Električne lastnosti vodov. Ohmske upornosti. Induktivnost vodov. Kapacitivnost vodov. Odvodnost vodov. Vod v svetlobi telegrafske enačbe.

Električne lastnosti vodov Ohmske upornosti. Induktivnost vodov. Kapacitivnost vodov. Odvodnost vodov. Vod v svetlobi telegrafske enačbe.

Primarne konstante vodov Če opazujemo električni vod iz istega zornega kota kot električna vezja, mu moramo pripisati enake parametre kot jih ima električno vezje: upornost, induktivnost in kapacitivnost. Razen teh treh lastnosti poznamo pri vodih še odvodnost, ki je posledica nepopolnosti izolacije oz. dielektrika. Ker se pojavi na vodih širijo vzdolž voda z veliko vendar končno hitrostjo, parametri vodov niso koncentrirani ampak porazdeljeni. Zato jih podajamo na enoto dolžine. V homogenem vodu so vsi štirje parametri (upornost, induktivnost, kapacitivnost, odvodnost) vzdolž voda konstantni in jih zato imenujemo konstante voda (primarne konstante). Ohmsko upornost R in reaktanco X vektorsko seštejemo v impedanco Z. Zanimiva je primerjava impedanc in kotov vodov (nadzemnih daljnovodov in podzemnih kablov) z impedančnimi koti ostalih elementov elektroenergetskih sistemov, ki imajo koncentrirane parametre (generatorji, transformatorji). Preglednica: Impedančni koti elementov elektroenergetskega sistema tg = X / R Generatorji 30 88 Transformatorji 10 50 84 89 Daljnovodi 1 10 45 84 Kablovodi 0,1 1 5 45

X generatorji transformatorji daljnovodi Z = R + j X kabli tg = X / R Generatorji 30 88 Transformatorji 10 50 84 89 Daljnovodi 1 10 45 84 Kablovodi 0,1 1 5 45 R 3

Ohmske upornosti Ohmska upornost vodnika je upornost, s katero se vodnik upira pretoku enosmernega toka. Upornost vodnika je odvisna od oblike in snovi, iz katere je vodnik, razen tega pa še od temperature, frekvence in gostote toka, ki teče skozi vodnik. Ohmsko upornost daljnovoda na enoto dolžine R' L pri temperaturi vodnika 0 C določimo iz nazivnega prereza A n in specifične upornosti : R ' L A n Kot specifične upornosti lahko uporabimo naslednje vrednosti: material: baker aluminij aluminijeve zlitine spec. upornost m spec. upornost mm m 10 56 6 10 34 6 10 31 0,017857 0,0941 0,0358 6 4

Induktivnost Za izračun skupne induktivnosti moramo oba prispevka sešteti (magnetne silnice računamo od osi vodnika do razdalje d: L L L 1 4 H ln d d ln 10 8 km 0 0 zun not rv rv Oba člena v oklepaju lahko tudi drugače zapišemo: 4 d 1 L 10 ln rv 4 4 d 0,5 10 ln ln e rv 4 d 4 d H 10 ln 10 ln 0,5 rv e r km 0,5 Kjer je r re GMR rve 0,779 rv ekvivalentni polmer, v literaturi poznan tudi pod imenom geometrijski srednji polmer. Predstavlja polmer manjšega vodnika, ki nima magnetnih silnic v notranjosti; njegova zunanja induktivnost je enaka vsoti notranje in zunanje induktivnosti dejanskega vodnika. 5

Kapacitivnost V računih za simetrično obremenitev lahko upoštevamo, da ima vsaka faza trifaznega voda enako obratovalno kapacitivnost: q C U = F A s d ln V m r v Za nadzemne vode je dielektrik (izolator) zrak in s tem dielektrična konstanta 8,854 187 81810 0 1 A s 36 10 V km 0 6 9 1 10 A s 36 V m Kot razdaljo do sosednjih vodnikov vstavimo geometrijsko srednjo razdaljo d d 3 d d d in določimo obratovalno kapacitivnost kot: sr L1L LL3 L1L3 C 1 F 6 d sr 18 10 ln km r v 6

