5 5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΙΓΜΑ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στην πράξη θέλουµε υχνά να βγάλουµε υµπεράµατα για µια µεγάλη οµάδα ατόµων ή αντικειµένων. Αντί να µελετήουµε ολόκληρη την οµάδα, τον πληθυµό όπως λέµε, που είναι δύκολο ή αδύνατο, µπορούµε να εξετάουµε ένα µικρό µέρος αυτού του πληθυµού, δηλ. ένα δείγµα. Αυτό γίνεται µε κοπό να υµπεράνουµε κάτι για τον πληθυµό από τα αποτελέµατα εξετάεως του δείγµατος. Οι αρχές και οι µέθοδοι που χρηιµοποιούνται για το κοπό αυτό αποτελούν τη Στατιτική Συµπεραµατολογία. Η διαδικαία λήψεως ενός δείγµατος καλείται δειγµατοληψία. Παράδειγµα 5.. Για ένα πλήθος.000 ενήλικων φοιτητών (αυτός είναι ο πληθυµός) ζητάµε να µελετήουµε το βάρος η το ύψος τους εξετάζοντας µόνον 00 φοιτητές (το δείγµα). Παράδειγµα 5.. Ζητάµε να βγάλουµε υµπεράµατα για το ποοτό των ελαττωµατικών βιδών από την εξαήµερη παραγωγή ενός εργοταίου εξετάζοντας 0 τυχαίες βίδες από την παραγωγή κάθε ηµέρας. Στην περίπτωη αυτή το ύνολο των βιδών της εξαήµερης παραγωγής αποτελεί τον πληθυµό, ενώ οι 0 βίδες το δείγµα. Παράδειγµα 5.. Ζητάµε να εξετάουµε εάν ένα νόµιµα είναι κανονικό η όχι ρίχνοντας το πολλές φορές. Ο πληθυµός περιλαµβάνει όλες τις δυνατές ρίψεις. Ένα δείγµα µπορεί να ληφθεί, εάν ξεχωρίουµε µερικές ρίψεις, π.χ. τις πρώτες 0, και ηµειώουµε πόες φορές ήρθε «κεφάλι» και πόες «γράµµατα».
Παράδειγµα 5.. Ζητάµε να βγάλουµε υµπεράµατα για τα χρώµατα 00 φαιρών (πληθυµός) βγάζοντας 0 φαίρες (δείγµα) από το κουτί που περιέχει τις φαίρες µε επανατοποθέτηη η χωρίς επανατοποθέτηη. Μερικά ηµεία πρέπει να τονιτούν ιδιαίτερα. Πρώτο, η λέξη πληθυµός δε ηµαίνει γενικά ό,τι την καθηµερινή γλώα, όπως π.χ. τη φράη «πληθυµός της Αθήνας». εύτερο, η λέξη πληθυµός δηλώνει υχνά ένα πλήθος παρατηρήεων η µετρήεων αντί για πλήθος ατόµων η αντικειµένων. Έτι µπορούµε να θεωρήουµε ότι το Παράδ. 5. ο πληθυµός περιλαµβάνει.000 βάρη ή ύψη και ότι το Παράδ. 5. ο πληθυµός περιλαµβάνει τα χρώµατα των 00 φαιρών. Τρίτο, ο πληθυµός µπορεί να περιλαµβάνει πεπεραµένο (υνήθως) η άπειρο πλήθος τοιχείων. Το πλήθος αυτό παριτάνεται µε Ν και καλείται µέγεθος του πληθυµού. Το πλήθος των τοιχείων του δείγµατος καλείται µέγεθος του δείγµατος και υµβολίζεται µε. Στο Παράδ. 5. είναι Ν.000, 00, ενώ το Παράδ. 5. το Ν είναι άπειρο και 0. ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΜΕ ΚΑΙ ΧΩΡΙΣ ΕΠΑΝΑΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗ Εάν βγάλουµε ένα αντικείµενο από ένα κουτί, µπορούµε να το ξαναβάλουµε η να µην το ξαναβάλουµε πριν βγάλουµε ένα άλλο. Στην πρώτη περίπτωη το ίδιο αντικείµενο µπορεί να βγει πολλές φορές, ενώ τη δεύτερη µόνο µια φορά. Έτι έχουµε δειγµατοληψία µε επανατοποθέτηη, όπου ένα τοιχείο του πληθυµού µπορεί να εκλεγεί πολλές φορές, και δειγµατοληψία χωρίς επανατοποθέτηη, όπου ένα τοιχείο του πληθυµού µπορεί να εκλεγεί το πολύ µια φορά. Ένας πεπεραµένος πληθυµός µπορεί να θεωρηθεί άπειρος ε δειγµατοληψία µε επανατοποθέτηη, επειδή µπορούµε να πάρουµε δείγµατα οποιουδήποτε µεγέθους. Σε πολλές περιπτώεις την πράξη, ακόµα και δειγµατοληψία χωρίς επανατοποθέτηη από έναν πολύ µεγάλο πληθυµό µπορεί να θεωρηθεί αν δειγµατοληψία άπο άπειρο πληθυµό. ΤΥΧΑΙΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Είναι φανερό ότι τα υµπεράµατα για τον πληθυµό θα είναι ωτά, εάν το δείγµα εκλεγεί έτι ώτε να αντιπροωπεύει τον πληθυµό αρκετά καλά. Ένα από τα
