Ε Ρ Γ Α Σ Τ Η Ρ Ι A Κ Η Α Σ Κ Η Σ Η Τεχνικές Κατφλίης Εικόνας. Ειαγγή Ο όρος ονοχρατική εικόνα ή απλά εικόνα αναφέρεται ε ια διδιάτατη υνάρτηη ένταης φτός f x, y, όπου x και y είναι οι χρικές υντεταγένες και η τιή της f ε οποιοδήποτε ηείο x, y είναι ανάλογη της φτεινότητας ή του επιπέδου του γκρι gray level της εικόνας ε εκείνο το ηείο. Μια ψηφιακή εικόνα είναι ια εικόνα της οποίας τόο οι χρικές υντεταγένες, όο και το πεδίο τιών της f έχουν διακριτοποιηθεί. Πιο υγκεκριένα, έτ x, y οι χρικές υντεταγένες ιας ψηφιακής εικόνας και έτ G {,, K, } ένα ύνολο η αρνητικών ακεραίν που αντιπροπεύουν τα επίπεδα φτεινότητας, ε το να αντιτοιχεί το αύρο χρώα και το το λευκό. Η ψηφιακή εικόνα πορεί να οριτεί τότε αν ια απεικόνηη f : N N G, όπου N είναι το ύνολο τν φυικών αριθών. Η φτεινότητα ενός εικονοτοιχείου cure elemen ή xel ε υντεταγένες x, y υποδηλώνεται αν f x, y. Πρακτικά η ψηφιακή εικόνα πορεί να θερηθεί αν ένας διδιάτατος πίνακας του οποίου οι δείκτες γραής και τήλης καθορίζουν ένα ηείο την εικόνα και η τιή του αντίτοιχου τοιχείου του πίνακα καθορίζει το επίπεδο φτεινότητας της εικόνας το εν λόγ ηείο. Το ιτόγραα ιας ψηφιακής εικόνας είναι ια ακολουθία: n,, n όπου n είναι το πλήθος τν εικονοτοιχείν της εικόνας ε επίπεδο φτεινότητας και n είναι το υνολικό πλήθος τν εικονοτοιχείν. Η ποότητα δηλώνει τη υχνότητα εφάνιης του
επιπέδου φτεινότητας την εικόνα, ενώ το υνολικό ιτόγραα της εικόνας πορεί να θερηθεί αν ια εκτίηη της.π.π. της φτεινότητας, z. Στο Σχήα.α παρουιάζεται ια ψηφιακή εικόνα ε 56 επίπεδα φτεινότητας ενώ το Σχήα.β έχει χεδιατεί το ιτόγραά της. Ας θερήουε τώρα την περίπτη όπου το περιεχόενο ιας ψηφιακής εικόνας αποτελείται από «κούρα» αντικείενα και «φτεινό» φόντο, έτι ώτε το επίπεδο φτεινότητας τν εικονοτοιχείν που ανήκουν ε περιοχές αντικειένν να κυαίνεται γύρ από ία τιή, ενώ το επίπεδο φτεινότητας τν εικονοτοιχείν που ανήκουν ε περιοχές φόντου να κυαίνεται γύρ από ία τιή, ε <,, G. Το ιτόγραα εποένς ιας τέτοιας εικόνας αναένεται να αποτελείται από δύο «λόφους», έναν ε κορυφή το και έναν ε κορυφή το. Μια κατηγορία εικόνν ε τα παραπάν χαρακτηριτικά είναι οι εικόνες κειένου, όπς για παράδειγα εκείνη του Σχήατος.α, το ιτόγραα της οποίας έχει χεδιατεί το Σχήα.β. α.4. Συχνότητα εφάνιης..8.6.4. 4 6 8 4 6 8 4 55 Επίπεδο φτεινότητας β Σχήα. α: Μια ονοχρατική ψηφιακή εικόνα. β: Το ιτόγραά της. Η ίδια ανάλυη ακολουθείται και την αντίθετη περίπτη, όταν δηλαδή έχουε «φτεινά» αντικείενα και «κοτεινό» φόντο.
