Θέματα Θέμα 1 Α. Να δώσετε τον ορισμό της παραβολής. (5 μονάδες) Β. Να αποδείξετε ότι a v a, για a 0. (8 μονάδες) Γ. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ισχύει Σ Λ ii) Οι ευθείες με εξισώσεις 3x+y = 1 και -3x+y=10 είναι κάθετες μεταξύ τους. Σ Λ iii) Εάν 4, τότε η εξίσωση 0 παριστάνει κύκλος Σ Λ iv) Η εκκεντρότητα της έλλειψης είναι μεγαλύτερη της μονάδας Σ Λ v) Ο άξονας x x είναι άξονας συμμετρίας της παραβολής C: Σ Λ vi) Αν η εκκεντρότητα μιας έλλειψης τείνει στο μηδέν, τότε η έλλειψη τείνει να γίνει κύκλος. Σ Λ ( μονάδες/ ερώτημα) Θέμα Σε τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε Β(,-3), Γ(4,1) και η κορυφή του Α κινείται στην ευθεία (ε): x-y+=0. Αν Μ είναι το μέσο της διαμέσου του ΑΔ, τότε i. Να αποδείξετε ότι το Μ κινείται σε ευθεία παράλληλη στην (ε). (7 μονάδες) ii. Να βρείτε την απόσταση του Μ από την ευθεία (ε). (8 μονάδες) iii. Αν (ΑΒΓ) = 10, να προσδιορίσετε το Μ. (10 μονάδες) Θέμα 3 Δίνεται η εξίσωση x +y κx+6y+9=0 (1) και η ευθεία δ: β x α y50. Αν για τα μη μηδενικά διανύσματα α, β, ισχύει ότι π β α και(α,β), 3 τότε να βρείτε: Α. την προβολή u, του β πάνω στο α. Επιμέλεια Θεμάτων και Λύσεων : Σταματίνα Κατσίγιαννη-Νίκος Καρράς (Μαθηματικοί) Σελίδα 1
Β. την τιμή του κr, για την οποία η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο, με κέντρο στο τέταρτο τεταρτημόριο και ακτίνα ρ= β. u Γ. Αν κ=4 α. τις εξισώσεις των εφαπτομένων που άγονται στον κύκλο από το σημείο Μ(4, 7). β. την μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει το εσωτερικό γινόμενο αβ, Θέμα 4 αν η ευθεία (δ) δεν έχει δύο κοινά σημεία με τον κύκλο. Έστω οι κύκλοι C 1 : 40 και C : 0 i. Να δείξετε ότι ο κύκλος C είναι εσωτερικός του C 1. (8 μονάδες) ii. Να δείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων C που εφάπτονται εσωτερικά του κύκλου C 1 και εξωτερικά του κύκλου C ανήκουν σε σταθερή έλλειψη C 3 της οποίας να βρείτε την εξίσωση. (15 μονάδες) Ευχόμαστε Επιτυχία! Επιμέλεια Θεμάτων και Λύσεων : Σταματίνα Κατσίγιαννη-Νίκος Καρράς (Μαθηματικοί) Σελίδα
Απαντήσεις Θέμα 1 Α) Σχολικό βιβλίο σελ. 89 Β) Σχολικό βιβλίο σελ. 45 Γ) i) Λ ii) Λ iii) Σ iv) Λ v) Λ vi) Σ Θέμα i. Δ μέσο του ΒΓ άρα Δ, Το Α κινείται πάνω στην ευθεία (ε) άρα:, 3, 1 To M μέσο του ΑΔ άρα για τις συντεταγμένες του έχουμε: 3x 3 1 y 1 y 1 3 1 y y yx yx1 ( ) Επειδή 1 ισχύει ότι // (ε) ii. Έστω Κ ένα σημείο πάνω στην ευθεία (ε). Για x = 0 από την (ε) έχουμε: 0-y+=0 y= Οπότε Κ(0,) και Επειδή // (ε) έχουμε:,, iii. Έχουμε,3,5 4,1 4,1 det, ) = 4 5 1 Επιμέλεια Θεμάτων και Λύσεων : Σταματίνα Κατσίγιαννη-Νίκος Καρράς (Μαθηματικοί) Σελίδα 3
