ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 1-2-ΠΙΝΑΚΕΣ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2010-2011 ΠΑΝΗΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ
ΠΙΝΑΚΑΣ Ένας πίνακας Α με στοιχεία από το σύνολο F (συνήθως θεωρούμε τα σύνολα R ή C) είναι μια διάταξη mxn στοιχείων της μορφής: a11 a1 n A aij, i 1,2,..., m, j 1,2,..., n am 1 a mn Λέμε τότε ότι το μέγεθος ή ο τύπος του πίνακα είναι mxn με m γραμμές και n στήλες.
ΙΣΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Έστω A aij, B bij i 1,2,..., m, j 1,2,..., δύο n mxn πίνακες με στοιχεία από το F. Οι συγκεκριμένοι πίνακες θα είναι ίσοι όταν ισχύει 1, 2,...,, 1, 2,..., a b i m j n ij ij και θα λέμε ότι A=B. Πότε οι δύο πίνακες θα είναι ίσοι; 1 2 3 1 2 3 A B, A 1 x 0, B 1 5 0 1 c 3 1 7 3
ΕΙΔΗ ΠΙΝΑΚΩΝ (1) Τετραγωνικός Πίνακας Ένας πίνακας θα καλείται τετραγωνικός όταν ισχύει ότι m=n.δηλαδή ο αριθμός των στηλών είναι ο ίδιος με τον αριθμό των γραμμών. Π.χ ο παρακάτω πίνακας 3x3. 1 2 3 A 1 x 0 1 c 3 Πίνακας Στοιχείο Πίνακας Γραμμή Πίνακας Στήλη A 1 A 1 2 3 1 A 2
ΕΙΔΗ ΠΙΝΑΚΩΝ (2) Άνω Τριγωνικός: Ένας πίνακας θα καλείται άνω τριγωνικός εάν έχει την παρακάτω μορφή Δηλαδή 1 2 3 A 0 x 1 0 0 3 Κάτω Τριγωνικός αντίστοιχα 1 0 0 A 2 x 0 2 4 3 i j a ij i j a ij 0 0
ΕΙΔΗ ΠΙΝΑΚΩΝ (3) Κύρια διαγώνιος ενός Πίνακα. 1 2 3 A 1 x 0 1 c 3 Κύρια Διαγώνιος Ένας πίνακας τετραγωνικός της παρακάτω μορφής θα καλείται διαγώνιος δηλαδή όταν A 1 0 0 0 x 0 0 0 3 i j a ij 0 Διαγώνιος
ΕΙΔΗ ΠΙΝΑΚΩΝ (4) Ανάστροφος ενός πίνακα καλείται ο πίνακας nxm διάστασης mxn Μηδενικός θα καλείται ένας πίνακας όταν όλα του τα στοιχεία ισούνται με το μηδέν Συμμετρικός Ένας πίνακας θα καλείται συμμετρικός όταν i, j aij a ji Αντισυμμετρικός Ένας πίνακας θα καλείται αντισυμμετρικός όταν i, j aij a ji A a ij t ji A a A
ΕΙΔΗ ΠΙΝΑΚΩΝ (5) Συζυγής ενός πίνακα A a ij καλείται ο πίνακας που έχει ως στοιχεία τα συζυγή στοιχεία του Α. Ανάστροφοσυζυγής ενός πίνακα A a ij διάστασης mxn καλείται ο πίνακας * t A A Μηδενικός θα καλείται ένας πίνακας όταν όλα του τα στοιχεία ισούνται με το μηδέν Συμμετρικός Ένας πίνακας θα καλείται συμμετρικός όταν i j a a, ij ji Αντισυμμετρικός Ένας πίνακας θα καλείται αντισυμμετρικός όταν i, j aij aji
ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΤΟΥΣ ΠΙΝΑΚΕΣ (1) ΠΡΟΣΘΕΣΗ Ας θεωρήσουμε δύο πίνακες A a, B b των δύο αυτών πινάκων θα δίνεται ως. Το άθροισμα Δηλαδή θα προκύπτει εάν προσθέσουμε τα επιμέρους στοιχεία. ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΙΝΑΚΑ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ Το γινόμενο ενός πραγματικού αριθμού έστω κ με ένα πίνακα οποιαδήποτε διάστασης προκύπτει εάν πολλαπλασιάσουμε τα στοιχεία του πίνακα Α με τον αριθμό αυτόν. Ο πολλ/μος αυτός καλείται βαθμωτός. ij ij ij ij A B a b
ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΤΟΥΣ ΠΙΝΑΚΕΣ (2) ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΑ ij i j ij ij 1. A B a b B A b a 2. A B G A B G 3. A 0 0 4. k A B k A k B 5. 6.( k m ) A k m A 7.1 A A, 0 A 0 8. A A 0 t t * 9. A A κ α ι A A 1 0. t t t t t * * * 1 1. k A k A, k A k A A k m A k A m A A B A B ΔΙΑΦΟΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ (ΠΡΑΞΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗΣ
ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΤΟΥΣ ΠΙΝΑΚΕΣ (3) ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Έστω A a, B b δύο πίνακες με διαστάσεις mxn και ij ij nxl. Βασική προϋπόθεση για να ισχύσει ο πολλ/μος πινάκων είναι η εξής: A B mxn nxl
ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΤΟΥΣ ΠΙΝΑΚΕΣ (3) ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Σχηματικά ο πολλαπλασιασμός πινάκων δίνεται ως εξής:..................... b...... 1l..................... b2 l...... AB ai 1 ai 2...... ain............................................................ bnl......
ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΤΟΥΣ ΠΙΝΑΚΕΣ (4) ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Σχηματικά ο πολλαπλασιασμός πινάκων δίνεται ως εξής:.............................. AB...... ai 1b1 l ai 2b2 l... ainb nl....................................
ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΤΟΥΣ ΠΙΝΑΚΕΣ (4) Παράδειγμα 20 35 Δίνονται οι πίνακες 30 45 1 2 3 4 P, Q 5 6 7 8 40 65 9 10 11 12 50 85 που εκφράζουν τις ποσότητες τεσσάρων αγαθών που αγοράζονται από 2 καταναλωτές και τις τιμές των αγαθών αυτών κατά την διάρκεια τριών διαφορετικών ημερών. Τι εκφράζει κάθε στήλη και κάθε γραμμή στους πίνακες αυτούς; Ποια η δαπάνη για το πρώτο άτομο την δεύτερη ημέρα;
ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΤΟΥΣ ΠΙΝΑΚΕΣ (4) Ιδιότητες στον Πολλαπλασιασμό και όχι μόνο! 1. A B B A, δ ε ν ισ χ ύ ε ι π ά ν τ α η α ν τ ιμ ε τ α θ ε τ ικ ή A B G A G B G 2., α ρ ισ τ ε ρ ά ε π ιμ ε ρ ισ τ ικ ή ιδ ιό τ η τ α 3. G A B G A G B, ά ε π ιμ ε ρ ισ τ ικ ή ιδ ιό τ η τ α 4. G A B G A B, A B G A B G 5. k A B k A B A k B 6. A A A, I κ α λ ε ίτ α ι μ ο ν α δ ια ίο ς π ίν α κ α ς 7.0 A 0 8. 9. t t t A B B A * * * A B B A
Γραμμοπράξεις-Γραμμοισοδύναμος Πίνακας Έστω πίνακας Α που ανήκει στο Μ. Καθεμία από τις παρακάτω διαδικασίες ονομάζεται στοιχειώδης μετασχηματισμός γραμμών του πίνακα Α. 1. Πολλαπλασιασμός μια γραμμή του πίνακα Α με ένα μη μηδενικό στοιχείο. 2. Εναλλαγή δύο (ή ανά ξεύγη0 γραμμών του πίνακα Α. 3. Πρόσθεση σε μία οποιαδήποτε γραμμή του Α πολλαπλάσιο άλλης γραμμής.
Γραμμοπράξεις-Γραμμοισοδύναμος Πίνακας Ο πίνακας Β που προκύπτει από τον πίνακα Α με βάση μιας πεπερασμένη ακολουθία στοιχειωδών μετασχηματισμών γραμμών όπως αυτές αναφέρθηκαν παραπάνω καλείται γραμμοισοδύναμος.
Κλιμακωτός Πίνακας-Ανηγμένος Κλιμακωτός (1) Ένας πίνακας Α θα καλείται κλιμακωτός εάν πληρούνται οι παρακάτω προϋποθέσεις: 1. Το πρώτο μη μηδενικό στοιχείο σε κάθε μη μηδενική γραμμή είναι το 1. 2. Το πρώτο 1 σε κάθε μη μηδενική γραμμή βρίσκεται στα δεξιά του πρώτου 1 της προηγούμενης γραμμής. 3. Οι μη μηδενικές γραμμές βρίσκονται πάνω από τις μηδενικές γραμμές Προφανώς οι κλιμακωτοί άνω και κάτω ακολουθούν την ίδια λογική με τους τριγωνικούς άνω και κάτω.
