f. Από θ. Frmat φ f f και επειδή η f διατηρεί σταθερό πρόσημο είναι f Είναι στο,. ln t t f ln dt f ft ln t t ln dt f () ft Η h ln, είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο, με Άρα h,,,. Επομένως και ln t t dt ft h f στο ln t t h dt f ft f h ln t t dt f t Η f ως πηλίκο παρ/μων είναι παραγωγίσιμη στο, και ln ln t t dt f f t ln ln Παραγωγίζοντας την () έχω, f, f ln άρα c,,, c. f Η () για δίνει f c c c. f h h + + ολ.μεγ. το h()= <

Επομένως ln f Δ. lim f lim ln (αφού άρα f ln,. lim και lim ln ) ω f ημω lim f ημ f lim f όταν ω ω ω το ω ημω ω % συνω συνω lim lim lim. ω ω ω ω D.L.H. ω ω Δ3. Η f συνεχής στο, άρα ορίζεται η F f t dt, α είναι παραγωγίσιμη με F f,,. Η f παραγωγίσιμη στο, άρα η F παρ/μη στο F f ln ln ln ln,,. α, με στο, αφού, και στο Η F στα διαστήματα,,,3, ως παραγωγίσιμη είναι συνεχής στα διαστήματα,,,3 είναι παραγωγίσιμη άρα σε καθένα από αυτά εφαρμόζεται το θεώρημα Μέσης Τιμής, δηλαδή υπάρχει ένα τουλάχιστον, : F,3 : F F F F 3 F 3 F όμως 3 F F άρα F F F F 3 F F F F3,. Δ4. Έστω λ F Fβ F3β, β,β, β. Η λ είναι συνεχής στο [β,β] F F F3 F F3 γιατί F f άρα F β 3β F β F 3β. λ β F β F β F 3β από το Δ3 ερώτημα,

άρα λ β λ β Επομένως από θ. Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον β,β : λ όμως λ F f άρα η λ γνησίως φθίνουσα στο [β,β], δηλαδή το μοναδική ρίζα. Επιμέλεια: Σ. ΚΟΥΤΣΟΥΒΕΛΗΣ Π. ΛΥΓΚΩΝΗΣ Μ. ΣΙΜΙΤΖΟΓΛΟΥ Τ. ΝΤΡΙΤΣΟΣ Μ. ΤΣΙΜΕΛΑΣ Δ. ΣΤΡΟΥΖΑΚΗΣ