Odvodnost Vsak vod ima tudi od toka neodvisne izgube, ki nastanejo zaradi nepopolne izolacije. Te izgube predstavimo s pomočjo parametra, ki mu pravimo odvodnost. Ta parameter si predstavljamo kot ohmski upor, ki je priključen med vodnikom in zemljo. Odvodnost ima enoto Siemens oz. S/km za predstavitev odvodnosti na enoto dolžine. Če poznamo izgube v izolaciji na enoto dolžine P i, lahko ustrezno odvodnost (konduktanco prevodnost) izračunamo z enačbo: P G U i S/km V andzemnih vodih srečujemo poleg tako imenovanih odvodnih izgub še koronske izgube. Ene in druge izgube so močno odvisne od vremenskih razmer in sicer so ob vlažnem vremenu veliko večje kot pa pri suhem vremenu. Vpliv teh izgub je pri višjih napetostnih nivojih večji kot pri nižjih in za nivoje nad 0 kv je njihov vpliv nujno potrebno upoštevati. Koronske izgube so tudi precej večje kot odvodne izgube. I 1 R X I U 1 B/ G/ G/ B/ U 7

Daljnovod v svetlobi telegrafske enačbe Vod je edini element elektroenergetskega omrežja, ki ima prostorsko porazdeljene parametre Slika kaže par potujočih valov napetosti in toka, u in i, na enojnem vodu dveh vodnikov. Eden izmed obeh vodnikov je lahko in običajno tudi je zrcalna slika nadzemnega voda. Slika je (ob predpostavki idealno vodljive zemlje) na enaki razdalji h pod površino kot je nadzemni vod nad njo. Parametri voda so: R upornost na enoto dolžine [Ω/m] L induktivnost na enoto dolžine [H/m] G odvodnost na enoto dolžine [S/m] C kapacitivnost na enoto dolžine [F/m] in ustrezne vrednosti za element dolžine dx so R dx, L dx, G dx in C dx. h u i c R u i Ravnina potenciala nič G L u u x i i x L R C y f h G C u i c R L L R x dx 8

9 Potujoči valovi na prenosnem vodu in povezano elektromagnetno polje R G C u i f dx x u i u i h h L L R R L L R G C u u x i i x Ravnina potenciala nič c c y

Z napetostnim valom je povezan električni pretok ψ in s tokovnim valom magnetni pretok Φ.Za vsak element dx voda velja d = i L dx d = uc dx Padec napetosti v pozitivni smeri x na elementu dx je zaradi dφ in upornosti voda u du dxirdx d RL idx x t t Skupna sprememba toka v elementu dx je vsota odvodnega toka in polnilnega toka i di dxugd x (d ) GC udx x t t 10

Z uporabo Heavisideove transformacije lahko enačbi zapišemo v slikovnem prostoru v obliki u RLpiZi x i GCpu Y u x Z = (R + L p) je impedančni operator in Y = (G + C p) je admitančni operator. Enačbi sta dobro znani diferencialni enačbi enojnega prenosnega voda. S ponovnim odvajanjem enačbe za tok po kraju in ob upoštevanju enačbe za napetost dobimo u i p p x x Z Y Z u R G R C G L L C u u Ponovno odvajanje enačbe za napetost, ob upoštevanju enačbe za tok, da i i p p x x Y Z Y i R G R C G L L C i i 11

Končna diferencialna enačba ima enako obliko za napetost in tok. Rešitvi za napetost in tok se tako razlikujeta samo v robnih pogojih vhodnih in izhodnih sponk voda. Enačbo, ki je splošno znana pod imenom telegrafska enačba, sta že pred mnogimi leti rešila Heaviside v Angliji in Poincaré v Franciji. x u e f() t e f() t x 1 Y x x i e f() 1 t e f() t Z V rešitvah sta f 1 (t) in f (t) integracijski konstanti, odvisni samo od razdalje x in neodvisni od časa t. 1

