Η θεωρία της Α Λυκείου

Η θεωρί της Α Λυκείου ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 01-013 1

Η θεωρί της Α Λυκείου ΣΥΝΟΛΑ 1. Τι λέγετι σύνολο; Τι ονομάζουμε στοιεί ή μέλη του συνόλου ; Ποι είνι τ σικά σύνολ ριθμών ; Σύνολο είνι κάθε συλλογή ντικειμένων, που προέροντι πό την εμπειρί μς ή τη δινόησή μς, είνι κλά ορισμέν κι δικρίνοντι το έν πό το άλλο. Τ ντικείμεν υτά, που ποτελούν το σύνολο, ονομάζοντι στοιεί ή μέλη του συνόλου Τ σικά σύνολ των ριθμών είνι : με Ν συμολίζουμε το σύνολο των φυσικών ριθμών, με Ζ το σύνολο των κερίων ριθμών, με Q το σύνολο των ρητών ριθμών κι με R το σύνολο των πργμτικών ριθμών.. Πως ρησιμοποιούντι τ σύμολ κι Γι ν δηλώσουμε ότι το x είνι στοιείο του συνόλου Α, γράφουμε x Α κι διάζουμε «το x νήκει στο Α», ενώ γι ν δηλώσουμε ότι το x δεν είνι στοιείο του συνόλου Α γράφουμε x Α κι διάζουμε «το x δεν νήκει στο Α». Γι πράδειγμ 3. Πως γίνετι η πράστση ενός συνόλου ; Γι ν πρστήσουμε έν σύνολο ρησιμοποιούμε συνήθως ένν πό τους πρκάτω τρόπους: ) Ότν δίνοντι όλ τ στοιεί του κι είνι λίγ σε πλήθος, τότε γράφουμε τ στοιεί υτά μετξύ δύο γκίστρων, ωρίζοντς τ με το κόμμ κι λέγετι «πράστση του συνόλου με νγρφή των στοιείων του». ) Αν πό έν σύνολο Ω επιλέγουμε εκείν τ στοιεί του, που έουν μι ορισμένη ιδιότητ Ι, τότε φτιάνουμε έν νέο σύνολο που συμολίζετι με:{x Ω x έει την ιδιότητ Ι} κι διάζετι «Το σύνολο των x D, όπου x έει την ιδιότητ Ι». Ο πρπάνω τρόπος πράστσης ενός συνόλου λέγετι «πράστση του συνόλου με περιγρφή των στοιείων του».

4. Πως ορίζετι η ισότητ συνόλων ; Δύο σύνολ Α κι Β λέγοντι ίσ, ότν έουν τ ίδι κριώς στοιεί. Με άλλ λόγι: «Δύο σύνολ Α κι Β λέγοντι ίσ, ότν κάθε στοιείο του Α είνι κι στοιείο του Β κι ντιστρόφως κάθε στοιείο του Β είνι κι στοιείο του Α». Στην περίπτωση υτή γράφουμε Α = Β. 5. Πως ορίζετι το υποσύνολο ενός συνόλου ; Ποιες είνι οι άμεσες ιδιότητες του ορισμού υτού κι πως ορίζετι το κενό σύνολο ; Έν σύνολο Α λέγετι υποσύνολο ενός συνόλου Β, ότν κάθε στοιείο του Α είνι κι στοιείο του Β. Στην περίπτωση υτή γράφουμε Α Β. Άμεσες συνέπειες του ορισμού είνι οι: i) Α Α, γι κάθε σύνολο Α. ii) Αν Α Β κι Β Γ, τότε Α Γ. iii) Αν Α Β κι Β Α, τότε Α = Β. Το Κενό σύνολο είνι το σύνολο που δεν έει στοιεί κι συμολίζετι με ή { }. 6. Τι είνι τ διγράμμτ Venn ; Μι εποπτική προυσίση των συνόλων κι των μετξύ τους σέσεων γίνετι με τ διγράμμτ Venn. Το σικό σύνολο συμολίζετι με το εσωτερικό ενός ορθογωνίου, ενώ κάθε υποσύνολο ενός σικού συνόλου πριστάνετι με το εσωτερικό μις κλειστής κμπύλης που περιέετι στο εσωτερικό του ορθογωνίου. Αν Α Β, τότε το Α πριστάνετι με το εσωτερικό μις κλειστής κμπύλης που περιέετι στο εσωτερικό της κλειστής κμπύλης που πριστάνει το Β. 3

