ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Στη Φυσική εµφνίζοντι πολλά µεγέθη, όπως µεττοπίσεις, τχύτητες, ροπές, δυνάµεις, τ οποί γι ν προσδιοριστούν πλήρως δεν ρκεί µόνο ν είνι γνωστό το µέτρο τους, λλά πρέπει ν είνι γνωστή κι η κτεύθυνσή τους, δηλδή η διεύθυνση κι η φορά τους. Τέτοιου είδους µεγέθη χρκτηρίζοντι ως δινυσµτικά. Όµως κι χωρίς γνώσεις Φυσικής είνι εύκολο ν ντιληφθούµε ότι ένς τυχίος περίπτος πάνω σε ευθεί γρµµή (διεύθυνση) µετξύ δύο σηµείων Α κι υτής µπορεί ν περιγρφεί µε το µήκος του ευθυγράµµου τµήµτος Α (µέτρο) κι πό τ σηµεί εκκίνησης κι άφιξης (φορά διγρφής). Έτσι πό µθηµτικής πλευράς τίθετι το πρόβληµ της εισγωγής ενός συστήµτος µθηµτικών ντικειµένων, που θ είνι τ κτάλληλ µοντέλ γι τ δινυσµτικά µεγέθη που εµφνίζοντι στη Φυσική. Το πρόβλη- µ υτό οδηγεί κτ ρχήν στη θεώρηση των γεωµετρικών δινυσµάτων κι στη συνέχει στη θεώρηση των λγεβρικών δινυσµάτων, όπως οι διτετγ- µένες τριάδες πργµτικών ριθµών. Όπως ξέρουµε πό τη Φυσική, σε κάθε δύο δυνάµεις που εξσκούντι σε έν σώµ, ντιστοιχίζετι µί δύνµη, η συνιστµένη τους, που επιφέρει τ ίδι ποτελέσµτ µε τις δύο προηγούµενες δυνάµεις. Το γεγονός υτό µς οδηγεί στην εισγωγή λγεβρικής δοµής στο σύνολο των γεωµετρικών δινυσµάτων, το οποίο γίνετι έτσι δινυσµτικός χώρος. Επιπλέον, υπάρχουν πολλά µθηµτικά προβλήµτ που έχουν την ιδιότητ γι κάθε δύο λύσεις τους, έστω f κι g, η συνάρτηση λ f + µ g, λ, µ είνι επίσης λύση. Τέτοι προβλήµτ λέγοντι γρµµικά κι λύνοντι συνήθως πολύ πιο εύκολ πό τ προβλήµτ που δεν έχουν την εν λόγω ιδιότητ. Αξιοσηµείωτο είνι κόµη το ότι πολλά προβλήµτ που προκύπτουν πό τις διάφορες εφρµογές είνι γρµµικά, όπως προβλήµτ θεωρίς δυνµικού, θερµότητς κι τλντώσεων µηχνικών συστηµάτων µικρού πλάτους, ενώ άλλ προβλήµτ θεωρούντι κτά προσέγγιση γρµµικά γι ν επιλύοντι ευκολότερ, όπως στην περίπτωση των τλντώσεων του πλού εκκρεµούς. Στ επόµεν θ σχοληθούµε διεξοδικά µε τις πρπάνω έννοιες.

76 Κεφάλιο 4. ινυσµτικός λογισµός 4.1 Ο δινυσµτικός χώρος Στ επόµεν θεωρούµε γνωστές τις πρωτρχικές έννοιες της Ευκλείδεις Γεωµετρίς, όπως την έννοι της ευθείς, του επιπέδου, της πρλληλίς, του µήκους ευθυγράµµου τµήµτος κ.λ.π. Στο σύνολο E των ευθειών του χώρου θεωρούµε τη σχέση σ : ε1σε ε1 ε ή ε1 ε. Είνι φνερό ότι η σ είνι σχέση ισοδυνµίς στο σύνολο E κι ότι κάθε κλάση ισοδυνµίς του E ως προς τη σχέση σ περιέχει ευθείες που είνι πράλληλες µετξύ τους. Επιπλέον, ότν δοθεί µί ευθεί ε στο χώρο, τότε η κλάση ισοδυνµίς που περιέχει την ε ποτελείτι πό την ε κι όλες τις ευθείες που είνι πράλληλες προς υτήν. Κάθε στοιχείο του συνόλου E / σ των κλάσεων ισοδυνµίς λέγετι διεύθυνση ή λέµε ότι ορίζει µί διεύθυνση. Θεωρούµε στη συνέχει τυχούσ ευθεί x x µις διεύθυνσης κι έν στθερό σηµείο Ο πάνω σε υτή. Τότε ορίζοντι δύο ηµιευθείες Ο x κι Ο x που η ένωσή τους είνι η x x. Ορίζουµε τη µί πό τις δύο ηµιευθείες, έστω την Ο x, ως θετική ή ως ηµιευθεί θετικής φοράς, οπότε πλέον η Ο x ορίζετι ως ρνητική ή ως ηµιευθεί ρνητικής φοράς. Τότε η ευθεί x x είνι προσντολισµένη. Αν τώρ θεωρήσουµε σε µί άλλη ευθεί yy της διεύθυνσης που ορίζετι πό την ευθεί x x, έν στθερό σηµείο Ο, τότε οι ηµιευθείες που βρίσκοντι στο ίδιο ηµιεπίπεδο κµής ΟΟ έχουν την ίδι φορά, δηλδή στο σχήµ 4.1 η ηµιευθεί Ο y έχει την ίδι φορά µε την ηµιευθεί Ο x κι ντίθετη φορά µε την ηµιευθεί Ο x. Έτσι µί διεύθυνση εφοδιάζετι µε την έννοι της φοράς που µπορεί ν είνι θετική ή ρνητική. Ο x x B y Ο y A Σχήµ 4.1 Σχήµ 4. Όπως ξέρουµε, γι ν προσδιορίσουµε την ευθύγρµµη τροχιά ενός υλικού σηµείου µετξύ δύο σηµείων Α κι, θ πρέπει ν πούµε πό ποιο σηµείο ξεκίνησε το υλικό σηµείο την κίνησή του κι που στµάτησε, δηλδή πρέπει ν προσδιορίσουµε την ρχή κι το τέλος της τροχιάς του. Αυτή κριβώς η νάγκη µς υποκινεί στ µθηµτικά ν θεωρήσουµε