Enačbi sta splošni operatorski rešitvi. Operator R G ZY ( RLp) ( GCp) LC p p L C, zapišemo v obliki 1 1 ZY (p ) (p ) (p ) c c v kateri so c 1 L C hitrost (fazna) širjenja, 1 R G L C konstanta dušenja, 1 R G L C fazna konstanta (konstanta faznega zasuka) in Z RLp L p R/ L L p Y GCp C p G/ C C p valovna upornost. 13

Telegrafska enačba pri obratovalni frekvenci Poseben problem pri modeliranju prehodnih pojavov na digitalnem računalniku je poznavanje parametrov vključenih elementov. Večinoma so znane samo linearne vrednosti za ustaljeno obratovalno stanje pri obratovalni frekvenci. Napetost in tok izrazimo s kompleksnimi vrednostmi na začetku in koncu voda. Običajno opazujemo v elektroenergetskih omrežjih odvisnost vhodnih veličin od izhodnih (odjemalec je kralj!), zato štejemo pozitivno smer od izhodnega konca proti vhodnemu. 1 Z dx I 1 I d I du Y dx U 1 U L x dx x L 14

V dosedanjem izvajanju smo opazovali vod, na katerega je priključena napetost poljubne oblike. Ker pa vodi v elektroenergetskem sistemu obratujejo vedno pri napetosti, ki je vsaj približno sinusne oblike, bomo od sedaj opazovali vod, na katerega je priključena sinusna napetost. Trenutne vrednosti sinusne napetosti in toka lahko z efektivnimi veličinami izrazimo na naslednji način j t j( t ) u Re U e in ire I e V originalnih enačbah nastopata prvi in drugi odvod napetosti in toka, ki sedaj znašata u i Re j e in Re j e t t u t i Re U e in Re I e t t jt j( t) U I j j( t) Vidimo, da se časovna odvisnost nekako skrije v krožno frekvenco, zato se telegrafske enačbe prelevijo iz parcialne v navadno obliko. 15

Vidimo, da se časovna odvisnost nekako skrije v krožno frekvenco, zato se telegrafske enačbe prelevijo iz parcialne v navadno obliko. Tako preidejo sistemi enačb v obliko in u du Z I xt, dx i di Y U xt, dx d U d Z I di Z ZY U dx dx dx d I dy U du Y Y Z I dx dx dx 16

Iz telegrafske enačbe želimo določiti vrednosti U (x) in I (x) v poljubni točki voda, če sta znani vrednosti U in I na koncu voda. Z uporabo Heavisideove transformacije lahko enačbo za napetost zapišemo v slikovnem prostoru v obliki ' p U p pu x0 U x0 U p 0 Če izberemo x 0 = 0, je U (0) = U je du d I x Z Če vstavimo obe dobljeni vrednosti v enačbo za napetost v slikovnem prostoru, dobimo p p p U U I Z od tod izrazimo transform U (p) kot U p I Z p p p U 17

Za znana Heavisideovea para p p p ch sh dobi original transforma obliko x x ch sh U x x U Z x I v Vrednost toka I (x) dobimo na enak način x 1 du I x Y sh xu ch x I Z d x v 18

1 Z dx I 1 I d I du Y dx U 1 U L x dx x L To sta tako imenovani telegrafski enačbi, ki sta poenostavljeni Maxwellovi enačbi za periodične funkcije. ch sh sh ch U x x U Z x I v I x Y x U x I v Enačbi veljata za poljubno točko voda, torej tudi za začetek voda x = l. ch sh U x l l U Z l I 1 v sh ch I x l Y l U l I 1 v

Sekundarni parametri voda Označbe v telegrafskih enačbah so: Z in Y sta obratovalni impedanca in admitanca v znani obliki Z R j L R j X Y G j C G j B V enačbah označimo še z ZY ali ZY j propagacijsko konstanto ali konstanto širjenja. Konstanta širjenja je na splošno za sinusne oblike toka in napetosti kompleksna vrednost. Realno komponento imenujemo konstanto dušenja; pove, kako se vzdolž voda spreminja temenska vrednost sinusne veličine. Imaginarno komponento β imenujemo fazna konstanta (konstanta vrtenja); pove, kako se spreminja fazni kot sinusne veličine vzdolž voda. 0

