Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε υπάρχει µια βάση {,..., s } του F και d,..., ds R τέτοια ώστε. τα µη µηδενικά στοιχεία του συνόλου{ d,..., d s s} αποτελούν βάση του N 2. 2 2 3 s d d, d d,..., d d. s Το παραπάνω αποτέλεσµα θα εφαρµοστεί στα θεωρήµατα δοµής του Κεφαλαίου 4. Από τις διάφορες αποδείξεις που υπάρχουν για το Θεώρηµα 3.3.6, θα αναπτύξουµε εδώ µια που ουσιαστικά αποτελεί εφαρµογή της Γραµµικής Άλγεβρας και περιέχεται στο [Η-Η, Chapter 7]. Έχει δε το πλεονέκτηµα ότι είναι εννοιολογικά απλή και το µειονέκτηµα ότι είναι κάπως µακροσκελής και υπολογιστική. Θα θεωρήσουµε γνωστές τις στοιχειώδεις ιδιότητες πινάκων (µε στοιχεία από ένα µεταθετικό δακτύλιο µε µονάδα) και οριζουσών. Έστω R ένας µεταθετικός δακτύλιος µε µονάδα και A M ( R). Ο Α λέγεται αντιστρέψιµος πίνακας αν είναι αντιστράψιµο στοιχείο του δακτυλίου M ( R ). 3.3.7 Λήµµα Έστω R ένας µεταθετικός δακτύλιος µε µονάδα και A M ( R). Τότε ο Α είναι αντιστρέψιµος αν και µόνο αν το det A είναι αντιστρέψιµο στοιχείο του R. Απόδειξη Αν ο Α είναι αντιστρέψιµος, τότε από τη σχέση AB = BA = I έπεται ότι det Adet B= det Bdet A= και άρα το det A αντίστροφο προκύπτει άµεσα από τη σχέση είναι αντιστρέψιµο στοιχείο του R. Το A( ada) = ( ada) A = (det A) I, όπου ada είναι ο προσαρτηµένος πίνακας του Α. ορίζουσα ±. πίνακα. Για παράδειγµα, οι αντιστρέψιµοι πίνακες του M ( ) είναι αυτοί που έχουν Τώρα θα αναφερθούµε συνοπτικά σε στοιχειώδεις πράξεις γραµµών και στηλών

3.3.8 Ορισµός Έστω AB M ( R), όπου R είναι ένας µεταθετικός δακτύλιος µε µονάδα., m Θα λέµε ότι ο Β είναι ισοδύναµος µε τον Α αν υπάρχουν αντιστρέψιµοι X M R Y M R τέτοιοι ώστε ( ), ( ) m Β = ΧΑΥ. Εύκολα αποδεικνύεται ότι η σχέση που ορίζεται στο M m ( R) από A B Aείναι ισοδύναµος µε το Β είναι µια σχέση ισοδυναµίας. Στη συνέχεια ορίζουµε πίνακες που παίζουν σηµαντικό ρόλο στη µέλέτης της έννοιας της ισοδυναµίας. Για να µην είναι ο συµβολισµός πολύπλοκος, παραλείπουµε από αυτόν αναφορά στη διάσταση των πινάκων. 3.3.9 Ορισµός Έστω. F ο πίνακας που προκύπτει από τον µοναδιαίο πίνακα µε εναλλαγή της γραµµής µε τη γραµµή, 2. G ( ) o διαγώνιος πίνακας dag(,...,,,,...,), όπου στη θέση της διαγωνίου βρίσκεται το αντιστρέψιµο στοιχείο του R 3. H ( r) o πίνακας που προκύπτει από τον µοναδιαίο αν προσθέσουµε r φορές τη γραµµή στην γραµµή, 4. H () r o πίνακας που προκύπτει από τον µοναδιαίο αν προσθέσουµε r φορές τη στήλη στη στήλη,. 3.3.0 Παρατήρηση Επειδή det F =, det G ( ) =, det H ( r) = det H ( r) =, οι πίνακες F, G ( ), H ( r), H ( r ) είναι αντιστρέψιµοι. Το γινόµενο καθενός από τους παραπάνω πίνακες µε έναν πίνακα περιγράφεται από το επόµενο αποτέλεσµα. A M ( ) m R 3.3. Λήµµα Έστω A M ( R ). Τότε ο πίνακας. F A προκύπτει από τον Α αν εναλλάξουµε τις γραµµές και 2. G ( ) A προκύπτει από τον Α αν πολλαπλασιάσουµε τη γραµµή µε το 3. H () r Aπροκύπτει από τον Α αν προσθέσουµε r φορές τη γραµµή στη γραµµή 4. AF προκύπτει από τον Α αν εναλλάξουµε τις στήλες και

