ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (7 /5/ 4) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ' έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη στο σημείο υτό, ν ποδείξετε ότι f ( )= Μονάδες Β. Πότε μι συνάρτηση f λέμε ότι είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 5 Γ. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν γράφοντς στο τετράδιό σς τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση.. Η δινυσμτική κτίν του θροίσμτος δυο μιγδικών ριθμών είνι το άθροισμ των δινυσμτικών κτινών τους. Μονάδες β. lim f () =!, ν κι μόνο ν lim f () = lim f () =! + Μονάδες γ. Αν οι συνρτήσεις f, g είνι πργωγίσιμες στο, τότε η συνάρτηση f, g είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει: (f g)'( ) = f '( ) g'( ) Μονάδες
δ. Έστω μι συνάρτηση f, η οποί είνι συνεχής σε έν διάστημ Δ. Αν f '()> σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είνι γνησίως φθίνουσ σε όλο το Δ. Μονάδες ε. Έστω f μι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστημ [, β]. Αν G είνι μι πράγουσ της f στο [, β], τότε β f(t)dt = G(β) G() Μονάδες Απάντηση Α. Βλέπε σχ. βιβλίο σελ. 6-6. Β. Βλέπε σχ. βιβλίο σελ.. Γ. Σ β Σ γ Λ δ Λ ε Σ. ΘΕΜΑ Δίνετι η συνάρτηση f με τύπο f() = ln.. Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f, ν μελετήσετε την μονοτονί της κι ν βρείτε τ κρόττ. Μονάδες β. Ν μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητ κι ν βρείτε τ σημεί κμπής. Μονάδες 8 γ. Ν βρείτε το σύνολο τιμών της f. Απάντηση f( ) =! n. Γι ν έχει νόημ πργμτικού ριθμού το ( ) ισχύει >. Άρ Df = (, + ). Η f είνι πργωγίσιμη στο (, + ) με f ( ) ( n ) ( =! = )! n+ (! n) =! n+ = ( ) =! n + =! n + Μονάδες 7 f πρέπει ν
[ > ] f ( ) = (! n+ ) =! n+ =! n = = = [ > ] f ( ) > (! n+ ) >! n+ >! n > > > + ( ) f + f( ) ελάχιστο! " Η f είνι γνησίως φθίνουσ στο #, κι γνησίως ύξουσ στο #% $ & ' (, ) +,. Η f γι / προυσιάζει (ολικό) ελάχιστο το *. ) -! ( f # /. #% )- 4 +, / + / + / β. Γι κάθε, :f! n! n /! n +! n + / n! + + / n! +. f / 5! n + / 5! n / 5 /. f 6 5! n + 6 5! n 6 5 6
+, f + f Σημείο κμπής! Η f είνι κοίλη στο, " ' ( # κι κυρτή στο, +, #% $ ). Η f έχει * &. )-! ( σημείο κμπής το! (, f! ( # ) δηλδή το σημείο, #% % - ) # - #% )-. γ. ', " * $! n. +, & lim f / lim! n/ lim / lim / + + + + 7 7 7 7! ( ) / lim / + 7 # #% )-! lim f / lim n /+, 7+, 7+, Η f είνι συνεχής κι γνησίως φθίνουσ στο! ( ' ( f! ",! ( f, lim f ' ( $ / /, + # # $) ) * # ) 7 ) * ). %% &-. % - -. - Η f είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο! " #,, συνεπώς #% $ & ' (, +, ), συνεπώς *. ) -