4. Συντετγµένες σηµείου κι δινύσµτος 77 προσντολισµέν ευθύγρµµ τµήµτ, δηλδή ευθύγρµµ τµήµτ στ οποί έχουµε ορίσει την ρχή κι το τέλος τους. Κάθε προσντολισµένο ευθύγρµµο τµήµ λέγετι διάνυσµ. Έν διάνυσµ µε ρχή Α κι τέλος (πέρς), συµβολίζετι µε ( Α, ) ή Α κι γεωµετρικά πριστάνετι µε το ευθύγρµµο τµήµ Α µε έν βέλος στο τέλος του. Στ επόµεν θ χρησιµοποιούµε το συµβολισµό Α. Η ευθεί που ορίζετι πό τ άκρ του δινύσµτος Α ονοµάζετι φορές ή στήριγµ του δινύσµτος υτού, ενώ η διεύθυνση που ορίζετι πό το φορέ του Α λέγετι κι διεύθυνση του Α. Το µήκος του ευθύγρµµου τµήµτος Α, ως προς κάποι µονάδ µετρησης, λέγετι µέτρο του δινύσµτος Α κι συµβολίζετι µε Α ή Α κι είνι µη ρνητικός πργµτικός ριθµός. Επιπλέον σε κάθε διάνυσµ Α ντιστοιχίζετι η φορά του που είνι µί πό τις δύο που ορίζοντι στη διεύθυνσή του. Συγκεκριµέν, ν προσντολίσουµε το φορέ του Α θεωρώντς Ο Α (δες σχήµ 4.) κι Ο x, όπου Ο x είνι η ηµιευθεί θετικής φοράς, τότε το διάνυσµ Α έχει τη θετική φορά, ενώ, ν Ο x, τότε το Α έχει την ρνητική φορά. x O=A B x Σχήµ 4. Το διάνυσµ ΑΑ µε κοινή ρχή κι τέλος, λέγετι µηδενικό διάνυσµ, κι συµβολίζετι µε το 0. Επειδή πό το σηµείο Α δεν ορίζετι µονδική ευθεί, λλά διέρχοντι άπειρες ευθείες, µπορο ύµε συµβτικά ν θεωρήσουµε ότι το µηδενικό διάνυσµ έχει οποιδήποτε διεύθυνση, ενώ υστηρά πό µθηµτικής πλευράς το µηδενικό διάνυσµ στερείτι διεύθυνσης. Επιπλέον το 0 έχει µέτρο 0. Από τ προηγούµεν, είνι φνερό ότι σε κάθε διάνυσµ Α 0 ντιστοιχίζουµε το µέτρο, τη διεύθυνση κι τη φορά του, τ οποί λέµε στοιχεί του. Αντίστροφ, µί διεύθυνση, µί φορά πάνω σε υτήν, ένς µη ρνητικός ριθµός κι έν σηµείο Α του χώρου, ορίζουν έν κριβώς διάνυσµ Α µε τ πρπάνω στοιχεί. Είνι κόµ φνερό ότι υπάρχουν δινύσµτ µε το ίδιο µέτρο, την ίδι διεύθυνση κι φορά, λλά µε διφορετική ρχή (σηµείο εφρµογής). Τέτοι δινύσµτ, ότν εκπροσωπούν δυνάµεις στη Φυσική, σε πολλές περιπτώσεις επιφέρουν το ίδιο ποτέλεσµ νεξάρτητ πό το σηµείο εφρ- µογής τους. Είνι λοιπόν λογικό ν θεωρήσουµε τέτοι δινύσµτ ως ισοδύνµ κι ν τ ποδεσµεύσουµε πό το σηµείο εφρµογής τους. Έτσι ορίζουµε στο σύνολο των δινυσµάτων του χώρου µί σχέση ισότητς ως εξής:

78 Κεφάλιο 4. ινυσµτικός λογισµός Ορισµός 4. 1. 1 ύο δινύσµτ Α κι Γ είνι ίσ, ν, κι µόνον ν, έχουν την ίδι διεύθυνση κι φορά κι ίσ µέτρ. Η σχέση της ισότητς στο σύνολο των δινυσµάτων του χώρου είνι σχέ- ισοδυνµίς. Εποµένως το σύνολο των δινυσµάτων του χώρου ως προς ση τη σχέση της ισότητς χωρίζετι σε κλάσεις ισοδυνµίς που ποτελούντι πό ίσ δινύσµτ. Κάθε κλάση ισοδυνµίς λέγετι ελεύθερο διάνυσµ κι εκπροσωπείτι πό οποιοδήποτε πό τ ίσ δινύσµτ που περιέχει. Το σύνολο των ελεύθερων δινυσµάτων του χώρου συµβολίζετι µε το. Στο σύνολο είνι δυντόν ν ορίσουµε πράξεις έτσι ώστε υτό ν ποκτήσει µί λγεβρική δοµή. Έτσι ορίζουµε µί εσωτερική πράξη, την πρόσθεση, ως εξής: + :,(, β) + β, (1) όπου + β = ΑΓ, ν ε ίνι = Α κι β = Γ. Με όσ ξέρουµε πό την Ευκλείδει Γεωµετρί, µπορούµε εύκολ ν ποδείξουµε ότι το ποτέλεσµ της πρόσθεσης είνι νεξάρτητο πό την εκλογή των ντιπροσώπων των ελεύθερων δινυσµάτων κι β, οπότε η πράξη της πρόσθεσης στο σύνολο είνι κλά ορισµένη. Α +β β Γ Οι βσικές ιδιότητες που ικνοποιεί η πράξη της πρόσθεσης πορρέουν εύκολ πό τον ορισµό κι είνι οι εξής: Σχήµ 4.4 (i) + β = β+, γι κάθε β,, (ντιµετθετική ιδιότητ), (ii) ( + β)+γ = +(β + γ), γι κάθε, β, γ, (προσετιριστική ιδιότητ), (iii) +0=, γι κάθε, (ύπρξη ουδέτερου στοιχείου), (iv) γι κάθε υπάρχει x, που συµβολίζετι µε, τέτοιο ώ στε : +x=0, (ύπρξη ντίθετου στοιχείου του ). Τ δινύσµτ κι - έχουν ίσ µέτρ κι ίδι διεύθυνση, λ λά ντίθετη φορά. Αν ένς ντιπρόσωπος του είνι Α, τότε ένς ντιπρό- σωπος του - είνι το διάνυσµ Α, φού Α + Α = ΑΑ =0. Το σύνολο εφοδισµένο µ ε την πράξη τη ς πρόσθεσης γίνετι βελινή οµάδ.

4. Συντετγµένες σηµείου κι δινύσµτος 79 Το σύνολο εφοδιάζετι κι µε µί εξωτερική πράξη µε σύνολο συντελεστών το, η οποί ονοµάζετι βθµωτός πολλπλσισµός, ως εξής: :, ( λ, ) λ ή λ, () όπου το ελεύθερο διάνυσµ λ ή πλά λ ορίζετι πό τ στοιχεί : 1. έχει τη διεύθυνση του,. έχει ίδι (ντίστ. ντίθ ετη) φορά µε το, ν λ > 0, (ντίστ. λ < 0 ),. έχει µέτρο λ = λ. λ, λ<0 λ, λ>0 Σχήµ 4.5 Με βάση τους ορισµούς των πράξεων (1) κι () κι υτά που ξέρουµε πό την Ευκλείδει Γεωµετρί, ποδεικνύοντι οι κόλουθες ιδιότητες: (v) ( λ + µ ) = λ + µ, γι κάθε λ, µ κι, επιµεριστική ιδιότητ ως προς τη βθµωτή πρόσθεση, (vi) λ( + β) = λ+ λβ, γι κάθε λ κ ι β,, επιµεριστική ιδιότητ ως προς τη δινυσµτική πρόσθεση, (vii) ( λµ ) = λ ( µ ), γι κάθε λ, µ κι, (viii) 1 =, γι κάθε. Έτσι µέχρι τώρ έχουµε εφοδιάσει το σύνολο µε την εσωτερική πράτης πρόσθεσης κι την εξωτερική του βθµωτού πολλπλσισµού που ξη ικνοποιούν τις ιδιότητες (i)-(viii). Λέµε ότι το σύνολο είνι εφοδισµέ- νο µε τη δοµή δινυσµτικού χώρου ή ότι ο είνι ένς δινυσµτικός χώρος πάνω στο σώµ των πργµτικών ρ ιθµών. Στ επόµεν θ δούµε ότι είνι δυντόν ν εφοδιάσουµε µε τη δοµή δινυσµτικού χώρου κι άλλ σύνολ, όπως το σύνολο των διτετγµένων τριάδων = ( xyz,, ): xyz,,, { } κτά φυσικό τρόπο µέσω µις µφιµονοσήµντης πεικόνισης που θ ορίσουµε µετξύ των συνόλων κι. ινύσµτ που έχουν την ίδι διεύθυνση λέγοντι συγγρµµικά.

