K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα 1 Στοιχεία προτασιακής λογικής 2 Στοιχεία θεωρίας συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 2 / 78

Λογικές προτάσεις Ως λογική πρόταση εννοούμε μια δήλωση η οποία μπορεί να χαρακτηριστεί ως αληθής (α) [true] ή ως ψευδής (ψ) [false] Η πρόταση p= Ο αριθμός 7 είναι άρτιος, για παράδειγμα, είναι μια ψευδής λογική πρόταση Μπορούμε, επομένως, να γράψουμε p=ψ Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 3 / 78

Ορισμοί Αποδείξεις Θεωρήματα Η προσπάθεια διαπίστωσης αν μια λογική πρόταση αληθεύει ή όχι αποτελεί το κύριο χαρακτηριστικό της μαθηματικής εργασίας Η αλήθεια μιας πρότασης μπορεί να προκύψει: άμεσα από έναν ορισμό, ο οποίος είναι μια πρόταση με την οποία καθορίζεται η σημασία ενός νέου όρου (πχ Ρόμβος είναι κάθε τετράπλευρο με ίσες πλευρές ) ως το λογικό συμπέρασμα που προκύπτει από άλλες αληθείς προτάσεις, οπότε λέγεται θεώρημα Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 4 / 78

Αξιώματα Οι αληθείς προτάσεις από τις οποίες προκύπτει λογικά ένα θεώρημα μπορεί να είναι και αυτές θεωρήματα, τα οποία έχουν προκύψει από άλλες αληθείς προτάσεις, κοκ Έτσι, θα πρέπει ορισμένες αρχικές προτάσεις να τις δεχθούμε ως αληθείς Οι προτάσεις αυτές ονομάζονται αξιώματα Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 5 / 78

Απλές και σύνθετες λογικές προτάσεις Μια λογική πρόταση ονομάζεται απλή όταν κανένα τμήμα της δεν αρκεί για να σχηματισθεί μια άλλη πρόταση Μια λογική πρόταση ονομάζεται σύνθετη όταν δεν είναι απλή Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 6 / 78

Απλές και σύνθετες λογικές προτάσεις Παράδειγμα απλής πρότασης Ο αριθμός x είναι περιττός Παράδειγμα σύνθετης πρότασης Ο αριθμός x δεν είναι περιττός Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 7 / 78

Απλές και σύνθετες λογικές προτάσεις Σύνθετες είναι και οι προτάσεις οι οποίες αποτελούνται από δύο ή περισσότερες απλές: Παραδείγματα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και (το ΑΒΓ είναι) ισοσκελές ο αριθμός x είναι άρτιος ή περιττός αν ο Α είναι πατέρας του Β, τότε ο Β είναι παιδί του Α Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 8 / 78

Ασκήσεις Άσκηση 1 Ποιες από τις παρακάτω φράσεις είναι λογικές προτάσεις; Ο αριθμός 6 είναι πρώτος Η Κέρκυρα είναι νησί Πού θα πάτε αύριο; Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 9 / 78

Ασκήσεις Άσκηση 2 Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι απλές, και ποιες σύνθετες; Ο αριθμός 10 δεν είναι πρώτος Ο αριθμός 24 είναι σύνθετος αʹ Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο, τότε είναι και ισογώνιο Το 12 και το 18 είναι πολλαπλάσια του 3 αʹσύνθετοι ονομάζονται οι αριθμοί οι οποίοι διαθέτουν περισσότερους από δύο διαιρέτες Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 10 / 78

Ασκήσεις Άσκηση 3 Να βρείτε τη δομή των επόμενων σύνθετων προτάσεων αντικαθιστώντας με γράμματα όλες τις απλές προτάσεις από τις οποίες σχηματίζονται Αν ο x είναι ρητός και ο y ακέραιος, τότε ο x+y είναι ρητός αριθμός Αν οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ είναι κάθετες ή διχοτομούν τις γωνίες του, τότε το ΑΒΓΔ είναι ρόμβος Αν xy 0 τότε x 0 ή y 0 Αν ο x είναι πολλαπλάσιο του 5 και το άθροισμα x+y είναι πολλαπλάσιο του 5, τότε και ο y είναι πολλαπλάσιο του 5 Αν το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ δεν είναι ρόμβος, τότε οι διαγώνιές του δεν είναι κάθετες ή δεν διχοτομούν τις γωνίες του Αν δύο δεδομένοι αριθμοί x και y είναι άρτιοι ή περιττοί, τότε το άθροισμά τους είναι άρτιος αριθμός Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 11 / 78

