www.romvos.du.gr ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΥΤΕΡΑ 5 ΜΑΪΟΥ 5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία από σχολικό βιβλίο Β. Λ, Σ, Λ, Σ, Σ ΘΕΜΑ Β Β. z 4 z ( z 4)( z 4) 4( z )( z ) zz 4z 4z 6 4zz 4z 4z 4 zz zz 4 ψ 4 άρα ο z ανήκει σε κύκλο µε κέντρο Ο(,) και ακτίνα ρ B. 4 α) z 4 zz 4 z z 4 οµοίως z z 4 4 z z z z z z W W άρα W R z 4 4 z z z z z z z W z z β) z z παρατηρώ ότι z z ΑΡΓΥΡΟΥΠΟΛΗ: Φλέµιγκ 4, τηλ. 99569 Κύπρου 5, τηλ. 99447, 995566 Γερουλάνου, τηλ. 9967 ΗΛΙΟΥΠΟΛΗ: Ναυαρίνου, τηλ. 994496, Πρωτόπαππα & Ρόδου, τηλ. 9955 - ΓΛΥΦΑ Α: Λ. Βουλιαγµένης 47 &Πραξιτέλους, τηλ. 9688
z z z z z z z z W ( ) 4 4 w 4 Β. z Αν W-4 z 4 z z ( ) z z z z z z z z Παρατηρώ z z z iz i z 5 z z z iz i z 5 Άρα z z z z 5 ισοσκελές z z z z ΘΕΜΑ Γ Γ. H συνάρτηση f είναι συνεχής ως πηλίκο των συνεχών συναρτήσεων, και, παραγωγίσιµη ως πηλίκο παραγωγίσιµων µε : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f () f () για κάθε R και το ισχύει µόνο για,άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. Το σύνολο τιµών της f είναι : αφού και Γ. Α τρόπος Είναι : ( R ) ( l l ) ( ) f im f (), im f (), l l l l im f () im im im lim f () lim lim l im DLH DLH ΑΡΓΥΡΟΥΠΟΛΗ: Φλέµιγκ 4, τηλ. 99569 Κύπρου 5, τηλ. 99447, 995566 Γερουλάνου, τηλ. 9967 ΗΛΙΟΥΠΟΛΗ: Ναυαρίνου, τηλ. 994496, Πρωτόπαππα & Ρόδου, τηλ. 9955 - ΓΛΥΦΑ Α: Λ. Βουλιαγµένης 47 &Πραξιτέλους, τηλ. 9688
f f ( ) f ( ) f ( ) 5 f () > Όµως f( R ) και αφού η f είναι συνεχής στο R και γνησίως αύξουσα,άρα από Θ.Ε.Τ. υπάρχει ακριβώς ένα R ώστε f ( ) Β τρόπος Έχουµε όµως f f f f f f : f A άρα υπάρχει µοναδικό λόγω µονοτονίας της f τέτοιο ώστε f( ) Γ. Α τρόπος Θεωρούµε συνάρτηση G() f (t)dt Αφού η f συνεχής στο R είναι παραγωγίσιµη στο R µε G (X) f () >, για κάθε R. Άρα η G γνησίως αύξουσα στο R. Η G ικανοποιεί τις προϋποθέσεις Θ.Μ.Τ στο [, 4] (, ) οπότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (,4) ώστε : Όµως 4 4 G(4) G() G (ξ) f (ξ) f (t)dt f (t)dt f (ξ) f (t)dt 4 G ξ 4 G (ξ) G (4) < < < < < 4 4 > f (t)dt f (4) f (t)dt f (4) < < Β τρόπος 4 f < < t< 4 f (t) < f (4) f (4) f (t) > [f (4) f (t)]dt > 4 4 4 4 4 f (4)dt> f (t)dt f (4) dt> f (t)dt f (4) > f (t)dt Γ τρόπος Έστω F αρχική συνάρτηση της f, οπότε F f,γιακάθε > ΑΡΓΥΡΟΥΠΟΛΗ: Φλέµιγκ 4, τηλ. 99569 Κύπρου 5, τηλ. 99447, 995566 Γερουλάνου, τηλ. 9967 ΗΛΙΟΥΠΟΛΗ: Ναυαρίνου, τηλ. 994496, Πρωτόπαππα & Ρόδου, τηλ. 9955 - ΓΛΥΦΑ Α: Λ. Βουλιαγµένης 47 &Πραξιτέλους, τηλ. 9688
Οπότε, 4 f( 4) f t dt< F f( 4) F 4 F < f 4 > F 4 < 4 F ξ < f 4 ξ< 4 που ισχύει, αφού από Θ.Μ.Τ για την F στο [, 4] υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (,4) τέτοιο ώστε F F 4 F ( ξ) 4 Γ4. Εξετάζουµε την συνέχεια της συνάρτησης g στο. Είναι : 4 f (t)dt 4f (4) f () lim f () lim lim 4 g(). D.L.H. άρα g συνεχής στο και επειδή είναι και συνεχής, για κάθε >, ως πηλίκων συνεχών, θα είναι συνεχής στο [, ). Επίσης g παραγωγίσιµη µε : Όµως για κάθε > έχουµε : Από Γ : 4 4 4 f (t)dt f (t)dt ( 4f (4) f ()) f (t)dt g () 4 4f (4) f () f (t)dt f (4) f (4) f () f (t)dt 4 ( f (4) f ()) f (4) f (t)dt. f > < 4 f () < f (4) f (4) f () > 4 f (4) f (t)dt > > ΑΡΓΥΡΟΥΠΟΛΗ: Φλέµιγκ 4, τηλ. 99569 Κύπρου 5, τηλ. 99447, 995566 Γερουλάνου, τηλ. 9967 ΗΛΙΟΥΠΟΛΗ: Ναυαρίνου, τηλ. 994496, Πρωτόπαππα & Ρόδου, τηλ. 9955 - ΓΛΥΦΑ Α: Λ. Βουλιαγµένης 47 &Πραξιτέλους, τηλ. 9688 4
