Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1
Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη στο Χώρο Κατάστασης Μοντελοποίηση στο Χώρο Κατάστασης Ανάλυση Συστημάτων στο Χώρο Κατάστασης Δομικές Ιδιότητες Συστημάτων Ελεγξιμότητα Παρατηρησιμότητα Ευστάθεια Σχεδίαση Συστημάτων Ελέγχου Ποιοτικά Κριτήρια Σχεδίασης Ανατροφοδότηση Κατάστασης Εισαγωγή στον Βέλτιστο Έλεγχο Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση σε χώρουν πεπερασμένων και απείρων διαστάσεων. Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών Βέλτιστος Έλεγχος μέσω Λογισμού των Μεταβολών Αναγκαίες Συνθήκες Βελτίστου Ελέγχου Προβληματα τύπου «Γραμμικού Ρυθμιστή» Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 2
Βέλτιστος Έλεγχος Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 3
Εισαγωγή στο Βέλτιστο Έλεγχο Παραδείγµατα όπου προκύπτει η ανάγκη Βετλιστοποίησης σε άπειρες διαστάσεις Παρουσίαση της δοµής ενός γενικευµένου προβλήµατος βελτίστου ελέγχου Εξειδίκευση στο πρόβληµα τετραγωνικού ρυθµιστή για ΓΧΑΣ Εισαγωγή στο Λογισµό των µεταβολών Η στατική βελτιστοποίηση ως πρόβληµα βελτιστοποπίηση πεπερασµένης διάστασης Λογισµός των µεταβολών Το πρόβληµα ελάχιστης ενέργειας. Ο Γραµµικός Τετραγωνικός Ρυθµιστής. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 4
Παραδείγματα χρήσης Βελτίστου Ελέγχου 1 Καμπύλη Ελάχιστου Μήκους Να ευρεθεί η συνάρτηση x : 0,1 με x( t = 0) = 0, x( t = 1) = b έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται το μήκος 1 Το πρόβλημα τίθεται ως [ ]! ds = dt = 1+!x 0 1 0 2 + ( dx) 2 1 0 2 dt Και η λύση είναι η «ευθεία γραμμή» δηλ. η γραμμική συνάρτηση με άκρα τα x t = 0 = 0, x( t = 1) = b Προσοχή: ΔΕΝ ψάχνουμε κάποιο διάνυσμα x αλλά μία συνάρτηση x(t)!!! Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 5
Παραδείγματα χρήσης Βελτίστου Ελέγχου 2 Το Ισοπεριμετρικό Πρόβλημα της Διδούς ή το Πρόβλημα Ίδρυσης της Καρχηδόνας Να μεγιστοποιηθεί το εμβαδον επιφάνειας που περικλείεται από καμπύλη δεδομένου μήκους Α και συγκεκριμένων αρχικών & τελικών σημείων. Αναζητούμε την συνάρτηση x(t) που προκύπτει απο τη επίλυση του προβληματος x=0 x=1 Θάλασσα Προσοχή: ΔΕΝ ψάχνουμε κάποιο διάνυσμα x αλλά μία συνάρτηση x(t)!!! 6
Παραδείγματα χρήσης Βελτίστου Ελέγχου 3 Πρόβλημα Επιχειρηματικής Στρατηγικής Από τη παραγωγή x(t) ενός (μοναδικού) προϊόντος μπορεί Ένα τμήμα (1-u(t)) x(t) να πωληθεί με (πάντοτε σταθερή) τιμή P > 0, και Το άλλο τμήμα u(t) x(t) να επενδυθεί για να αυξήσει τη παραγωγή, δηλ. Αν η αρχική παραγωγή είναι x(t)=α να βρεθεί η «συνάρτηση του ποσοστού επανεπένδυσης» u(t) ώστε να μεγιστοποιηθούν οι πωλησεις εντός χρονικού ορίζοντα [0,Τ]. Δηλαδή το πρόβλημα τίθεται ως:!x = u x Προσοχή: ψάχνουμε μία συνάρτηση u(t)!!! Κατά τμήματα συνεχείς συναρτήσεις στο [t 0,t 1 ] Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 7
