ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

www.ifospoudes.gr ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Δ.Α.Π.-Ν.Δ.Φ.Κ. ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ www.dap-pape.gr

www.ifospoudes.gr S.O.S ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ) Μια οικογένεια έχει παιδιά. Να βρεθεί η πιθανότητα : α)να έχει κορίτσια β)τουλάχιστον 5 κορ. γ)το πολύ κορ. δ)ποιος ο αναμενόμενος αριθμός κοριτσιών ε)δώστε διάστημα που με 95% σιγουριά θα βρίσκεται ο αριθμός κοριτσιών της οικογένειας. α)= ΤΥΠΟΣ:b=(,k,p)= p k k (-p) q=-p=-/=/ b(,,/)=! = 4!! =5/4 5 β)b(,k 5,/)=b(,5,/)+b(,,/)= =/4+/4=7/4 0 γ)b(,k,/ ) =b(,0,/)+b(,,/)= 7/4 δ) μ=ε () =p= (/)=3 k 0 5 5 + + = ε) μ=, σ= pq = 4, (3-. 5, 3+. 5 )

www.ifospoudes.gr ) Το μέσο ύψος των φοιτητών του ΠΑ.ΠΕΙ. είναι 75 cm με διασπορά 00 cm. Να υπολογιστούν α)το ποσοστό των φοιτητών που το ύψος τους κυμαίνεται από,5 μέχρι,85.β)το ποσοστό των φοιτητών που το ύψος τους είναι μικρότερο από,75.γ)το ποσοστό των φοιτητών που το ύψος τους είναι μικρότερο,55.δ)το ποσοστό των φοιτητών που είναι ψηλότεροι από,95.ε)με βάση ότι το ΠΑ.ΠΕΙ. έχει 7000 φοιτητές να υπολογίσετε πόσοι φοιτητές έχουν ύψος πάνω από,05 cm Μ=75 σ =00 άρα σ=0 5 75 α)ρ(5<<85)=( < < 0 85 75 0 )=φ()-(-φ())=φ()-=(0,84)-=,8-=0,8=8% β)(<75)=( γ)(<55)=( 75 75 75 0 0 55 75 0 )=(-<z<)=φ()-φ(- )=(z<0)=φ(0)=0,5=50% )=(z<-)=φ(-)=-φ() 95 75 δ)(>95)=( ) =(z>)=-(z<)=-φ() 0 ε)(>05)=( 05 75 ) 0 στους 00 αντιστοιχεί 0,3 στους 7000 Χ(πόσοι?) (z>3)=-(z<3)=-φ(3)=0,3% 3)έστω ότι τα τροχαία ατυχήματα στην εθνική οδό Αθηνών Κορίνθου είναι κατά μέσο όρο 3 ανά ημέρα. Να υπολογιστούν α) η πιθανότητα μια συγκεκριμένη μέρα να έχουμε τουλάχιστον ατύχημα. Είναι κανονική κατανομή τύπος = e 0! e! 3 0 3 3 (τουλ. ατύχημα)=-(0)=- e 3

www.ifospoudes.gr β)η πιθανότητα μια συγκεκριμένη μέρα να έχουμε ακριβώς ατύχ. 3 3 e 3 ()= 3e! γ)η πιθανότητα μια συγκεκριμένη μέρα να έχουμε το πολύ ένα ατυχ. 3 3 3 (0)+()= e 3e 4e δ)να υπολογιστεί ένα διάστημα εμπιστοσύνης που με σιγουριά τουλάχιστον 95%να εμπεριέχει τα ατυχήματα μιας συγκεκριμένης ημέρας μ=3 σ= 3 μ s [μ-s,μ+s]=[3-3,3+ 3 ] ε)να υπολογίσετε την πιθανότητα να έχουμε ακριβώς ατυχήματα μέσα σε ένα διήμερο. Το τριήμερο μ=*3= e 3e ()= 8e! Στ) την πιθανότητα σε 0 διαδοχικές μέρες να υπάρχουν ακριβώς 3 που να έχει συμβεί ακριβώς ατύχημα. ΔΙΩΝΥΜΙΚΗ b(0,3,3e 3 ) 3 3 3 03 0! 3 3 3 7 3 3 3 3e 3e 3e 3e 03e 3e 7 0 3 3!7! 4