80 Κεφάλιο 4. ινυσµτικός λογισµός Αν βείνι, δύο συγγρµµικά δινύσµτ µε β 0, τότε υπάρχει λ τέτοιος ώστε ν ισχύει = λβ. Αντίστροφ, πό τον ορισµό του βθµωτού πολλπλσισµού κι την ισότητ = λβ, β 0, έπετι, ότι τ δινύσµτ κι β έχουν τη ν ίδι διεύθυνση, δηλδή είνι συγγρµµικά. ύο δινύσµτ,β που είνι συγγρµµικά κι έχουν: την ίδι φορά λέγοντι οµόρροπ κι γράφουµε β, ντίθετη φορά λέγοντι ντίρροπ κι γράφουµε β. Επιπλέον, σύµφων µε τον ορισµό του βθµωτού πολλπλσισµού, ισχύου ν κι τ εξής: λ = 0 κι λ 0 = 0 λ = 0 κι 0 λ = 0. Η γωνί δύο δινυσµάτων Ορισµός 4.1. Θεωρούµε τ µη µηδενικά δινύσµτ, β του. Με ρχή τυχόν σηµείο Ο του χώρου γράφουµε ηµιευθείες Ο x κι Ο y, έτσι ώστε Οx κι Οy β. Ορίζουµε ως γωνί β, των δινυ σµάτων, β, την κυρτή γωνί των ηµ ιευθειών ( ) Ο x κι Ο y, δηλδή έχουµε: ( β, ): = x Οy Σύµφων µε τον ορισµό έχουµε: y (,β ) = ( β, ) β 0 (,β ) π (,β ) = 0 Ο β (,β ) = π β. Σχήµ 4.6 x Πρτηρήσεις () Στον ορισµό της γωνίς δύο δινυσµάτων δεν υπάρχει η έννοι της φοράς διγρφής, η οποί υπάρχει στον ορισµό της γωνίς στο επίπεδο κι συγκεκριµέν στον τριγωνοµετρικό κύκλο, όπου έχει οριστεί ένς φυσικός προσντολισµός (θετική κι ρνητική φορά διγρφής). Εκεί γίνετι σιωπηρά η υπόθεση ότι έχουµε επιλέξει ν πρτηρούµε τη φορά διγρφής µις γωνίς πάντοτε ευρισκόµε- Ο Σχήµ 4.7 β

4. Συντετγµένες σηµείου κι δινύσµτος 81 νοι σε έν συγκεκριµένο ηµίχωρο πό τους δύο που ορίζει έν επίπεδο στο χώρο. (β) Στη περίπτωση που έχουµε έν επίπεδο στο χώρο (σχήµ 4.7) ο προσντολισµός της γωνίς (,β) εξρτάτι πό τον ηµίχωρο στον οποίο βρίσκετι υτός που πρτηρεί την περιστροφή του δινύσµτος γύρω πό το Ο, γι ν συµπέσει µε το β, διγράφοντς τη γωνί τους. Έτσι ο ορισµός της γωνίς δύο δινυσµάτων στο χώρο θ έπρεπε ν συνοδεύετι µε προσδιορισµό του ηµίχωρου που βρίσκετι υτός που πρτηρεί τη φορά διγρφής της γωνίς. εξιόστροφο κι ριστερόστροφο σύστηµ Ορισµός 4.1. Θεωρούµε δινύσµτ ijk,, µε κοινή ρχή Ο. () Η διτετγµένη τριάδ (i, j,k) ορίζει δεξιόστροφο σύστηµ, ν η φορά του δινύσµτος k συµπίπτει µε τη φορά κίνησης ενός δεξιόστροφου κοχλί (βίδς), ότν υτός στρέφετι κτά τη φορά που πρέπει ν στρφεί το διάνυσµ i γι ν συµπέσει µε το διάνυσµ j, διγράφοντς την γωνί τους ( i, j). ) (β) Αν η διτετγµένη τριάδ (i, j,k δεν ορίζει δεξιόστροφο σύστηµ, τότε λέµε ότι ορίζει ριστερόστροφο σύστηµ. Η έννοι του δεξιόστροφου συστήµτος µπορεί ν γενικευθεί ως εξής: Το σύστηµ (i, j,k) είνι δεξιόστροφο (ντίστοιχ, ριστερόστροφο), ν η γωνί (i, j) είνι θετική (ντίστοιχ, ρνητική) ως προς πρτηρητή που βρίσκετι στον ηµίχωρο που βρίσκετι το διάνυσµ k, ν υτό έχει ρχή Ο. Πρτήρηση. Αν το σύστηµ ( i, j,k ) είνι δεξιόστροφο, τότε κι τ συστή- µτ ( j,k,i ) κι ( k, i, j ) είνι δεξιόστροφ, ενώ τ συστήµτ( i,k, j)(, k, j,i ) κι ( j,i,k ) είνι ριστερόστροφ. 4. Συντετγµένες σηµείου κι δινύσµτος () Η έννοι του άξον Ορισµός 4..1 Μί προσντολισµένη ευθεί x Ox, µε ρχή Ο, στην οποί έχουµε ορίσει έν σηµείο Ι της θετικής ηµιευθείς Ο x, έτσι ώστε το µέτρο του δινύσµτος ΟΙ =i ν ισούτι µε τη µονάδ µετρήσεως µηκών, λέγετι άξονς. Το διάνυσµ ΟΙ είνι η δινυσµτική µονάδ ή το µονδιίο διάνυσµ της διεύθυνσης που ορίζει ο άξονς x Ox.

