Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α, αντιστοιχίζεται σε ακριβώς ένα στοιχείο του συνόλου Β. Γράφουμε: Παρατηρήσεις : Α Β : Το γράμμα παριστάνει οποιοδήποτε στοιχείο του συνόλου Α και ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή, ενώ το γράμμα παριστάνει οποιοδήποτε στοιχείο του συνόλου Β και ονομάζεται εξαρτημένη μεταβλητή. Συμβολίζουμε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης με D. Το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης είναι το σύνολο των αριθμών που είναι τιμές της και συμβολίζεται με ( D ) = { / =, D} R. Αν δεν μας δίνεται το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης, τότε σαν πεδίο ορισμού δεχόμαστε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο η έχει νόημα. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης Ορισμός: Το σύνολο των σημείων M(, ) του επιπέδου για τα οποία ισχύει ότι = με D ονομάζεται γραφική παράσταση της συνάρτησης. Συμβολίζεται με C και είναι { (, ) / } C = M D. Κάθε κατακόρυφη ευθεία τέμνει την γραφική παράσταση μιας συνάρτησης το πολύ σε ένα σημείο. Το σημείο A( α, β ) ανήκει στην C αν και μόνο αν ισχύει ότι ( α) = β. Από το γράφημα μιας συνάρτησης βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της παίρνοντας το σύνολο των τετμημένων των σημείων της. Από το γράφημα μιας συνάρτησης βρίσκουμε το σύνολο τιμών της παίρνοντας το σύνολο των τεταγμένων των σημείων της. C (D ) C D
Συμμετρίες και Μετατοπίσεις Γραφικών Παραστάσεων Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα. Μ(,()) =() Μ (, ()) = () Η γραφική παράσταση της συνάρτησης C = αποτελείται από τα τμήματα της που βρίσκονται πάνω από τον οριζόντιο άξονα και από τα συμμετρικά των τμημάτων που βρίσκονται κάτω από τον κατακόρυφο άξονα. = () =() Η γραφική παράσταση της συνάρτησης κατακόρυφη μετατόπιση της c. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης οριζόντια μετατόπιση της c.. Η συνάρτηση = α + β C C = ± c, c> προκύπτει μετά από προς τα πάνω (για το +) είτε προς τα κάτω (για το -) κατά = ( ± c), c> προκύπτει μετά από προς τα δεξιά (για το -) είτε προς τα αριστερά (για το +) κατά Γραφικές Παραστάσεις Βασικών Συναρτήσεων α> a < a= = α 2. Η συνάρτηση 2
α> α< Ορισμός: Έστω μια συνάρτηση D R. Άρτια - Περιττή - Περιοδική Συνάρτηση Η θα λέγεται άρτια αν για κάθε D ισχύει ότι D και =. Η θα λέγεται περιττή αν για κάθε D ισχύει ότι D και =. Η θα λέγεται περιοδική με περίοδο T > αν για κάθε D ισχύει ότι + T, T D και ( T) = = ( + T). : Ισότητα Συναρτήσεων Θα λέμε ότι δύο συναρτήσεις, με πεδία ορισμού D, D αντίστοιχα είναι ίσες αν έχουν ίσα πεδία ορισμού D D A και ίδιους τύπους, δηλαδή = για κάθε A. = = Αν για δύο συναρτήσεις, ισχύει ότι = για κάθε B με B D και B D, τότε θα λέμε ότι οι συναρτήσεις, είναι ίσες στο σύνολο B. Πράξεις με Συναρτήσεις Έστω δύο συναρτήσεις, με πεδία ορισμού D, D αντίστοιχα. Ορίζουμε τις συναρτήσεις: + = + με D + = D D να είναι η συνάρτηση του αθροίσματος. = με D = D D να είναι η συνάρτηση της διαφοράς. = με D = D D να είναι η συνάρτηση του γινομένου. = με D = D D { R / = } να είναι η συνάρτηση του πηλίκου. Σύνθεση Συναρτήσεων
