Διατύπωση: Αν μια συνάρτηση είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [ α β] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( α β) τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( α β) τέτοιο ώστε: ( ( β) ( α) β α Γεωμετρικά αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( α β) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο M ( ξ ( ) να είναι παράλληλη της ευθείας ΑΒ. y Ο Β(β(β)) M(ξ() A(a(a)) a ξ ξ β 1) Συνθήκες συμπεράσματα του θεωρήματος μέσης τιμής Α. Για να εφαρμόζετε το θεώρημα μέσης τιμής σε ένα διάστημα πρέπει : η να είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [ α β] παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( α β) με αυτές τις προϋποθέσεις υπάρχει τουλάχιστον ένα ( β) ( α) τέτοιο ώστε ( β α Ορισμένες φορές το συμπέρασμα του θεωρήματος μέσης τιμής είναι προτιμότερο να το '. Γράφουμε στη μορφή Προσοχή!!!! Όταν μας ζητάνε να δείξουμε ότι ισχύει το συμπέρασμα του Θ.Μ.Τ ( β) ( α) δηλαδή ότι υπάρχει ξ (α β): ( τότε και αν δεν ισχύουν οι συνθήκες του Θ.Μ.Τ μπορεί να β α υπάρχει το ξ που ζητάμε. Θα παίρνουμε λοιπόν την εξίσωση (1) θα βρίσκω το ξ και (αν υπάρχει) θα κοιτώ αν ανήκει. Ασκήσεις Για Εξάσκηση 1) Να δειχθεί ότι για τις παρακάτω συναρτήσεις εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ και να ερμηνευθεί γεωμετρικά το αποτέλεσμα. α) στο [- 4] β) γ) στο [-1 ] δ) 1 στο [- ] 1 ln στο [1 e] 1
) Δίνονται οι παρακάτω συναρτήσεις.να βρεθούν τα α β έτσι ώστε να ισχύει το Θ.Μ.Τ σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία δίνονται. α) a 1 1 1 στο [- ] β) a 1 1 στο [ ]. 1 ) Έστω η συνάρτηση συνεχής στο [α β] και παραγωγίσιμη στο (α β) και ισχύει για κάθε a. Να δείξετε ότι g ln I. Για τη συνάρτηση II. Υπάρχει ένα τουλάχιστον ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ στο [α β]. τέτοιο ώστε ' e. 4) Έστω η συνάρτηση συνεχής στο [α β] και παραγωγίσιμη στο (α β) και ισχύει. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον τέτοιο ώστε ' 1. και ) Ύπαρξη τιμών 1 της 5) Έστω μια συνάρτηση για την οποία ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο [1 ].Να δείξετε ότι; I. Για την ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ σε καθένα από τα διαστήματα [1 ] και [ ]. II. Υπάρχουν 1 1 τέτοια ώστε ' 1 '. 6) Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο [ ] με τουλάχιστον σημεία τέτοια ώστε.να αποδειχθεί ότι υπάρχουν τρία ' ' ' 7) Έστω μια συνεχής συνάρτηση στο [α α+9]. Αν η είναι παραγωγίσιμη στο (α α+9) και ισχύει a ισχύει ' '. 9 9 να δείξετε ότι υπάρχουν 1 a 9 τέτοια ώστε να 8) Αν για την συνάρτηση ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο [α β] να δείξετε ότι υπάρχουν δύο σημεία της C με τετμημένες μεταξύ των α και β που έχουν αντίθετες κλίσεις. ) Θεώρημα Bolzano ή Rolle ή ενδιάμεσων τιμών. Αν θέλουμε να δείξουμε την ύπαρξη 1 ώστε να ισχύει μια σχέση g 1 τότε χωρίζουμε το διάστημα σε υποδιαστήματα a g ' ' μπορεί να προκύψει από το : Θεώρημα Bolzano ή Rolle Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών Μπορεί το να είναι το μέσο του διαστήματος Και εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ σε καθένα από τα διαστήματα aκαι ή όπου το