= 1 4 5 = 04 5 = 18 Από υπόθεση έχουμε: (ΑΒΓ) = 10 det, 10 180 1 Για 1 από (1) έχουμε: Οπότε Μ(1, 0) Για 19 από (1) έχουμε: Οπότε Μ(11, 10) Θέμα 3 Α. προβ β u κα α 18 10 18 0 ή 180 19 1 και y 11 και y 0 10 π 1 αβ απροββ ακα κα αβσυν κα α κ α κ 1 α 3 Άρα u α. Β. Πρέπει Α Β 4Γ 0 κ 36 36 0 κ 0 κ 0 Α Β 4Γ ρ κ 4 κ 4 το κέντρο του κύκλου θα είναι το Α Β λ Κ, δηλαδή Κ, 3 για κ= 4, Κ(, 3) ανήκει στο 3 ο τεταρτημόριο (άρα κ= 4 απορρίπτεται) για κ=4, Κ(, 3) ανήκει στο 4 ο τεταρτημόριο Άρα κ=4. Επιμέλεια Θεμάτων και Λύσεων : Σταματίνα Κατσίγιαννη-Νίκος Καρράς (Μαθηματικοί) Σελίδα 4
Γ. α. Για κ=4 ο κύκλος έχει εξίσωση C: x +y 4x+6y+9=0, με κέντρο Κ(, 3) και ρ=. Η εφαπτομένη του κύκλου που άγεται από το Μ(4, 7), θα έχει μορφή ε: y+7=λ(x 4) λx y 4λ 7=0 ή x=4 Η ευθεία ζ: x=4 είναι δεκτή αφού d(κ,ζ)=ρ λ 34λ 7 Πρέπει d(κ,ε)=ρ λ 4 λ 1 λ 1 λ λ 1 (λ ) λ 1 λ 4λ 4 λ 1 λ 4 3 οι ζητούμενες εφαπτομένες έχουν εξίσωση x=4 και 3 x y 4 0 3x 4y 16 0 4 β. Αφού η ευθεία (δ) δεν έχει δύο κοινά σημεία με τον κύκλο, τότε: β 3 α 5 β α α 5 α 5 d(k,δ) ρ β α 5 α 5 α Θέμα 4 5 α () 51 () π 1 5 5(1 4 5) αβ αβσυν α α αβ αβ 3 51 361 Άρα η μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει το εσωτερικό γινόμενο αβ 5(1 4 5) είναι η. 361 i. ( ): x y x40, A =, B = 0, Γ = 4 Κέντρο:,, 1, 0 Ακτίνα: Επιμέλεια Θεμάτων και Λύσεων : Σταματίνα Κατσίγιαννη-Νίκος Καρράς (Μαθηματικοί) Σελίδα 5
5 ( ): 0, A =, B = 0, Γ = 0 Κέντρο:,, 1, 0 Έχουμε Ακτίνα: ( 1 1 0 0 514 1 Επειδή ( ισχύει ότι ο ( ) είναι εσωτερικός του ( ). ii. Έστω κύκλος C (Κ, ρ) με κέντρο Κ(x,y) και ακτίνα ρ Ο κύκλος C (Κ, ρ) εφάπτεται εσωτερικά του 1, 5 άρα (ΚΚ 5 1 0 5 1 5 1 5 (1) Ο κύκλος C (Κ, ρ) εφάπτεται εσωτερικά του, 1 άρα (ΚΚ 1 1 0 1 1 1 () Από (1), () έχουμε: 1 5 1 1 1 6 1 1 6 1 1 1 1 36 1 11 1 36 1 1 1 436 Επιμέλεια Θεμάτων και Λύσεων : Σταματίνα Κατσίγιαννη-Νίκος Καρράς (Μαθηματικοί) Σελίδα 6
3 1 9 3 1 9 9 1 9 9 1 18 81 9 1899 18 81 8 9 7 : 1 C 3) Οπότε τα κέντρα των κύκλων C ανήκουν στη σταθερή έλλειψη (C 3 ) Επιμέλεια Θεμάτων και Λύσεων : Σταματίνα Κατσίγιαννη-Νίκος Καρράς (Μαθηματικοί) Σελίδα 7