8 Κεφάλιο 4. ινυσµτικός λογισµός O Ι x x Σε κάθε σηµείο Α του άξον Σχήµ 4. 8 x Ox ντιστοιχίζουµε ένν πργµτικό ριθµό x Α, που λέγετι τετµηµένη του σηµείου Α, ως εξής: Επειδή τ δινύσµτ ΟΑ κι ΟΙ =i είνι συγγρµµικά, θ υπάρχει µονδικός πργµτικός ριθµός x Α τέτοιος ώστε ΟΑ = i. Τον πργµτικό ριθµό x Α ονοµάζουµε τετµηµένη του σηµείου Α. Είνι φνερό ότι τ σηµεί του θετικού ηµιάξον Ο x έχουν µη ρνητική τετµηµένη, ενώ τ σηµεί του ρνητικού ηµιάξον έχουν µη θετική τετµηµένη. Η τετµηµένη της ρχής Ο είνι ο ριθµός 0. Επίσης δεχόµστε ξιωµτικά ότι γι κάθε πργµτικό ριθµό x Α υπάρχει σηµείο του άξον x Ox, του οποίου η τετµηµένη είνι x Α. Έτσι η πεικόνιση Ο Α Α =, φ1: x x, φ1( ): xα όπου x Α η τετµηµένη του σηµείου Α, είνι µφιµονοσήµντη κι επί του. Σε κάθε διάνυσµ Α µε φορέ τον άξον x Α x Ox ντιστοιχίζουµε κριβώς ένν πργµτικό ριθµό, που συµβολίζετι µε Α κι λέγετι λγεβρική τιµή του δινύσµτος Α, µέσω της ισότητς Α = Α i. Σχετικά µε την λγεβρική τιµή δινύσµτος πάνω σε άξον, ισχύει το θεώρηµ που κολουθεί. Θεώρηµ 4..1 (i) Γι κάθε σηµείο του άξον x Ox, η λγεβρική τιµή του δινύσµτος ΟΑ ισούτι µε την τετµηµένη x Α του σηµείου Α, δηλδή (ii) Γι κάθε διάνυσµ Α ΟΑ = x Α µε φορέ τον άξον x Ox η λγεβρική τιµή του ισούτι µε τη διφορά της τετµηµένης x του τέλους του µείον την τετµηµένη x Α της ρχής του Α, είνι δηλδή Α = x x. Απόδειξη (i) Σύµφων µε τον ορισµό της τετµηµένης του σηµείου Α θ Α

4. Συντετγµένες σηµείου κι δινύσµτος 8 έχουµε ΟΑ = xα i =ΟΑ i, οπότε ( x Α ) ΟΑ i=0 ΟΑ = x Α. Α Ο ΟΑ i i = i, οπότε Α = x -x. (ii) Έχουµε = = x x ( x x ) Α Α (β) Συντετγµένες σηµείου κι δινύσµτος στο επίπεδο Σε κάθε σηµείο ενός επιπέδου Π ντιστοιχίζουµε έν διτετγµένο ζεύγος πργµτικών ριθµών (, ), όπου = ( xy, ): xy,, ως εξής: x y { } Ορισµός 4.. Έν ορθοκνονικό ή κρτεσινό σύστηµ συντετγ- µένων Ο xy ή ( Ο,, ij στο επίπεδο Π, είνι δύο άξονες x x κι yy τέτοιοι ) ώστε: έχουν κοινή ρχή Ο, είνι µετξύ τους κάθετοι κι έχουν ντίστοιχ µονδιί δινύσµτ i κι j ισοµήκη. Α Έστω Ρ τυχόν σηµείο του επιπέδου Π. Προβάλλουµε το σηµείο Ρ στους άξονες x x κι yy. Έστω Α, οι προβολές του Ρ πάνω στον άξον x x κι yy, ντίστοιχ. Αν είνι ΟΑ = xi κι Ο = y j, τότε τους ριθ- µούς x = ΟΑ κι y =Ο τους ονοµάζουµε συντετγµένες του σηµείου Ρ. Ο ριθµός x είνι η τετµηµένη του σηµείου Ρ, ενώ ο ριθµός y είνι η τετγµένη του Ρ. Γράφουµε Ρ ( x, y). Επιπλέον, η πεικόνιση x y j i Σχήµ 4.9 Ρ Α x φ ( x y) φ : Π, Ρ ( Ρ ): =,, (1) όπου x κι y είνι οι συντετγµένες του σηµείου Ρ ως προς το ορθοκνονικό σύστηµ νφοράς ( Ο,, ij) είνι µφιµονοσήµντη κι επί του. Στο τυχόν σηµείο Ρ του επιπέδου ντιστοιχίζουµε το διάνυσµ θέσης του ΟΡ. Σύµφων µε τ πρπάνω, θ έχουµε ΟΡ = ΟΑ + Ο = xi+ yj. ()

84 Κεφάλιο 4. ινυσµτικός λογισµός Τους ριθµούς x κι y τους ονοµάζουµε συντετγµένες του δινύ- σµτος ΟΡ. Ο ριθµός x είνι η τετµηµένη, ενώ ο ριθµός y είνι η τετγµένη του ΟΡ. Γράφουµε ΟΡ = ( x, y), δηλδή οι συντετγµένες του δινύσµτος θέσης ΟΡ του σηµείου Ρ τυτίζοντι µε τις συντετγµένες του σηµείου ως προς το ορθοκνονικό σύστηµ συντετγµένων Ο,, ij. Ρ ( ) Η σχέση () εκφράζει κτά µονδικό τρόπο το διάνυσµ ΟΡ ως γρµ- µικό συνδυσµό των δινυσµάτων i κι j. Πράγµτι, ν υποθέσουµε ότι ισχύει κι η ισότητ ΟΡ = x i+ y j () ) x, y x, y, τότε πό την ισότητ xi+ yj= x i+ y j λµβάνουµε µε ( ) ( y y x x i = j, ν x x ή j=, ν y y x x y i, y δηλδή τ δινύσµτ i κι j είνι συγγρµµικά, (άτοπο). Ονοµάζουµε το σύνολο των ελεύθερων δινυσµάτων του επιπέδου Π Έστω τυχόν διάνυσµ του επιπέδου µε x, y x, y. Τότε Α Α ( Α Α ) κι ( ) = x + y ( x + y ) = ( x x ) + ( y y ) Α = Ο - ΟΑ i j i j i j, οπότε στο διάνυσµ κι γράφουµε Α Α Α Α Α ντιστοιχίζουµε τις συντετγµένες x x, y y ( x x, y y ) Α =. Α Α Α Α Με τ πρπάνω έχουµε ποδείξει το θεώρηµ που κολουθεί: Θεώρηµ 4.. Έστω επίπεδο Π κι ορθοκνονικό σύστηµ συντετγµένων ( Ο,, ij) του επιπέδου Π. Τότε ισχύουν: () Σε κάθε σηµείο Ρ του επιπέδου Π ντιστοιχίζετι µονδικό ζεύγος πργµτικών ριθµών x (τετµηµένη) κι y (τετγµένη), ώστε ν ισχύει: ΟΡ = xi+ yj. (β) Το διάνυσµ Α του επιπέδου Π µε Α ( x, y ) κι ( x, y ) γράφετι ως γρµµικός συνδυσµός των µονδιίων δινυσµάτων i κι j ως οπότε έχει συντετγµένες x δηλδή είνι ( x x ) + ( y y ) Α = i j, Α Α Α Α x Α (τετµηµένη) κι y y ( x x, y y ) Α =. Α Α Α (τετγµένη),

