ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 10: Σύστηματα και απόκριση συχνότητας Λογαριθμικά διαγράμματα BODE Δ. Δημογιαννόπουλος, dimogia@teipir.gr Επ. Καθηγητής Τμήματος Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπς εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρπαϊκή Ένση (Ευρπαϊκό Κοιννικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Σκοποί ενότητας Η έννοια τν διαγραμμάτν BODE Σχεδιασμός από Συνάρτηση Μεταφοράς Εύρεση Συνάρτησης Μεταφοράς από BODE Διαβάζοντας τα BODE 4
Περιεχόμενα ενότητας Διαγράμματα BODE αρμονικής απόκρισης συστημάτν Παρουσίαση τν ασυμπττικών διαγραμμάτν λογαριθμικών κερδών/ φάσεν συναρτήσει του (διαγράμματα BODE) για στοιχειώδη συστήματα 1. Κέρδος Α, G(s)=A 2. Απλός μηδενιστής (ρίζα) στο μηδέν, G(s)=s 3. Απλός μηδενιστής (ρίζα) στο, G s = ( s + 1) 4. Ζεύγος μιγαδικών Μηδενιστών, G s = s2 2 + 2ζ s + 1 5
Περιεχόμενα ενότητας Παρουσίαση τν ασυμπττικών διαγραμμάτν λογαριθμικών κερδών/ φάσεν συναρτήσει του (διαγράμματα BODE) για στοιχειώδη συστήματα 5. Απλός Πόλος στο μηδέν, G s = 1 s 6. Απλός Πόλος στο, G s = 1 ( s +1) 7. Ζεύγος μιγαδικών πόλν, δηλαδή G s = 1 ( s2 2ζ 2+ +1) Παρατηρήσεις Παραδείγματα, Παραδείγματα-Αντίστροφη πορεία 6
Διαγράμματα BODE αρμονικής απόκρισης συστημάτν 7
Διαγράμματα BODE αρμονικής απόκρισης συστημάτν Ημιτονοειδές σήμα εισόδου σε σύστημα δημιουργεί ημιτονοειδή έξοδο με μέτρο και φάση εξαρτώμενες απο τη συχνότητα διέγερσης : 8
Διαγράμματα BODE αρμονικής απόκρισης συστημάτν Ημιτονοειδές σήμα εισόδου σε σύστημα δημιουργεί ημιτονοειδή έξοδο με μέτρο και φάση εξαρτώμενες απο τη συχνότητα διέγερσης : Έστ σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς G s = K s z 1 (s z m ) (s p 1 ) (s p ) m, με z i, p i R 9
Διαγράμματα BODE αρμονικής απόκρισης συστημάτν Ημιτονοειδές σήμα εισόδου σε σύστημα δημιουργεί ημιτονοειδή έξοδο με μέτρο και φάση εξαρτώμενες απο τη συχνότητα διέγερσης : Έστ σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς G s = K s z 1 (s z m ) (s p 1 ) (s p ) m, με z i, p i R Για συχνότητα διέγερσης, η αρμονική συνάρτηση G(j) δίδεται αν θέσουμε s=j (όπς έχουμε δείξει παλαιότερα) G j = K j z 1 (j z m ) = Κ Μ z1 e jφz1 Μ z m ejφ zm (j p 1 ) (j p ) Μ p 1 ejφ p1 Μ p ejφ p (1) 10
Άρα G j = Κ Μ z1 Μ zm Μ p 1 Μ p e j(φ z 1 +φ z2+ +φzm φ p 1 φ ) p2 φp φ{g j } (2) G(j) Για τη δεδομένη συχνότητα λοιπόν μπορούμε να βρούμε το μέτρο G(j) και τη φάση φ{g(j)} αν γνρίζουμε τα αντίστοιχα μεγέθη τν στοιχειδών υποσυστημάτν s z 1 (s z m ) και 1 (s p 1 ) 1 (s p )!! 11
Μια πλήρης μελέτη του συστήματος G(s) σημαίνει: τη δοκιμή αυτού με ημιτονοειδή είσοδο συχνότητας για 0 < < 12
Μια πλήρης μελέτη του συστήματος G(s) σημαίνει: τη δοκιμή αυτού με ημιτονοειδή είσοδο συχνότητας για 0 < < και την καταγραφή του μέτρου G(j) και φάσης φ{g(j)} σε διαγράμματα 13