Παραδείγματα χρήσης Βελτίστου Ελέγχου 4 Το πρόβλημα Χάραξης Ορεινού Αυτοκινητοδρόμου Για δεδομένο υψόμετρο y :C t 0,t 1 να ευρεθεί η συνάρτηση x :[ t 0,t 1 ]! του υψόμετρου του αυτοκινητοδρόμου ώστε: Δηλαδή το πρόβλημα τίθεται ώς: [ ]! Nα είναι φραγμένη η κλίση του, δηλ.!x α, και Να ελαχιστοποιηθεί το «Κόστος Κατασκευής» ( x( t) y( t) ) 2 dt t 1 t 0 y(t) x(t) t Προσοχή: ψάχνουμε μία συνάρτηση u(t)!!! Κατά τμήματα συνεχείς συναρτήσεις στο [t 0,t 1 ] Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 8
Παραδείγματα χρήσης Βελτίστου Ελέγχου 5 υ0 Η Βάρκα του Pontryagin d0 Μία βάρκα πρέπει να οδηγηθεί σε ελάχιστο χρόνο απο αρχική θέση d0 και ταχύτητα υ0 στην αρχή των αξόνων με μηδενική τελική ταχύτητα, υπο την επιδραση επιτάχυνσης φραγμένης στο [- 1,+1]. T Το πρόβλημα τιθεται ως = min 1 dt u C 0 Προσοχή: ψάχνουμε μία συνάρτηση u(t)!!! Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 9
Παραδείγματα χρήσης Βελτίστου Ελέγχου 6 Το Πρόβημα της Προσελήνωσης Επιδιώκουμε προσελήνωση (μηδενική ταχύτητα προσέγγισης) από αρχικό ύψος h 0 - ταχύτητα υ 0, μέσα σε καθορισμένο χρόνο [0, Τ] και με φραγμένη συνάρτηση ώθησης u(t). Επιθυμούμε ελάχιστη κατανάλωση καυσίμου, δηλαδη «μεγιστοποιημένη» τη τελική ολική μάζα (αεροσκάφος + καύσιμα) m(t) του διαστημοπλοίου. Εξέλιξη ύψους Επιτάχυνση Καταναλωση καυσίμου Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 10
Παραδείγματα χρήσης Βελτίστου Ελέγχου 7 Οριζόντια Κίνηση «Πυραύλου» Thrust: u mass: x 3 velocity: x 2 Ανισοτικός Περιορισμός: H ώθηση είναι φραγμένη Ισοτικός Περιορισμός: Το μοντέλλο κίνησης του πυραύλου Αρχικές Τελικές Συνθήκες: posi)on: x 1!x 1!x 2!x 3 = = s a υ a m a x 0 T!s!υ!m = [ ] u Ω = 0,F max Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 11 x 2 1 u 1 x 3 2 Aρc x 2 w 2 x t f α u = s b υ b free Σε συγκεκριμένο χρόνο, ΟΧΙ ασυμπτωτικά T
Παραδείγματα χρήσης Βελτίστου Ελέγχου 7 Οριζόντια Κίνηση «Πυραύλου» Thrust: u mass: x 3 velocity: x 2 posi)on: x 1 Το πρόβλημα του Βελτίστου Ελέγχου: Να ευρεθεί η (κατά τμήματα συνεχής) συνάρτηση της ώθησης u :. 0,t f [ 0,F ] max που ικανοποιεί όλους τους περιορισμούς, ισοτικούς- ανισοτικούς- αρχικούς- τελικούς, και ελαχιστοποιεί την κατανάλωση καυσίμου: J ( u) = u( t) dt Εναλλακτικά, αλλά ισοδύναμα, θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί το κριτήριο J u Γιατί το J εξαρτάται μόνο το απο το u ενώ εμπεριέχει μόνο το x 3 (t f )? = x 3 t f t f 0 x = s υ m Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 12 T