Ασκήσεις Άσκηση 4 Ποιες από τις προτάσεις της προηγούμενης άσκησης έχουν την ίδια δομή; Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 12 / 78

Στοιχεία προτασιακής λογικής Λογικές πράξεις Λογική πράξη ονομάζεται η διαδικασία παραγωγής νέων λογικών προτάσεων από προϋπάρχουσες προτάσεις Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 13 / 78

Λογικές πράξεις Άρνηση Η άρνηση μιας λογικής πρότασης p είναι μια νέα πρόταση (που συμβολίζεται με p ή p ή p ) η οποία αληθεύει όταν η πρόταση p είναι ψευδής, και το αντίστροφο Μπορούμε, επομένως, να γράψουμε: { ψ, αν p = α p = α, αν p = ψ Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 14 / 78

Λογικές πράξεις Σύζευξη Έστω δύο λογικές προτάσεις p και q Η σύζευξη των προτάσεων p και q είναι μια νέα πρόταση (που συμβολίζεται με p q ή p q ή p&q) η οποία αληθεύει όταν και οι δύο προτάσεις p και q είναι αληθείς Μπορούμε, επομένως, να γράψουμε: { α, αν p = α και q = α p q = ψ, αλλιώς Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 15 / 78

Λογικές πράξεις Διάζευξη (εγκλειστική inclusive) Έστω δύο λογικές προτάσεις p και q Η διάζευξη των προτάσεων p και q είναι μια νέα πρόταση (που συμβολίζεται με p q ή p + q ή p q) η οποία αληθεύει όταν τουλάχιστον μία από τις προτάσεις p και q είναι αληθής Μπορούμε, επομένως, να γράψουμε: { α, αν p = α ή q = α p q = ψ, αλλιώς Ισοδύναμα, η πράξη της λογικής διάζευξης μπορεί να περιγραφεί ως εξής: { ψ, αν p = ψ και q = ψ p q = α, αλλιώς Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 16 / 78

Λογικές πράξεις Συνεπαγωγή Έστω δύο λογικές προτάσεις p και q Η συνεπαγωγή με υπόθεση την πρόταση p και συμπέρασμα την πρόταση q είναι μια νέα πρόταση (που συμβολίζεται με p q) η οποία είναι ψευδής στην περίπτωση κατά την οποία η p είναι αληθής και η q ψευδής Μπορούμε, επομένως, να γράψουμε: { ψ, αν p = α και q = ψ p q = α, αλλιώς Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 17 / 78

Λογικές πράξεις Παράδειγμα (Υποθέτουμε πως όλα τα μήλα είναι κόκκινα, και πως x είναι φρούτο) Έστω οι προτάσεις p= το x είναι μήλο και q= το x είναι κόκκινο p q p q παρατηρήσεις κάποιο φρούτο που δεν είναι μήλο μπορεί να μην είναι κόκκινο ψ ψ α ψ α α κάποιο φρούτο που δεν είναι μήλο μπορεί να είναι κόκκινο α ψ ψ κάποιο φρούτο που είναι μήλο μπορεί να μην είναι κόκκινο α α α κάποιο φρούτο που είναι μήλο μπορεί να είναι κόκκινο Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 18 / 78

Λογικές πράξεις Ισοδυναμία Έστω δύο λογικές προτάσεις p και q Η ισοδυναμία των προτάσεων p και q είναι μια νέα πρόταση (που συμβολίζεται με p q) η οποία είναι αληθής στις περιπτώσεις κατά τις οποίες οι προτάσεις p και q λαμβάνουν τις ίδιες λογικές τιμές (είναι ταυτόχρονα αληθείς ή ψευδείς) Μπορούμε, επομένως, να γράψουμε: { α, αν p και q ομότιμες p q = ψ, αλλιώς Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 19 / 78