4. Συντετγµένες σηµείου κι δινύσµτος 85 Ερχόµστε τώρ στις πράξεις που έχουµε ορίσει στο σύνολο των ελεύθερων δινυσµάτων του χώρου περιοριζόµενοι µόνο σε δινύσµτ του επιπέδου Π, δηλδή σε ελεύθερ δινύσµτ του συνόλου. = x, y, β = x, y κι λ, τότε Αν θεωρήσουµε τ δινύσµτ ( ) ( ) 1 1 είνι εύκολο ν διπιστώσουµε γεωµετρικά κι λγεβρικά ότι το διάνυσµ + β έχει συντετγµένες( x 1 + x, y 1 + y ), ενώ το διάνυσµ λ έχει συντε- τγµένες ( λ x, 1 λ y 1). Πράγµτι, έχουµε + = ( x1 + y1 ) + ( x + y ) = ( x1+ x) + ( y1+ y) λ = λ( x i+ y j) = λxi+ λy j, β i j i j i j 1 1 1 1 οπότε είνι φυσικό ν ορίσουµε ντίστοιχες πράξεις στο σύνολο των ισοτήτων: ( x1, y1) ( x, y) : ( x1 x, y1 y) λ ( x, y ): = ( λx, λy ). + = + +, 1 1 1 1 µέσω Αποδεικνύετι ότι κι το σύνολο εφοδισµένο µε τις δύο υτές πράξεις είνι δινυσµτικός χώρος πάνω στο. (γ) Συντετγµένες σηµείου κι δινύσµτος στο χώρο. Στη συνέχει θ δούµε πως σε κάθε σηµείο του χώρου λλά κι σε κάθε διάνυσµ του χώρου ντιστοιχίζουµε την διτετγµένη τριάδ των συντετγµένων του. Γι το σκοπό υτό θεωρούµε πρώτ έν κτάλληλο σύστηµ νφοράς. Ορισµός 4.. Κρτεσινό ή ορθοκνονικό σύστηµ συντετγµένων (νφοράς) xyz Ο, i, j,k στο χώρο είνι τρεις άξονες x xyy, κι zz Ο ή ( ) τέτοιοι ώστε: έχουν κοινή ρχή Ο, νά δύο είνι µετξύ τους κάθετοι, έχουν ντίστοιχ µονδιί δινύσµτ i, j κι k ισοµήκη κι η τριάδ (i, j,k) των µονδιίων δινυσµάτων ορίζει δεξιόστροφο σύστηµ. Έστω Ρ τυχόν σηµείο του χώρου, τον οποίο θεωρούµε εφοδισµένο µε έν ορθοκνονικό σύστηµ νφοράς Ο, i, j,k. Έστω Q η ορθή προβολή ( ) του σηµείου Ρ στο επίπεδο xο y κι Α,, Γ οι ορθές προβολές του Q πάνω στους άξονες x x, yy, zz, ντίστοιχ. Αν είνι ΟΑ = xi, Ο = yj κι ΟΓ = zk, τότε

86 Κεφάλιο 4. ινυσµτικός λογισµός ΟΡ = ΟΑ + Ο + ΟΓ = xi+ yj+ zk Στο σηµείο Ρ ντιστοιχίζουµε τη z διτετγµένη τριάδ ( x, yz, ) των συντετγµένων του, οι οποίες κτά σει- Γ Ρ ρά ονοµάζοντι τετµηµένη, τετγ- µένη κι κτηγµένη. Γράφουµε το k σηµείο Ρ ως Ρ ( x, yz, ). O j Επίσης, ντιστοιχίζουµε στο διάνυσµ θέσης του σηµείου Ρ την ίδι y i τριάδ συντετγµένων κι γράφουµε ΟΡ = ( x, yz, ). A Q Στη συνέχει, γι το τυχόν διάνυσµ, θεωρούµε έν διάνυσµ Σχήµ 4. 10 x ίσο του µε ρχή Ο, έστω το ΟΡ =. Αν είνι ΟΡ = ( x, yz,, τότε ντιστοιχίζουµε στο τις συντετγµένες του ) δινύσµτος ΟΡ κι έχουµε = ΟΡ = xi+ yj+ zk x, y, z. ( ) Επιπλέον, χρησιµοποιώντς το Πυθγόρειο θεώρηµ, λµβάνουµε = ΟΡ = ΟQ + QP = x + y + z. Επίσης, γι το διάνυσµ Α µε άκρ ( x, y, z ) έχουµε οπότε θ είνι Α Α Α. Α κι ( x, y, z ) ( x x ) ( y y ) ( z z ) Α Α Α, Α = Ο - ΟΑ = i+ j+ k, ( x x ) ( y y ) ( z z ) AB = + +. Α Α Α Εποµένως, όπως κι στην περίπτωση του θεώρηµ που κολουθεί:, τότε το διά- Θεώρηµ 4.. Αν είνι Α ( xα, yα, zα) κι ( x, y, z) νυσµ Α έχει συντετγµένες ( x xα, y yα, z zα) Α = ( x x, y y, z z Α ). Επιπλέον ισχύει:, έχουµε ποδείξει το, δηλδή είνι Α Α ( x x ) ( y y ) ( z z ) AB = + +. Α Α Α

4. Το εσωτερικό γινόµενο δινυσµάτων 87 Εργζόµενοι όπως κι στη περίπτωση του θεώρηµ που κολουθεί: Θεώρηµ 4..4 Αν = ( x, y, z ), = ( x, y, z ) είνι: 1 1 1, εύκολ ποδεικνύουµε το β κι λ, τότε θ ( x1 x, y1 y, z1 z) = ( x, y, z ). + β = + + +, λ λ λ λ 1 1 1 (δ) ιίρεση ευθυγράµµου τµήµτος σε λόγο λ Θεωρούµε ευθύγρµµο τµήµ 1 κι ( x, y, z ) Ρ Ρ µε διφορετικά άκρ Ρ ( x, y, z ) 1 1 1 1 Ρ κι σηµείο Ρ τέτοιο ώστε ΡΡ 1 = λρρ. Τότε λέµε ότι το σηµείο Ρ διιρεί το τµήµ ΡΡ 1 σε λόγο λ. Κτ ρχήν πρτηρούµε ότι πρέπει ν είνι λ 1, φού, ν ήτν λ = 1, θ είχµε ΡΡ 1 = ΡΡ 1 + ΡΡ = 0, (άτοπο). Έστω r = ( x, yz, ) το διάνυσµ θέσης του σηµείου Ρ κι r 1 = ( x1, y1, z 1), r = ( x, y, z ) τ δινύσµτ θέσης των σηµείων κι 1 Ρ, ντίστοιχ. Τότε έχουµε φού είνι λ 1. ΡΡ ΡΡ λ ( ) = λ 1 Ρ r1 + λr r r1 = r r r =, 1+ λ 4. Το εσωτερικό γινόµενο δινυσµάτων Ορισµός 4..1 Στο σύνολο ορίζουµε µί πεικόνιση που ονοµάζετι εσωτερικό γινόµενο κι είνι της µορφής :,(,b) b, όπου ο πργµτικός ριθµός b ορίζετι πό τη σχέση bcos ( b, ), ν b, 0 b =. 0, ν = 0 ή b = 0 Άµεση συνέπει του ορισµού του εσωτερικού γινοµένου είνι οι κόλουθες ιδιότητες: (i) b = b, γι κάθε b,, (ii) ( λ) b = ( λb) = λ( b), γι κάθε λ,, b,