Σε τέτοιες περιπτώεις, ένας προφανής τρόπος να διαχρίουε τα αντικείενα για παράδειγα τους χαρακτήρες την παραπάν εικόνα από το φόντο είναι ο καθοριός ενός κατφλίου G έτι ώτε κάθε ηείο x, y να χαρακτηρίζεται ς ηείο αντικειένου εάν f x, y και ς ηείο φόντου, εάν f x, y >. Στην κατφλιένη εικόνα, το επίπεδο φτεινότητας τν εικονοτοιχείν τν αντικειένν τίθεται ίο ε ια τιή φόντου τίθεται ίο ε ια τιή g φ. g α, ενώ το επίπεδο φτεινότητας τν εικονοτοιχείν του α.5. Συχνότητα εφάνιης.5..5 4 6 8 4 6 8 4 55 Επίπεδο φτεινότητας β Σχήα. α: Μια ενθόρυβη εικόνα κειένου. β: Το ιτόγραά της. Για τον προδιοριό της «βέλτιτης» τιής κατφλίου έχει προταθεί τη βιβλιογραφία ένας πολύ εγάλος αριθός εθόδν κατφλίης βαιένν ε διαφορετικά κριτήρια. Στα πλαίια αυτής της άκηης θα γνρίουε ερικές από τις πιο αντιπροπευτικές εθόδους κατφλίης εικόνας αρχίζοντας από τις πιο απλές. 3
. Η Μέθοδος της Κατφλίης ε Ποότη Percenle Mehod Η κατφλίη ε ποότη αποτελεί ια από τις πιο πρώιες και απλές εθόδους κατφλίης. Στη υγκεκριένη έθοδο θερούε ότι η εικόνα αποτελείται από κοτεινά αντικείενα ε φτεινό φόντο ή το αντίτροφο και ότι το ποοτό της υνολικής έκταης της εικόνας που καταλαβάνεται από τα αντικείενα είναι γντό και ίο ε %. Ως κατώφλι επιλέγεται τότε η ελάχιτη έγιτη τιή επιπέδου φτεινότητας που κατανέει τουλάχιτον το % τν εικονοτοιχείν της κατφλιένης εικόνας ε περιοχές που καταλαβάνονται από αντικείενα. Ας υποθέουε για παράδειγα ότι έχουε ψηφιοποιήει ια ελίδα ενός βιβλίου ε χρήη ενός αρτή και ότι γνρίζουε ότι το 4% της έκταης της ελίδας καταλαβάνεται από αύρους χαρακτήρες ενώ το υπόλοιπο είναι λευκό. Καθότι το πιθανότερο είναι η εικόνα που θα λάβουε να ην αποτελείται αποκλειτικά από αύρα και λευκά εικονοτοιχεία, αλλά από «κοτεινά» και «φτεινά», πορούε να εκεταλλευτούε το γεγονός ότι γνρίζουε το ποοτό τν εικονοτοιχείν που ανήκουν ε χαρακτήρες και να ετατρέψουε την εικόνα ε δυαδική. Στη υγκεκριένη περίπτη, η κατφλίη επιτυγχάνεται απεικονίζοντας το κοτεινότερο 4% της εικόνας ε αύρο και το υπόλοιπο ε λευκό. 3. Η Mέθοδος Ηll Cluserng Η υγκεκριένη προέγγιη βαίζεται την υπόθεη ότι το ιτόγραα της εικόνας αποτελείται από ια ειρά «λόφν», κάθε ένας από τους οποίους αντιτοιχεί τα βαικά επίπεδα φτεινότητας που υπάρχουν την εικόνα. Η έθοδος υποθέτει επιπλέον ότι εταξύ δύο γειτονικών λόφν παρεβάλλεται ια «κοιλάδα» και θέτει ς τόχο τον εντοπιό του ηείου κάθε κοιλάδας που διαχρίζει ε το βέλτιτο τρόπο τους παρακείενους λόφους. Εάν υβολίουε ε την τιή του ιτογράατος το κελί, τότε πορούε να διατυπώουε τη βαική ιδέα της εθόδου ς εξής: όριε ένα βέλος από το κελί προς το γειτονικό κελί ε τη εγαλύτερη τιή, εφόον αυτή η τιή είναι εγαλύτερη από, αλλιώς ην κάνεις τίποτα. Με βάη το προκύπτον διάγραα, οι