Λογικοί τύποι Για το συμβολισμό μιας σύνθετης λογικής πρότασης η οποία προκύπτει από άλλες προτάσεις μέσω λογικών πράξεων χρησιμοποιούμε λογικούς τύπους (αλλιώς, λογικές παραστάσεις) Οι λογικοί τύποι περιλαμβάνουν τα σύμβολα των επιμέρους λογικών προτάσεων καθώς και τα σύμβολα των λογικών πράξεων οι οποίες χρησιμοποιούνται Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 20 / 78

Λογικοί τύποι Παραδείγματα λογικών τύπων p q (p q) (q r) s (p q) (q r) Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 21 / 78

Λογικοί τύποι Πίνακες αλήθειας Οι πίνακες αλήθειας παρέχουν τις τιμές μιας πρότασης η οποία ορίζεται από έναν συγκεκριμένο λογικό τύπο, για όλους τους δυνατούς συνδυασμούς τιμών των λογικών προτάσεων οι οποίες συμμετέχουν σε αυτόν Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 22 / 78

Στοιχεία προτασιακής λογικής Λογικοί τύποι Πίνακες αλήθειας Παράδειγμα: Πίνακας αλήθειας για τον λογικό τύπο p p p ψ α α ψ Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 23 / 78

Λογικοί τύποι Άσκηση Να βρεθεί ο πίνακας αλήθειας για τον λογικό τύπο p q Άσκηση Να βρεθεί ο πίνακας αλήθειας για τον λογικό τύπο p q Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 24 / 78

Λογικοί τύποι Άσκηση Να βρεθεί ο πίνακας αλήθειας για τον λογικό τύπο p q Άσκηση Να βρεθεί ο πίνακας αλήθειας για τον λογικό τύπο p q Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 25 / 78

Λογικοί τύποι Άσκηση Να βρεθεί ο πίνακας αλήθειας για τον λογικό τύπο (p q) r Άσκηση Να βρεθεί ο πίνακας αλήθειας για τον λογικό τύπο (p q) r Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 26 / 78

Λογικοί τύποι Ταυτολογία Ταυτολογία ονομάζεται η πρόταση της οποίας ο λογικός τύπος δίνει αληθή τιμή για όλους τους συνδυασμούς τιμών των προτάσεων οι οποίες τον απαρτίζουν Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 27 / 78

Στοιχεία προτασιακής λογικής Λογικοί τύποι Άσκηση Να αποδείξετε πως ο λογικός τύπος p p αντιστοιχεί σε ταυτολογία Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 28 / 78

Λογικοί τύποι Αντίφαση Αντίφαση ονομάζεται η πρόταση της οποίας ο λογικός τύπος δίνει ψευδή τιμή για όλους τους συνδυασμούς τιμών των προτάσεων οι οποίες τον απαρτίζουν Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 29 / 78

Στοιχεία προτασιακής λογικής Λογικοί τύποι Άσκηση Να αποδείξετε πως ο λογικός τύπος p p αντιστοιχεί σε αντίφαση Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 30 / 78

Λογικοί τύποι Ισοδύναμοι λογικοί τύποι Δύο λογικοί τύποι ονομάζονται ισοδύναμοι όταν δίνουν την ίδια τιμή για κάθε συνδυασμό τιμών των προτάσεων οι οποίες τους απαρτίζουν Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 31 / 78

Λογικοί τύποι Άσκηση Να αποδείξετε πως οι λογικοί τύποι p q και p q είναι ισοδύναμοι Άσκηση Να αποδείξετε πως οι λογικοί τύποι p q και p q είναι ισοδύναμοι Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 32 / 78

Προτασιακοί τύποι Έστω ένα σύνολο Ω και p(x) μια έκφραση η οποία περιέχει το σύμβολο x και μετατρέπεται σε λογική πρόταση κάθε φορά που το x αντικαθίσταται με κάποιο στοιχείο του συνόλου Ω Η έκφραση p(x) ονομάζεται προτασιακός τύπος μιας μεταβλητής ορισμένος στο σύνολο Ω Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 33 / 78