Κλιμακωτός Πίνακας-Ανηγμένος Κλιμακωτός (2) Με βάση τον πίνακα και με κατάλληλες στοιχειώδεις πράξει των γραμμών να υπολογίσετε τον πίνακα 0 2 2 0 1 5 A 0 0 35 0 1 4 A 1 0 2 2 0 1 5 0 0 1 0 1 0
Κλιμακωτός Πίνακας-Ανηγμένος Κλιμακωτός (3) Ένας πίνακας Α θα καλείται ανηγμένος κλιμακωτός εάν πληρείται οι εξής προϋπόθεση: 1. Το πρώτο 1 σε κάθε γραμμή είναι το μοναδικό μη μηδενικό στοιχείο της στήλης που το περιέχει. Τι θα λέγατε για τους παρακάτω πίνακες; 1 0 0 4 1 0 0 4 1 0 0 0 A 0 1 0 2, B 0 1 0 2, F 0 1 0 0 0 0 1 2 0 0 0 1 0 0 0 1
ΔΥΝΑΜΗ ΠΙΝΑΚΑ (1) Για έναν τετραγωνικό πίνακα Α ορίζεται η δύναμη k του ως εξής: A A A... A, k φορές Ισχύουν ότι 1., 1 0 A A A I 2. A A 3. m k mk A m k A A mk k a11 4. A k k k A 5.Για ένα διαγώνιο πίνακα A diag ( a, a,..., a ) k k k k 11 22 nn
Δύναμη Πίνακα (2) Να υπολογίσατε την 2006-οστη δύναμη του παρακάτω πίνακα: A 1 1 4 0 1
ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΟΙ ΠΙΝΚΑΚΕΣ Δυο πίνακες Α,Β διαστάσεων mxn θα καλούνται αντιμεταθετικοί εάν ισχύει ότι ΑΒ=ΒΑ. Για αντιμεταθετικούς πίνακες μπορούμε να υπολογίσουμε τα εξής: 1. 2. AB k k k A B k A B A B j0 j k k k j j k k!, k! 1,2,..., k,0! 1 j j!( k j)!
Αντίστροφος Πίνακα (1) Ένας τετραγωνικός πίνακας Α λέγεται αντιστρέψιμος ή μη ιδιάζων όταν υπάρχει πίνακας Β τέτοιος ώστε AB BA I Ο πίνακας Β εάν υπάρχει καλείται αντίστροφος. Είναι μοναδικός και συμβολίζεται με Για τον παρακάτω πίνακα Α να εξετάσετε εάν υπάρχει ο αντίστροφός του. 2 6 9 A 3 9 0 0 0 1 A 1
Αντίστροφος Πίνακα (2) Ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες για δύο πίνακες Α.Β διάστασης mxn: 1. AB 0 A 0, B 0 2. AB 0, B αντιστρέψιμος A 0 3. AB 0, A αντιστρέψιμος B 0 4. 5. AB kb 1 1 1 B A 1 1 1 k A
Αντίστροφος Πίνακα (3) Για ένα πίνακα Α 2x2 ο αντίστροφος του υπολογίζεται ως εξής: Ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες για δύο πίνακες Α.Β διάστασης mxn: a b 1 1 d b A A c d ad cb c a ad cb 0
ΙΧΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑ Ίχνος (trace-tr(α)) ενός πίνακα Α θα καλούμε τα άθροισμα των στοιχείων της κύριας διαγωνίου. Για το ίχνος ενός πίνακα ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες. 1. tr( AB) tra trb 2. tr( A) tra 3. tr( AB) tr( BA) 4. tr( A t ) tra
Βαθμός Πίνακα Βαθμός ή τάξη (rank) ενός πίνακα Α mxn ονομάζουμε το πλήθος των μη μηδενικών στοιχείων της κυρίας διαγωνίου ενός ισοδύναμου κλιμακωτού άνω ή κάτω του πίνακα Α.Ο βαθμός ενός πίνακα επαληθεύει πάντα την σχέση rank ( A) min( m, n) Ποιος ο βαθμός του παρακάτω πίνακα; 0 2 2 0 1 5 A 0 0 35 0 1 4
ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να υπολογιστούν οι παραστάσεις Α+Β,ΑΒ,ΒΑ,ΑΑ όταν 0 2 1 3 1 A, B 3 1 4 1 0 Έστω Α πίνακας αντιστρέψιμος. 2 A A.Να I δείξτε ότι ο Α-Ι είναι