κορυφές τν λόφν εντοπίζονται ε κελιά τα οποία καταλήγουν αντικρουόενα βέλη ενώ τα βαθύτερα ηεία τν κοιλάδν τα αναζητούενα κατώφλια εντοπίζονται ε γειτονικά κελία από τα οποία ξεκινούν βέλη ε αντίθετη κατεύθυνη. Στο Σχήα παρουιάζεται το διάγραα που προκύπτει από την εφαρογή της εθόδου ε ένα απλοποιηένο παράδειγα ιτογράατος ε δύο λόφους. Στη υγκεκριένη περίπτη, και ε βάη τα όα είπαε παραπάν, οι κορυφές τν λόφν εντοπίζονται τα κελιά 4 και αντίτοιχα, ενώ το βαθύτερο ηείο της κοιλάδας βρίκεται ανάεα τα κελιά 8 και 9. Για να χρηιοποιήει κανείς τη υγκεκριένη έθοδο θα πρέπει εκ τν προτέρν να καθορίει το επιθυητό ή αναενόενο πλήθος κορυφών. Σε περίπτη που η έθοδος αναγνρίει εγαλύτερο πλήθος κορυφών από αυτό που έχει καθοριτεί, το αρχικό ιτόγραα εξαλύνεται διπλαιάζοντας το έγεθος του κελιού ή αλλιώς υποδιπλαιάζοντας το πλήθος τν κελιών. Συγκεκριέναη τιή ' το νέο ιτόγραα προκύπτει από την ακόλουθη χέη ',,, K 4
Σχήα 3. Εφαρογή της εθόδου hll cluserng ε ένα ιτόγραα ε δύο λόφους Η διαδικαία αυτή επαναλαβάνεται έχρι το πλήθος τν κορυφών που αναγνρίζεται από τον αλγόριθο να είναι ικρότερο ή ίο ε την επιθυητή τιή. Εάν υποθέουε ότι το κατώτατο ηείο της κοιλάδας έχει εντοπιτεί ανάεα τα κελιά a και b, τότε ς τιή κατφλίου λαβάνεται η a l b r /, όπου a l είναι το αριτερό άκρο του διατήατος τιών που αντιπροπεύει το κελί a και b r είναι το δεξί άκρο του διατήατος που αντιπροπεύει το κελί b. Στην περίπτη που έ της διαδικαίας εξοάλυνης το εύρος του κελιού έχει γίνει πολύ εγάλο τότε, η παραπάν τιή κατφλίου θα είναι προεγγιτική, οποτε ια καλύτερη εκτίηη πορεί να ληφθεί εάν εφαροτεί εξαρχής ολόκληρη η διαδικαία του hll cluserng, αλλά όνο για τα επίπεδα φτεινότητας εταξύ a l και b r. 4. Μέθοδος Διατήρηης τν Ροπών Momens Preservaon Mehod Με βάη αυτή τη έθοδο η τιή κατφλίου υπολογίζεται από την απαίτηή ας οι ροπές της εικόνας πριν και ετά την κατφλίη να διατηρούνται ίδιες. Για τον κοπό αυτό ας υποθέουε ότι είναι γντές οι ροπές momens m,,, 3, της προς κατφλίη ονοχρατικής εικόνας η εφαρογή της εθόδου την περίπτη ψηφιακής εικόνας, θα δθεί παρακάτ. Αν g α, g φ τα επίπεδα φτεινότητας του αντικειένου και του φόντου αντίτοιχα τη εικόνα που προκύπτει ετά την κατφλίη, και α, φ οι αντίτοιχες υχνότητες εφάνιής τους, τότε για την ικανοποίηη τν απαιτήεών ας θα πρέπει να ιχύουν οι ακόλουθες εξιώεις: ε. 3 Ερώτηα. Αποδείξτε ότι η λύη του παραπάν υτήατος τν προφανώς η-γραικών εξιώεν, οδηγεί την ακόλουθη λύη: 4 4 5