Προτασιακοί τύποι Θα συμβολίζουμε με p(α) τη λογική πρόταση η οποία προκύπτει από τον προτασιακό τύπο p(x) θέτοντας το α στη θέση του x Αν η πρόταση p(α) είναι αληθής, θα λέμε πως το α επαληθεύει τον προτασιακό τύπο p(x) Το υποσύνολο του συνόλου Ω το οποίο περιέχει όλα τα στοιχεία τα οποία επαληθεύουν τον προτασιακό τύπο p(x) ονομάζεται σύνολο αλήθειας του προτασιακού τύπου Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 34 / 78

Προτασιακοί τύποι Παρατηρήσεις: Με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να ορίσουμε προτασιακούς τύπους δύο ή περισσότερων μεταβλητών Αξιοσημείωτοι προτασιακοί τύποι είναι οι εξισώσεις και οι ανισώσεις Η επίλυση μιας εξίσωσης ή μιας ανίσωσης ισοδυναμεί με τον προσδιορισμό του συνόλου αλήθειας του αντίστοιχου προτασιακού τύπου Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 35 / 78

Προτασιακοί τύποι Άσκηση Δίνεται το σύνολο Ω={1,2,3,,20}, στο οποίο ορίζονται οι ακόλουθοι προτασιακοί τύποι: p(x): ο x είναι πολλαπλάσιο του 2 q(x): ο x είναι πολλαπλάσιο του 5 Να βρείτε τα σύνολα αλήθειας των προτασιακών τύπων: p(x) q(x) p(x) q(x) p(x) q(x) Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 36 / 78

Ποσοδείκτες Έστω προτασιακός τύπος p(x) ορισμένος στο σύνολο Ω, με σύνολο αλήθειας A Θα εξετάσουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις: Α=Ω Α Ω Α= Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 37 / 78

Ποσοδείκτες Α=Ω Ο προτασιακός τύπος είναι καθολικά αληθής, δηλαδή επαληθεύεται για όλα τα στοιχεία του συνόλου ορισμού του: x Ω, p(x) Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 38 / 78

Ποσοδείκτες Α Ω Ο προτασιακός τύπος είναι ψευδής, δηλαδή υπάρχει τουλάχιστον ένα στοιχείο του συνόλου ορισμού του το οποίο δεν τον επαληθεύει (ή, αλλιώς, επαληθεύει τη λογική του άρνηση): x Ω, p(x) Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 39 / 78

Ποσοδείκτες Α= Ο προτασιακός τύπος είναι καθολικά ψευδής, δηλαδή δεν επαληθεύεται για κανένα στοιχείο του συνόλου ορισμού του: x Ω, p(x) Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 40 / 78

Στοιχεία προτασιακής λογικής Ποσοδείκτες Τα σύμβολα και ονομάζονται καθολικός και υπαρξιακός ποσοδείκτης, αντίστοιχα Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 41 / 78

Ποσοδείκτες Άσκηση Να εξετάσετε αν οι ακόλουθες προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς x R, x 2 0 x R, x 2 2014 x Ω, x x x R, x 2 = x Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 42 / 78

Τεχνικές Αποδείξεων Απόδειξη ονομάζεται η διαδικασία με την οποία διαπιστώνουμε πως μια λογική πρόταση είναι αληθής Γενικά, η απόδειξη συνίσταται στην διαδοχική παραγωγή αληθών προτάσεων με κατάληξη στην αποδεικτέα πρόταση Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 43 / 78

Τεχνικές Αποδείξεων Ευθεία απόδειξη Έστω η συνεπαγωγή p(x) q(x) Για την απόδειξή της αρκεί να θεωρήσουμε τα x τα οποία επαληθεύουν την p(x) και να αποδείξουμε για αυτά την ισχύ της q(x) Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 44 / 78

Στοιχεία προτασιακής λογικής Τεχνικές Αποδείξεων Παράδειγμα Να αποδειχθεί η συνεπαγωγή: x N, (x περιττός) (x 2 περιττός) Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 45 / 78

Στοιχεία προτασιακής λογικής Τεχνικές Αποδείξεων Άσκηση Να αποδειχθεί η συνεπαγωγή: x N, (x άρτιος) (x 2 άρτιος) Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 46 / 78