7. Ποιες είνι οι πράξεις που ορίζοντι με σύνολ ; Με τ σύνολ ορίζοντι οι πράξεις : Ένωση δύο υποσυνόλων Α, Β ενός σικού συνόλου Ω λέγετι το σύνολο των στοιείων του Ω που νήκουν τουλάιστον σε έν πό τ σύνολ Α κι Β κι συμολίζετι με Α Β. Δηλδή είνι: Α Β = {x Ω x Α κι x Β} Τομή δύο υποσυνόλων Α, Β ενός σικού συνόλου Ω λέγετι το σύνολο των στοιείων του Ω που νήκουν κι στ δύο σύνολ Α, Β κι συμολίζετι με Α Β Δηλδή είνι: Α Β = {x Ω x Α κι x Β} Στην περίπτωση που δύο σύνολ Α κι Β δεν έουν κοινά στοιεί, δηλδή ότν Α Β =, τ δύο σύνολ λέγοντι ξέν μετξύ τους. Συμπλήρωμ ενός υποσυνόλου Α ενός σικού συνόλου Ω λέγετι το σύνολο των στοιείων του Ω που δεν νήκουν στο Α κι συμολίζετι με Α. Δηλδή είνι: Α = {x Ω x Α} 4

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Τι κλείτι πείρμ τύης ; Πείρμ τύης (random experiment) ονομάζετι το πείρμ του οποίου δεν μπορούμε εκ των προτέρων ν προλέψουμε το ποτέλεσμ, μολονότι επνλμάνετι (φινομενικά τουλάιστον) κάτω πό τις ίδιες συνθήκες.. Τι κλείτι δειγμτικός ώρος ; Το σύνολο των δυντών ποτελεσμάτων λέγετι δειγμτικός ώρος (sample space) κι συμολίζετι συνήθως με το γράμμ Ω. Αν δηλδήω 1,ω,...,ω κ είνι τ δυντά ποτελέσμτ ενός πειράμτος τύης, τότε ο δειγμτικός ώρος του πειράμτος θ είνι το σύνολο: Ω={ω 1,ω,...,ω κ }. 3. Τι κλείτι ενδεόμενο ; Τι έιο ενδεόμενο ; Τι δύντο ενδεόμενο κι πως συμολίζουμε το πλήθος των στοιείων ενός ενδεομένου ; Το σύνολο που έει ως στοιεί έν ή περισσότερ ποτελέσμτ ενός πειράμτος τύης λέγετι ενδεόμενο (event) ή γεγονός. Ο ίδιος ο δειγμτικός ώρος Ω ενός πειράμτος θεωρείτι ότι είνι ενδεόμενο, το οποίο μάλιστ πργμτοποιείτι πάντοτε, φού όποιο κι ν είνι το ποτέλεσμ του πειράμτος θ νήκει στο Ω. Γι υτό το Ω λέγετι έιο ενδεόμενο. Δεόμστε κόμ ως ενδεόμενο κι το κενό σύνολο που δεν πργμτοποιείτι σε κμιά εκτέλεση του πειράμτος τύης. Γι υτό λέμε ότι το είνι το δύντο ενδεόμενο. Το πλήθος των στοιείων ενός ενδεομένου Α θ το συμολίζουμε με N(Α) 4. Ποιες είνι οι σικές πράξεις με ενδεόμεν ; Αν Α κι Β είνι δύο ενδεόμεν, έουμε: Το ενδεόμενο A B, που διάζετι Α τομή Β ή Α κι Β κι πργμτοποιείτι, ότν πργμτοποιούντι συγρόνως τ Α κι Β. 5

