ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1
ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1. ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ Αν τότε. ΥΝΑΜΕΙΣ... ν-φορές 1 1 0 1 Αν τότε Το αντίστροφο δεν ισχύει. ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ... 1 1 c c c c ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΟΡΦΕΣ 4. H ΕΞΙΣΩΣΗ α 0 Αν 0 έχει µοναδική λύση την Αν 0 και 0 είναι αδύνατη Αν 0 είναι ταυτότητα αόριστη
5. ΙΑΤΑΞΗ > > 0 Αν > 0και > 0 τότε > 0 Αν < 0και < 0 τότε < 0 Αν, οµόσηµοι τότε > 0 > 0 Αν, ετερόσηµοι τότε < 0 < 0 Για κάθε α ισχύει α 0 Αν α > β και β > γ τότε α > γ Μεταβατική ιδιότητα α > β α γ > β γ Αν γ > 0 τότε α > β αγ > βγ Αν γ < 0 τότε α > β αγ < βγ Αν α > β και γ > δ τότε α γ > β δ Για θετικούς α,β,γ,δ: Αν α > β και γ > δ τότε αγ > βδ Για θετικούς α, και ν Ν* ισχύει: > > ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΟΡΦΕΣ 1 1 ν α, οµόσηµοι τότε < > 1 1 Αν α > 0 τότε Αν α < 0 τότε 0 0 6. ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ, 0 0, < 0 Αν θ > 0 τότε 1. θ ± θ. θ θ ± < θ < < > θ > θ ή < -θ θ θ θ θ θ ή -θ Απόλυτη τιµή αθροίσµατος Απόλυτη τιµή γινοµένου Απόλυτη τιµή πηλίκου Απόσταση αριθµών α και β d, 7. ι] ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Αν 0η παριστάνει τη µη-αρνητική λύση της εξίσωσης α ιι] Ν-ΟΣΤΗ ΡΙΖΑ ΜΗ-ΑΡΝΗΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Αν 0η παριστάνει τη µη-αρνητική λύση της εξίσωσης ν α n p p *Σε όλες τις παραπάνω σχέσεις κάθε υπό-ριζο είναι 0 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58
Αν ν περιττός τότε Αν ν άρτιος τότε ± 8. ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ στο επίπεδο Α 1, y1, Β, y 1 y 1 y 9. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f Η f α 1 είναι ευθεία που τέµνει τον άξονα των y στο Β0, και σχηµατίζει µε τον άξονα των χ γωνία ω για την οποία ισχύει εφω α Ο συντελεστής α εφω καθορίζει πλήρως την διεύθυνση της ευθείας y α και λέγεται συντελεστής διεύθυνσης αυτής. Αν 0 η 1 δίνει f α ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Ειδικά στην αν α 1 έχουµε f ή y διχοτόµος του 1 ου και ου τεταρτηµορίου Ενώ αν α -1 έχουµε την y - διχοτόµος του ου και 4 ου τεταρτηµορίου Παράλληλες ευθείες υο ευθείες ε 1 και ε είναι παράλληλες µόνο όταν οι συντελεστές διεύθυνσης αυτών είναι ίσοι. ε 1 // ε 1 Κάθετες ευθείες υο ευθείες ε 1 και ε είναι κάθετες µόνο όταν το γινόµενο των συντελεστών διεύθυνσης είναι ίσο µε -1 1 ε ε 1 1 c y c Για να βρίσκετε εύκολα τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας να φροντίζετε η ευθεία σας να είναι πάντα στην µορφή y α ΕΙ ΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΕΥΘΕΙΩΝ Παράλληλη στον άξοαν των y κατά c Παράλληλη στον άξονα των κατά c 10. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f 0 Η γραφική παράσταση της f είναι παραβολή που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Eχει κορυφή το Ο0,0 και άξονα συµµετρίας τον άξονα των y ηλ. είναι άρτια, f f Αν α > 0 Αν α < 0 Μονοτονία ορισµός Η f είναι γνησίως αύξουσα στο όταν < f < f 1, 1 1 Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο όταν < f > f 1, 1 1 f f Ελάχιστο ΜΙΝ το Ο0,0 δηλαδή για κάθε χ ισχύει f f0 0 Μέγιστο ΜΑΧ το Ο0,0 δηλαδή για κάθε χ ισχύει f f0 0 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 4
11. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Η γραφική παράσταση της f 0, 0 f είναι υπερβολή µε κέντρο συµµετρίας την αρχή των αξόνων Ο0,0 ηλ. είναι περιττή, f f. Εχει ασύµπτωτες τους άξονες και αν α > 0 άξονα συµµετρίας την y, ενώ αν α<0 την y -. Αν α > 0 f 1. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Α-ΒΑΘΜΟΥ Γενική Μορφή Σ y γ y γ Επίλυση του Σ µε χρήση ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ Βήµα 1: Βρίσκουµε τις εξής ορίζουσες γ γ γ γ y γ γ γ γ Βήµα : Ανάλογα µε τις τιµές των,, y που βρήκαµε ακολουθούµε ένα από τα εξής: Αν 0 το Σ έχει µοναδική λύση την, y y Αν 0 και 0 ή y 0 το Σ είναι αδύνατο Αν α < 0 1. ΟΡΙΖΟΥΣΑ Χ Η ορίζουσα γ δ είναι ο α ρ ι θ µ ό ς f αδ γ Αν y 0 έχει άπειρες λύσεις, εκτός αν 0και γ 0 ή γ 0οπότε είναι αδύνατο Εκτός από την µέθοδο των οριζουσών άλλες µέθοδοι είναι Α η µέθοδος της αντικατάστασης Β η µέθοδος των αντιθέτων συντελεστών Γ η γραφική επίλυση κατά την οποία ισχύουν τα εξής: Αν οι εξισώσεις του Σ παριστάνουν ευθεία τότε αν Α Οι ευθείες τέµνονται, το Σ έχει µοναδική λύση τις συντεταγµένες του κοινού σηµείου των δύο ευθειών Β Οι ευθείες είναι παράλληλες, το Σ είναι αδύνατο δεν έχει λύση Γ Οι ευθείες ταυτίζονται, το Σ έχει άπειρες λύσεις τις συντεταγµένες των σηµείων της µιας εκ των δύο ευθειών ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 5
14. EΠΙΛΥΣΗ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ-ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΟΥ ΒΑΘΜ. Γενική Μορφή: γ 0 α 0 Βρίσκουµε την διακρίνουσα 4αγ Ανάλογα µε την τιµή της διακρίνουσας επιλέγουµε µια από τις εξής περιπτώσεις Αν > 0 Η εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες και πραγµατικές Αν 0 Αν < 0 1, ± Η εξίσωση έχει µια ρίζα πραγµατική διπλή Η εξίσωση δεν έχει πραγµατικές ρίζες Στις ειδικές περιπτώσεις που έχουµε γ 0 ή 0 µπορούµε να δουλέψουµε και ως εξής: ν γ 0 δηλαδή είναι της µορφής α 0 τότε τότε µπορούµε να το λύσουµε και µε παραγοντοποίηση βγάζοντας κοινό παράγοντα το οπότε καταλήγουµε σε µορφή ΑΒ0 Α0 ή Β0 Αν 0 δηλαδή είναι της µορφής α γ 0, τότε ή χρησιµοποιούµε την σχέση 6 0 6 ή είναι αδύνατο για παράδειγµα >0 6 6 0 6 ± 6 ± για παράδειγµα 15. ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΚΑΙ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΡΙΖΩΝ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΤΥΠΟΙ VIET Kάθε τριώνυµο α γ 0 1 α 0 µπορεί να γραφεί στην µορφή S P 0 όπου S είναι το άθροισµα των ριζών του τριωνύµου και Ρ το γινόµενο των ριζών του τριωνύµου S 1 P 1 γ Η µορφή µας δίνει τη δυνατότητα Ι Να κατασκευάσουµε το τριώνυµο αν ξέρουµε τα S και P II Να βρούµε τις ρίζες της 1 µέσω των S και P χωρίς να λύσουµε το τριώνυµο ΙΙΙ Από γνωστό τριώνυµο µε ρίζες 1, να υπολογίζουµε παραστάσεις, 1 της µορφής 1, χ ω ρ ί ς να έχουµε βρει τις ρίζες 1, 1 1, 1 16. ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Γενική µορφή: α 4 γ 0 1 α 0 Θέτουµε y 0 Oπότε η 1 γράφεται ως αy y γ 0 τριώνυµο ως προς y To οποίο λύνουµε και τις τιµές του y που βρίσκουµε τις αντικαθιστούµε στην για να βρούµε τις ζητούµενες τιµές του Αν το y βγει αρνητικό, το απορρίπτουµε 1 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 6
17. ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ f γ 0 Η γραφική παράσταση της Αν α > 0 Αν α < 0 ΣΗΜΕΙΑ ΤΟΜΗΣ ΜΕ ΤΟΥΣ ΑΞΟΝΕΣ Tέµνει τον άξονα των y στο σηµείο Γ0,γ Τέµνει τον άξονα των χ Στα σηµεία Α 1,0,,0 αν >0 Στο σηµείο -/α, 0 αν 0 εν έχει κοινά σηµεία µε τον άξονα των χ αν < 0 ΣΧΟΛΙΑ f γ είναι παραβολή f f MIN, 4 MΑΧ, 4 Η f της f h c, c > 0 προκύπτει από µια κατακόρυφη µετατόπιση της h κατά c µονάδες προς τα πάνω. Η f της f h - c, c > 0 προκύπτει από µια κατακόρυφη µετατόπιση της h κατά c µονάδες προς τα κάνω. Η f της f h-c, c > 0 προκύπτει από µια οριζόντια µετατόπιση της h κατά c µονάδες προς τα δεξιά. Η f της f hc, c > 0 προκύπτει από µια οριζόντια µετατόπιση της h κατά c µονάδες προς τα αριστερά. 18. ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ / ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΝΙΣΩΣΗΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Για να λύσουµε µια ανίσωση της µορφής γ 0 ή γ 0 ή γ > 0ή γ < 0 Βρίσκουµε την διακρίνουσα 4αγ και ανάλογα µε την τιµή της είµαστε σε µια από τις εξής περιπτώσεις: Αν > 0 τότε βρίσκουµε τις ρίζες 1, ± εξής πίνακα τοποθετώντας τις ρίζες 1, µε τη σειρά. Αν 0 τότε βρίσκουµε την διπλή ρίζα εξής πίνακα Οµόσηµο Οµόσηµο του α 1 Ετερόσηµο και κατασκευάζουµε τον Οµόσηµο και κατασκευάζουµε τον Οµόσηµο του α Αν < 0 τότε το τριώνυµο δεν έχει πραγµατικές ρίζες και είναι παντού οµόσηµο Οµόσηµο ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 7
ΣΧΟΛΙΑ Κάθε τριώνυµο γράφεται ως γινόµενο παραγόντων ως εξής: γ p1 p όπου p 1, p οι ρίζες του τριωνύµου. Αρα κάθε ανίσωση της µορφής p1 p 0 p1 p 0 p1 p > 0 p1 p < 0 λύνεται ακριβώς µε τον ίδιο τρόπο δηλαδή βρίσκουµε τις ρίζες του κάθε όρου του γινοµένου, αν υπάρχουν εξισώνοντας τον κάθε όρο µε το µηδέν και τις τοποθετούµε στον άξονα οπότε και αναγόµαστε σε µια από τις τρεις προηγούµενες περιπτώσεις. ΠΡΟΣΟΧΗ Συχνά πολλοί µαθητές για να λύσουν πχ την ανίσωση -4 > 0 λένε ότι -> 0, 4 > 0 άρα > ή > - Αυτό όµως είναι Λ Α Θ Ο Σ διότι η παραπάνω ανίσωση λύνεται ως εξής: Βρίσκω τις ρίζες του κάθε όρου - - 0 4 0 4 και κατασκευάζω τον πίνακα Αρα > ή < - To λάθος αυτό οφείλεται στο ότι οι µαθητές συγχέουν την επίλυση της παραπάνω ανίσωσης µε τον τρόπο λύσης της αντίστοιχης εξίσωσης ηλαδή λύνουν την εξίσωση -4 0 ως - 0 ή 4 0 άρα ή - και το γενικεύουν για ανίσωση απλά αλλάζοντας το σε > Προσοχή λοιπόν στο σηµείο αυτό διότι αυτό ΕΝ ισχύει Για να είναι ένα γινόµενο θετικό πχ ΑΒ > 0 δεν αρκεί Α>0 και Β > 0 αλλά µπορεί να συµβαίνει Α<0 και Β<0 ηλαδή ΑΒ > 0 Α, Β οµόσηµοι Αν ΑΒ<0... 19. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Της ΜΟΡΦΗΣ > X X... K X 0 < Οι όροι του παραπάνω γινοµένου είναι πρωτοβάθµιοι ή τριώνυµα. Βρίσκουµε τις ρίζες του κάθε παράγοντα και µετά το πρόσηµο του κάθε παράγοντα χωριστά. Για παράδειγµα, Eστω η ανίσωση P-1-6 1 > 0 Βρίσκουµε τις ρίζες κάθε παράγοντα -1 0 1 6 0 -, 1 0 έχει <0 άρα αδύνατο στο R Είναι πάντα οµόσηµο >0 Βρίσκουµε τα πρόσηµα του κάθε παράγοντα µε τη βοήθεια του πίνακα - - 1-1 - - - 6-1 P - - ρα -<< ή > 1 > 0. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Της ΜΟΡΦΗΣ 0 < Χρησιµοποιούµε τις σχέσεις > 0 > 0 Οµοίως για να λύσουµε την µορφή 0 εξαιρούµε όσες µηδενίζουν τον παρονοµαστή Β. & < 0 < 0 λύνουµε την 0 και από τις λύσεις της ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 8