Τεχνικές Αποδείξεων Αντιθετοαντιστροφή Έστω η συνεπαγωγή p(x) q(x) Για την απόδειξή της αρκεί να αποδείξουμε την q(x) p(x) Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 47 / 78

Στοιχεία προτασιακής λογικής Τεχνικές Αποδείξεων Παράδειγμα Να αποδειχθεί η συνεπαγωγή: x N, (x 2 άρτιος) (x άρτιος) Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 48 / 78

Τεχνικές Αποδείξεων Απαγωγή σε άτοπο Έστω ότι θέλουμε να αποδείξουμε την αλήθεια της πρότασης p Μπορούμε να ξεκινήσουμε από την υπόθεση πως δεν αληθεύει η πρόταση p (άρα, αληθεύει η p) και από αυτήν, να καταλήξουμε σε μια ψευδή πρόταση Θα αληθεύει, επομένως, η p, άρα και η p Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 49 / 78

Τεχνικές Αποδείξεων Επαγωγή Έστω ότι θέλουμε να αποδείξουμε ότι ένας προτασιακός τύπος p(n), n N είναι καθολικά αληθής Θα πρέπει να αποδείξουμε την αλήθεια όλων των προτάσεων p(0), p(1), p(2),, p(n) Για το σκοπό αυτό μπορούμε να ακολουθήσουμε την εξής διαδικασία: 1 Αποδεικνύουμε την p(0) 2 Υποθέτουμε πως αληθεύει η p(k) 3 Αποδεικνύουμε πως αληθεύει η p(k + 1) Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 50 / 78

Τεχνικές Αποδείξεων Παράδειγμα Να αποδειχθεί ότι n 2, 1 + 2 + 3 + + n = n(n + 1) 2 Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 51 / 78

Στοιχεία προτασιακής λογικής Τεχνικές Αποδείξεων Άσκηση Να αποδειχθεί ότι n 2, 1 + 3 + 5 + + (2n 1) = n 2 Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 52 / 78

Στοιχεία θεωρίας συνόλων Περιεχόμενα 1 Στοιχεία προτασιακής λογικής 2 Στοιχεία θεωρίας συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 53 / 78

Στοιχεία θεωρίας συνόλων Ορισμός συνόλου Ένα σύνολο αποτελεί μια καλά ορισμένη συλλογή διαφορετικών αντικειμένων, όχι κατ ανάγκη ομοειδών Με τον όρο καλά ορισμένη νοείται η περιγραφή του συνόλου κατά τέτοιον τρόπο, ώστε να μπορεί κάποιος να καθορίσει αν κάποιο δοσμένο αντικείμενο ανήκει ή όχι στο συγκεκριμένο σύνολο Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 54 / 78

Στοιχεία θεωρίας συνόλων Ορισμός συνόλου Ο ορισμός ενός συνόλου μπορεί να γίνει με: αναγραφή όλων των στοιχείων του (δηλαδή, των αντικειμένων τα οποία περιέχει) περιγραφή των κοινών ιδιοτήτων ή χαρακτηριστικών τους Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 55 / 78

Στοιχεία θεωρίας συνόλων Ορισμός συνόλου Παραδείγματα ορισμού συνόλων A={1, κόκκινο, Γιάννης, β} B={x R : x 2 = 64} Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 56 / 78

Στοιχεία θεωρίας συνόλων Ορισμός συνόλου Άσκηση Να παρασταθεί με αναγραφή των στοιχείων του το σύνολο Α={τα ψηφία του αριθμού 1220} Άσκηση Να παρασταθεί με περιγραφή των στοιχείων του το σύνολο Β={Σεπτέμβριος, Οκτώβριος, Νοέμβριος} Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 57 / 78

Στοιχεία θεωρίας συνόλων Ισότητα συνόλων Δύο σύνολα Α και Β που απαρτίζονται από τα ίδια ακριβώς στοιχεία ονομάζονται ίσα, και γράφουμε γι αυτά A=B ή B=A Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 58 / 78