88 Κεφάλιο 4. ινυσµτικός λογισµός (iii) (iv) ( ) b = 0 = 0 ή b = 0 ή π b, = (δηλδή είνι b), := =. (v) Αν, τότε (vi),b 0 cos(,b) = b b. i = j = k = 1, i j= 0, j k = 0, k i = 0. (vii) Αν θεωρήσουµε τ µη µηδενικά δινύσµτ = ( 1,, ) = ( β, β, β ) 1, b ως προς το ορθοκνονικό σύστηµ νφοράς Ο xyz κι γράψουµε τους ντιπροσώπους τους ΟΑ = κι Ο = b, τότε εφρµόζοντς το νόµο των συνηµιτόνων στο τρίγωνο ΟΑ λµβάνουµε: Α = ΟΑ + Ο ΟΑ Ο cos( b, ) ( β1 1) ( β ) ( β ) ( b) + + = + + + β + β + β 1 1 b = β + β + β. 1 1 Έτσι έχουµε κτλήξει σε µί λγεβρική έκφρση του εσωτερικού γινο- µένου δύο δινυσµάτων, δηλδή στον προσδιορισµό του µέσω των συντετγµένων των δύο δινυσµάτων ως εξής: b = β + β + β. 1 1 Χρησιµοποιώντς την λγεβρική έκφρση του εσωτερικού γινοµένου, εύκολ ποδεικνύουµε, γι κάθε, b,c, ότι: (viii) ( b+c) = b+ c, (επιµεριστική ιδιότητ). (ix) Θεωρούµε δύο µη µηδενικά δινύσµτ, b κι ντιπροσώπους υτών ΟΑ = κι Ο = b. Ανλύουµε το διάνυσµ b σε δύο συνιστώσες ΟΚ κι ΟΛ, δηλδή έχουµε b = ΟΚ + ΟΛ. (1) Ονοµάζουµε προβολή του δινύσµτος b πάνω στο διάνυσµ, το διάνυσµ ΟΚ κι γράφουµε pr : = ΟΚ. b Από τη σχέση (1) λµβάνουµε b = ΟΚ + ΟΛ b = pr b, φού είνι ΟΛ. b Λ Ο Κ Σχήµ 4.11

4. Το εσωτερικό γινόµενο δινυσµάτων 89 Άρ έχουµε ποδείξει την ιδιότητ b = pr b. () Μπορούµε κόµη ν εκφράσουµε το διάνυσµ των δινυσµάτων κι. Επειδή είνι () λµβάνουµε Εφρµογές pr : = ΟΚ b σε συνάρτηση b pr b : = ΟΚ = λ, λ, µέσω της = λ = λ λ = b b b, οπότε έχουµε: pr = b b b κι ΟΛ = b. 1. Σε κάθε τρίγωνο ΑΓ µε Γ =, ΓΑ = β, Α = γ, ν ποδείξετε ότι: = β + γ βγ cosα (Νόµος των συνηµιτόνων). Απόδειξη. Θεωρούµε τρίγωνο ΑΓ κι ορίζουµε τ δινύσµτ Γ =, ΑΓ = b, Α = c. Τότε έχουµε Γ = =, ΑΓ = b = β κι Α = c = γ. Επιπλέον ισχύει ότι: +c=b =b-c, οπότε έχουµε = ( b-c) = b + c b c ( ) = b + c b c cos( b, c) = β + γ βγ cosα. ΑΓ Στην περίπτωση που το τρίγωνο είνι ορθογώνιο µε ˆ Α= 90, τότε κτλή- Σχήµ 4.1 γουµε στη σχέση: = β + γ (Πυθγόρειο θεώρηµ).. Σε κάθε τρίγωνο ΑΓ µε Γ =, ΓΑ = β, Α = γ, ν ποδείξετε ότι (i) (ii) β + γ = µ +, ( πρώτο θεώρηµ διµέσων ), β γ = Μ, (δεύτερο θεώρηµ διµέσων), όπου µ είνι η διάµεσος ΑΜ του τριγώνου προβολή της πάνω στην Γ. c Α b ΑΓ κι Μ είνι η Γ

90 Κεφάλιο 4. ινυσµτικός λογισµός Απόδειξη. Θεωρούµε τρίγωνο ΑΓ κι ορίζουµε τ δινύσµτ Γ =, ΑΓ = b, Α = c κι ΑΜ =µ. Τότε είνι Γ = =, ΑΓ = b = β, Α = c =γ κι ΑΜ = µ = µ. Επίσης, ισχύουν οι ισότητες =b-c, 1 b = µ + κι έχουµε (i) (ii) 1 c = µ, οπότε θ + = + 1 1 + b c µ µ όπου 1 c b + = µ + Γ Μ 1 β + γ = µ +. Σχήµ 4.1 = + 1 1 b c µ µ b c = ( µ ) ( pr ) β γ = µ =± Μ Α β γ = Μ, είνι η προβολή της κορυφής Α πάνω στην Γ. 4.4 Εξωτερικό γινόµενο δινυσµάτων Ορισµός 4. 4.1 Στο σύνολο θεωρούµε µί εσωτερική πράξη που ονοµάζετι εξωτερικό γινόµενο κι είνι της µορφής :, (,b) b, όπου το διάνυσµ bέχει: bsin( b, ), ν b, 0, µέτρο b = 0, ν =0ή b= 0, διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο των κι b, φορά τέτοι ώστε το σύστηµ των δινυσµάτων,b,c ν { } είνι δεξιόστροφο. Το διάνυσµ b ονοµάζετι εξωτερικό γινόµενο των δινυσµάτων κι b. Από τον ορισµό του εξωτερικού γινοµένου δύο δινυσµάτων, εύκολ προκύπτει η γεωµετρική του σηµσί, φού έχουµε (σχήµ 4.15 ) Ε ( b, ): = ( ΟΑ ) = ( Α )( ΟΖ ) = bsin( b, ) = b, δηλδή έχουµε ποδείξει ότι :

4.4 Το εξωτερικό γινόµενο δινυσµάτων 91 b b Α O Ζ b B Σχήµ 4. 14 Σχήµ 4. 15 Το µέτρο του εξωτερικού γινοµένου δύο µη µηδενικών δινυσµάτων,b ισούτι µε το εµβδόν Ε( b, ) του πρλληλογράµµου που ορίζετι πό τ δινύσµτ υτά, δηλδή Ε (, b) = b Από τον ορισµό του εξωτερικού γινοµένου δύο δινυσµάτων, εύκολ προκύπτουν οι κόλουθες ιδιότητες: b b, γι κάθε,b, (i) = ( ) (ii) ( λ) b = ( λb) = λ( b), γι κάθε,b, λ, (iii) b = 0 = 0 ή b =0 ή b, (iv) i j= k, j k = i, k i = j, (v) ( b+ c) = b+ c, γι κάθε,b,c (επιµεριστική ιδιότητ). Η λγεβρική έκφρση του εξωτερικού γινοµένου Η λγεβρική έκφρση του εξωτερικού γινοµένου των δινυσµάτων = ( 1,, ) κι b = ( β 1, β, β ) δίνετι µέσω µις συµβολικής ορίζουσς ως εξής: i j k b =. 1 β β β 1 Πράγµτι, έχουµε