7 πουδαία προβλήµατα της Στατιτικής Συµπεραµατολογίας είναι ο τρόπος εκλογής ενός δείγµατος. Ένας τρόπος εκλογής ενός δείγµατος είναι να διαλέξουµε έτι το δείγµα ώτε κάθε τοιχείο του πληθυµού να έχει την ίδια πιθανότητα να είναι το δείγµα. Έχουµε τότε ένα τυχαίο δείγµα. Από ένα µικρό χετικά πληθυµό µπορούµε να πάρουµε ένα τυχαίο δείγµα χρηιµοποιώντας κλήρους ή έναν πίνακα τυχαίων αριθµών, που έχουν ειδικά βρεθεί για τέτοιους κοπούς. Γενικά όµως, υµπεράµατα για τον πληθυµό από ένα δείγµα είναι ωτά µε κάποια πιθανότητα και όχι βεβαιότητα. Για πεπεραµένο πληθυµό µερικοί υγγραφείς περιορίζουν την έννοια του τυχαίου δείγµατος ε δειγµατοληψία µε επανατοποθέτηη µόνον. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ Ένας πληθυµός θεωρείται γνωτός, όταν γνωρίζουµε την κατανοµή πιθανότητας f(x) (υνάρτηη πιθανότητας ή υνάρτηη πυκνότητας) για ένα µέγεθος που χαρακτηρίζει τα τοιχεία του πληθυµού και παριτάνεται από µια τυχαία µεταβλητή Χ. Π.χ. το Παράδ. 5. ή Χ µπορεί να παριτάνει το βάρος ή το ύψος καθ' ενός από τους.000 φοιτητές. Εάν ή Χ ακολουθεί την κανονική κατανοµή, λέµε ότι ο πληθυµός είναι κανονικά κατανεµηµένος ή ότι έχουµε κανονικό πληθυµό. Όµοια, εάν ή Χ έχει διωνυµική κατανοµή, λέµε ότι ο πληθυµός είναι διωνυµικά κατανεµηµένος ή ότι έχουµε διωνυµικό πληθυµό. Στην έκφραη της f(x) αναµένεται να υπάρχουν οριµένες παράµετροι, όπως µ και την περίπτωη της κανονικής κατανοµής και p την περίπτωη της διωνυµικής. Άλλες παράµετροι (π.χ. ροπές, υντελετές αυµµετρίας και κυρτώεως, κτλ.) µπορούν να υπολογιτούν. Όλες αυτές καλούνται παράµετροι πληθυµού. Όταν ο πληθυµός δίνεται, γνωρίζουµε την f(x), και υνεπώς είναι γνωτές και οι παράµετροι του πληθυµού. Ένα πουδαίο πρόβληµα προκύπτει, όταν ή f(x) του πληθυµού δεν είναι γνωτή ακριβώς, αλλά γνωρίζουµε µόνον οριµένες ιδιότητες της ή έχουµε µια γενική ιδέα της υµπεριφοράς της. Έτι π.χ. µπορούµε να έχουµε ενδείξεις ότι ένας
8 πληθυµός είναι κανονικά κατανεµηµένος, αλλά να µη γνωρίζουµε τις τιµές των µ και του πληθυµού, οπότε θα πρέπει να τις εκτιµήουµε. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Μπορούµε να πάρουµε τυχαία δείγµατα από έναν πληθυµό και να χρηιµοποιήουµε αυτά τα δείγµατα για να εκτιµήουµε τις παραµέτρους του πληθυµού. Έτω ότι το Παράδ. 5. ή τυχαία µεταβλητή Χ παριτάνει το ύψος των φοιτητών του πληθυµού. Για να διαλέξουµε ένα δείγµα 00 φοιτητών, αρχίζουµε διαλέγοντας ένα φοιτητή. Εάν x είναι το ύψος του φοιτητή, µπορούµε να θεωρήουµε το x αν τιµή µιας τυχαίας µεταβλητής Χ, που παριτάνει το ύψος του φοιτητή που διαλέγεται πρώτος (δείκτης ). Όµοια διαλέγουµε την τύχη ένα δεύτερο φοιτητή και, αν x το ύψος του, θεωρούµε το x αν τιµή µιας τυχαίας µεταβλητής Χ, που παριτάνει το ύψος του φοιτητή που διαλέγεται δεύτερος. Έτι υνεχίζουµε µέχρι την Χ 00, αφού το µέγεθος του δείγµατος είναι 00. Για απλότητα δεχόµατε ότι ή δειγ- µατοληψία είναι µε επανατοποθέτηη. Οπότε κάθε φοιτητής µπορεί να