Στοιχεία θεωρίας συνόλων Ισότητα συνόλων Άσκηση Δίνονται τα σύνολα Α={τα γράμματα της λέξης νόμος } και Β={τα γράμματα της λέξης μονός } Να εξετάσετε αν τα σύνολα είναι ίσα Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 59 / 78

Στοιχεία θεωρίας συνόλων Ισοδυναμία συνόλων Δύο σύνολα Α και Β τα στοιχεία των οποίων μπορούν να αντιστοιχηθούν ένα προς ένα ονομάζονται ισοδύναμα, και γράφουμε γι αυτά A B ή B A Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 60 / 78

Στοιχεία θεωρίας συνόλων Ισοδυναμία συνόλων Άσκηση Δίνονται τα σύνολα Α={οι μήνες του φθινοπώρου} και Β={τα σύμβολα του τριαδικού συστήματος αρίθμησης} Να εξετάσετε αν τα σύνολα είναι ισοδύναμα Άσκηση Δίνονται τα σύνολα Α={οι μήνες του φθινοπώρου} και Β={τα σύμβολα του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης} Να εξετάσετε αν τα σύνολα είναι ισοδύναμα Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 61 / 78

Στοιχεία θεωρίας συνόλων Κενό σύνολο Ένα σύνολο το οποίο δεν περιέχει κανένα στοιχείο ονομάζεται κενό σύνολο και συμβολίζεται με {} ή Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 62 / 78

Στοιχεία θεωρίας συνόλων Καθολικό σύνολο Ένα σύνολο το οποίο περιέχει όλα τα δυνατά αντικείμενα ονομάζεται καθολικό σύνολο και συμβολίζεται με U Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 63 / 78

Στοιχεία θεωρίας συνόλων Γνήσια υποσύνολα Κάθε σύνολο Β το οποίο σχηματίζεται από μερικά στοιχεία ενός συνόλου Α, ονομάζεται γνήσιο υποσύνολο του συνόλου Α (B A) Με άλλα λόγια, ένα σύνολο Β είναι γνήσιο υποσύνολο ενός συνόλου Α αν όλα τα στοιχεία του Β είναι και στοιχεία του Α, ενώ υπάρχει τουλάχιστον ένα στοιχείο του Α το οποίο δεν είναι στοιχείο του Β Για τα γνήσια υποσύνολα ισχύει η μεταβατική ιδιότητα: A B B C A C Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 64 / 78

Στοιχεία θεωρίας συνόλων Υποσύνολα Κάθε σύνολο Β το οποίο είναι είτε γνήσιο υποσύνολο ενός συνόλου Α, είτε είναι ίσο με το σύνολο Α, ονομάζεται υποσύνολο του συνόλου Α (B A) Για τα υποσύνολα ισχύει η μεταβατική ιδιότητα: A B B C A C Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 65 / 78

Στοιχεία θεωρίας συνόλων Υποσύνολα Άσκηση Να βρείτε τα γνήσια υποσύνολα του συνόλου {0,1,5} Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 66 / 78

Στοιχεία θεωρίας συνόλων Πεπερασμένα σύνολα απειροσύνολα Κάθε σύνολο με άπειρο πλήθος στοιχείων ονομάζεται απειροσύνολο Παράδειγμα απειροσυνόλου είναι το σύνολο N των φυσικών αριθμών Κάθε σύνολο το οποίο δεν είναι απειροσύνολο ονομάζεται πεπερασμένο σύνολο Παράδειγμα πεπερασμένου συνόλου είναι το σύνολο των διαιρετών του αριθμού 100 Το πλήθος των στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου Α ονομάζεται πληθάριθμος ή πληθικός αριθμός του συνόλου και συμβολίζεται με Α Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 67 / 78

Στοιχεία θεωρίας συνόλων Πεπερασμένα σύνολα απειροσύνολα Ερώτηση Να εξετάσετε αν το καθολικό σύνολο U είναι πεπερασμένο σύνολο ή απειροσύνολο Ερώτηση Να βρεθούν οι πληθάριθμοι του κενού και του καθολικού συνόλου Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 68 / 78

