Η αυτεπαγωγή ενός δακτυλίου Υποκζςτε ότι κρατάτε ςτο χζρι ςασ ζναν μεταλλικό δακτφλιο διαμζτρου πχ 5 cm. Ζνασ φυςικόσ πικανότθτα κα προβλθματιςτεί: τι αυτεπαγωγι ζχει άραγε; Νομίηω κα ιταν μια καλι ιδζα να προςπακιςουμε να το διαλευκάνουμε. Δεν κα το δοφμε όμωσ ςαν ζνα πρόβλθμα από κείνα που δίνουμε ςτουσ μακθτζσ μασ. Θα το δοφμε ςαν ζνα μζροσ ενόσ ευρφτερου προβλιματοσ. Σϋ αυτό το ευρφ πρόβλθμα, αντί μεταλλικοφ δακτυλίου κα κεωριςουμε ζνα θλεκτρικό ρεφμα που κα καλφπτει ζνα μεγάλο μζροσ του 3-διάςτατου χϊρου (ακόμα και όλο το χϊρο) και κα ζχει τθν εξισ ιδιότθτα: θ πυκνότθτα ρεφματοσ j r ζχει αξονικι ςυμμετρία. Αυτό ςθμαίνει ότι υπάρχει κάποιοσ άξονασ τζτοιοσ ϊςτε ςε κάκε κφκλο κάκετο και ομόκεντρο με τον άξονα, το j r να είναι εφαπτόμενο ςτον κφκλο και το μζτρο του να μθν εξαρτάται από το ςθμείο του κφκλου ςτο οποίο το κεωροφμε. Ασ επιχειριςουμε να υπολογίςουμε το ανυςματικό δυναμικό Α r αυτοφ του ρεφματοσ ςε κάκε ςθμείο του χϊρου. Ασ γράψουμε τθ γενικι λφςθ των εξιςϊςεων του Maxwell για το ανυςματικό δυναμικό: (1) Α r = μ j r r r d3 r όπου τα r και τα r ςτθν παραπάνω εξίςωςθ είναι τα ςθμεία του χϊρου που μασ ενδιαφζρει το Α (ςθμεία παρατιρθςθσ) και τα ςθμεία που κεωροφμε το j αντίςτοιχα όπωσ βλζπουμε και ςτο παρακάτω ςχιμα Ασ κεωριςουμε κυλινδρικζσ ςυντεταγμζνεσ με άξονα τον άξονα ςυμμετρίασ του ςυςτιματοσ. Δθλαδι για κάκε ςθμείο του χϊρου κα κεωριςουμε: Τθ ςυντεταγμζνθ z που είναι θ προβολι του ςθμείου ςτον άξονα (κεωρουμζνου ςαν άξονα των z).
Τισ πολικζσ ςυντεταγμζνεσ r και φ τθσ προβολισ του ςθμείου ςτο πολικό επίπεδο που είναι κάκετο ςτον άξονα ςτο z=. Ασ κεωριςουμε επίςθσ ςτο πολικό επίπεδο τα μοναδιαία διανφςματα r και φ. Το πρϊτο ςτθν κατεφκυνςθ του r και το δεφτερο ςτθν κατεφκυνςθ τθσ εφαπτομζνθσ του πολικοφ κφκλου ςτο ςθμείο τθσ προβολισ του αρχικοφ ςθμείου ςτο πολικό επίπεδο. Η πυκνότθτα ρεφματοσ j μπορεί επομζνωσ να πάρει τθ μορφι j r = j r, z φ δεδομζνου ότι το μζτρο τθσ δεν εξαρτάται από το φ. Στθν παραπάνω εξίςωςθ το j r, z δεν είναι ακριβϊσ το μζτρο του j γιατί μπορεί να πάρει κετικι ι αρνθτικι τιμι. Συγκεκριμζνα το j r, z παίρνει αρνθτικι τιμι όταν το j ζχει φορά αντίκετθ του φ. Ο παρονομαςτισ r r είναι θ απόςταςθ μεταξφ του «ςθμείου του δυναμικοφ» r και του ςθμείου ρεφματοσ r. Στισ κυλινδρικζσ ςυντεταγμζνεσ αυτι θ απόςταςθ είναι: (2) r r = z z 2 + r 2 + r 2 2rr cos φ φ Τζλοσ, το ςτοιχείο όγκου ςτο χϊρο των ρευμάτων, d 3 r, παίρνει τθ μορφι: (3) d 3 r = r dφ dr dz Ασ υπολογίςουμε τισ δφο ςυνιςτϊςεσ του Α, τθν A r = A r και A φ = A φ. (4) (5) A r r, φ, z = μ A φ r, φ, z = μ j r, z φ r z z 2 + r 2 + r 2 2rr cos φ φ r dφ dr dz j r, z φ φ z z 2 + r 2 + r 2 2rr cos φ φ r dφ dr dz Τα μοναδιαία ανφςματα r και φ ζχουν τθν μορφι: (6) (7) r = xcos φ + ysin φ φ = xsin φ + ycos φ Επομζνωσ: (8) (9) φ r = sin φ cos φ + cos φ sin φ = sin φ φ φ φ = sin φ sin φ + cos φ cos φ = cos φ φ
Αντικακιςτϊντασ τισ παραπάνω εξιςϊςεισ ςτισ εξιςϊςεισ (4) και (5), παρατθροφμε ότι οι τριγωνομετρικοί αρικμοί που εμφανίηονται ζχουν όριςμα φ φ. Ασ αντικαταςτιςουμε ςτα ολοκλθρϊματα αυτό το όριςμα με το x και ασ παρατθριςουμε ότι, αντικακιςτϊντασ το dφ με dx, το ολοκλιρωμα ωσ προσ φ ζχει πάλι όρια από ζωσ. Ζτςι οι (4) και (5) γίνονται: (1) A r r, z = μ A φ r, z = μ j r, z sin x z z 2 + r 2 + r 2 2rr cos x r dxdr dz j r, z cos x z z 2 + r 2 + r 2 2rr cos x r dxdr dz (11) Παρατθροφμε ότι δεν υπάρχει πια θ εξάρτθςθ των ςυνιςτωςϊν του Α από το φ. Επίςθσ, θ ολοκλθρωτζα παράςταςθ ςτθν (1) είναι αντιςυμμετρικι μεταξφ x και -x. Επομζνωσ μθδενίηεται. Άρα A r r, z =. Επίςθσ, A z r, z =, αφοφ θ πυκνότθτα ρεφματοσ δεν ζχει z-ςυνιςτϊςα. Επομζνωσ, μζνει μόνο να βροφμε το A φ r, z. Ασ επιςτρζψουμε τϊρα ςτο πρόβλθμα του ρευματοφόρου δακτυλίου. Ζςτω ρευματοφόροσ δακτφλιοσ ακτίνασ R και αμελθτζου πάχουσ. Ποια κα είναι θ αυτεπαγωγι του; Η πυκνότθτα ρεφματοσ παίρνει τθ μορφι: (12) j r, z = Iδ r R δ z όπου, βζβαια, υποκζτουμε ότι ο άξονασ είναι κάκετοσ ςτο δακτφλιο και περνάει από το κζντρο του ςτο z=. Ασ αντικαταςτιςουμε τθν (12) ςτθν (11). A φ r, z = μ Iδ r R δ z cos x z z 2 + r 2 + r 2 2rr cos x r dxdr dz (13) Ολοκλθρϊνοντασ ωσ προσ r και z καταλιγουμε ςτθν: A φ r, z = μ I R z 2 + r 2 + R 2 2rRcos x (14) Από τθ ςχζςθ αυτι εφκολα βρίςκουμε τθ μαγνθτικι επαγωγι Β ςε κάκε ςθμείο του χϊρου από τθ ςχζςθ: (15) B = A απϋ όπου προκφπτουν οι εξισ ςχζςεισ για τισ ςυνιςτϊςεσ του Β:
,, B x = A φ cos φ z B y = A φ z sin φ B z = A φ r + A φ r (16) Οι ςχζςεισ για το B x και το B y μποροφν να γραφοφν και ςτθ μορφι: B par = A φ z r (17) όπου B par θ ςυνιςτϊςα του Β παράλλθλα με το πολικό επίπεδο. Για να υπολογίςουμε τθν αυτεπαγωγι του δακτυλίου πρζπει πρϊτα να υπολογίςουμε τθ μαγνθτικι ροι Φ μζςω μιασ επιφάνειασ που ζχει όριο τον δακτφλιο. Ασ ονομάςουμε S αυτι τθν επιφάνεια. Φ = B nds (18) όπου n είναι το μοναδιαίο κάκετο τθσ επιφάνειασ ςε κάποιο ςτοιχειϊδεσ τμιμα τθσ. Όμωσ, ςφμφωνα με το κεϊρθμα του Stokes, το ολοκλιρωμα αυτό μεταςχθματίηεται ςε κάποιο ολοκλιρωμα επί του δακτυλίου, δθλαδι: Φ = B nds = A nds = A φ dl (19) όπου φ το μοναδιαίο εφαπτόμενο ςτθν καμπφλθ που είναι το όριο τθσ επιφάνειασ S και dl ζνα ςτοιχειϊδεσ μικοσ αυτισ τθσ καμπφλθσ. Στθν περίπτωςι μασ, όμωσ, αυτι θ καμπφλθ είναι ο ρευματοφόροσ δακτφλιοσ. Το διάνυςμα Α ςϋ ζνα ςθμείο του δακτφλιου είναι και θ ςχζςθ (19) για τθ ροι γίνεται (2) A = A φ R, φ Φ = A φ R, R γιϋ αυτό ασ υπολογίςουμε το A φ R,. Σφμφωνα με τθν (14)
A φ R, = μ IR 2R 2 2R 2 cos x = μ I 8π sin x 2 (21) Σφμφωνα, επομζνωσ, με τθν (2), θ μαγνθτικι ροι του δακτυλίου είναι Φ = μ IR 4 sin x 2 (22) Αν L θ αυτεπαγωγι του, επειδι Φ=LI, ζχω L = μ R 4 sin x 2 (23) Το ολοκλιρωμα ςτθν (23) δυςτυχϊσ δεν ςυγκλίνει, ζτςι θ αυτεπαγωγι απειρίηεται. Στθν πράξθ βζβαια ζνασ μεταλλικόσ δακτφλιοσ ζχει πεπεραςμζνθ αυτεπαγωγι. Ο λόγοσ που απειρίηεται θ αυτεπαγωγι ςτθν περίπτωςι μασ είναι, βζβαια, το γεγονόσ ότι κεωριςαμε ζναν απείρωσ λεπτό ρευματοφόρο δακτφλιο. Το αντίςτοιχο ολοκλιρωμα για ζναν δακτφλιο πεπεραςμζνου πάχουσ κα είναι πεπεραςμζνο, αλλά δεν είναι εφκολο να υπολογιςτεί. Πζρα από το ότι τα ολοκλθρϊματα αυτά δεν υπολογίηονται αναλυτικά, υπάρχει και το πρόβλθμα ότι όταν ο δακτφλιοσ διαρρζεται από ρεφμα Ι δεν ξζρω πια είναι θ κατανομι του j ςτθ διατομι του δακτυλίου. Αν το ρεφμα είναι ςυνεχζσ ι εναλλαςςόμενο χαμθλισ ςυχνότθτασ, θ κατανομι αυτι είναι πικανότατα ομοιόμορφθ. Αν όμωσ είναι υψθλισ ςυχνότθτασ, κα είναι επιδερμικι. Πάντωσ, ακόμα κι αν θ (23) δεν ςυγκλίνει, μασ οδθγεί ςτο ςυμπζραςμα ότι θ αυτεπαγωγι του δακτυλίου είναι ανάλογθ τθσ ακτίνασ του. Όμωσ δεν είναι ςαφζσ αν 2 δακτφλιοι φτιαγμζνοι από ςφρμα του ίδιου πάχουσ ζχουν λόγο