5. AG ( ) προκύπτει από τον Α αν πολλαπλασιάσουµε τη στήλη µε το 6. AH ( r) προκύπτει από τον Α αν προσθέσουµε r φορές τη στήλη στη στήλη. Απόδειξη Άσκηση Παρατήρηση Από το προηγούµενο Λήµµα και την Παρατήρηση 3.3.0 έπεται ότι αν σε ένα πίνακα A M ( R)εφαρµόσουµε οποιαδήποτε πεπερασµένη ακολουθία από τους παρακάτω m στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών ή στηλών. εναλλαγή δυο γραµµών (ή δυο στηλών) 2. πολλαπλασιασµός µιας γραµµής (ή στήλης) µε αντιστρέψιµο στοιχείο του R 3. πρόσθεση r φορές της γραµµής στη γραµµή (ή της στήλης στη στήλη ), τότε προκύπτει ένας πίνακας που είναι ισοδύναµος µε τον Α. Για να αποδείξουµε το Θεώρηµα 3.3.6, θα δείξουµε το εξής αποτέλεσµα που παρουσιάζει ανεξάρτητο ενδιαφέρον. 3.3.2 Θεώρηµα (Kανονική Μορφή του Smth) Κάθε s t πίνακας µε στοιχεία από µια περιχή κυρίων ιδεωδών είναι ισοδύναµος µε έναν πίνακα της µορφής d d, d d,..., d d. 2 2 3 dag( d,..., d ), όπου Απόδειξη Ορίζουµε µια συνάρτηση λ : R {0} από τις σχέσεις λ ( ) = 0 αν το είναι αντιστρέψιµο λ ( p... p ) = αν το είναι αντιστρέψιµο και κάθε p είναι ανάγωγο. Επειδή ο R είναι περιοχή µοναδικής παραγοντοποίησης, η συνάρτηση λ είναι καλά ορισµένη. Παρατηρούµε ότι για κάθε ab, R { 0}. µορφής λ( ab) = λ( a) + λ( b) Η ιδέα της απόδειξης είναι να αναγάγουµε τον Α σε έναν ισοδύναµο πίνακα της Ο πίνακας dag( d,..., d ) είναι µεγέθους s t και το στοιχείο στη θέση (, ) είναι 0, αν, και είναι το d αν =.

C d 0 0... 0, = C o ( ) όπου το διαιρεί κάθε στοιχείο του C. Στη συνέχεια επαναλαµβάνουµε τη διαδικασία στον C d, κοκ. Η παραπάνω αναγωγή θα επιτευχθεί ως εξής. Θα δούµε ότι ο Α είναι ισοδύναµος µε έναν πίνακα της µορφής () ή µε έναν της µορφής ( ), B, όπου λ( b) < λ( a). ( ) Αν εµφανιστεί η περίπτωση ( ), τότε επαναλαµβάνουµε την διαδικασία. Επειδή η συνάρτηση λ λαµβάνει τιµές στο βηµάτων θα εµφανιστεί η περίπτωση (). ( )., είναι φανερό ότι µετά από ένα πεπερασµένο πλήθος Τώρα περιγράφουµε τον αλγόριθµο που επιτυγχάνει την αναγωγή στη µορφή () ή Έστω A 0. Τότε ο Α έχει ένα µη µηδενικό στοιχείο που µπορούµε να φέρουµε στη θέση (,) µε στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών ή στηλών. Υποθέτουµε ότι Περίπτωση. Έστω ότι υπάρχει στοιχείο a στην πρώτη γραµµή του Α τέτοιο ώστε το a a 0. δεν διαιρεί το a. Εναλλάσοντας στήλες µπορούµε να υποθέσουµε ότι = 2. Έστω d ένας µκδ των ένας µκδ των a, a 2. Τότε υπάρχουν, 2 R µε a = d, a2 = d2 και το είναι, 2. Συνεπώς υπάρχουν x, x2 R µε Άρα d = xa + x a. 2 2 = x + x. 2 2 Από πολλαπλασιασµό πινάκων έχουµε ότι το στοιχείο του πίνακα x A x 2 2 It 2 στη θέση (,) είναι το ax + a2 x2 = d. Παρατηρούµε ότι λ( d) < λ( a ). Πράγµατι, έχουµε λ( a) = λ( d) + λ( ) και λ( ) καθότι το a δεν διαιρεί το a 2.