όπου 4, k m m m 3 5 m m και mm3 m k. 6 m m Ερώτηα. Υποθέτε ότι η υνάρτηη π.π. της ονοχρατικής εικόνας δίνεται από το ακόλουθο ίγα Γκαουιανών Gaussan mxure υναρτήεν δες Σχήα.β όπου και ;, ;,, ;, 8. 7 9 Για την παραπάν περίπτη αποδείξτε ότι οι ροπές m,,, 3 της τ.. z δίνονται από τις ακόλουθες χέεις: 3 3. Ερώτηα 3. Υποθέτε ότι η υνάρτηη π.π. της ονοχρατικής εικόνας δίνεται από την Σχέη 7 ε. Σχεδιάτε τη.π.π. και υπολογίτε τις ποότητες που ορίθηκαν τις Σχέεις 4-6. Σχολιάτε τα αποτελέατά ας. Ποιό είναι το βέλτιτο κατώφλι χρηιοποιείτε τη έθοδο της ποότης; Ερώτηα 4. Υποθέτε ότι η υνάρτηη π.π. της ονοχρατικής εικόνας δίνεται από τη Σχέη 7 ε και. 3 Σχεδιάτε το ίγα Γκαουιανών υναρτήεν και υπολογίτε τις ποότητες που ορίθηκαν τις Σχέεις 4-6. Σχολιάτε τα αποτελέατά ας. Ποιό είναι το βέλτιτο κατώφλι αυτή τη φορά; 6
Ερώτηα 5. Υποθέτε τώρα ότι θέλουε να εφαρόουε την παραπάν έθοδο ε ία ψηφιακή εικόνα. Γράψτε ία υνάρτηη τη Μalab που θα δέχεται ς όρια ειόδου την ψηφιακή εικόνα και θα ας επιτρέφει την κατφλιένη εικόνα. Αν,,,, - το ιτόγραα της ψηφιακής εικόνας, όπς αυτό ορίθηκε τη Σχέη, τότε χρηιοποιείτε την ακόλουθη χέη για τον υπολογιό τν αναγκαίν ροπών. n mn, n,,3 4 5. Η Κατφλίη Εικόνας ς ένα Πρόβληα Ελέγχου Υποθέεν Το πρόβληα της κατφλίης εικόνας πορεί να ειδθεί ς ένα πρόβληα ελέγχου δυαδικών υποθεέν. Για το κοπό αυτό ας υποθέουε ότι το επίπεδο φτεινότητας κάθε εικονοτοιχείου της εικόνας προκύπτει από την πραγατοποίηη ια τυχαίας εταβλητής, z, η οποία ακολουθεί κατανοή γντής υναρτηιακής ορφής fz;θ όταν το εικονοτοιχείο ανήκει ε περιοχή αντικειένου και την κατανοή fz;θ όταν το εικονοτοιχείο ανήκει ε περιοχή φόντου. Εάν αυτό το οντέλο είναι τό, τότε το πρόβληα του χαρακτηριού του εικονοτοιχείου x, y αν αντικείενο ή φόντο δηλαδή το πρόβληα της εύρεης του κατφλίου, αποτελεί την ουία ένα πρόβληα ελέγχου τν παρακάτ δύο υποθέεν: H : z ~ fz;θ H : z ~ fz;θ ε βάη την πραγατοποίηη της z, z f x, y. Υποθέτοντας ότι τόο οι παράετροι τν δύο κατανοών, όο και οι εκ τν προτέρν πιθανότητες εφάνιης τν υποθέεν, PH και PH είναι γντές, τι εκφράζουν αυτές οι πιθανότητες το υγκεκριένο πρόβληα; τότε, ακολουθώντας τη Μπεϋιανή προέγγιη βλέπε Εργατηριακή Άκηη, η τιή του κατφλίου που ελαχιτοποιεί τη υνολική πιθανότητα φάλατος θα δίνεται από την επίλυη της παρακάτ εξίης: P H z, 5 P H όπου z η υνάρτηη λόγου πιθανοφάνειας δες Σχέη 9 την Εργατηριακή Άκηη. Ερώτηα 6. Υποθέτε ότι η υνάρτηη π.π. της ονοχρατικής εικόνας δίνεται από την Σχέη 7 είναι δηλαδή ένα ίγα Γκαουιανών υναρτήεν. Διατυπώτε το πρόβληα ελέγχου υποθέεν την περίπτη αυτή και αποδείξτε ότι η Σχέη 5 οδηγεί την επίλυη της παρακάτ εξίης δευτέρου βαθού: Az Bz C, 6 όπου: 7