Οπότε g () >, για κάθε > και g συνεχής στο [, ), άρα g γνησίως αύξουσα στο [, ). ΘΕΜΑ f () f (). f () για κάθε R τότε ( f () f () ) f () f () τότε υπάρχει c R τέτοιοςώστε c f () f () Για c άρα f () f () f () f () f () f () f () f () Θέτω g() για κάθε R αφού Και gσυνεχής R άρα η g διατηρεί πρόσηµο Επειδή g() > άρα g() > για κάθε R Τότε Για f () f () > < > f () ln( ). Α) f >, R Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο R f ( ) f - f κυρτή κοίλη ΣηµείοΚαµπήςΑ(,) f () > στο (,) άραfείναικυρτή (,] fσυνεχής ΑΡΓΥΡΟΥΠΟΛΗ: Φλέµιγκ 4, τηλ. 99569 Κύπρου 5, τηλ. 99447, 995566 Γερουλάνου, τηλ. 9967 ΗΛΙΟΥΠΟΛΗ: Ναυαρίνου, τηλ. 994496, Πρωτόπαππα & Ρόδου, τηλ. 9955 - ΓΛΥΦΑ Α: Λ. Βουλιαγµένης 47 &Πραξιτέλους, τηλ. 9688
f () < στο(, ) άραfείναικοίλη[, ) Β) Ε f fσυνεχής d Η εφαπτωµένη ( ε ) της γραφικής παράστασης της f στο (,) είναι y f f ( ) ( ε ) : y κ Αφού η Cfείναι κοίλη τότε θα ισχύει f E ln d ln ln ln( ln τ.µ. d άρα E ln( ) d. f (t)dt lim ln f () Για κάθε Άρα f > f () > f() f() > f (t) dt lim ln f () ( ) lim f (t)dt ln f () DLH lim όµως f () lim f () f () ln f () f (t)dt lim f () ln f () f () ln f () f () f (t)dt u f () lim( u ln u) όταν τότε u u ΑΡΓΥΡΟΥΠΟΛΗ: Φλέµιγκ 4, τηλ. 99569 Κύπρου 5, τηλ. 99447, 995566 Γερουλάνου, τηλ. 9967 ΗΛΙΟΥΠΟΛΗ: Ναυαρίνου, τηλ. 994496, Πρωτόπαππα & Ρόδου, τηλ. 9955 - ΓΛΥΦΑ Α: Λ. Βουλιαγµένης 47 &Πραξιτέλους, τηλ. 9688
lim u u ln u u lnu ιότι lim ( u lnu) lim lim u lim( u) u u u u u u Άρα το όριο lim f (t)dt ln f () 4. Θεωρώ h f t dt 8 f t dt µε R I. h συνεχής στο [, ] II. h 8 f t dt h f t dt Όµως < f γιακάθε[,] [ ] < f γιακάθε, < f d d (f όχι σταθερή) f d f < 8 d< ΑΡΓΥΡΟΥΠΟΛΗ: Φλέµιγκ 4, τηλ. 99569 Κύπρου 5, τηλ. 99447, 995566 Γερουλάνου, τηλ. 9967 ΗΛΙΟΥΠΟΛΗ: Ναυαρίνου, τηλ. 994496, Πρωτόπαππα & Ρόδου, τηλ. 9955 - ΓΛΥΦΑ Α: Λ. Βουλιαγµένης 47 &Πραξιτέλους, τηλ. 9688
f d< 8 8 f d< h < Έχουµε < f () για κάθε [, ] τότε [ ] f για κάθε, f d< d f ( ) d < f d< f d< f d h > > Άρα εφαρµόζεται το θεώρηµα Bolzano στο [,] και άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (, ) :h( ξ) ΑΡΓΥΡΟΥΠΟΛΗ: Φλέµιγκ 4, τηλ. 99569 Κύπρου 5, τηλ. 99447, 995566 Γερουλάνου, τηλ. 9967 ΗΛΙΟΥΠΟΛΗ: Ναυαρίνου, τηλ. 994496, Πρωτόπαππα & Ρόδου, τηλ. 9955 - ΓΛΥΦΑ Α: Λ. Βουλιαγµένης 47 &Πραξιτέλους, τηλ. 9688
ΣΧΟΛΙΟ ΘΕΜΑΤΩΝ: Υπήρχαν δύσκολα ερωτήµατα σε όλα τα θέµατα, ειδικότερα το Γ και το Γ4, το και το 4 ήταν αυξηµένης δυσκολίας. Εκτιµούµε ότι ήταν τα δυσκολότερα θέµατα της τελευταίας ετίας παρόλο που δεν υπήρχαν ασάφειες. Επιµέλεια Απαντήσεων Αντωνιάδης Ανδρέας ριµιλής Βασίλης Μεταξιώτης Νικόλας Ξηνταβελώνης Πέτρος Παπαµικρούλης ηµήτρης Τσαρπαλής Γιάννης Τσόγιας ηµήτρης ΑΡΓΥΡΟΥΠΟΛΗ: Φλέµιγκ 4, τηλ. 99569 Κύπρου 5, τηλ. 99447, 995566 Γερουλάνου, τηλ. 9967 ΗΛΙΟΥΠΟΛΗ: Ναυαρίνου, τηλ. 994496, Πρωτόπαππα & Ρόδου, τηλ. 9955 - ΓΛΥΦΑ Α: Λ. Βουλιαγµένης 47 &Πραξιτέλους, τηλ. 9688