εκλεγεί καµία, µία ή περιότερες φορές. Ας ηµειωθεί όµως ότι, επειδή το δείγµα είναι πολύ µικρότερο από τον πληθυµό, δεν έχει ουιατική ηµαία αν ή δειγµατοληψία είναι µε ή χωρίς επανατοποθέτηη. Στη γενική περίπτωη ένα δείγµα µεγέθους µπορεί να περιγραφεί από τις τιµές x,x,,x των τυχαίων µεταβλητών Χ,Χ,...,Χ. Σε δειγµατοληψία µε επανατοποθέτηη οι Χ,Χ,...,Χ είναι ανεξάρτητες και ιόνοµες µε κατανοµή πιθανότητας (ή κάθε µια) f(x). H κοινή κατανοµή πιθανότητας είναι ( x, x,..., x ) f ( x ) f ( x )...f ( ) P () x Μια ποότητα που προκύπτει από ένα δείγµα τη διαδικαία εκτιµήεως των παραµέτρων του πληθυµού καλείται τατιτική δειγµατική υνάρτηη ή απλά τατιτική υνάρτηη ή δειγµατουνάρτηη. Μαθηµατικά µια τατιτική υνάρτηη για ένα δείγµα µεγέθους µπορεί να οριτεί ως µια υνάρτηη g(χ,...,χ ) των τυχαίων µεταβλητών Χ,...,Χ. H υνάρτηη g(χ,...,χ ) είναι µια τυχαία µεταβλητή µε τιµές g(x,...,x ). H Στατιτική εξετάζει τέτοιες τυχαίες µεταβλητές και τις τιµές τους. Σε κάθε παράµετρο του πληθυµού θα υπάρχει µια αντίτοιχη τατιτική υνάρτηη από ένα δείγµα. Συνήθως, ή µέθοδος υπολογιµού της τιµής της
9 τατιτικής υναρτήεως από το δείγµα είναι όµοια µε τη µέθοδο υπολογιµού της παραµέτρου από έναν (πεπεραµένο) πληθυµό Όπως όµως θα δούµε, ο τρόπος αυτός µπορεί να µη δίνει την «καλύτερη εκτίµηη» για την παράµετρο. Ένα πουδαίο πρόβληµα τη θεωρία δειγµατοληψίας είναι ή εύρεη της κατάλληλης τατιτικής υναρτήεως που θα µας δώει την καλύτερη δυνατή εκτίµηη για µια παράµετρο του πληθυµού. Τέτοια προβλήµατα θα υναντήουµε ε επόµενα κεφάλαια. Γενικά, θα χρηιµοποιήουµε ελληνικά γράµµατα (π.χ. µ, ) για να υµβολίουµε τις παραµέτρους του πληθυµού και λατινικά (π.χ., s) για τις τιµές των αντίτοιχων τατιτικών υναρτήεων. ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΠΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Όπως είδαµε, µια τατιτική υνάρτηη είναι µια τυχαία µεταβλητή που είναι υνάρτηη των τυχαίων µεταβλητών Χ,...,Χ ενός δείγµατος. Άρα µπορούµε να µιλάµε για κατανοµή πιθανότητας µιας τατιτικής υναρτήεως, που καλείται δειγµατοληπτική κατανοµή ή κατανοµή δειγµατοληψίας. Εάν θεωρήουµε όλα τα δυνατά δείγµατα µεγέθους που µπορούµε να πάρουµε από έναν πληθυµό, έχουµε για κάθε δείγµα µια τιµή για τη τατιτική υνάρτηη. Έτι έχουµε την κατανοµή της τατιτικής υναρτήεως, δηλ. τη δειγµατοληπτική κατανοµή. Από τη δειγµατοληπτική κατανοµή µιας τατιτικής υναρτήεως µπορούµε να υπολογίουµε µέη τιµή, τυπική απόκλιη, ροπές, κτλ. H τυπική απόκλιη καλείται και τυπικό φάλµα. Η ΕΙΓΜΑΤΙΚΗ ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ Εάν Χ,Χ,...,Χ είναι οι τυχαίες µεταβλητές για ένα δείγµα µεγέθους η, καλείται δειγµατική µέη τιµή ή µέη τιµή δείγµατος ή τυχαία µεταβλητή... ˆ () Εάν Χ,Χ,...,Χ είναι οι τιµές των τυχαίων µεταβλητών ' ένα οριµένο δείγµα, τότε ή µέη τιµή αυτού του δείγµατος είναι x x... x x ˆ ()