A B P H / P C ln H 7 Ερώτηα 7. Υιοθετώντας τις υποθέεις τν Ερτήεν 3 και 4 και χρηιοποιώντας τις Σχέεις 7 υπολογίτε τις ποότητες Α, Β και C και προδιορίτε ε κάθε περίπτη την τιή του βέλτιτου κατφλιού. Σχολιάτε τα αποτελέατά ας. Σε πραγατικά προβλήατα βεβαίς, ακόη και εάν η υπόθεή ας ότι η εικόνα έχει προέλθει από την πραγατοποίηη δύο κανονικών κατανοών είναι ορθή, τόο οι παράετροι τν κατανοών, όο και οι δύο εκ τν προτέρν πιθανότητες, είναι τη γενική περίπτη άγντες. Η εκτίηη αυτών τν ποοτήτν πορεί να γίνει έ του ιτογράατος της εικόνας ε εθόδους προαρογής καπύλης, ός η προέγγιη αυτή οδηγεί ε η γραικά προβλήατα, τα οποία είναι πολύ δύκολο να επιλυθούν. Για αυτόν τον λόγο, την πράξη χρηιοποιούνται κυρίς έθοδοι κατφλίης, που βαίζονται την πλειοψηφία τους τη ορφή και τις τατιτικές ποότητες του ιτογράατος. Τρεις έθοδοι που ανήκουν την κατηγορία αυτή περιγράφονται την υνέχεια. 6. Η Mέθοδος του Osu Έχουε ήδη αναφέρει ότι κάθε υποψήφιο κατώφλι διαερίζει τα εικονοτοιχεία της εικόνας ε δύο κλάεις, C και C, ε την πρώτη να περιέχει τα εικονοτοιχεία ε επίπεδο φτεινότητας το ύνολο {,, K, } και τη δεύτερη τα εικονοτοιχεία ε επίπεδο φτεινότητας το ύνολο {,, K, }. Εάν τώρα θερήουε ότι τα επίπεδα φτεινότητας τν αντικειένν ακολουθούν την κατανοή F ε.π.π. f z ενώ τα επίπεδα φτεινότητας του φόντου ακολουθούν την κατανοή F ε.π.π. f z τότε το ιτόγραα τν εικονοτοιχείν της κλάης C αποτελεί προέγγιη της f, ενώ αντίτοιχα, το ιτόγραα τν εικονοτοιχείν της z κλάης C αποτελεί προέγγιη της f. Προφανώς η βέλτιτη προέγγιη θα επιτυγχάνεται για *, όπου z * το αναζητούενο βέλτιτο κατώφλι. Εάν τώρα υβολίουε ε,,, K, το ιτόγραα τν εικονοτοιχείν της κλάης C και ε,, K, το ιτόγραα τν εικονοτοιχείν της κλάης C, τότε είναι εύκολο να δει κανείς ότι:,,, K, 8 και,, K,, 9 8
όπου,,,, - το ιτόγραα της ψηφιακής εικόνας όπς αυτό ορίθηκε τη Σχέη, ενώ και είναι οι πιθανότητες ένα εικονοτοιχείο να ανήκει τις κλάεις C και C αντίτοιχα, και ορίζονται από τις παρακάτ χέεις: και, και προφανώς,. Με άλλα λόγια, το ιτόγραα τν εικονοτοιχείν της κλάης C ιούται ε το τήα του ολικού ιτογράατος της εικόνας που βρίκεται αριτερά από το κατώφλι, κανονικοποιηένο ε την πιθανότητα, ενώ το ιτόγραα τν εικονοτοιχείν της κλάης C ιούται ε το τήα του ολικού ιτογράατος της εικόνας που βρίκεται δεξιά από το κατώφλι, κανονικοποιηένο ε την πιθανότητα. Ερώτηα 8: Με βάη τον οριό του ιτογράατος που δίνεται τη Σχέη, καθώς και τον παραπάν οριό τν κλάεν C και C, αποδείξτε τις Σχέεις 8 και 9. Χρίς να κάνει κάποια υπόθεη για τη υναρτηιακή ορφή τν f και f για παράδειγα z z εάν είναι κανονικές ή όχι, η έθοδος του Osu βαίζεται τις τατιτικές ιδιότητες τν δύο κλάεν που χηατίζονται από κάθε υποψήφιο κατώφλι και προπαθεί να εντοπίει το κατώφλι που οδηγεί το χηατιό τν κλάεν ε τη εγαλύτερη εταξύ τους διαχριτικότητα searaon. Συγκεκριένα, η έη τιή και η διαπορά τν επιπέδν φτεινότητας ε κάθε κλάη ξεχριτά θα δίνονται από τις ακόλουθες χέεις: 3, 4 9