! ( ' ( f ' (,! ( f, lim f ' ( +, / /, +, # * ) ) * # ) 7+, ) * ). %. --. % - -. - Άρ το σύνολο τιμών της f είνι το ' ( ' ( ' (,,, ) " +, / +, *. - *. )- *. )- ΘΕΜΑ ο Δίνετι η συνάρτηση g() = f(), όπου f συνάρτηση πργωγίσιμη στο ΙR. κι f() = f ( ) =.. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστο τέτοιο ώστε f (ξ) = f(ξ). ξ (, ) Μονάδες 8 β. Εάν f()= -, ν υπολογίσετε το ολοκλήρωμ I() = g()d, IR Μονάδες 8 γ. Ν βρείτε το όριο lim I() Μονάδες 9 Απάντηση ' ". # g συνεχής στο, ως γινόμενο συνεχών (f συνεχής, *. $ & ως πργωγίσιμη).! ( # g πργωγίσιμη στο, # #% )- με g / f + f, 84$ g / f / 9: # :! (! (! ( < ; g / g g f # ) / / % - # % - ) #% - ) :=
! ( Από Θ. Roll υπάρχει έν τουλάχιστον >4, # #% )- ώστε > > > / 5 > + > / 5 > + > / 5 > / > g f f f f f f I / g d / d / d / β.??? ' " /? 4d/ *. $ & /' " *? 4d /. $ & ' " / * 4 $ + 4? d/. & / ' 4 " 4 ' * + ". $ & * $ /. & / + + 4 + 4 / / + + 4 + 44 / / + + 4 4 + 7/ + 7 7 + 7. γ. ' " 7, 7, 7 7 + lim * + 7 7 $ / lim /. & + 7 7 4 7 4 7 / lim / lim / lim / 7, 7, 7, 4 / lim / lim 4 / 7, 7, Έτσι: lim Ι/ lim ' * + 7 7 + 7 " $ /. & 7, 7, / ' + " + / + /. & lim 7 7 lim 7 7 7 7, * $ 7,
ΘΕΜΑ 4ο Έστω η συνεχής συνάρτηση f :" " τέτοι ώστε f()=. Αν γι κάθε ", ισχύει g() = f(t)dt + ( ), όπου, = + βi C, με,,β " τότε:. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση g είνι πργωγίσιμη στο $ κι ν βρείτε τη g'. Μονάδες 5 β. Ν ποδείξετε ότι = + Μονάδες 8 γ. Με δεδομένη τη σχέση του ερωτήμτος β ν ποδείξετε ότι R( ) = Μονάδες 6 δ. Αν επιπλέον f ()=>, f ()=β κι >β, ν ποδείξετε ότι υπάρχει (,) τέτοιο ώστε f( )=. Απάντηση Μονάδες 6. Η συνάρτηση f t είνι συνεχής συνάρτηση στο $, επομένως η συνάρτηση? f t dt είνι πργωγίσιμη στο $, ως σύνθεση των πργωγίσιμων συνρτήσεων η συνάρτηση κι? f t dt, σ υτό. Επίσης + είνι πργωγίσιμη στο $ κι άρ
η g είνι πργωγίσιμη ως διφορά πργωγίσιμων συνρτήσεων σ υτό, με πράγωγο: g / f + / / f + β. Είνι g /, επομένως g g @ γι κάθε 4 $. Αυτό σημίνει ότι η g στο προυσιάζει ελάχιστη τιμή κι επειδή είνι πργωγίσιμη σ υτό, σύμφων με το Θεώρημ Frmat θ ισχύει g /. Έτσι: g / 5 f + / 5 ' f / ". & 5 / + 5 / + γ. Από την ότι: / + του ερωτήμτος (β) προκύπτει ισοδύνμ! (! ( / + 5 / + + 5 # % ) -%# ) - 5 / + + + 5 + 5 / 5 + / Από την () προκύπτει ότι: R + /5R /5 5 R /
δ. Είνι / + βi με, β A, επομένως / β + βi. Από την ισότητ του (γ) ερωτήμτος προκύπτει ότι δηλδή β B. Θ δείξουμε ότι β B. ( τρόπος) 6 β β β β B 5 B 5 B 5 5 B β /. Αν β 6 πό () προκύπτει B β που είνι άτοπο πό την υπόθεσή μς, άρ πρέπει ν είνι β B. (β τρόπος) β β β B 5 + B Όμως 6β5β6, επομένως πρέπει ν είνι + βb 5βB κι φού είνι 6, πρέπει β B. Η f είνι συνεχής στο C, D (f συνεχής στο $ ) κι ff/ β E B, οπότε σύμφων με το Θ. Bolano θ υπάρχει 4,, τέτοιο ώστε f /