Το Πρόβλημα του Βελτίστου Ελέγχου Στην πιο γενική περίπτωση, θεωρούµε τη ΔΕ που περιγράφει την δυναµική της εγκατάστασης Εισάγουµε την έννοια του Δείκτη Απόδωσης (performance index) ή Συνάρτησης Κόστους (cost function) ή Αντικειµενικής Συνάρτησης (objective function) η οποία πρέπει να ελαχιστοποιηθεί: Η «Συνάρτηση Απώλειας» (Loss Function) αντιπροσωπεύει κάποια ποινή που: Εξαρτάται από τη κατάσταση, την είσοδο ή από συνδυασµό τους, και Αναφορικα µε το χρόνο, είναι στατική ή χρονικά εξαρτώµενη. Παραδείγµατα: L x( t),u( t),t = 1 : ελαχιστοποίηση χρόνου, L x( t),u( t),t = u 2 ( t) : ελαχιστοποίηση ενέργειας, L x( t),u( t),t = u( t) : ελαχιστοποίηση καυσίµου Μπορεί να υπάρχουν και περιορισµοί (constraints) που συνδέουν είτε τη κατάσταση, είτε την είσοδο ή και τις 2, συνδυασµένα. Μπορεί να είναι : Ισοτικοί Ανισοτικοί ( ) 0 D x t, u t, t = 0 t t, t f C( x t, u t, t) 0 t t0, t f L x( t),u( t),t Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 13
Το Πρόβλημα του Βελτίστου Ελέγχου Κατά συνέπεια, το πρόβληµα βελτιστοποιήσεως έγγυται στην ανεύρεση εκείνης της συνάρτησης εισόδου u(t) t [t 0,t f ] η οποία : u * (t) Ελαχιστοποιεί (min) την αντικειµενική συνάρτηση J(u) και Υπόκειται (subject to s.t.) σε περιορισµούς : τόσο κατάστασης-εισόδου (ισοτικοί/ανισοτικοί) όσο και αυτούς που εισάγει η ΔΕ της δυναµικής του συστήµατος Αυτό το πρόβληµα βελτιστοποίησης εφράζεται µαθηµατικά ως min u J u Η προκύπτουσα ελαχιστοποιούσα συνάρτηση συµβολίζεται ως u (t) t [t 0,t f ] Προφανώς αυτή η βέλτιστη συνάρτηση εισόδου u (t) t [t 0,t f ], όταν εισαχθεί στη ΔΕ της δυναµικής του συστήµατος και αυτή συνεπώς επιλυθεί, οδηγεί στη βέλτιστη πορεία x (t) t [t 0,t f ], x (t 0 )=x 0 του συστήµατος! = 0 = 0 x 0 st.. x f x, u, t x t x D x t, u t, t = 0 C x t, u t, t 0 x * (t) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 14
Το Πρόβλημα του Βελτίστου Ελέγχου Το προηγούµενο γενικευµένο πρόβληµα µπορεί να αναχθεί σε απλούστερες µορφές όπου π.χ. το σύστηµα είναι γραµµικό ή οι ισοτικοί /ανισοτικοί περιορισµοί είναι απλά φράγµατα της κατάστασης ή της εισόδου κλπ. Σε αυτό το µάθηµα θα δοθεί έµφαση (αλλά όχι αποκλειστικότητα) σε µία από τις απλούστερες δυνατές µορφές, όπου: Το σύστηµα είναι ΓΧΑΣ Δεν υπάρχουν ισοτικοί / ανισοτικοί περιορισµοί εισόδων-καταστάσεων, και Η αντικειµενική συνάρτηση είναι τετραγωνική Ό όρος τεραγωνική πηγάζει από το ότι τόσο η Loss Function όσο και το τελικό κόστος είναι τετραγωνικοί όροι ϕ ( x( t f )) = 1 ( 2 xt t f ) S x( t f ) Παρατηρούµε ότι: Η Loss Function επιβαρύνει «µεγάλες καταστάσεις» και µεγάλη «κατανάλωση ενέργειας» Το τελικό κόστος επιβαρύνει την απόκλιση από τη µηδενική κατάσταση Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 15