9 Κεφάλιο 4. ινυσµτικός λογισµός ( 1 ) ( β1 β β ) ( ) ( ) ( b = i+ j+ k i+ j+ k = β β i+ β β j + β β)k 1 1 1 1 b = i j k 1 β β β 1 Πράδειγµ 1. Ν ποδείξετε την τυτότητ: Απόδειξη. ( ) b = b ( b). ( ) ( ) b = b sin,b = b b cos (,b) = b ( b) Πράδειγµ. Σε κάθε τρίγωνο ΑΓ µε = Γ, β = ΓΑ, γ = Α, ν ποδείξετε ότι β γ = =, (νόµος των ηµιτόνων). sin Α sin sin Γ.. Απόδειξη. Θεωρούµε τρίγωνο ΑΓ κι θέτουµε Γ =, ΓΑ = b, Α = c, οπότε θ έχουµε ( b,c), ( c,), (,b ) Α= π = π Γ= π κι + b + c = 0. Εποµένως µπορούµε ν έχουµε ( ) ( ) + b+ c = 0 b = b c= c b + b+ c = 0 ( ) ( ) ( ) bsin b, = bcsin b,c = csin c, βsin Γ = βγ sin Α = γsin c Α Σχήµ 4.16 b β γ = = sin Α sin sin Γ. Γ Πράδειγµ. Αν,b 0 κι υπάρχει λ τέτοιο ώστε + λb = e, όπου e µονδιίο διάνυσµ, ν ποδείξετε ότι το εµβδόν του πρλληλογράµµου που ορίζετι πό τ,b, είνι µικρότερο ή ίσο µε b.

4.5 Τ τριπλά γινόµεν δινυσµάτων 9 Απόδειξη (1 ος τρόπος). Αρκεί ν ποδείξουµε ότι: b b. Πράγµτι, έχουµε ( λ ) λ( ) sin ( ) sin ( e,b) 1 b = e b b = e b b b = e b = e b e,b b, φού είνι = 1 e κι. ( ος τρόπος). Από την ισότητ + λb = e προκύπτει ότι: ( λ ) = ( ) ( ) λ λ + b e b + b + 1 = 0, γι κάποιο λ. Εποµένως θ είνι = 4 ( ) ( 1) b b 0 b cos (,b) b + b 0 ( ) ( ) b sin,b b b sin,b b b b. 4.5 Τ τριπλά γινόµεν δινυσµάτων Υπάρχουν δύο τριπλά γινόµεν δινυσµάτων. Το πρώτο είνι το βθ- µωτό τριπλό ή µικτό γινόµενο κι το δεύτερο είνι το δινυσµτικό τριπλό ή δις εξωτερικό γινόµενο. () Το µικτό γινόµενο τριών δινυσµάτων Ορισµός 4.5.1 Αν,b,c, τότε ο πργµτικός ριθµός ( b) c ονο- µάζετι µικτό γινόµενο ή βθµωτό τριπλό γινόµενο των δινυσµάτων,b, c κι συµβολίζετι µε ( ) ή bc. Έχουµε δηλδή,b,c ( ) (,b,c):= ( b) c. Σχετικά µε τη γεωµετρική σηµσί του µικτού γινοµένου, θ ποδείξου- µε στη συνέχει ότι η πόλυτη τιµή του µικτού γινοµένου τριών µη συνεπίπεδων δινυσµάτων ισούτι µε τον όγκο του πρλληλεπιπέδου που ορίζετι πό τ τρί δινύσµτ. Θεώρηµ 4.5.1 () Αν,b,c είνι µη συνεπίπεδ δινύσµτ του, τότε η πόλυτη τιµή του µικτού γινοµένου των,b,c ισούτι µε τον όγκο του πρλληλεπιπέδου που έχει τρεις κµές µε κοινή ρχή τ δινύσµτ,b κι c. Έχουµε δηλδή (β) Επιπλέον ισχύει: V(,b,c) = (,b,c ).,b, c συνεπίπεδ (,b,c ) = 0.

94 Κεφάλιο 4. ινυσµτικός λογισµός Απόδειξη () Έχουµε V,b,c = Εµβδόν.βάσης ύψος = bυ ( ) ( ) ( ) = b c b c = (,b,c) Στη συνέχει δικρίνουµε τις περιπτώσεις: cos(, ). Αν το σύστηµ {,b,c } είνι δεξιόστροφο, τότε ( ) π b, c 0,, φού το c βρίσκετι στον ίδιο ηµίχωρο µε το b, κι ισχύει: V,b,c =,b,c. ( ) ( ) Αν το σύστηµ {,b,c } είνι ριστερόστροφο, τότε τ δινύσµτ b βρίσκοντι σε διφορετικούς ηµίχωρους, οπότε π ( b, c ), π κι ισχύει: V(,b,c) = (,b,c ). (β), b,c συνεπίπεδ b,c κάθετ Ο b (,b,c ) = 0. Σχήµ 4. 17 c b c κι Αλγεβρική έκφρση του µικτού γινοµένου Αν είνι = ( 1,, ), b = ( β1, β, β) κι c = ( γ1, γ, γ), τότε b = ( β β ) i+ ( β 1 β 1 ) j+ ( β 1 β 1) k, (,b,c ) = ( ) ( ) ( ) οπότε θ έχουµε: β β γ + β β γ + β β γ, 1 1 1 1 1 (,b,c) = 1 β β β 1 γ γ γ 1 Από την λγεβρική µορφή του µικτού γινοµένου, εύκολ προκύπτουν οι κόλουθες ιδιότητες: (i) ( ) = (, ) = (, ),b,c b,c c,b, φού η µετάβση πό το έν µικτό γινόµενο στο άλλο γίνετι µε δύο ενλλγές θέσης µετξύ των δινυσµάτων, b κι. c

4.5 Τ τριπλά γινόµεν δινυσµάτων 95 (ii) (,b,c) = ( b,,c) = (,c, b) = ( c, b ),, φού τ τρί τελευτί µικτά γινόµεν προκύπτουν πό το πρώτο µε µί µόνο ενλλγή θέσης. b c = b c. (iii) ( ) ( ) Πράγµτι, έχουµε b c = b c = b,c, =, b,c. ( ) ( ) ( ) ( ) (β) Τ δις εξωτερικά γινόµεν δινυσµάτων Ορισµός 4.5. Αν,b,c, τότε κθέν πό τ γινόµεν ( b) c, ( b c ) ονοµάζετι δις εξωτερικό ή δινυσµτικό τριπλό γινόµενο των δινυσµάτων, κι c. b Το θεώρηµ που κολουθεί µς δίνει µί έκφρση των πρπάνω δις εξωτερικών γινοµένων ως γρµµικών συνδυσµών δύο εκ των τριών δινυσµάτων,b, c κι επιπλέον πντά στο εύλογο ερώτηµ σχετικά µε το ν, τ δύο πρπάνω δις εξωτερικά γινόµεν, είνι ίσ. Θεώρηµ 4.5. Αν,b κι c είνι δινύσµτ του, τότε: (i) ( b) c = ( c) b ( b c), (ii) ( b c) = ( c) b ( b) c. Απόδειξη. (i) Πρώτ σηµειώνουµε, ότι το διάνυσµ ( b) c είνι κάθετο προς τ δινύσµτ b κι c, οπότε θ είνι συνεπίπεδο προς τ, b κι συνεπώς µπορεί ν εκφρστεί ως γρµµικός συνδυσµός των κι b. Εποµένως υπάρχουν λ, µ τέτοι, ώστε ( b) c = λ + µ b. Αν = ( 1,, ) κι b = ( β 1, β, β ), τότε µε πευθείς υπολογισµό λ = µ = c. Πράγµτι, έχουµε βρίσκουµε ότι: ( b c ) κι ( ) i j k ( b) c 1 = β β β β β β 1 1 1 γ γ γ 1 ή µετά πό ρκετές πράξεις b c = γ + γ + γ b βγ + βγ + βγ = c b b c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ή ισοδύνµ 1 1 1 1