50 Παράδειγµα 5.5. Σ' ένα δείγµα µεγέθους 5 οι τιµές των τυχαίων µεταβλητών είναι 7, 9,,,. Συνεπώς ή µέη τιµή του δείγµατος αυτού είναι 7 9 x ˆ 5 5 ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΗΣ ΕΙΓΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Έτω f(x) η κατανοµή πιθανότητας ενός πληθυµού. Εάν πάρουµε ένα δείγµα µεγέθους από τον πληθυµό, είναι φυικό να ζητήουµε την κατανοµή πιθανότητας της τατιτικής υναρτήεως ˆ. Αυτή είναι ή δειγµατοληπτική κατανοµή της µέης τιµής του δείγµατος ή κατανοµή της δειγµατικής µέης τιµής. Σχετικά είναι τα παρακάτω θεωρήµατα. Θεώρηµα 5-: Ή µέη τιµή µ x της δειγµατικής µέης τιµής ˆ είναι ( ˆ ) µ xˆ µ E () όπου µ η µέη τιµή του πληθυµού. Σύµφωνα µε το θεώρηµα αυτό η αναµενόµενη τιµή της δειγµατικής µέης τιµής ιούται µε µ. Θεώρηµα 5-: Εάν ένας πληθυµός είναι άπειρος ή εάν η δειγµατοληψία είναι µε επανατοποθέτηη, τότε ή διαπορά είναι E [( ˆ µ ) ] xˆ όπου ή διαπορά του πληθυµού. x της δειγµατικής µέης τιµής (5) Θεώρηµα 5-: Εάν ο πληθυµός έχει µέγεθος Ν και πάρουµε δείγµα µεγέθους Ν χωρίς επανατοποθέτηη, τότε αντί για την (5) έχουµε ενώ η µ x δίνεται από την (). Ας ηµειωθεί ότι η () δίνει την (5), όταν Ν. N xˆ () N Θεώρηµα 5-: Εάν ο πληθυµός άπ' όπου παίρνουµε τα δείγµατα είναι κανονικός µε µέη τιµή µ και διαπορά, τότε ή δειγµατική µέη τιµή έχει κανονική (δειγµατοληπτική) κατανοµή µε µέη τιµή µ και διαπορά /.
5 Θεώρηµα 5-5: Εάν ο πληθυµός άπ' όπου παίρνουµε τα δείγµατα έχει κάποια κατανοµή (όχι αναγκατικά κανονική) µε µέη τιµή µ και διαπορά, τότε η (αντίτοιχη την Χ) τυποποιηµένη µεταβλητή ˆ µ Z (7) είναι αυµπτωτικά κανονική, δηλ. li P z ( Z z) Το θεώρ. 5-5 είναι υνέπεια του κεντρικού οριακού θεωρήµατος.. εχόµατε βέβαια ότι ο πληθυµός είναι άπειρος ή ότι η δειγµατοληψία είναι µε π e / u du (8) επανατοποθέτηη. ιαφορετικά το της (). / την (7) πρέπει να αντικαταταθεί από το x ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΕΙΓΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑΣ Έτω ότι ένας πληθυµός είναι άπειρος και διωνυµικός µε p και q-p αντίτοιχα τις πιθανότητες να έχει (επιτυχία) ή να µην έχει (αποτυχία) ένα τοιχείο του πληθυµού µια οριµένη ιδιότητα. Ένα παράδειγµα αποτελεί ο πληθυµός όλων των δυνατών ρίψεων ενός νοµίµατος µε δώει «κεφάλι». p την πιθανότητα µια oριµένη ρίψη να Θεωρούµε όλα τα δυνατά δείγµατα µεγέθους από τον πληθυµό αυτό και για κάθε δείγµα θεωρούµε τη τατιτική υνάρτηη που παριτάνει την αναλογία ή το ποοτό των επιτυχιών το δείγµα. Έχουµε έτι τη δειγµατοληπτική κατανοµή της δειγµατικής αναλογίας επιτυχιών µε µέη τιµή και τυπική απόκλιη αντίτοιχα ( p) pq p µ p p p (9) Οι χέεις αυτές προκύπτουν από τις () και (5), αν θέουµε µ p, pq. Για µεγάλες τιµές του ( 0) η δειγµατοληπτική κατανοµή της αναλογίας είναι χεδόν κανονική, όπως προκύπτει από το θεώρ. 5-5. Για πεπεραµένο πληθυµό και δειγµατοληψία χωρίς επανατοποθέτηη η δεύτερη από τις χέεις (9) πρέπει να αντικαταταθεί από την () µε pq
5 Ας ηµειωθεί ότι τα δεξιά µέλη των χέεων (9) προκύπτουν εύκολα από τη µέη τιµή και την τυπική απόκλιη (p και pq ) της διωνυµικής κατανοµής µε διαίρεη µε. ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΙΑΦΟΡΩΝ ΚΑΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΩΝ Θεωρούµε δύο πληθυµούς. Για κάθε δείγµα µεγέθους από τον πρώτο πληθυµό υπολογίζουµε την τιµή µιας τατιτικής υναρτήεως S. Έτι έχουµε µια δειγµατοληπτική κατανοµή για το S µε µέη τιµή µ s και τυπική απόκλιη s. Όµοια, για κάθε δείγµα µεγέθους από το δεύτερο πληθυµό υπολογίζουµε την τιµή µιας τατιτικής υναρτήεως S και έχουµε µια δειγµατοληπτική κατανοµή µε µέη τιµή µ S και τυπική απόκλιη S. Παίρνοντας όλους τους δυνατούς υνδυαµούς δύο δειγµάτων (ένα από τον πρώτο πληθυµό και ένα από το δεύτερο) έχουµε µια δειγµατοληπτική κατανοµή της διαφοράς S -S των τατιτικών υναρτήεων. Η µέη τιµή και η τυπική απόκλιη της δειγµατοληπτικής αυτής κατανοµής υµβολίζονται αντίτοιχα µε µ S S και και S S δίνονται από τις χέεις µ S S µ S µ S (0) S S S S µε την προϋπόθεη ότι τα δείγµατα δεν εξαρτώνται το ένα από το άλλο. (Λέµε ότι τα δείγµατα είναι ανεξάρτητα, όταν οι S και S είναι ανεξάρτητες.) Για παράδειγµα έτω ότι οι S και S είναι οι µέες τιµές και δύο δειγµάτων από δύο πληθυµούς µε παραµέτρους (µέη τιµή και τυπική απόκλιη) µ,, και µ, αντίτοιχα. Οι χέεις (0) δίνουν () µ xˆ xˆ µ xˆ µ xˆ µ, µ xˆ xˆ xˆ xˆ όπου χρηιµοποιήθηκαν οι () και (5). Οι χέεις (0) και () ιχύουν και για πεπεραµένα ύνολα και δειγµατοληψία µε επανατοποθέτηη. Η τυποποιηµένη µεταβλητή ( ˆ ˆ ) µ µ Z ()
5 έχει την περίπτωη αυτή χεδόν κανονική κατανοµή, εάν τα και είναι µεγάλα (, 0). Παρόµοια αποτελέµατα µπορούν να ληφθούν για πεπεραµένους πληθυµούς και δειγµατοληψία χωρίς επανατοποθέτηη, αν χρηιµοποιήουµε τις () και (). Αντίτοιχα αποτελέµατα προκύπτουν για δειγµατοληπτική κατανοµή της διαφοράς των ποοτών από δύο διωνυµικούς πληθυµούς µε παραµέτρους p, q και p, q αντίτοιχα. Στην περίπτωη αυτή S και S είναι οι αναλογίες των επιτυχιών Ρ και Ρ και οι χέεις () δίνουν p q µ p p p p p p, µ µ pp p p () Μερικές φορές ενδιαφερόµατε για τη δειγµατοληπτική κατανοµή του αθροίµατος των τατιτικών υναρτήεων S και S. Με τον προηγούµενο υµβολιµό η µέη τιµή και η τυπική απόκλιη της δειγµατοληπτικής αυτής κατανοµής είναι p q µ S S µ S µ S () S S S S για ανεξάρτητα δείγµατα. Επίης µπορούν να βρεθούν χέεις αντίτοιχες µε τις (). Η ΕΙΓΜΑΤΙΚΗ ΙΑΣΠΟΡΑ Εάν Χ,Χ,...,Χ είναι οι τυχαίες µεταβλητές για ένα δείγµα µεγέθους, τότε η τυχαία µεταβλητή που δίνει τη δειγµατική διαπορά ή διακύµανη (ή διαπορά ή διακύµανη του δείγµατος) είναι S ( ˆ ) ( ˆ )... ( ˆ ) (5) Επειδή (θεώρ. 5-) Ε(Χ)µ, θα ήταν ωραίο να είχαµε και ( ) E S. Όταν η αναµενόµενη τιµή µιας τατιτικής υναρτήεως ιούται µε την αντίτοιχη παράµετρο του πληθυµού, η τατιτική υνάρτηη καλείται αµερόληπτη η αβίατη εκτιµήτρια και η τιµή της αποτελεί µια αµερόληπτη ή αβίατη εκτίµηη της παραµέτρου του πληθυµού. Είναι όµως ( S ) µ E () s που για µεγάλα (π.χ. 0) δε διαφέρει ουιατικά από το. Εάν ορίουµε
5 ( ) ( ) ( )... S ˆ S (7) τότε έχουµε ( ) Ŝ E (8) Από τις χέεις αυτές φαίνεται γιατί πολλοί που χρηιµοποιούν τατιτικές µεθόδους ορίζουν τη διαπορά ενός δείγµατος ίη µε Ŝ αντί για S [αντικαθιτούν το µε - τον παρονοµατή της (5)]. Εµείς όµως θα χρηιµοποιήουµε τον οριµό (5). Παράδειγµα 5.. Στο Παράδ. 5.5. η διαπορά του δείγµατος (ακριβέτερα η τιµή της) είναι ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 8 5 7 s ενώ µια αµερόληπτη εκτίµηη της διαποράς του πληθυµού είναι η ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).5 8 5 7 s 5 ŝ Οι προηγούµενες χέεις ιχύουν για δειγµατοληψία από άπειρο πληθυµό ή από πεπεραµένο µε επανατοποθέτηη. Εάν έχουµε δειγµατοληψία από πεπεραµένο πληθυµό µεγέθους Ν χωρίς επανατοποθέτηη, τότε ( ) s N N S µ E (9) Όταν Ν, η χέη αυτή δίνει την (). ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΗΣ ΕΙΓΜΑΤΙΚΗΣ ΙΑΣΠΟΡΑΣ Παίρνοντας όλα τα δυνατά δείγµατα µεγέθους από έναν πληθυµό και υπολογίζοντας τη διαπορά κάθε δείγµατος έχουµε τη δειγµατοληπτική κατανοµή της δειγµατικής διαποράς. Αντί όµως για την κατανοµή της S ή της Ŝ είναι βολικότερο να βρούµε τη δειγµατοληπτική κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής ( ) ( ) ( ) ( )... Ŝ S (0) Η κατανοµή της τυχαίας αυτής µεταβλητής περιγράφεται από το ακόλουθο θεώρηµα:
55 Θεώρηµα 5-: Εάν ένας πληθυµός έχει κανονική κατανοµή, τότε η τυχαία µεταβλητή (0), που ορίζεται για κάθε δείγµα µεγέθους από τον πληθυµό, έχει κατανοµή x µε - βαθµούς ελευθερίας. Για το λόγο αυτό η µεταβλητή (0) παριτάνεται υχνά µε x. ΑΓΝΩΣΤΗ ΙΑΣΠΟΡΑ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ Σύµφωνα µε τα θεωρ. 5- και 5-5 η τυποποιηµένη τυχαία µεταβλητή µ Z () είναι κανονική, εάν ο πληθυµός (άπ' όπου παίρνουµε τα δείγµατα µεγέθους ) είναι κανονικός, ενώ είναι αυµπτωτικά κανονική, εάν ο πληθυµός δεν είναι κανονικός. Είναι φανερό ότι την () η διαπορά του πληθυµού θεωρείται γνωτή. Συχνά όµως δε γνωρίζουµε τη διαπορά του πληθυµού. Ένας τρόπος για να την εκτιµήουµε είναι να χρηιµοποιήουµε µια η περιότερες διαπορές δειγµάτων και να θέουµε την εκτίµηη την (). Μια καλύτερη λύη είναι να αντικατατήουµε την την () µε την τυχαία µεταβλητή Ŝ και να µελετήουµε τη δειγµατοληπτική κατανοµή της νέας τατιτικής υναρτήεως µ µ T () Ŝ S Θεώρηµα 5-7: Για δείγµατα µεγέθους από κανονικό πληθυµό η τυχαία µεταβλητή () ακολουθεί την κατανοµή t µε - βαθµούς ελευθερίας. Το θεωρ. 5-7 ιχύει και για δείγµατα από πληθυµό µε καµπύλη πυκνότητας παρόµοια µε την κανονική καµπύλη (κωδωνοειδή). Επειδή δεν είναι απαραίτητο να ξέρουµε τη διαπορά του πληθυµού, λέµε ότι η προηγούµενη µέθοδος ανήκει την ακριβή δειγµατοληψία η δειγµατοληψία για µικρά δείγµατα. ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΟΥ ΛΟΓΟΥ ΕΙΓΜΑΤΙΚΩΝ ΙΑΣΠΟΡΩΝ Προηγουµένως είδαµε πώς µπορούµε να βρούµε την κατανοµή διαφοράς τατιτικών υναρτήεων (π.χ. διαφοράς µέων τιµών). Με την ίδια µέθοδο µπορούµε να βρούµε τη δειγµατοληπτική κατανοµή της διαφοράς S S των δειγµατικών
5 διαπορών. Η κατανοµή όµως αυτή είναι πολύπλοκη. Γι' αυτό θεωρούµε τη τατιτική υνάρτηη S είναι µεγάλη. / S. Εάν ο λόγος αυτός είναι πολύ διαφορετικός του, τότε η διαφορά Θεώρηµα 5-8: Θεωρούµε δύο δείγµατα µε µεγέθη και από δύο κανονικούς πληθυµούς µε διαπορές και. Εάν οι δειγµατικές διαπορές είναι αντίτοιχα S και S, η τατιτική υνάρτηη ( ) Ŝ ( ) S F () S Ŝ ακολουθεί κατανοµή F µε -, - βαθµούς ελευθερίας. Το προηγούµενο θεώρηµα µπορεί να εφαρµοτεί και για πληθυµούς µε καµπύλες πυκνότητας όµοιες µε την κανονική καµπύλη (κωδωνοειδείς καµπύλες). ΑΛΛΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Είναι φανερό ότι εκτός από τη µέη τιµή και τη διαπορά ενός δείγµατος µπορούµε να ορίουµε άλλες τατιτικές υναρτήεις, όπως διάµεη τιµή, πιθανότερη τιµή, υντελετές αυµµετρίας κυρτώεως, κτλ. Οι οριµοί είναι ανάλογοι µε αυτούς του Κεφ.. Επίης µπορούµε τις περιότερες φορές να βρούµε τις