ενώ η ολική έη τιή και διαπορά τν επιπέδν φτεινότητας της εικόνας θα δίνονται από τις χέεις: 5. 6 Για την ολική διαπορά έχουε διαδοχικά: Τ 4 43 4 4 4 4 3 4 4 7 Ορίζοντας τώρα ς ετερική τις κλάεις διαπορά whn class varance την ποότητα: w 8 και ς εταξύ τν κλάεν διαπορά beween - class varance την ποότητα: B. 9 Από τη Σχέη 7 τώρα έχουε:
W B Λαβάνοντας την τιή της αν ένα έτρο της διαχριτικότητας εταξύ τν δύο κλάεν, ο B Osu πρότεινε ο εντοπιός του βέλτιτου κατφλίου να γίνεται έ της εγιτοποίηης της ακόλουθης υναρτήης: B 3 η, 3 δηλαδή, η βέλτιτη τιή του κατφλίου προκύπτει από την λύη του ακόλουθου προβλήατος βελτιτοποίηης: * arg max. 3 B Ερώτηα 9: Αποδείξτε ότι η λύη του προβλήατος βελτιτοποίηης της Σχέης 3 πορεί να προκύψει και από την εγιτοποίηη τν ακόλουθν υναρτήεν κότους: B λ, 33 W και Τ κ. 34 Με άλλα λόγια αποδείξτε ότι οι παραπάν υναρτήεις κότους είναι ιοδύναες. W Ερώτηα : Γιατί επιλέγουε να εγιτοποιήουε την υνάρτηη κότους της Σχέης 3 για τον προδιοριό της βέλτιτης τιής του κατφλίου; Ερώτηα : Υλοποιείτε την Malab την έθοδο κατφλίης εικόνας του Osu. Κλείνοντας την ενότητα αυτή θα πρέπει να ηειώουε ότι η έθοδος του Osu είναι ια από τις πιο αποτελεατικές και περιότερο χρηιοποιούενες την πράξη εθόδους κατφλίης. 7. Η Mέθοδος τν Kaur, Sahoo και Wong Η υγκεκριένη έθοδος κινείται την ίδια κατεύθυνη ε την προηγούενη, αλλά προδιορίζει το βέλτιτο κατώφλι βαιζόενη την έννοια της εντροπίας τν δύο κλάεν C και C, η οποία ορίζεται ς εξής: ln H 35
ln H, 36 όπου τα και ορίζονται τις Σχέεις 8 και 9, αντίτοιχα. Εποένς, κατά τα γντά το βέλτιτο κατώφλι προκύπτει τότε από την επίλυη του παρακάτ προβλήατος εγιτοποίηης: * arg max H H. 37 8. Κατφλίη ε τη έθοδο k means Η έθοδος k means αποτελεί τον πιο γντό εκπρόπο της οικογένειας τν εθόδν κατηγοριοποίηης ε χρήη τεχνικών βελτιτοποίηης. Στόχος τν εθόδν αυτών είναι κατηγοριοποίηη ενός υνόλου αντικειένν ε ένα προκαθοριένο αριθό οάδν έ της εγιτοποίηης ή της ελαχιτοποίηης ιας υνάρτηης κότους. Η χρήη τν εθόδν αυτών προϋποθέτει την ύπαρξη εκ τν προτέρν εκτίηης για το αναενόενο πλήθος τν διαφορετικών οάδν του δοένου υνόλου. Συγκεκριένα ο k means κατηγοριοποιεί ένα ύνολο N αντικειένν ε k οάδες, N, KN k αντικείενα αντίτοιχα, όπου υνάρτηης: J k k G, KG k ε N N, έ της ελαχιτοποίηης της παρακάτ N n x, n c, 38 N όπου x, n είναι το n - οτό έλος τις οάδας G και c x, n είναι ο αριθητικός έος της. N n Η προφανής λύη του παραπάν προβλήατος ελαχιτοποίηης, δηλαδή η εύρεη όλν τν δυνατών κατηγοριοποιήεν και η επιλογή εκείνης που ελαχιτοποιεί την υνάρτηη κότους J που ορίθηκε τη Σχέη 38 είναι πρακτικά αδύνατη, αφού ο υνολικός αριθός τν κατηγοριοποιήεν N αντικειένν ε k οάδες είναι: k k m k N C N, k m. 39 k! m m Η τιή αυτή είναι απαγορευτικά εγάλη ακόα και για πολύ ικρές τιές τν N και k, για παράδειγα C,5 6.6 67. Για αυτόν το λόγο η λύη επιτυγχάνεται ε χρήη του παρακάτ επαναληπτικού αλγορίθου, ο οποίος ανήκει τους λεγόενους αλγορίθους ανάβαης λόφου hll clmbng algorhms:. Διάλεξε τυχαία k αντικείενα από το δοένο ύνολο. Τα αντικείενα αυτά αποτελούν την αρχική επιλογή τν k αριθητικών έν c, K,ck.. Κατέταξε το αντικείενο x j, j, K, N την οάδα,, Kk, όπου: G