x Τέλος έχουµε ότι ο πίνακας x του είναι x + x = 2 2. 2 2 It 2 είναι αντιστρέψιµος, αφού η ορίζουσά Συνεπώς είδαµε ότι στην Περίπτωση ο Α είναι ισοδύναµος µε έναν πίνακα του οποίου το στοιχείο στη θέση (,) ικανοποιεί τη σχέση ( ). Περίπτωση 2. Έστω ότι υπάρχει στοιχείο στην πρώτη στήλη του Α τέτοιο ώστε το a δεν a διαιρεί το a. Τότε συνεχίζουµε όπως πριν (µε τη µόνη διαφορά ότι πολλαπλασιάζουµε τον Α από τα αριστερά µε κατάλληλο πίνακα). Περίπτωση 3. Έστω ότι το a διαιρεί καάθε στοιχείο της πρώτης γραµµής και κάθε στοιχείο της πρώτης στήλης του Α. Τότε αφαιρώντας κατάλληλα πολλαπλάσια της πρώτης γραµµής από κάθε άλλη γραµµή και αφαιρώντας κατάλληλα πολλαπλάσια της πρώτης στήλης από κάθε άλλη στήλη λαµβάνουµε έναν πίνακα της µορφής D a 0 o 0... 0 D = Αν το διαιρεί κάθε στοιχείο του πίνακα a µορφή (). ιαφορετικά, υπάρχει ένα στοιχείο d του a D, τότε έχουµε πετύχει την αναγωγή στη D που δεν διαιρείται µε το. Στην περίπτωση αυτή προσθέτουµε στην πρώτη γραµµή του D τη γραµµή του D. Τώρα είµαστε στην Περίπτωση που είδαµε ότι οδηγεί στη µορφή ( ). Σηµείωση Στην πράξη συµβαίνει συχνά να εφορµόζεται το παραπάνω θεώρηµα όταν ο R είναι Ευκλείδεια περιοχή, πχ R = ή R = Fx [ ] (F σώµα). Στην περίπτωση αυτή, µπορούµε να χρησιµοποιούµε την αντίστοιχη Ευκλείδεια συνάρτηση αποφεύγοντας τη συνάρτηση λ. Τότε η περίπτωση της προηγούµενης απόδειξης δύναται να απλουστευθεί µε τη χρήση στοιχειδών µετασχηµατισµών γραµµών ή στηλών. Ας δούµε ένα παράδειγµα. 4 3 5 Παράδειγµα Να βρεθεί µια κανονική µορφή Smth του πίνακα 2 0 3. 3 2 0 Με Γ Γ (αντίστοιχα Γ + rγ, Γ ) συµβολίζουµε το στοιχειώδη µετασχηµατισµό που έχει αποτέλεσµα την εναλλαγή των γραµµών και (αντίστοιχα την πρόσθεση στη γραµµή

r φορές τη γραµµή, τον πολλαπλασιασµό της γραµµής µε το αντιστρέψιµο ). Παρόµοιο συµβολισµό χρησιµοποιούµε κια για τις στήλες. 4 3 5 2 0 3 2 0 3 2 0 3 4 3 5 0 3 3 2 0 3 2 0 2 3 2 3 2 3 0 3 0 3 0 3 0 3 2 0 3 0 4 9 0 4 9 0 0 0 3 0 4 9 Γ2 Γ Γ2 2Γ Γ Γ 3 Γ3 2Γ Σ2 2Σ Σ2 2Σ Εδώ έχουµε πετύχει την αναγωγή στη µορφή (). Στη συνέχεια εργαζόµαστε αγνοώντας την 3 πρώτη γραµµή και στήλη, δηλαδή ουσιαστικά εργαζόµαστε µε τον πίνακα. 