δειγµατοληπτικές κατανοµές αυτών των τατιτικών υναρτήεων τουλάχιτον τις µέες τιµές και τις τυπικές αποκλίεις τους, που καλούνται υχνά τυπικά φάλµατα. Μερικά από αυτά τα τυπικά φάλµατα δίνονται τον παρακάτω πίνακα. ΤΥΠΙΚΑ ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Στατιτική Συνάρτηη Μέη τιµή Τυπικό Σφάλµα xˆ Παρατηρήεις Η χέη Ιχύει για µεγάλα ή µικρά δείγµατα από άπειρο πληθυµό ή, αν η δειγµατοληψία είναι µ επανατοποθέτηη, από πεπεραµένο. Η δειγµατοληπτική κατανοµή της µέης τιµής είνα περίπου κανονική για 0 (αυµπτωτικά κα νονική) και αν ακόµα η κατανοµή του πληθυµού
57 Αναλογία p( p) ιάµεη τιµή Τυπική απόκλιη ιαπορά p δ. τ. () S pq π.5 ( ) S () ( ) S S µ µ δεν είναι κανονική. Είναι πάντα µ x µ µέη τιµή πληθυµού Οι προηγούµενες παρατηρήεις για τη µέη τιµή ιχύουν κι εδώ. Είναι πάντα µ p p Για 0 η δειγµατοληπτική κατανοµή τη (δειγµατικής) διάµεης τιµής είναι περίπου κανονική. Η χέη ιχύει για κανονικό ή περίπου κανονικό πληθυµό. Είναι πάντα µ δ.τ. µ Για 00 ή κατανοµή της S είναι περίπου κανονική. H () ιχύει για κανονικό ή περίπου κανονικό πληθυµό. Για µη κανονικό πληθυµό µπορεί να χρηιµοποιηθεί ή (). Όταν µ (που ιχύει για κανονικό πληθυµό), η () δίνει την (). Για 00, µ s µε µεγάλη προέγγιη. Οι προηγούµενες παρατηρήεις για την τυπική απόκλιη ιχύουν κι εδώ. Για κανονικό πληθυµό ή () δίνει την (). Είναι µ S ( ) / δηλ. περίπου για µεγάλο ( 0). ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ Εάν ένα δείγµα (ή ακόµα κι ένας πληθυµός) είναι µεγάλο, είναι δύκολο να παρατηρήουµε διάφορα χαρακτηριτικά µεγέθη του ή να υπολογίουµε τιµές τατιτικών υναρτήεων, όπως µέη τιµή, τυπική απόκλιη, κτλ. Γι' αυτό είναι χρήιµο να οργανώνουµε κάπως τα δεδοµένα. Για παράδειγµα θεωρούµε ένα δείγµα µε βάρη 00 κιβωτίων φρούτων ενός αγροτικού υνεταιριµού. Χωρίζουµε τα δεδοµένα ε κλάεις ή τάξεις ή κατηγορίες και βρίκουµε το πλήθος των κιβωτίων κάθε
58 κλάεως, που καλείται υχνότητα της κλάεως αυτής. Το αποτέλεµα, που δίνεται τον παρακάτω πίνακα, καλείται κατανοµή υχνότητας ή πίνακας υχνότητας. ΒΑΡΗ 00 ΚΙΒΩΤΙΩΝ ΦΡΟΥΤΩΝ Βάρος (kg) Πλήθος Κιβωτίων 0-5 -5 8-8 9-7 7 7-7 8 Σύνολο 00 Η πρώτη κλάη περιλαµβάνει τα βάρη 0 έως και κιλά (kg). Το διάτηµα αυτό καλείται διάτηµα της κλάεως. Επειδή 5 κιβώτια έχουν βάρος το διάτηµα αυτό, η υχνότητα της κλάεως αυτής είναι 5. Τα βάρη καταγράφονται βέβαια τρογγυλεµένα την πληιέτερη µονάδα, υνεπώς ή πρώτη κλάη περιλαµβάνει την πραγµατικότητα βάρη το διάτηµα 59.5-.5. Οι ακραίες τιµές 59.5 και.5 καλούνται όρια της κλάεως. Η επόµενη κλάη είναι η.5-5.5, κτλ. Το πλάτος του διατήµατος µιας κλάεως, δηλ. το πάνω όριο µείον το κάτω όριο, υµβολίζεται µε c j. Συνήθως διαλέγουµε όλες τις κλάεις έτι ώτε να έχουν το ίδιο πλάτος, που τότε υµβολίζεται απλά µε c. Στην περίπτωη µας c.5-59.5. Το µέο του διατήµατος µιας κλάεως καλείται µέο ή κέντρο της κλάεως και µπορεί να θεωρηθεί αν τιµή αντιπροωπευτική της κλάεως. Στο παράδειγµα µας το κέντρο της πρώτης κλάεως είναι το. Μια γραφική παράταη της κατανοµής υχνότητας µπορεί να δοθεί µε ένα ιτόγραµµα, ή µ' ένα πολύγωνο υχνότητας, δηλ. µια τεθλαµένη πολυγωνική γραµµή που ενώνει τα κέντρα των πάνω πλευρών των ορθογωνίων του ιτογράµµατος.