Έστω δύο συναρτήσεις, με πεδία ορισμού D, D αντίστοιχα. Ονομάζουμε σύνθεση των { R : και }. ( ) = και την συνάρτηση D = D D η οποία έχει πεδίο ορισμού το σύνολο A (A) () B (B) ( ()) A Μονοτονία Συνάρτησης Ορισμός: Έστω μια συνάρτηση : D R. Θα λέμε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε διάστημα για κάθε, 2 με < 2 ισχύει D αν ( 2) ( ) < Ο 2 Παρατηρήσεις Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα μπαίνει και βγαίνει σε μία ανίσωση και δεν της αλλάζει την φορά. Μια συνάρτηση θα λέγεται απλά αύξουσα σε ένα διάστημα, αν υπάρχουν, 2 με < ισχύει ότι ( ) ( ). με Αν μία συνάρτηση δεν είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα, τότε υπάρχουν, 2 < ισχύει ότι ( ) ( ). Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα και 2, δεν είναι απαραίτητα γνησίως αύξουσα στο διάστημα 2. Ορισμός: Έστω μια συνάρτηση : D R. Θα λέμε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα σε διάστημα για κάθε, 2 με < 2 ισχύει D αν ( ) ( 2 ) Παρατηρήσεις > Ο 2
Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα μπαίνει και βγαίνει σε μία ανίσωση και της αλλάζει την φορά. Μια συνάρτηση θα λέγεται απλά φθίνουσα σε ένα διάστημα, αν υπάρχουν, 2 με < ισχύει ότι ( ) ( ). με Αν μία συνάρτηση δεν είναι γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα, τότε υπάρχουν, 2 < ισχύει ότι ( ) ( ). Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα και 2, δεν είναι απαραίτητα γνησίως φθίνουσα στο διάστημα 2. Ακρότατα Συνάρτησης Ορισμός: Έστω μια συνάρτηση : D R. Θα λέμε ότι η συνάρτηση παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο αν για κάθε D ισχύει ότι ( ) D, το ( ), ( ) () C Ορισμός: Έστω μια συνάρτηση : D R. Θα λέμε ότι η συνάρτηση παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο αν για κάθε D ισχύει ότι ( ) D, το ( ), () ( ) C - Συνάρτηση Ορισμός: Έστω μια συνάρτηση : D R. Η θα λέγεται - (ένα προς ένα) αν για κάθε, 2 D με ισχύει ότι ( ) ( ). Μια συνάρτηση είναι - αν και μόνο αν: για κάθε με ( ) ( ), D = ισχύει ότι = 2. κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει την C το πολύ σε ένα σημείο δεν υπάρχουν σημεία της C με ίδια τεταγμένη η εξίσωση = έχει μοναδική λύση ως προς για κάθε στο σύνολο τιμών της.
Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη τότε είναι και -. Το αντίστροφο δεν ισχύει. Για να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι - χρησιμοποιούμε μία από τις παραπάνω ιδιότητες ανάλογα με τον τύπο της. Χρειάζεται ιδιαίτερη προσοχή η χρήση του ορισμού, καθώς δεν μπορούμε να κάνουμε πράξεις με σχέσεις που έχουν το σύμβολο. Αντίστροφη Συνάρτηση Ορισμός: Έστω μια - συνάρτηση : D ( D ) : ( D ) D που αντιστοιχίζει κάθε ( D ) ισχύει η ισοδυναμία, = =. Ορίζουμε την αντίστροφη συνάρτηση σε κάποιο D ώστε Μια συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη αν και μόνο αν είναι -. Για μια αντιστρέψιμη συνάρτηση ισχύουν: = για κάθε ( D ) = για κάθε D Το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο τιμών της Το πεδίο ορισμού της ( ) = είναι το σύνολο τιμών της Αν η είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα D τότε η μονότονη στο ( ) με το ίδιο είδος μονοτονίας. Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και διχοτόμο ης και 3 ης γωνίας, δηλαδή την ευθεία Αν η C έχει κάποιο κοινό σημείο με την ευθεία =. Δηλαδή είναι επίσης γνησίως είναι συμμετρικές ως προς την =. = τότε αυτό είναι σημείο και της C Είναι λάθος να λέμε ότι όλα τα κοινά σημεία των C και C βρίσκονται στην ευθεία =. Αν η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, τα κοινά σημεία των C και C τα βρίσκουμε λύνοντας μια από τις ισοδύναμες εξισώσεις = = =. Αν η συνάρτηση δεν είναι γνησίως αύξουσα, τα κοινά σημεία των C και C τα βρίσκουμε λύνοντας το σύστημα = = = = = =