min X s.t. = 0 0 J X Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών Βελτιστοποίηση Βελτιστοποίηση πεπερασµένης διάστασης άπειρης διάστασης G X (δηλ. Χ R d ) (δηλ. u(t) t [t 0,t f ] ) F X Η επίλυση των διατυπωθέντων προβληµάτων βελτίστου ελέγχου απαιτεί τη χρήση εννοιών πέρα της κλασσικής θεωρίας (στατικής) βελτιστοποίησης. Θα εισαχθούν έννοιες από τη περιοχή του Λογισµού των Μεταβολών (Calculus of Variations). Προφανώς, δεδοµένου ότι η εδώ παρουσίαση θα είναι εισαγωγική ( light ) θα την δούµε απλοποιηµένα θεωρώντας τα εξης: Όλες οι συναρτήσεις που ορίζονται εδώ έχουν συνεχείς µερικές παραγώγους, σε όλο το πεδίο ορισµού τους, ως πρός όλες τις µεταβλητές τους (εκτός αν ξεκάθαρα ορίζεται το αντίθετο), και Το πρόβληµα βελτιστοποίσης ορίζεται εδώ στην συνολική (global) µορφή του και δεν υπάρχουν ανισοτικοί περιορισµοί που το περιορίζουν. min u J u st.. x! = f x, u, t x t = x D x t, u t, t = 0 C x t, u t, t 0 0 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 16
Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Πεπερασμένες Διαστάσεις d Θεωρούµε τη συνάρτηση f :!! την οποία θέλουµε να d ελαχιστοποιήσουµε σε όλο το πεδίο ορισµού της z!, δηλαδή ψάχνουµε : Την ελάχιστη τιµή της συνάρτησης : min d f ( z), και z! Το σηµείο του πεδίου ορισµού που επιτυγχάνεται η ελαχιστοποίηση: z = arg min d f ( z) z! Αναζητούµε τις αναγκαίες συνθήκες ώστε το z* να ελαχιστοπoιεί την f (z). Προφανώς: ( ) f ( z ) υ! d, υ 0 f z + υ > Δηλαδή η κατευθυνόµενη πάραγωγος (directional derivative) της f (z) στο z*, ώς προς την κατεύθυνση του υ, είναι µηδενική που σηµαίνει ότι... f(z * +υ) f(z * ) z * +υ f(z * ) f(z* +υ) z * +υ Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ z * 17 17 z *
Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Πεπερασμένες Διαστάσεις ( + ε υ) f z f z f ( z ) υ = lim 0 + ε f ( z ± ε υ) > f ( z ) ε > 0 f ( z f ( z ε υ) f ( z ) f ( z ) ( υ) = f ( z ) υ = lim 0 + ε 0 ε Τ f ( z + ε υ) f ( z ) f ( z ) υ = lim 0 + ε 0 ε 0 f ( z ) υ = 0 Τ Τ f ( z ε υ) f ( z ) f ( z ) ( υ) = f ( z ) υ = lim 0 + ε 0 ε ε 0 ( z + ε υ) f ( z ) 0 ε f T ( z ) υ 0 Τ f ( z ) υ = 0 f ( z ε υ f ) T f( z( z) υ 0 ) = lim 0 + ε 0 ε f(z * +υ) f(z * ) z * +υ z * 0 Επειδή αυτό ισχύει για κάθε υ, τότε f z = Όλα τα σηµεία z* που ικανοποιούν αυτή τη σχέση λέγοντα «κρίσιµα σηµεία». Αν ένα σηµείο z* ελαχιστοπoιεί την f (z) τότε είναι και κρίσιµο σηµείο της. To «αντίστροφο»? Θέλει συζήτηση... Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 18
Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Πεπερασμένες Διαστάσεις Ένα κρίσιµο σηµείο µίας συνάρτησης ΔΕΝ την ελαχιστοποιεί όµως αναγκαστικά π.χ.: [ ] T [ ] 2 2 ü f. z = z1 + z2 2 f z = z1 z2 z = 0 0 το µοναδικό κρίσιµο σηµείο ΔΕΝ ελαχιστοποιεί τη συνάρτηση ΑΛΛΑ... την µεγιστοποιεί. T z * [ ] [ ] 2 2 ü f. z = z1 z2 2 f z = z1 z T 2 z = 0 0 το µοναδικό κρίσιµο σηµείο ΔΕΝ ελαχιστοποιεί τη συνάρτηση ΑΛΛΑ είναι «σηµείο σάγµατος». T Η εξαγωγή συµπερασµάτων για το είδος του κρίσιµου σηµείου απαιτεί την εξέταση της 2 ας παραγώγου (Hessian). z * Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 19
Παράδειγμα - 1 Να βρεθούν & χαρακτηριστούν τα ακρότατα της T με 10 ( 2x 1 2) x T = x 1 x 2 Προφανώς f ( x) = f ( x) x 1 f ( x) x 2 = {( x 1 1) 2 + ( x 2 2) 2 +10} 2 ( 10) ( 2x 2 4) ( x 1 1) 2 + x 2 2 { 2 +10} 2 και τα ακρότατα (κρίσιμα σημεία) είναι... f ( x) = Για να βρεθεί το είδος του ενός και μόναδικού ακροτάτου βρίσκουμε την Hessian 2 f x 2 f ( x) 2 f ( x ) = x 1 2 2 f x 10 ( x 1 1) 2 + x 2 2 2 +10 Δεδομένου ότι η Hessian είναι αρνητικά ορισμένη (δηλ. 2 f x ) συνάγουμε ότι το ακρότατο x T = 1 2 είναι σημείο μεγίστου της f (x), δηλαδή f x. < f x x 2 x 1 = 1 x x * x 1 x 2 x 2 2 2 f x f ( x ) = 0 x = Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 20 x=x = 1 5 0 x 1 x 2 0 1 5 = 1 2 < 0
Μιά Ειδική Περίπτωση Έστω η συνάρτηση f ( z) = 1 όπου,, 2 zt Qz + S T z z R 2 Q = Q T = T q 12 q 22 και. S = s 1 s 2 Για τα κρίσιμα σημεία H Hessian είναι 2 f z = Q f z = 0 Q z + S = 0 z = Q 1 S. Άρα για τα κρίσιμα σημεία z * έχουμε: Αντιστοιχούν σε ελάχιστα αν: 2 f(z * ) > 0 Q > 0 (o πίνακας Q είναι θετικά ορισμένος (Posi ve Definite - pd) Αντιστοιχούν σε μεγιστα άν: 2 f(z * ) < 0 Q < 0 (o πίνακας Q είναι αρνητικά ορισμένος (Nega ve Definite - nd) q 11 q 12 Αντιστοιχούν σε σημεία σάγματος αν: 2 f(z * ) (δηλ. ο πίνακας Q) είναι ακαθόριστος (Indefinite id). Αντιστοιχούν σε ιδιόμορφα σημεία αν: 2 f(z * ) =0 (δηλ. Q = 0) χρήζει περαιτέρω ανάλυσης για να καθορισθεί η «φύση» του κρίσιμου σημείου). Αν δέν έχουμε περίπτωση ιδιομορφίας τότε μπορούμε να έχουμε = 1 2 zt Qz + S T z f z z = Q 1 S = 1 2 Q 1 S Περι Τετραγωνικών Μορφων T Q( Q 1 S) + S T ( Q 1 S) = 1 2 ST QS Γιατί? Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 21
Παράδειγμα - 2 Έστω η περίπτωση όπου Q = Q T = 1 2 Τότε επειδή Q > 0 (γιατί?) το ακρότατο z = Q 1 S = 1 1 1 2 αντιστοιχεί σε ελάχιστο, = 1 2 και f z Οι ισοϋψείς της f (z) έχουν τη μορφή ελλείψεων. Κάθε «βέλος» δείχνει την κατεύθυνση της κλισης f z της f (z) σε κάθε σημείο z και είναι κάθετο στη από το z διερχόμενη ισοϋψή. 1 = Qz + S 0 1 = 1 1 1 1 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ S = 0 1 T f ( z) = 1 2 zt Qz + S T z 22