Z Y ali Z Y j U x β 6000 km za f 50 Hz

1 1 1 c ZY R L G C j j 1 1 1 LC d ln r d ln r Za daljnovode je dielektrik zrak: r = 1 in ε r = 1 c 1 0 0 c 0 Za kable je dielektrik zamrežen polietilen ali PVC: r = 1 in ε r ~ 3,5 c 1 0 r 0

Nadalje vpeljemo oznake Z Z Z Y oziroma Y Y v, Z Z v kjer je Z v valovna upornost in Y v = 1 / Z v valovna prevodnost voda. Valovno upornost Z v in konstanto širjenja imenujemo tudi sekundarna parametra voda. Z V R G j L j C Za nadzemne vode znaša okoli 360, za kable 40 in je neodvisna od dolžine nadzemnega voda. Za idealni (brezizgubni) nadzemni vod lahko zapišemo Z V d 4 d ln 10 ln L r r C 1 60ln d 6 d ln 1810 ln r r d r 3

Potujoči valovi Pri zelo dolgih vodih moramo napetostne in tokovne razmere opisovati s tako imenovanimi telegrafskimi enačbami, ki sta poenostavljeni Maxwellovi enačbi za periodične funkcije. Napetost in tok na vhodu izrazimo z izhodnimi vrednostmi s hiperboličnimi funkcijami in sekundarnima parametroma voda, valovno upornostjo Z V in konstanto širjenja ch sh sh ch U x l l U Z l I 1 v I x l Y l U l I 1 v Enačbi veljata za poljubno točko voda, torej tudi za začetek voda x = l.

Bolj nas zanima napetostni val, saj tokovni valovi ne obremenjujejo izolacije. Hiperbolski funkciji lahko po Eulerju izrazimo z eksponentno funkcijo x x x x e e e e U x U Z V I 1 x 1 U x U Z V I e U Z V I e x x x x e e e e I x I Y V U 1 x 1 I x I Y V U e I Y V U e Prvi člen imenujemo direktni potujoči val, drugega pa odbiti potujoči val. Napetost v poljubni točki voda je vsota obeh valov. V slučaju, da takšen potujoči val naleti na spremembo valovne upornosti, pride do odboja, pri katerem se energija električnega polja pretvori v energijo magnetnega polja, energija magnetnega polja pa v energijo električnega polja. Posebni primeri: x x

a) Odprt konec voda: I = 0 napetostni direktni in odbiti val imata isto fazo 1 x 1 Ux U ZV Ie U ZV Ie 1 x 1 x Ux U e U e x U 1 U U 1 U U 1

b) Kratko sklenjen konec voda: U = 0 napetostni direktni in odbiti val imata nasprotno fazo 1 x 1 Ux U ZV I e U ZV I e 1 x 1 x Ux Z V I e Z V I e x U 1 U 1 U U 1 U

c) Konec voda je zaključen z Z V : I U Z odbitega vala ni V 1 x 1 x Ux U Z V I e U Z V I e 1 U x 1 U Ux U ZV e U ZV e ZV ZV / x U 1 Z v U U 1 Z v U U 1 Z v

Splošni primer spremembe valovne upornosti Ko pride udarni val do manjše valovne upornosti, naleti na razmere, ki so nekje vmes med primerom, ko ima kabel enako valovno upornost kot nadzemni vod, in primerom, ko bi bila v stični točki valovna upornost nič. Udarni val ne gre naprej nespremenjen niti ne pade njegova amplituda na nič; zgodi se nekaj vmesnega njegova amplituda se zmanjša. U 1 I 1 nadzemni vod Z v1 Z v U 1 kabelski vod nadzemni vod I 1 Z v1 Z v kabelski vod I U nadzemni vod Z v1 Z v kabelski vod nadzemni vod Z v1 Z v kabelski vod U 1 U 1 I 1 I 1 U 1 I 1 nadzemni vod Z v1 Z v kabelski vod nadzemni vod Z v1 Z v kabelski vod a) Potek napetosti b) Potek tokov