αυτεπαγωγϊν ίςο με τον λόγο των ακτίνων τουσ. Διαιςκθτικά περιμζνουμε ότι πολλαπλαςιάηοντασ επί λ τόςο τθν ακτίνα όςο και το πάχοσ, θ αυτεπαγωγι πολλαπλαςιάηεται επίςθσ επί λ. Ασ προςπακιςουμε τϊρα, με τθ βοικεια τθσ (11), να λφςουμε ζνα άλλο πρόβλθμα: το μαγνθτικό πεδίο που παράγεται από μια ςθμειακι πθγι. Ασ κεωριςουμε λοιπόν μια κατανομι κυλινδρικά ςυμμετρικϊν ρευμάτων που καταλαμβάνει μια πολφ μικρι περιοχι γφρω από τθν αρχι των αξόνων. Θα υπολογίςουμε το ανυςματικό δυναμικό ςε αποςτάςεισ μεγάλεσ ςε ςχζςθ με το μζγεκοσ τθσ περιοχισ αυτισ. Αν λοιπόν ςτθν (11) Θεωριςουμε ίςο με το z ςτον παρονομαςτι, αμελιςουμε το r 2 και αναπτφξουμε ςε 1 θ τάξθ ωσ προσ r καταλιγουμε ςε μια ζκφραςθ τθσ μορφισ A φ r, z = μμ r r 2 + z 2 3 2
(24) όπου μ, θ μαγνθτικι ροπι του ςυςτιματοσ των ρευμάτων, ορίηεται από τθ ςχζςθ: μ = j r, z πr 2 drdz (25) r Η (24) μπορεί να εκφραςτεί και μϋ ζναν άλλο τρόπο ωσ εξισ: θ ποςότθτα είναι r 2 +z 2 ίςθ με sin θ, όπου κ θ γωνία που ςχθματίηει το διάνυςμα κζςεωσ του ςθμείου παρατιρθςθσ του A φ με τον άξονα ςυμμετρίασ. Ασ ςυμβολίςουμε τϊρα με R τθν απόςταςθ του ςθμείου παρατιρθςθσ από τθν αρχι Ζτςι το δυναμικό ζχει τθ μορφι: R = r 2 + z 2 A φ r, z = μμ sin θ R 2 (26) Αφοφ A r r, z = A z r, z =, θ παραπάνω ςχζςθ μασ δίνει το ανυςματικό δυναμικό ενόσ κυλινδρικοφ ςυςτιματοσ ρευμάτων, δθλ. ενόσ μαγνθτικοφ διπόλου. Θα ιταν πιο ωραίο όμωσ αν δίναμε ανυςματικι μορφι ςτθν παραπάνω ςχζςθ. Αφοφ A = φa φ θ (26) γράφεται A r, z = μμ sin θ R 2 φ (27) Όμωσ φ = z r z r και επίςθσ sin θ = z r όπου z και r τα μοναδιαία διανφςματα κατά τον άξονα z και προσ τθν φορά του ανφςματοσ κζςθσ r του ςθμείου παρατιρθςθσ. Η (27) τϊρα γράφεται A r, z = μμ z r r 2 Τζλοσ, αν το διάνυςμα τθσ μαγνθτικισ ροπισ εκφραςτεί ςτθ μορφι μ = μz, θ παραπάνω ςχζςθ γίνεται
A r, z = μ μ r r 2 δθλαδι καταλιγω ςτθν ανυςματικι ςχζςθ για το ανυςματικό δυναμικό ςτοιχειϊδουσ μαγνθτικισ ροπισ. Η παραπάνω ςχζςθ ιςχφει βζβαια υπό τθν προχπόκεςθ ότι μ = j r, z πr 2 drdz Στθν περίπτωςθ μ= προχωράμε ςε προςζγγιςθ ανϊτερθσ τάξθσ, οπότε το ανυςματικό δυναμικό προκφπτει με τθ βοικεια του ςυντελεςτι τετραπολικισ ροπισ. Σϋ αυτι τθν περίπτωςθ ελαττϊνεται με κάποια ανϊτερθ δφναμθ του r.