A) gravitačné pole, Newtonov gravitačný zákon (Hajko, II/78 - skrátené) 1. Vypočítajte potenciál φ gravitačného poľa kruhovej dosky (zanedbateľnej hrúbky) hmotnosti m a polomeru v bode P ležiacom na osi kolmej na dosku a prechádzajúcej jej stredom. Vzdialenosť bodu P od stredu dosky je a. ( + a ) ϕ = κ m a (MMF, s. 8, modifikované podľa Hajko, II/77). Určite potenciál φ gravitačného poľa homogénnej tyče dĺžky l a hmotnosti m v bode P, ležiacom v predĺžení tyče vo vzdialenosti a od jej konca. m l + a ϕ = κ ln l a (FKS 1997/1998, B-6.4). Akú výšku h nad povrchom Zeme a akú veľkosť (obežnej) rýchlosti majú geostacionárne družice? Polomer Zeme je, veľkosť uhlovej rýchlosti jej rotácie Ω. h = κm 5850km; v = κmω,08km. s Ω 1 (N 00/00, 5) 4. Vo výške 450 km nad povrchom planétky je veľkosť gravitačného zrýchlenia 100-krát menšie než na jej povrchu. Aký je polomer neznámej planétky? [50 km] (N 00/00, 6) 5. V planéte tvaru gule s homogénnou hustotou ρ a polomerom je guľová dutina s polomerom /. Hmotnosť planéty je M. Aké je gravitačné zrýchlenie v bode A na povrchu planéty? 4 M κ 7 verzia ZS 01 1/8
(N 007/008, 15) 6. V istej guľovej planéte z homogénneho materiálu našli dutinu tvaru gule, dotýkajúcu sa povrchu planéty v bode A i jej stredu. Veľkosť gravitačného zrýchlenia v bode A je a. Aká je veľkosť gravitačného zrýchlenia v protiľahlom bode B? 17 a 9 (N 009/010, 7) 7. V inej galaxii sa nachádza planetárna sústava podobná tej našej. ozdiel je v tom, že všetky rozmery sú tam tretinové a všetky hustoty polovičné. Koľko trvá na tamojšej Zemi rok? (FKS 1994/1995, A-6.4) [ roka] 8. Jeden z najväčších projektov minulého storočia bol projekt gravitačného vlaku z Moskvy do Vladivostoku. Krížom cez Zem (najkratšou cestou; Zem má polomer ) by sa vykopal tunel, v ktorom by sa pohyboval vlak len pôsobením gravitačných síl. Aký pohyb by vykonával takýto vlak? Ako dlho by trvala cesta z Moskvy do Vladivostoku takýmto vlakom? [kmity s periódou π ] g (FYKOS XVII-III.1) 9. (*) Tri rovnaké družice obiehajú po kružnici okolo malej planétky veľkosťou rýchlosti v tak, že sú neustále vo vrcholoch rovnostranného trojuholníka. Určite hmotnosti družíc (nemožno ich považovať za zanedbateľne malé voči hmotnosti planétky!) v κm [hmotnosti troch družíc budú rovnaké, rovné ] κ (FKS 1997/1998, A-6.) 10. (*) Predstavte si, že by sme prevŕtali Zem (s polomerom ) až do jej stredu, niečo sme tam hodili a teraz to odtiaľ ťaháme von. Na to budeme potrebovať nejakú energiu E 1. Následne si predstavte situáciu, že Zem je dutá a celá jej hmotnosť je sústredená v škrupine na povrchu Zeme hrubej 1 meter. Ak by sme teraz vyťahovali to isté niečo zo stredu Zeme, vykonáme prácu E. Porovnajte veľkosti E 1 a E. d E = E1. verzia ZS 01 /8
(FYKOS XIII-I.4) 11. (*) Planéta s polomerom = 6 400 km je obklopená H = 10 km hlbokým morom s hustotou ρ = 1 000 kg.m -. Meraním bolo zistené, že pri ponáraní sa telesa do mora sa nemení gravitačná sila na neho pôsobiaca. Vypočítajte veľkosť gravitačného zrýchlenia g na povrchu planéty. [g,68 m.s - ; zadanie je však chybné, nemožno dosiahnuť g = konšt. po celú dobu ponárania sa telesa] (FYKOS XI-IV.4; kvalitatívne FKS 1994/1995, A-1.4) 1. (*) Kedy ukážu pružinové váhy na rovníku väčšiu hmotnosť telesa: napoludnie alebo o polnoci? O koľko percent sa budú údaje líšiť? Uvažujte len sústavu Zem Slnko (Mesiac niekam odletel ). [o polnoci; prakticky nerozlíšiteľný rozdiel 10-9 %] (FX, D) 1. (**) V rámci ekonomických opatrení pred oslavou jubilejného roka 000 sa byrokracia rozhodla skrátiť výdavky tým, že odstránia polovicu Zeme (s hmotnosťou M, polomerom a hustotou ρ). Výkonná čata najprv rozrezala Zem na dve polgule, a potom jednu z nich vymazala (príkazom delete, samozrejme). 4 κπ ρ a) Akou veľkosťou sily sa tieto dve polgule priťahovali? b) Po vymazaní druhej polgule, aké bolo gravitačné zrýchlenie v mieste, kde sa kedysi nachádzal κm stred Zeme? = g 0 7,6m. s 4 4 (FX, D1) 14. (**) Je všeobecne známe, že Zem je guľa s polomerom. Kedysi si však ľudia mysleli, že Zem je nekonečná homogénna platňa s hrúbkou h. Zistite, aká by musela byť hrúbka h, aby bolo na plochej Zemi rovnaké gravitačné zrýchlenie, ako je teraz. Predpokladajte, že hustota plochej Zeme by bola rovnaká, ako je priemerná hustota Zeme teraz. h = verzia ZS 01 /8