Sprememba napetosti in toka pri prehodu potujočega vala iz Z V1 v Z V Vzemimo, da se valovna upornost spremeni iz Z V1 na Z V. Označimo direktni potujoči val z U 1, odbiti val z U 1 ' in z U tisti del direktnega vala, ki se širi naprej po vodu z valovno upornostjo Z V ter ga imenujemo prehodni val. Primer takšne nehomogenosti imamo pri prehodu prostega voda v kabelski vod. Valovna upornost kabla je mnogo manjša od valovne upornosti nadzemnega voda. Prehodni val ima amplitudo U, ki je manjša od prvotne amplitude vala U 1. V stični točki je lahko samo ena napetost, ki se s hitrostjo c širi levo in desno. Ker pa stična točka istočasno predstavlja konec nadzemnega voda (in začetek kabla), pravimo, da imamo v nadzemnem vodu udarni val U 1 in superponirani odbiti val U 1 ', vsota obeh pa daje napetost U, ki se širi s hitrostjo c v levo in desno. Dobimo delni odboj in delni prehod vala.

Ob upoštevanju osnovnih zakonov elektrotehnike (Ohmov in Kirchhofov zakon) lahko določimo razmere tudi velikostno. Imamo tri znane veličine: udarni val U 1 in valovni upornosti nadzemnega voda Z V1 in Z V. Iščemo pet neznanih veličin: udarni tok I, napetost prehodnega vala U, napetost odbitega vala U 1 ', tok prehodnega vala I in tok odbitega vala I 1 '. Potrebujemo pet enačb. Tri enačbe dobimo po Ohmovem zakonu, s tem, da upoštevamo, da se odbiti val premika v nasprotni smeri kot udarni U U U I I I ' 1 1 1 1 ZV1 Z Z V V1 Nadaljni enačbi dobimo iz posebnih pogojev, ki veljajo v stični točki (tok in napetost sta enaka) U = U 1 '+ U 1 in I = I 1 '+ I 1

Tok prehodnega vala je tako U U U U U U U U I Z I I1+ I 1 Z Z Z Z Z Z Z Z 1 1 1 1 1 1 V V1 V1 V1 V1 V1 V1 V1 V1 I Z U I Z oz. I Z Z U V1 1 V V1 V 1 I U1 Z Z V1 V Napetostni prehodni val dobimo, če prehodni tok pomnožimo z valovno upornostjo Z V U IZV U1 Z V1 Z V Faktor prehoda definiramo kot razmerje prehodne in udarne napetosti p U ZV U Z Z 1 V1 V

Napetost odbitega vala Z Z Z U U U U U U Z Z Z Z V V V1 1 1 1 1 1 V1 V V1 V Faktor odboja definiramo kot razmerje odbite in udarne napetosti r U Z Z U Z Z 1 V V1 1 V1 V Ostane še odbiti tokovni val U U Z Z I 1 Z Z Z Z 1 1 V V1 V1 V1 V1 V

kabel prosti vod transformator odprte sponke Z VK 40 Z VV 360 Z VT 4500 Z 0 E U U 1,8U p Z 360 Z Z 40 360 V V1 V 1,8 U 1,8U 3,33U p Z 4500 Z Z 360 4500 V V1 V 1,85 1,8U 3,33U 6,66U p Z Z Z 4500 V V1 V

Optimalne prenosne razmere Optimalne prenosne razmere dosežemo, če se potrebe po induktivni jalovi moči zaradi vzdolžne reaktance voda kompenzirajo s polnilno močjo. To pomeni: 3I X 3 B U f Razmerje fazne napetosti in toka v faznih vodnikih mora za takšno kompenzacijo doseči: Uf X L Zv I B C To je tako imenovana obratovalna valovna upornost voda, kateri bi naj bilo prilagojeno breme na koncu voda. Tako določenemu toku ustreza tako imenovana naravna moč trifaznega voda: P U f N 3 U Z v U Z v 35