59 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΧΕΤΙΚΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ Εάν τον προηγούµενο Πϊνακα ηµειώναµε τη χετική υχνότητα ή το ποοτό των κιβωτίων ε µια κλάη αντί για το πλήθος των κιβωτίων της κλάεως, θα είχαµε µια κατανοµή χετικής υχνότητας. Έτι π.χ. η χετική υχνότητα ή το ποοτό που αντιτοιχεί την κλάη -5 είναι 8/00 ή 8%. Μπορούµε να θεωρήουµε την κατανοµή της χετικής υχνότητας αν µια κατανοµή πιθανότητας, όπου οι πιθανότητες έχουν αντικαταταθεί µε χετικές υχνότητες. Οι χετικές υχνότητες µπορούν να θεωρηθούν αν εµπειρικές πιθανότητες και δρα η κατανοµή της χετικής υχνότητας αν κατανοµή εµπειρικής πιθανότητας. Στο Κεφ. είδαµε ότι για κάθε κατανοµή πιθανότητας f(x) µπορούµε να ορίουµε µια υνάρτηη κατανοµής F(x) Ρ(Χ x) και να την παρατήουµε γραφικά. Κατ αναλογία µπορούµε να ορίουµε για κάθε κατανοµή υχνότητας µια αθροιτική κατανοµή υχνότητας ή µια αθροιτική κατανοµή χετικής υχνότητας και να παρατήουµε γραφικά τα µεγέθη αυτά. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ, ΙΑΣΠΟΡΑΣ ΚΑΙ ΡΟΠΩΝ Μπορούµε να περιγράψουµε µια κατανοµή υχνότητας δίνοντας το κέντρο κάθε κλάεως και την αντίτοιχη υχνότητα. Η ολική υχνότητα πρέπει να είναι, δηλ. f f... f f k Κέντρο Κλάεως Συχνότητα Κλάεως x f x f x k Σύνολο f k Επειδή υπάρχουν f αριθµοί ίοι µε x, f αριθµοί ίοι µε x,...,f k ίοι µε x k, η µέη τιµή τους είναι και η διαπορά (ή διακύµανη) f fx x f x... f kx k x ()
0 ( x x) f ( x x)... f ( x x) f ( x x) f k k s (5). Όταν όλες οι κλάεις έχουν το ίδιο πλάτος c, υπάρχουν διάφορες µέθοδοι για τον υπολογιµό της µέης τιµής και της διαποράς. Σε µια τέτοια κωδικοποιηµένη µέθοδο, όπως λέγεται, αντιτοιχούµε έναν ακέραιο u τo κέντρο κάθε κλάεως µε τo µεταχηµατιµό x α cu () όπου α είναι ένα από τα κέντρα των κλάεων (αυθαίρετα εκλεγµένο). Οι τύποι για τη µέη τιµή και τη διαπορά γίνονται c x α fu α cu (7) fu fu s c (8) Παρόµοιοι τύποι ιχύουν για ροπές ανώτερης τάξεως. Έτι οι ροπές τάξεως περί τη µέη τιµή και την αρχή είναι αντίτοιχα M ( x x)... f ( x x) f ( x x) f k k (9) Οι ροπές αυτές υνδέονται µε τις χέεις κτλ. Εάν γράψουµε ( u u) f M' 0 f x... f x fx k k (0) ' ' ' ' ' ' fu ' ' ' ' τότε οι χέεις () ιχύουν και για τα Μ. Είναι όµως ' ' ( x x) f[ ( α cu) ( α cu) ] fc ( u u) f c και άρα οι () γίνονται M ()
0 c c c ( M' M' ) ( M' M' M' M' ) ( M' M' M' M' M' M' ) κτλ. Η δεύτερη από τις () είναι βέβαια ίδια µε την (8). Με παρόµοιο τρόπο µπορούµε να βρούµε κωδικοποιηµένους τύπους για αλλά τατιτικά µεγέθη, όπως η αυµµετρία, η κύρτωη, κτλ. ()