4 9 0 0 0 0 0 0 0 3 0 3 0 3 0 4 9 0 9 4 0 9 4 0 0 0 0 Γ3 9Γ2 0 0 0 0. 0 9 3 0 0 3 Σ2 Σ3 ( ) Γ2 Σ 3+ 3Σ2 4 3 5 0 0 Άρα µια ζητούµενη κανονική µορφή Smth του 2 0 3 είναι η 0 0. 3 2 0 0 0 3 Σηµειώνουµε ότι χρησιµοποιώντας το Λήµµα 3.3., είναι δυνατόν να υπολογιστούν πίνακες 4 3 5 0 0 Χ, Υ τέτοιοι ώστε X 2 0 3 Y = 0 0 (άσκηση). 3 2 0 0 0 3 Σηµείωση Αναφέρουµε εδώ ότι τα d στην Κανονική Μορφή Smth είναι µοναδικά ως προς συντροφικότητα στοιχείων. ηλαδή, αν έιναι µια κανονική µορφή Smth ενός πίνακα Α, τότε κάθε άλλη κανονική µορφή Smth του Α είναι της µορφής dag( c d,..., c d ), όπου τα c dag( d,..., d ) είναι αντιστρέψιµα στοιχεία. Η απόδειξη θα δοθεί σε επόµενο κεφάλαιο.

Για την απόδειξη του Θεωρήµατος 3.3.6 χρειαζόµαστε µια παρατήρηση για βάσεις που στην περίπτωση των διανυσµατικών χώρων µας είναι γνωστή από τη Γραµµική Άλγεβρα.. Με το συµβολισµό του Θεωρήµατος 3.3.6, έστω = {,..., t } µια διατεταγµένη βάση του Ν και = {,..., s } µια διατεταγµένη βάση του F. Τότε υπάρχουν µοναδικά s a R τέτοια ώστε = a, =,..., t. Θα λέµε ότι ο πίνακας ( akl ) Ms t ( R) είναι ο = πίνακας της ως προς τη. 3.3.3 Λήµµα ιατυρώντας τους προηγούµενους συµβολισµούς, έστω, δυο άλλες διατεταγµένες βάσεις των F και Ν και έστω A α πίνακας από της ως προς τη. Τότε =, A X AY όπου Χ είναι ο πίνακας της ως προς τη και Υ είναι ο πίνακας της ως προς τη. Απόδειξη Άσκηση (βλ. οποιοδήποτε βιβλίο Γραµµικής Άλγεβρας) Απόδειξη του Θεωρήµατος 3.3.6 Αν N = 0, µπορούµε να πάρουµε οποιαδήποτε βάση του F και να θέσουµε d =... = d = 0. Έστω ότι N 0. Έστω = {,..., t } µια διατεταγµένη βάση του Ν, = {,..., s } µια διατεταγµένη βάση του F και Α ο πίνακας της ως πρός την. Από το Θεώρηµα 3.3.2 υπάρχουν αντιστρέψιµοι πίνακες Χ, Υ τέτοιοι ώστε X AY = dag( d.,,,. d), dd2... d Έστω, οι διατεταγµένες βάσεις των F και Ν που δίνονται από τις σχέσεις = = s = t = x Από το Λήµµα 3.3.3 έπεται ότι ο πίνακας της ως προς τη είναι ο X AY dag d d = (.,,,. ), όπου d... d2 d και = m{ s, t} = t. Συνεπώς έχουµε ότι = d = d t. Τέλος θέτουµε d = t... = + d = s 0.,..., t t