Στοιχεία θεωρίας συνόλων Πεπερασμένα σύνολα απειροσύνολα Άσκηση Δίνεται το σύνολο T = {1, 4, 7, 10, } Να βρεθεί ο κανόνας με τον οποίο δημιουργούνται τα στοιχεία του Τ Να βρεθεί το 9ο και το 26ο στοιχείο του Τ Να βρεθεί ο πληθάριθμος του Τ ( Τ ) Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 69 / 78

Στοιχεία θεωρίας συνόλων Πράξεις με σύνολα Εργαζόμενοι με σύνολα, μπορούμε να ορίσουμε τις ακόλουθες πράξεις: Συμπλήρωμα Έστω ένα σύνολο A Ονομάζουμε συμπλήρωμα 1 του συνόλου A το σύνολο A τα στοιχεία του οποίου ανήκουν στο καθολικό σύνολο U αλλά δεν ανήκουν στο σύνολο A Η προηγούμενη πρόταση μπορεί να διατυπωθεί, ισοδύναμα, ως εξής: A = {x U : x / A} 1 Στο εξής, όπου αναφερόμαστε στο συμπλήρωμα ενός συνόλου θα εννοούμε το συμπλήρωμα ως προς το καθολικό σύνολο U Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 70 / 78

Στοιχεία θεωρίας συνόλων Πράξεις με σύνολα Τομή Έστω δύο σύνολα A και B Ονομάζουμε τομή των δύο συνόλων το σύνολο A B τα στοιχεία του οποίου ανήκουν τόσο στο σύνολο A όσο και στο σύνολο B Η προηγούμενη πρόταση μπορεί να διατυπωθεί, ισοδύναμα, ως εξής: A B = {x : x A x B} Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 71 / 78

Στοιχεία θεωρίας συνόλων Πράξεις με σύνολα Άσκηση Να βρεθεί η τομή των συνόλων Α={τα πολλαπλάσια του 2 τα οποία είναι μικρότερα του 15} και Β={τα πολλαπλάσια του 3 τα οποία είναι μικρότερα του 20} Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 72 / 78

Στοιχεία θεωρίας συνόλων Πράξεις με σύνολα Ένωση Έστω δύο σύνολα A και B Ονομάζουμε ένωση των δύο συνόλων το σύνολο A B τα στοιχεία του οποίου ανήκουν είτε στο σύνολο A είτε στο σύνολο B (είτε και στα δύο σύνολα) Η προηγούμενη πρόταση μπορεί να διατυπωθεί, ισοδύναμα, ως εξής: A B = {x : x A x B} Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 73 / 78

Στοιχεία θεωρίας συνόλων Πράξεις με σύνολα Άσκηση Να βρεθεί η ένωση των συνόλων Α={τα πολλαπλάσια του 2 τα οποία είναι μικρότερα του 15} και Β={τα πολλαπλάσια του 3 τα οποία είναι μικρότερα του 20} Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 74 / 78

Στοιχεία θεωρίας συνόλων Διαγράμματα Venn Τα διαγράμματα Venn αποτελούν δισδιάστατες απεικονίσεις συνόλων και των μεταξύ τους σχέσεων Σε ένα τέτοιο διάγραμμα, το καθολικό σύνολο U απεικονίζεται με τη μορφή ορθογωνίου (ή τετραγώνου) U Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 75 / 78

Στοιχεία θεωρίας συνόλων Διαγράμματα Venn Η απεικόνιση οποιουδήποτε άλλου συνόλου σε ένα διάγραμμα Venn θα εμπεριέχεται στο ορθογώνιο που αντιστοιχεί στο καθολικό σύνολο, εκτός φυσικά από το κενό σύνολο το οποίο δεν περιέχει στοιχεία U A A Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 76 / 78

Στοιχεία θεωρίας συνόλων Διαγράμματα Venn Αναπαράσταση της τομής δύο συνόλων Α και Β με τη βοήθεια διαγράμματος Venn U A A B B Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 77 / 78

Στοιχεία θεωρίας συνόλων Διαγράμματα Venn Αναπαράσταση της ένωσης δύο συνόλων Α και Β με τη βοήθεια διαγράμματος Venn U = A B A B Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 78 / 78