B) pohyb telies v gravitačnom poli, Keplerove zákony (Hajko, II/79) 15. Akú veľkosť rýchlosti v vo vodorovnom smere treba udeliť nejakému telesu vo výške h = 500 km nad zemským povrchom, aby sa pohybovalo ako umelá družica Zeme po kruhovej dráhe? (Uvažujte polomer Zeme = 6 71 km) (Hajko, II/81) v = g + h = 7,6km. s 1 16. Teleso bolo vrhnuté z povrchu Zeme zvislo nahor rýchlosťou v 0. Do akej výšky teleso h vystúpi a aká by musela byť minimálna počiatočná veľkosť rýchlosti v 0 min, aby teleso nespadlo späť na Zem? (N 1999/000, ) v0 h = g v 0 ; v 0 min = g = 11,km. s 17. Z povrchu planéty s polomerom štartuje zvislo nahor raketa prvou kozmickou rýchlosťou. Do akej výšky h meranej od povrchu planéty sa dostane raketa? Trenie v atmosfére neuvažujte. (N 008/009, 11) 1 [ h = ] 18. Kozmická loď krúži vo vzdialenosti okolo hviezdy s hmotnosťou M a chystá sa vypustiť malú sondu za účelom preskúmania hviezdy. Aká je minimálna veľkosť rýchlosti, ktorú musí kozmická loď udeliť prieskumnej sonde, aby táto spadla na hviezdu? Predpokladajte, že vzdialenosť je oveľa väčšia než rozmery hviezdy. (N 005/006, ) 19. Vo vzdialenosti od planéty s polomerom a hmotnosťou M je kruhová rýchlosť rovnako veľká ako úniková rýchlosť z povrchu planéty s polomerom r a hmotnosťou m. Aký je pomer r : polomerov týchto planét, ak majú rovnakú hustotu? κm [ r : = 1: 6 0,408] verzia ZS 01 4/8
(N 010/011, 8) 0. Je známe, že pri kolmom štarte je potrebné vyhodiť teleso veľkosťou rýchlosti κm v k =, ak má opustiť gravitačné pole Zeme. Akou veľkosťou rýchlosti je teleso potrebné vyhodiť v smere rovnobežnom so zemským povrchom, aby opustilo gravitačné pole Zeme? otáciu Zeme zanedbajte. κm (N 010/011, 41) 1. Veľmi dávno sa ľudia prostredníctvom hviezdnej brány dostali do veľmi vzdialenej galaxie, v ktorej neplatia fyzikálne zákony tak, ako ich poznáme my. Napríklad pre veľkosť (príťažlivej) gravitačnej sily medzi telesami s hmotnosťami m 1 a m vo vzdialenosti r platí vzťah m1m m1m F g = A + B, r r kde A a B sú konštanty. V snahe zistiť ich hodnoty vyslali ľudia sondu a pomocou nej odmerali veľkosť kruhovej rýchlosti v k a veľkosť únikovej rýchlosti v u na úrovni povrchu planéty. Vypočítajte hodnoty konštánt A a B. Hmotnosť M aj polomer skúmanej planéty poznáte. A = M B = M ( vu vk ) ( ) v v k u (N 004/005, 8). Najmenšia vzdialenosť Halleyho kométy od Slnka je r min = 0,6 AU. Perióda jej obehu je T = 76 rokov. Určite jej afélium (t.j. ako najďalej v jednotkách AU sa dostane kométa od Slnka). [5, AU] (N 010/011, ). Dve družice sa pohybujú okolo Zeme po tej istej elipse s veľkými polosami a a b. V čase ich najväčšieho priblíženia k Zemi sa nachádzajú v malej vzdialenosti d za sebou. Aká bude ich vzdialenosť v čase ich najväčšieho oddialenia od Zeme? a d a + verzia ZS 01 5/8 a a b b