www.ifospoudes.gr )Θα μπορούσατε να χρησιμοποιήσετε τη διωνυμική κατανομή για να μελετήσετε την επίδοση των φοιτητών σε ένα μάθημα? ΝΑΙ, για το αν έχουν περάσει το μάθημα ή όχι. Η διωνυμική κατανομή αποτελείται από ονόματα-κατηγορίες. σχετίζεται με πειράματα ή φαινόμενα που εμφανίζουν ή που παράγονται σε μόνο ενδεχόμενα. Σε αυτήν την περίπτωση, η μία κατηγορία είναι οι μαθητές που πέρασαν σε ένα μάθημα και η άλλη οι μαθητές που απέτυχαν. )Για να δημιουργήσουμε μια θεωρητική κατανομή δειγματοληψίας είναι απαραίτητο να πάρουμε δείγματα με τουλάχιστον 30 παρατηρήσεις. Σχολιάστε. Πληθυσμός>δείγμα>παρατήρηση Εξαρτάται από το μέγεθος των δειγμάτων και του πληθ. Όχι, δεν είναι απαραίτητο. Τουλάχιστον 30 παρατηρήσεις θέλουμε για να το χαρακτηρίσουμε το δείγμα μεγάλο. 3)Ο κίνδυνος καταναλωτή υπολογίζεται αφαιρώντας τον κίνδυνο παραγωγού από τη μονάδα. Σχολιάστε. Οι πιθανότητες δε συνδέονται συναρτησιακά μεταξύ τους γιατί δεν έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού. Είναι όμως τέτοιες ώστε για ορισμένο μέγεθος δείγματος να μην μπορούμε να ελαττώσουμε και τις γιατί κατά κανόνα η αύξηση της μιας συνεπάγεται αύξηση της άλλης. Άρα ο κίνδυνος καταναλωτή Ρ(Β) και ο κίνδυνος παραγωγού Ρ(Α) συνδέονται ως εξης. Ρ(α)+Ρ(β)= 4) Αν σας δοθεί ότι F=0. και r =0.8 σε μία γραμμική παλινδρόμηση τι συμπέρασμα βγάζετε? Ότι υπάρχει χαλαρή συσχέτιση μεταξύ του και y γιατί το r πολύ μεγάλο ενώ το F σχετικά μικρό. είναι 5

www.ifospoudes.gr 5) Ποιο έχει μεγαλύτερη τυπική απόκλιση? 500,50,50,503,504,505 0,80,50,00,50 το Β έχει μεγαλύτερη τυπική απόκλιση γιατί οι τιμές του είναι διεσπαρμένες σε τμήμα μεγαλύτερο από το διάστημα του συνόλου Α. ) Ενδεχόμενα στη ρίψη ενός νομίσματος είναι αμοιβαία αποκλειόμενα όταν η πιθανότητα για κορόνα =με πιθανότητα για γράμματα. Σχολιάστε. Αμοιβαία αποκλειόμενα όταν αφού συμβεί το ένα αποκλείεται το άλλο. Το καθένα έχει πιθανότητα 50% να συμβεί/ 7) Σε μια κανονική κατανομή με Μ.Ο. 9 και τυπική απόκλιση s=,μπορεί ο διάμεσος να είναι? Κανονική κατανομή συνεπάγεται Μ.Ο.=ΔΙΑΜΕΣΟΣ=ΕΠΙΚΡΤΟΥΣΑ ΤΙΜΗ. 8) Κατάλοιπο παλινδρόμησης. Είναι η διαφορά y - y η οποία λέγεται και ανερμήνευτη απόκλιση από την παλινδρόμηση. Ολική απόκλ.=ανερμήνευτη+ερμηνεύομενη. 9)Εάν r =0,3 μπορούμε να πούμε ότι το 30 % της ολικής μεταβλητότητας ερμηνεύεται από τη γραμμική παλινδρόμηση? Αν r= 0.3 τότε r =0,09. ο συντελεστής προσδιορισμού είναι αυτός που καθορίζει το ποσό της ολικής μεταβλητότητας των y από το μέσο όρο y και εξηγείται από την γραμμική παλινδρόμηση και όχι ο συντελεστής συσχέτισης r. Άρα δε μπορούμε να το πούμε αυτό. 0)Η χρήση ηλεκτρ. Υπολογ. Έδωσε τη δυνατότητα για απόλυτη ακρίβεια στον προσδιορισμό του μέσου όρου δείγματος με το μ.ο. πληθυσμού.