Μια πλήρης μελέτη του συστήματος G(s) σημαίνει τη δοκιμή αυτού με ημιτονοειδή είσοδο συχνότητας για 0 < < και την καταγραφή του μέτρου G(j) και φάσης φ{g(j)} σε διαγράμματα Nyquist (δηλαδή απεικόνιση του G(j) συναρτήσει του φ{g(j)}) λογαριθμικά BODE (δηλαδή απεικόνιση του G(j) σε λογαριθμική μορφή συναρτήσει του, και του φ{g(j)} συναρτήσει του ). ή Στα επόμενα Θα ασχοληθούμε με τα ασυμπττικά διαγράμματα BODE. 14
Έχουμε δύο επιλογές: Είτε δοκιμάζουμε το φυσικό σύστημα του οποίου τα χαρακτηριστικά (συνάρτηση μεταφοράς) είναι άγνστα και καταγράφουμε τα αποτελέσματα G(j) και φ{g(j)} σε διάγραμμα ή Γνρίζουμε τη συνάρτηση μεταφοράς G(s) και με τη βοήθεια της σχέσης (2) υπολογίζουμε G(j) και φ{g(j)} ς επαλληλία τν στοιχειδών υποσυστημάτν. Σε κάθε περίπτση μόνο το G(j) θα δίδεται σε λογαριθμική μορφή δηλαδή M db = 20 log 10 G(j) όπου M db σε decibel. 15
Θα μελετήσουμε την περίπτση που σχεδιάζουμε /αναπτύσσουμε ένα σύστημα οπότε και γνρίζουμε (αφού το σχεδιάζουμε) τη συνάρτηση μεταφοράς G(s). Φέρνουμε την G(s) στη μορφή: G s = A s α P(s) Q(s) με P(0)=Q(0)=1 (3) Όπς πάντα θα ισχύει G j = A Μ z1 Μ zm. Λογαριθμίζοντας έχουμε: Μ p 1 Μ p M db G j = 20 log 10 G j = 20 log 10 Α + 20 log 10 Μ z1 + + 20 log 10 Μ zm 20 log 10 Μ p1 20 log 10 Μ p = M db A + M db z 1 + + M db z m M db p 1 M db p 16
ΑΡΑ: Γνώση τν λογαριθμικών κερδών κάθε στοιχειώδους υποσυστήματος για 0 < < σε διάγραμμα συναρτήσει του και Επαλληλία για κάθε τιμή του τν αντιστοίχν (λογαριθμικών) κερδών, ώστε να έχουμε το διάγραμμα G(j) συναρτήσει του! Όμοια εργαζόμαστε και για τις (όχι λογαριθμικές) φάσεις τν στοιχειδών υποσυστημάτν. 17
Παρουσίαση τν ασυμπττικών διαγραμμάτν λογαριθμικών κερδών/ φάσεν συναρτήσει του (διαγράμματα BODE) για στοιχειώδη συστήματα 18
1. Κέρδος Α, δηλαδή G(s)=A Μ(db) Παράδειγμα: 20 log 10 (A) A=1 M db = 20 log 10 1 = 0 0 A = 1 2 M db = 20 log 10 2 = 6db A = 2 M db = 20 log 10 2 = 6db Φ 0-180 Α > 0 Α < 0 Η φάση είναι πάντα 0 για A>0 ή -180 για Α<0 19
2. Απλός μηδενιστής (ρίζα) στο μηδέν G(s)=s Μ(db) 12 6 0 6 db/oct 1 2 4 Άνοδος με κλίση 6db/oct (1 Οκτάβα: ->2) Τομή με άξονα του στο 1 Φ +90 ο 0 Φάση σταθερά +90 ο. 20
3. Απλός μηδενιστής (ρίζα) στο, G s = ( s + 1) *Μελετούμε την και όχι την G s = ( s + 1) F s = s + 1 1 διότι αν F(s) στη μορφή (3) τότε F s = 1 s + 1 1 κέρδος A = 1, που είδη μελετήσαμε πριν!! άρα υπάρχει και απλό 21
3. Απλός μηδενιστής (ρίζα) στο, G s = ( s + 1) Μ(db) 6 db/oct Άνοδος με κλίση 6db/oct 6 0 3 2 Τομή με άξονα του στο Μέχρι τα r/s M db =0 Φ 0 ές 0.1 φ=0 0.1 ές 10 Άνοδος με 45 ο /δεκάδα 10 ές φ=+90 ο +90 ο +45 ο 0 0.1 Ασυμπττικό --- πραγματικό 45 o /δεκ. 10 0.1 : ΜΙΑ δεκαδα 10 : ΜΙΑ δεκαδα 10 100 : ΜΙΑ δεκαδα 22
4. Ζεύγος μιγαδικών Μηδενιστών, G s = s2 2 + 2ζ s + 1 Μ(db) 12 db/oct Άνοδος με κλίση 12db/oct 12 Τομή με άξονα του στο 0 2 Μέχρι τα r/s M db =0 Φ +180 ο 90 o /δεκ. Από 0 ές 0.1 : φ=0 0.1 ές 10 : Άνοδος με 90 ο /δεκάδα +90 ο 0 0.1 10 10 ές : φ=+180 Ασυμπττικό --- πραγματικό 23