(N 007/008, 1) 4. Nová družica obieha okolo Slnka po kruhovej dráhe v tej istej rovine ako Zem. Dlhodobým pozorovaním môžeme zistiť, že na oblohe sa vzďaľuje od Slnka najviac na 60. Aká je jej doba obehu Slnka? roka 0, 806roka (N 00/004, ) 5. Ak by sme zastavili Zem pri jej obehu okolo Slnka, ako dlho by trvalo, kým by naň Zem dopadla? (ozmery Slnka zanedbajte, pohyb Zeme uvažujte po kružnici s polomerom a periódou obehu T). T 19dni (FYKOS XII-III.4) 6. (*) Z nekonečnej vzdialenosti sa k Zemi (s polomerom ) blíži asteroid s počiatočnou rýchlosťou v 0. Vzdialenosť asteroidu od priamky, ktorá je rovnobežná s vektorom rýchlosti v 0 a prechádza stredom Zeme, je na začiatku rovná a. Určite, aký vzťah musí platiť medzi veľkosťou rýchlosti v 0 a a, aby asteroid nezasiahol Zem. (FYKOS XII-III.4) κm a > 1+ v0 7. (**) Jupiterova kometárna rodina vzniká nasledujúcim spôsobom (viď obrázok vľavo). Kométa prilieta k Jupiteru z veľkej vzdialenosti s takmer nulovou počiatočnou rýchlosťou. Po opustení Jupiterovho gravitačného poľa (sféry gravitačného vplyvu Jupitera) má jej rýchlosť vzhľadom (vzhľadom k Slnku) presne opačný smer ako rýchlosť Jupitera. Potom sa kométa pohybuje opäť v gravitačnom poli Slnka. V akej vzdialenosti od Slnka sa bude nachádzať perihélium dráhy kométy a aká je jej obežná doba (aká je veľkosť veľkej polosi dráhy kométy)? Uvažujte, že Jupiter obieha okolo Slnka po kružnici s polomerom = 5, AU. [,55 AU; 6,7 roka] verzia ZS 01 6/8
(N 005/006, 18) 8. (**) Predstavte si, že chcete vyslať zo Zeme sondu na Mars. Výpočty múdrych astrofyzikov ukázali, že energeticky najvýhodnejšia je tzv. Hohmanovská trajektória (na obrázku: A, B sú polohy Zeme a Marsu v okamihu štartu sondy, C miesto stretnutia sondy s Marsom). Predpokladajte, že Zem a Mars na sondu gravitačne nepôsobia, po štarte sa teda sonda pohybuje po elipse, ktorej perihélium je v bode A a afélium v bode C. Aký veľký je uhol α medzi Zemou, Slnkom a Marsom v čase štartu rakety? Predpokladajte tiež, že obe planéty obiehajú okolo Slnka v tej istej rovine po kružniciach a polomer obežnej dráhy Marsu je 1,5 násobok polomeru obežnej dráhy Zeme. [44,15 ] (FX, D) 9. (**) oman sa hral so svojím novým ďalekohľadom, keď zrazu spozoroval pohybujúci sa asteroid. oman zistil, že tento asteroid sa práve nachádza vo vzdialenosti d od Slnka, jeho veľkosť okamžitej rýchlosti je v a smer jeho rýchlosti zviera uhol α so spojnicou asteroid Slnko. Aká je jeho perióda obehu okolo Slnka? (FX, E5) πκ ( M + m) κ d ( M + m) 0. (**) Pán utherford znova vytiahol zo špajze zlatú fóliu a delo α častíc. Vystrelil α časticu s hmotnosťou m a veľkosťou rýchlosti w smerom na jadro zlata (atómové číslo Z = 79) a ona sa mu odchýlila o uhol β (od pôvodného smeru letu). Zistite, o koľko pán utherford netrafil toto jadro zlata (t.j. ako ďaleko od pôvodnej priamky letu sa toto jadro nachádzalo). dv Ze πε 0mw β cot g C) odhadovačky (FYKOS XVI-V.) 1. Odhadnite, ako dlho potrvá vesmírnej lodi Apollo, aby sa dostala na orbitu Mesiaca (ak zbytočne neplytvá palivom). [, využitím. Keplerovho zákona 4,8 dňa] verzia ZS 01 7/8
(FKS 000/001, A-.1). Na rovníku a na severnom póle boli postavené dve dokonalé (a klimatizované) športové haly. Majstrovstvá sveta v ľahkej atletike sa uskutočnili v tej polárnej. ekord v hode guľou do diaľky mužov bol na súťaži zlepšený o jeden centimeter. Odhadnite, či a o koľko by bol tento (už vylepšený) svetový rekord prekonaný, keby sa majstrovstvá sveta uskutočnili v rovníkovej hale. Predpokladajte, že v oboch halách by športovci podávali rovnaké fyzické (a psychické) výkony. [bol by prekonaný o cca štvrť metra] D) príklady na zamyslenie (FYKOS X-I.4). Predstavte si, že idete večer pokojne spať a do rána sa všetky vzdialenosti a rozmery všetkých predmetov zväčšia desaťkrát, pričom ich hmotnosti sa nezmenia. Zanechá táto udalosť nejaké stopy na vašej existencii? Ak áno, aké? [ ] (FKS 199/1994, B-4.1) 4. Majme kvapalinu s rovnakou hustotou, ako je priemerná hustota istého človeka. Keď do nej tohto človeka ponoríme, bude sa v nej vznášať. Bude pociťovať beztiažový stav (t.j. stav, ktorý pociťujú kozmonauti vo vesmíre)? [ ] verzia ZS 01 8/8