Natančna nadomestna vezava voda Enačbi veljata za poljubno točko voda, torej tudi za začetek voda x = l. Tam je U(l) = U 1 in I(l ) = I 1. Če ju zapišemo v matrični obliki, dobimo l Z v sh l ch U1 ch U I 1 Y v sh l l I natančno četveropolno predstavitev voda v "A" obliki s koeficienti A 11 1 0 1 0 ch l A Z sh l A Y sh l A ch l 36

Iz teh vrednosti lahko določimo tudi elemente nadomestnega vezja za dolgi vod Y 1 Z 1 1 A11 ch l A1 Z v sh l Y A1 Y v sh l A ch l nadomestna π vezava U U Z I Y U 1 1 I Y U Y U I 1 1 1 koeficienti "A" predstavitve U A U A I 1 11 1 I A U A I 1 1 Z A Z sh l 1 1 v A 1 A 1 ch 1 l Y Y Y th. l 11 1 v A1 A1 Z v sh l 37

Z1 A1 Z0 sh l 1 Y A 1 l Y th A 1 0 1 Y A 11 1 l Y th A 0 1 Z A Z sh l 1 1 v A 1 A 1 ch 1 l Y Y Y th. l 11 1 v A1 A1 Z v sh l Enačbi predstavljata natančno predstavitev voda kot elementa s porazdeljenimi parametri. Členi v nadomestni vezavi so odvisni tako od konstante širjenja kot tudi od valovne upornosti voda Z 0 (oziroma Y 0 ) in dolžine voda. 38

Z1 A1 Z0 sh l 1 Y A 1 l Y th A 1 0 1 Y A 11 1 l Y th A 0 1 Opisani model električnega voda je, kot smo že prej omenili, treba uporabiti za dolge vode. Pri napetosti s frekvenco 50 Hz znaša valovna dolžina = 6000 km, saj vzamemo v izračunu za hitrost širjenja valov kar svetlobno hitrost c 0. Vod, ki ga lahko pri obratovalni frekvenci upoštevamo za kratkega, postane pri neki višji frekvenci dolg. Pri strmini čela udarnega vala 1 μs ocenimo frekvenco na 1 MHz, ustrezna valovna dolžina se skrajša na okoli 30 m. 39

Izraz za Zv pa lahko zapišemo tudi v obliki: Zv z z l Z, l l kjer je Z = z l seštevek vseh diferencialnih vzdolžnih upornosti. To vstavimo v izraz za sh l Z Z 1 Z v sh l sh l Z l l Vrednost propagacijske konstante je sorazmerno majhna, zato še za sorazmerno velike razdalje l velja približek sh l l 1 in smemo v nadomestni π - vezavi uporabljati vrednosti Z 1 Z. 40

Podobno zapišemo še izraz za Y v v obliki: Y v y y l Y Y 1 l l l, kjer je Y = y l seštevek vseh diferencialnih prečnih prevodnosti.. To vstavimo v izraz za l l Y 1 l Y th Y 1 Y Y v th th l l Vrednost propagacijske konstante je sorazmerno majhna, zato še za sorazmerno velike razdalje l velja približek l th 1 l Y in smemo v nadomestni π - vezavi uporabljati vrednosti Y 1 Y. 41

Poenostavljena nadomestna vezava I 1 R X I U 1 Y/ Y/ U To poenostavljeno nadomestno vezavo smemo uporabljati do skupne dolžine vodov l = 00 km, za daljše pa natančno formulo. Za visoke in najvišje napetosti gre ta meja še navzgor, za srednje pa navzdol, zato moramo v dvomljivem primeru izračunati in razmerji ugotoviti. 4

I 1 R I X k U 1 U Za kratke vode smemo prečne prevodnosti zanemariti in kratki vod predstaviti kar z enoelementnim četveropolom, kjer upoštevamo le vzdolžno impedanco voda. Enako sliko uporabimo za vode pri izračunih kratkih stikov, kjer zlasti v orientacijskih izračunih zanemarimo še ohmsko komponento vzdolžne impedance. 43

I 1 I R U 1 U 44