5. Απλός Πόλος στο μηδέν, G s = 1 s Μ(db) -6 0-12 1 2 4 6 db/oct Όπς και με τον αντίστοιχο μηδενιστή αλλά Φ συμμετρικά ς προς τον άξονα τν! 0-90 ο 24
Μ(db) 6. Απλός Πόλος στο, G s = 1 ( s +1) 0-3 -6 2 6 db/oct Όπς και με τον αντίστοιχο μηδενιστή Φ αλλά συμμετρικά ς προς τον άξονα τν! 0-45 ο -90 ο 0.1 10 45o /δεκ. 25
Μ(db) 7. Ζεύγος μιγαδικών πόλν, G s = 1 ( s2 2ζ 2+ s+1) 0-12 2 12 db/oct Όπς και με τον αντίστοιχο μηδενιστή Φ αλλά συμμετρικά ς προς τον άξονα τν! 0-90 ο -180 ο 0.1 10 90 o /δεκ. 26
Παρατηρήσεις Όλα τα παραπάν διαγράμματα BODE είναι ασυμπττικές προσεγγίσεις ν πραγματικών, οι οποίες όμς περιγράφουν επαρκώς την πραγματικότητα. Τα ακριβή διαγράμματα BODE είναι δύσκολο να υπολογιστούν / χαραχθούν, εκτός της περιπτώσες όπου χρησιμοποιείται κατάλληλο λογισμικό. Οι κύριες διαφορές μεταξύ ασυμπττικών και πραγματικών BODE δίδονται στη συνέχεια για την περίπτση τν στοιχειδών συστημάτν όπου εμπλέκονται πόλοι. Για την περίπτση τν συστημάτν όπου εμπλέκονται μηδενιστές (ρίζες) τα διαγράμματα BODE είναι τα συμμετρικά τν προηγούμενν ς προς τον άξονα του. 27
Μ(db) G s = 1 ( s + 1) 0-3 -6 2 6 db/oct Μέτρο: Πραγματικό Ασυμπττικό = -3db στο Φ 0-45 ο -90 ο 0.1 10 45o /δεκ. 28
Μ(db) G s = 1 ( s2 2 + 2ζ + 1) 0-12 2 12 db/oct Μέτρο: Πραγματικό Ασυμπττικό=Η διαφορά δίδεται από πίνακες ~ ζ! Φ 0-90 ο -180 ο 0.1 10 90 o /δεκ. 29
https://www.flickr.com/photos/mitopecourseware/3028052632/ 30
Παράδειγμα Έστ G s = 64(s+1) s(s+2)(s 2 +8s+16) Να γίνει το ασυμπττικό διάγραμμα BODE Μεταφέρουμε την G(s) στην μορφή G s = A s α P(s) Q(s) με P(0)=Q(0)=1 G s = 64( s 1 +1) = 2 16 s( s 2 +1)(s2 16 +1 2 s+1) 2( s 1 +1) s( s 2 +1)(s2 4 2+1 2 s+1) Κέρδος A = 2 => M db = 20 log 10 2 = 6db Μηδενιστής z 1 =1, πόλοι p1 = 2, p2 = p3 = 4, p4 = 0 31
Ακολουθώντας την ίδια λογική της επαλληλίας στοιχειδών όρν (υποσυστημάτν) κατασκευάζουμε το διάγραμμα φάσης [ΠΡΟΣΟΧΗ στον ΠΙΝΑΚΑ!] 32
Παράδειγμα Αντίστροφη πορεία 33
Αντίστροφη πορεία Μας δίδεται το ασυμπττικό BODE και αναγνρίζουμε τη Συνάρτηση Μεταφοράς 0 0.1r/s: Κλίση 0 db/oct, Κέρδος= -6db A = 1 2 0.1 0.2r/s (1 oct) Κλίση +6 db/oct ( s 0.1 + 1) 0.2 0.5 r/s Κλίση 0 db/oct άρα παράγοντας που δίδει -6 db/oct ( 1 s 0.2 +1) 0.5 1 r/s (1 oct) Κλίση -6 db/oct άρα παράγοντας που δίδει -6 db/oct ( 1 s 0.5 +1) 1 Κλίση 0 db/oct άρα παράγοντας που δίδει +6 db/oct ( s 1 + 1) 34
Απάντηση. G s = s 0.5( 0.1 +1)(s+1) s +1)( ( s 0.2 0.5 0.2 0.5(s+0.1)(s+1) = 0.5 +1) 0.1 (s+0.2)(s+0.5) = 0.5(s+0.1)(s+1) (s+0.2)(s+0.5) 35
Διάγραμμα φάσης Με τα διαγράμματα έτοιμα μπορούμε να γνρίζουμε την απόκριση του συστήματος για κάθε : =0.03 r/s y(t)=1si(0.03t+φ*) (διότι M db = 0, φ = φ για =0.03) =16r/s y(t)=0.5si(16t) 36
Τέλος Ενότητας