arg mn n {, K, k} x c n. 3. Υπολόγιε τις νέες τιές τν αριθητικών έν c τν k οάδν. 4. Επανέλαβε τα βήατα και 3 ές ότου καία ετακίνηη αντικειένου να ην λαβάνει χώρα η ύνθεη τν οάδν παραένει αετάκλητη. Στην κατφλίη εικόνας, η έθοδος k -means πορεί να χρηιοποιηθεί κατά τέτοιο τρόπο ώτε να χριτούν τα εικονοτοιχεία της αρχικής εικόνας ε k οάδες διαφορετικού επιπέδου φτεινότητας και έπειτα να αποδοθεί τα εικονοτοιχεία κάθε οάδας ια προκαθοριένη τιή ώτε να προκύψει η κατφλιένη εικόνα. Για παράδειγα, την περίπτη εικόνν κειένου, πορούε να χρίουε τα εικονοτοιχεία ε «φτεινά» και «κοτεινά» και έπειτα να απεικονίουε την κατφλιένη εικόνα τα εικονοτοιχεία της πρώτης οάδας ε λευκό χρώα και εκείνα της δεύτερης ε αύρο. Ερώτηα..α: Φορτώτε τη MAAB την εικόνα ex.jg που ας δίνεται χρηιοποιώντας τη υνάρτηη mread. Υπολογίτε και χεδιάτε το ιτόγραά της χρηιοποιώντας τη υνάρτηη mhs. Τι παρατηρείτε;.β: Προθέτε την εικόνα λευκό θόρυβο Gauss ε έη τιή ηδέν και διαπορά για τα εικονοτοιχεία τν γραάτν και για τα εικονοτοιχεία του φόντου και για 5 τουλάχιτον διαφορετικούς υνδυαούς τιών για τα και :. Κατφλιώτε την ενθόρυβη εικόνα χρηιοποιώντας το βέλτιτο θερητικό κατώφλι ύφνα ε τη έθοδο που περιγράφεται την Ενότητα 5. Ποιές είναι οι εκ τν προτέρν πιθανότητες τν υποθέεν και πώς τις υπολογίατε;. Κατφλιώτε την ενθόρυβη εικόνα χρηιοποιώντας τις εθόδους τν Ενοτήτν 8 εκτός της 5. 3. Αξιολογήτε τις εθόδους τν Ενοτήτν 8 εκτός της 5 υγκρίνοντας την τιή κατφλίου που επιτρέφουν ε τη βέλτιτη τιή του υποερτήατος.β.. 4. Συγκρίνετε τα αποτελέατα της κατφλίης τν χρηιοποιούενν εθόδν. Βιβλιογραφία [] W. Doyle, Oeraon useful for smlary nvaran aern recognon, J. Assoc. Comu. Mach., Vol. 9,. 59 67, 96. [] N. Osu, A hreshold selecon mehod from gray level hsogram, IEEE rans. Sysems Man. Cybernecs., SMC 8,. 6-66, 978. [3] J. N. Kaur, P. K. Sahoo and A. K. C. Wong, A new mehod for gray level cure hresholdng usng he enroy of he hsogram,. Comu. Vson Grahcs Image Process, Vol. 9,. 73-85,985. [4] W. sa, Momen reservng hresholdng : A new aroach, Comu. Vson Grahcs Image Process., Vol. 9,. 377-393, 985. [5] R. C. Gonzalez & R. E. Woods, Dgal Image Processng, Addson Wesley, 99. [6] D. M. sa and Y. H. Chen, A fas hsogram-cluserng aroach for mul-level hresholdng, Paern Recognon eers, Vol. 3,. 45-5, 99. [7] B. S. Ever, S. andau, M. eese, Cluser Analyss, Arnold, ondon,. 3