www.ifospoudes.gr Αν η διαφορά μ.ο. δείγματος και μ.ο. πληθυσμού είναι σημαντική ή όχι μπορεί να γίνει με πιθανολόγηση. το σφάλμα δειγματοληψίας δεν είναι αρμονική διαφορά κ δεν οφείλεται στον άνθρωπο. )Αν α=4,χ= και Σ= υπολογίστε το y=α+βχ y=4+*=8 ) Τι σημαίνει F=40 σε μια γραμμική παλινδρόμηση? Ένα τόσο μεγάλο F σημαίνει ότι υπάρχει έντονη συσχέτιση μεταξύ των δυο μεταβλητών. 3) Η διωνυμική κατανομή έχει μικρή σημασία δεδομένου ότι μπορεί πάντοτε να προσεγγίζεται από την κανονική κατανομή. Η διωνυμική κατανομή έχει μεγάλη σημασία. Δε μπορεί πάντοτε να προσεγγίζεται από την κανονική καταν. Η κανονική κατανομή προσεγγίζει τη διωνυμική όταν το πλήθος των επαναλήψεων του πειράματος είναι μεγάλο και το πλήθος των επιθυμητών αποτελεσμάτων μικρό. 4)Η τομή συμπληρωματικών γεγονότων σε ακραίες περιπτώσεις μπορεί να είναι μεγαλύτερη ακόμα και από το δειγματικό τους χώρο. Όχι, ποτέ η τομή συμπληρωματικών γεγονότων δε μπορεί να είναι μεγαλύτερη από το δειγματικό τους χώρο. 5)Ποιοι δείκτες διασποράς μετριούνται με την ίδια μονάδα μέτρησης που μετρούνται και τα δεδομένα ενός δείγματος και ποιοι όχι? ΕΥΡΟΣ, ΜΕΣΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ, ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ, με την ίδια μονάδα. ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ, ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ όχι. 7

www.ifospoudes.gr )Σε ποιες περιπτώσεις τα όρια επιφυλακής σε μια διαδικασία βρίσκονται στο διάστημα μ 3σ όταν η φυσική αρχή της διαδικασίας είναι μ σ? Σε καμιά περίπτωση γιατί τα όρια βρίσκονται πάντα εκτός των ορίων της φυσική ανοχής και μάλιστα τα πρώτα στο διάστημα μ σ και τα δεύτερα στο μ 3σ. 7)Όταν το σφάλμα δειγματοληψίας απορρίψουμε τη μηδενική υπόθεση. είναι ασήμαντο πρέπει να Εξαρτάται από το τι έχουμε ορίσει ως μηδενική υπόθεση. Συνήθως ορίζεται ότι δεν υπάρχει διαφορά μεταξύ της παρατηρούμενης τιμής και της αναμενόμενης. Όταν αυτό ισχύει και το σφάλμα δειγματοληψίας είναι ασήμαντο την αποδεχόμαστε ως ορθή. 8)Πού χρησιμοποιούμε τον έλεγχο της μηδενικής υπόθεσης στην γραμμική παλινδρόμηση? Για τον έλεγχο της αξιοπιστίας του συντελεστή b. Πραγματική τιμή τουb είναι 0. ο έλεγχος γίνεται με το κριτήριο t. Γιατί ακόμα κι αν είχαμε χρησιμοποιήσει άσχετα και y τυχαίοι παράγοντες μπορούν να δώσουν b 0. 8

www.ifospoudes.gr ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΔΕΙΚΤΕΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΤΑΣΗΣ ΜΕΣΟΣ ΟΡΟΣ= πληθυσμού πληθυσμού άώέ ήsέ μ = Όπου μ=μέσος όροs Ν= πλήθος δεδομένων Χ=τιμές δεδομένων Σ=άθροισμα = = w w w όπου =πλήθος δεδομένων δείγματος και όπου w= η βαρύτητα τηs τιμήs ενός δεδομένου ΔΕΙΚΤΕΣ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ΕΥΡΟΣ R= δεδομένων δεδομένων όπου R=εύρος, ma m ma =μέγιστη τιμή =ελάχιστη τιμή m ΜΕΣΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ MAD= όπου MAD=μέση απόκλιση 9