96 Κεφάλιο 4. ινυσµτικός λογισµός ( b) c= ( c ) b ( c b). (ii) ( ) = ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) b c b c b c c b c b b c. b c c ( b) c b b c Σχήµ 4.18 Σχήµ 4.19 b ( b c) Πρτήρηση (Μνηµονικός κνόνς) + ( b) c = ( cb ) ( ) - cb Μνηµονικά, µπορεί κνείς ν θυµάτι τον προσδιορισµό του δις εξωτερικού γινοµένου ως εξής: Θεωρούµε πρώτ το εσωτερικό γινόµενο του δινύσµτος c που είνι εκτός πρενθέσεως, µε το διάνυσµ που βρίσκετι πιο µκριά του µέσ στην πρένθεση µε πρόσηµο +. Αυτός είνι ο συντελεστής του τρίτου δινύσµτος, εδώ του b. Θεωρούµε στη συνέχει το εσωτερικό γινόµενο του δινύσµτος c που είνι εκτός πρενθέσεως, µε το διάνυσµ που βρίσκετι πιο κοντά του µέσ στην πρένθεση µε πρόσηµο -. Αυτός είνι ο συντελεστής του τρίτου δινύσµτος, εδώ του. Μί ξιοσηµείωτη σχέση που ικνοποιεί το δις εξωτερικό γινόµενο είνι η λεγόµενη τυτότητ του Jcobi.

4.5 Τ τριπλά γινόµεν δινυσµάτων 97 ( b) c+ ( b c) + ( c ) b = 0, που πίζει πρωτεύοντ ρόλο στον ορισµό της άλγεβρς του Lie. Πράδειγµ 1. Ν ποδείξετε την τυτότητ: ( b) ( c d) ( c)( b d) ( d)( b c) = = c d b c b d. Απόδειξη. Αν θέσουµε w = c d, τότε έχουµε: b c d = b w = b w ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) = ( ) ( ) = ( c)( b d) ( d)( b c). b c d b d c b c d Πράδειγµ. ίνοντι τ δινύσµτ, b, 0. Ν προσδιορίσετε τ δινύσµτ w που ικνοποιούν την εξίσωση w = b. Λύση. ικρίνουµε τις περιπτώσεις: Αν b = 0, τότε w = 0 w = λ, λ. Αν b 0, τότε θ είνι b, οπότε b = 0. Επιπλέον τ w, κι b είνι συνεπίπεδ κι φού τ δινύσµτ κι b είνι µη συγγρµµικά, το w µπορεί ν γρφεί ως γρµµικός συνδυσµός των δινυσµάτων υτών, δηλδή ισχύει: b w = λ + µ ( b), λ, µ. w Όµως το w πρέπει ν ικνοποιεί την εξίσωση w = b, οπότε b w = b + b = b λ µ( ) ( b ) b ( b ) ( ) b b ( µ 1 ) µ = µ = 1 µ =, φού είνι b 0.Άρ έχουµε Σχήµ 4. 0 + b = 0 1 1 w = ( b) + λ = λ+ ( b ), λ.

98 Κεφάλιο 4. ινυσµτικός λογισµός ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. ίνοντι τ δινύσµτ = i+ j+ k, b = j k κι c= i-j+ k. Ν υπολογίσετε τ γινόµεν: (i) b (ii) b iii b c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (iv) c b (v) b c (vi) b c. Αν,b,c, ν ποδείξετε ότι: (i) +b+c= 0 b= b c= c (ii) b = c, b = c κι 0 b =c (iii) ( +b,b+c,c+) = (,b,c ).. Αν,b,c, ν ποδείξετε ότι: (i) ( ) ( ) = ( ) (ii) (,, ) = ( b c,b,c b b c c,b,c) (iii) Τ δινύσµτ,b,c είνι συνεπίπεδ, ν, κι µόνον ν, τ δινύσµτ b, b c, c είνι συνεπίπεδ. 4. Τ σηµεί Α,, Γ κι έχουν δινύσµτ θέσης ως προς το κρτεσινό σύστηµ νφοράς Ο xyz,,b,c κι d, ντίστοιχ. Ν ποδείξετε ότι:,,, συνεπίπεδ,b,c b,cd, + cd,, db,, = 0. ΑΓ ( ) ( ) ( ) ( ) 5. Τ σηµεί Α, κι Γ έχουν δινύσµτ θέσης ως προς το κρτεσινό σύστηµ νφοράς Ο xyz,,b, κι c, ντίστοιχ. Ν ποδείξετε ότι το εµβδόν του τριγώνου ΑΓ είνι: 1 Ε( ΑΓ ) = ( b) + ( b c) + ( c ). 6. Αν,b είνι µη συγγρµµικά µονδιί δινύσµτ κι (, ) ν βρεθεί το διάνυσµ u που είνι λύση της εξίσωσης u b+ = u. ( ) 4 π b =, 7. Ν ποδείξετε ότι η δινυσµτική εξίσωση x+ x = b, όπου, b είνι γνωστά δινύσµτ, έχει µονδική λύση. Στη συνέχει ν προσδιορίσετε τη λύση της εξίσωσης.

Ασκήσεις 99 8. Αν το διάνυσµ w ικνοποιεί την εξίσωση w + w = b, ( ) όπου, b είνι γνωστά δινύσµτ, τότε: 1 (i) ν ποδείξετε ότι w = b κι w = ( b ), 1+ (ii) ν προσδιορίσετε τη λύση της εξίσωσης. 9. Έστω,b,r,,b 0 κι t. Ν προσδιορίσετε την τιµή του t γι την οποί έχει λύση ως προς r η εξίσωση r = +tb κι στη συνέχει ν προσδιορίσετε τη λύση της εξίσωσης. 10. Αν,b,c κι d είνι δινύσµτ του, ν ποδείξετε ότι: ( b) ( c d) = (,c,d) b ( b,c,d) = (,b,d) c (,b,c) d 11. Αν,b κι c είνι µη συνεπίπεδ δινύσµτ του, τότε γι κάθε άλλο διάνυσµ d, ν ποδείξετε ότι υπάρχουν µονδικοί συντελεστές λ, µν, τέτοιοι, ώστε d = λ + µ b+ νc, όπου ( d,b,c) ( d,c,) ( d,,b) λ =, µ =, ν =,b,c b,c, c,,b. ( ) ( ) ( ) ( ) 1. Αν ο πίνκς Α Μ είνι τέτοιος ώστε τ δινύσµτ Αu κι u ν είνι κάθετ, γι κάθε T u, ν ποδείξετε ότι: (i) Α = Α, (ii) υπάρχει υ τέτοιο, ώστε Α u = υ u, γι κάθε u.

100 Κεφάλιο 4. ινυσµτικός λογισµός