9) Έστω μια συνάρτηση συνεχής στο [-1 1] παραγωγίσιμη στο (-1 1) με 1 1 και Να δείξετε ότι : I. Υπάρχει 11 τέτοιο ώστε II. Υπάρχουν 11 τέτοια ώστε. 1 1 '. 1 ' 1) Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο [1 ] με 1 και I. Υπάρχει 1 τέτοιο 1 ώστε. II. Υπάρχουν 1 τέτοια ώστε a και ' ' 1. ' ' 4 4. Να δείξετε ότι : 11) Έστω μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο [α β] και παραγωγίσιμη στο (α β) με. Να δείξετε ότι υπάρχουν τέτοια ώστε 1) Έστω μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο [α β] με δείξετε ότι : I. Υπάρχει τέτοιο ώστε II. Υπάρχουν τέτοια ώστε 4) Ύπαρξη ρίζας της και ύπαρξη πρόσημου της 1 1. και παραγωγίσιμη στο (α β).να a. 4 1 4. ' ' ' Αν θέλουμε να δείξουμε ότι υπάρχει τέτοιο ώστε : '' ή '' ή τότε εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ για την στα a και Και βρίσκουμε τις τιμές : ' 1 ' όπου 1 a και. Αν ' 1 ' τότε εφαρμόζουμε το θεώρημα Rolle για την στο 1 υπάρχει 1 τέτοιο ώστε ''. Αν ' 1 ' τότε εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ για την στο 1 Τέτοιο ώστε '' ' αν 1 ' '' αν ' ' '' και αποδεικνύουμε ότι και αποδεικνύουμε ότι υπάρχει 1) Έστω μια συνάρτηση η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [1 5] με 1 5 δείξετε ότι υπάρχει 15 τέτοιο ώστε ''..Να 14) Έστω μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο [α β] και δύο φορές παραγωγίσιμη στο (α β). Αν να δείξετε ότι υπάρχει τέτοιο ώστε ''.
15) Δίνεται μια συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στοr.αν τα σημεία ''. A B τέτοιο ώστε με α <β< γ είναι συνευθειακά να δείξετε ότι υπάρχει 16) Δίνεται μια συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο [α β] με δείξετε ότι υπάρχει τέτοιο ώστε 5) Θεώρημα μέσης τιμής και ανισώσεις ''. '. Να 1 ο Βήμα: Θεωρούμε κατάλληλη συνάρτηση σε κατάλληλο διάστημα Δ=[α β]. Η εύρεση της συνάρτησης αυτής Καθώς και του διαστήματος γίνεται ύστερα από προσεκτική μελέτη της ζητούμενης ανισότητας ή Κάποιας ισοδύναμης της. ο ( β) ( α) Βήμα: Εφαρμόζουμε για την το Θ.Μ.Τ οπότε υπάρχει τέτοιο ώστε ( β α ο Βήμα: Από τη σχέση α< ξ< β δημιουργούμε (κατασκευαστικά) μια ανισότητα για το ( δηλαδή Μια σχέση της μορφής : A ' B A B η οποία πιθανόν ύστερα από κάποιες απλοποιήσεις Μας δίνει τη ζητούμενη σχέση. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ o Αν η ανισότητα περιέχει μεταβλητή για παράδειγμα χ τότε για την εφαρμόζουμε Θ.Μ.Τ σε διαστήματα της μορφής [ χ] [χ ] ή [α χ] [χ α] [χ χ+ α] κ. λ. π για κατάλληλη τιμή του α. '' '' στο διάστημα Δ) τότε η o Αν η είναι γνησίως μονότονη ( για παράδειγμα αν ή σχέση α< ξ <β ' a ' ' ή ' a ' ' και έτσι η ζητούμενη ανισότητα προκύπτει ευκολότερα. ανάλογα με τη μονοτονία της 17) Έστω μια συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη στο R και η είναι γνησίως φθίνουσα στο R. Να δείξετε ότι 1 ' 1. 1 1 1 18) Αν α> να δείξετε ότι ln. 1 a 19) Να δείξετε ότι 1 ln 1. e 1 ) Αν α< β να δείξετε ότι ln. e 1 1) Έστω μια συνάρτηση της οποίας η είναι γνησίως φθίνουσα στο ( a]. Να δείξετε ότι ' για κάθε χ<α. ) Αν η είναι γνησίως φθίνουσα στο [ ) και ισχύει χ>. ) Να δείξετε ότι: I. e 1 1 e για κάθε χ> να δείξετε ότι ' για κάθε 4
II. 1 e e 1 για κάθε χ<. III. 1 ln 1 4) Α) έστω η συνάρτηση της οποίας η είναι γνησίως αύξουσα στο [α β] να δείξετε ότι Β) Να δείξετε ότι ισχύει. 5 7 e e e. 5