www.ifospoudes.gr ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ σ= απόκλιση τιμών πληθυσμού πληθυσμού πληθυσμού ( ) N όπου σ=η τυπική μ=μέσος όρος Ν=πλήθος ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ C V= s ή C V= 00 C V= συντελεστής μεταβλητότητας s όπου Ρ(Α)= ΑΡΙΘΜΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΩΝ Α / ΣΥΝΟΛ. ΑΡΙΘΜ. ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΩΝ Δηλ. Ρ(Α)= ΑΡΙΘΜ. ΕΥΝΟΪΚΩΝ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ / ΣΥΝΟΛ. ΑΡΙΘΜ. ΔΥΝΑΤΩΝ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ ΑΞΙΩΜΑΤΑ KOLMOGOROV. Ρ(Α) 0. Ρ(Ω)= (ΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ) 3. Ρ(Α+Β)= Ρ(Α) = Ρ(Β), εάν ΑΒ=0 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ Ρ(Α) Ρ(Α) =-Ρ(Α) Ρ(Α+Β) με ΑΒ=0 τότε Ρ(Α+Β) = Ρ(Α ή Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α+Β) με ΑΒ 0 τότε Ρ(Α+Β) =Ρ(Α ή Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(ΑΒ)= Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α και Β) Ρ(ΑΒ) όπου Α,Β ανεξάρτητα, τότε Ρ(ΑΒ)=Ρ(Α και Β)= Ρ(Α) Ρ(Β) Ρ(ΑΒ) όπου Α,Β εξαρτημένα, τότε Ρ(ΑΒ)=Ρ(Α+Β)=Ρ(Α) Ρ(Β/Α) με Ρ(Α) 0 Ή Ρ(ΑΒ)=Ρ(Α+Β)=Ρ(Β) Ρ(Α/Β) με Ρ(Β) 0 0

www.ifospoudes.gr ΘΕΩΡΗΜΑ ΒAYES Ρ( B A )= A B A A B A όπου =,,3..... ΔΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ =!!( )! p q ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ μ= p ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ σ= pq KATANOMH OISSON e! χρησιμοποιείται για προσέγγιση της διωνυμικής όταν p<0., >0 και p<0 ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ z= [ ] 8.7% [ ] 95.45% [ 3] 99.73% ΚΕΝΤΡΙΚΟ ΟΡΙΑΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ σ = όπου σ=τυπική απόκλιση πληθ. =αριθμός παρατηρ. τιμών δείγματος ΣΦΑΛΜΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Ε= μ ή Ε=Ζ a s για >30

www.ifospoudes.gr ΚΑΤΑ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ σ= ( ) ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΚΑΤΑ ΤΟ ΚΕΝΤΡΙΚΟ ΟΡΙΑΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Σ D = Q ΣΦΑΛΜΑ ΕΚΤΙΜΗΣΗΣ Ε=p-=Z a -σ p ΜΕΓΕΘΟΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ Z a = E ΠΟΣΟΣΤΟ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ p p= p ΚΑΤΑΝΟΜΗ F S F= S ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ Ε=Σ(y -y ) =Σ[y -(a+b )] Όπου y =μια γνωστή από τα δεδομένα τιμή της μεταβλητής y =η τιμή που υπολογίζεται από τη ζητούμενη γραμμική συνάρτηση

www.ifospoudes.gr όταν b= y y και α= y b ( y y) ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ r ΟΛΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ y - y ΕΡΜΗΝΕΥΜΕΝΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΑΝΕΡΜΗΝΕΥΤΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ y y y y ( y y) ΙΣΧΥΕΙ ΟΛΙΚΗ ΑΠΟΚΛ.= ΕΡΜΗΝΕΥΜΕΝΗ ΚΑΙ ΑΝΕΡΜΗΝΕΥΤΗ ΚΡΙΤΗΡΙΟ F F= ( y y) m ( y y ) m b ό ΚΡΙΤΗΡΙΟ t t= b ΤΥΠΙΚΟ ΣΦΑΛΜΑ S y ( y y ) ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΕΣΩΝ ΟΡΩΝ ΔΕΙΓΜΑΤΩΝ ΑΟΕ X = ΚΟΕ = 3 A R 3 A R ΕΛΕΓΧΟΣ ΕΥΡΟΥΣ ΔΕΙΓΜΑΤΩΝ ΑΟΕ R = ΚΟΕ R = D 4 R R D 3 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑΣ ΕΡΓΩΝ 3

4 B A A t e ) ( ) ( B A B A AB e 4 b m a t e a b e ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ ΕΡΓΟΥ e διακύμανση τυπική απόκλιση ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΗ ΤΙΜΗ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ X X X X X E...... ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ y y S S b S S y Cov ), ( ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΑ ΑΠΟΔΟΣΗ ΜΕΤΟΧΗΣ ( ) t t t D R R =η απόδοση μετοχής t =η τιμή μετοχής τη στιγμή t D=το τυχόν μέρισμα της μετοχής στο διάστημα από t- έως t t =η τιμή μετοχής τη χρονική στιγμή t- www.ifospoudes.gr