Το ενδεόμενο Α Β, που διάζετι Α ένωση Β ή Α ή Β κι πργμτοποιείτι, ότν πργμτοποιείτι έν τουλάιστον πό τ Α, Β. Το ενδεόμενο A', που διάζετι όι Α ή συμπληρωμτικό του Α κι πργμτοποιείτι, ότν δεν πργμτοποιείτι το Α. Το A' λέγετι κι ντίθετο του Α. Το ενδεόμενο A - B, που διάζετι διφορά του Β πό το Α κι πργμτοποιείτι, ότν πργμτοποιείτι το Α λλά όι το Β. Είνι εύκολο ν δούμε ότι A-B = A B'. 5. Ποιες είνι οι διάφορες σέσεις γι ενδεόμεν Α κι Β διτυπωμένες στην κοινή γλώσσ, κι διτυπωμένες στη γλώσσ των συνόλων.; Το ενδεόμενο Α πργμτοποιείτι Συμολικά ω Α Το ενδεόμενο Α δεν πργμτοποιείτι Συμολικά ω Α' (ή ω Α) Έν τουλάιστον πό τ Α κι Β πργμτοποιείτι Συμολικά ω A B Πργμτοποιούντι μφότερ τ Α κι Β Συμολικά ω A B Δεν πργμτοποιείτι κνέν πό τ Α κι Β Συμολικά ω (Α Β)' Πργμτοποιείτι μόνο το Α Συμολικά ω A - B (ή ω A B ') Η πργμτοποίηση του Α συνεπάγετι την πργμτοποίηση του Β Συμολικά Α B 6. Τι κλούμι Ασυμίστ Ενδεόμεν ; Δύο ενδεόμεν Α κι Β λέγοντι συμίστ, ότν A B=. Δύο συμίστ ενδεόμεν λέγοντι επίσης ξέν μετξύ τους ή μοιίως ποκλειόμεν. 6

7. Ν διτυπώσετε τον κλσικό ορισμό της πιθνότητς κι τις άμεσες συνέπειες του ορισμού υτού ; Κλσικός Ορισμός Πιθνότητς σε έν πείρμ με ισοπίθν ορίζουμε ως πιθνότητ του ενδεομένου Α τον ριθμό: στοιειώδη ποτελέσμτ Από τον προηγούμενο ορισμό προκύπτει άμεσ ότι: 3. Γι κάθε ενδεόμενο Α ισύει 0 P(A) 1, φού το πλήθος των στοιείων ενός ενδεομένου είνι ίσο ή μικρότερο πό το πλήθος των στοιείων του δειγμτικού ώρου. 8. Ν διτυπωθούν κι ν ποδειθούν οι Κνόνες Λογισμού των Πιθνοτήτων ; Γι οποιδήποτε συμίστ μετξύ τους ενδεόμεν Α κι Β ισύει: P(A B)=P(A)+P(B) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αν N(A)=κ κι N(Β)=λ, τότε το Α Β έει κ+λ στοιεί, γιτί λλιώς τ Α κι Β δε θ ήτν συμίστ. Δηλδή, έουμε N(A Β)=κ+λ= N(A)+N(Β). Επομένως: Ν(A Β) Ν(Α) Ν(Β) Ν(Α) Ν(Β) Ρ(Α Β) Ρ(Α) Ρ(Β) Ν(Ω) Ν(Ω) Ν(Ω) Ν(Ω) Η ιδιότητ υτή είνι γνωστή ως πλός προσθετικός νόμος (simply additive law) κι ισύει κι γι περισσότερ πό δύο ενδεόμεν. Έτσι, ν τ ενδεόμεν Α, Β κι Γ είνι νά δύο συμίστ θ έουμε P(A B Γ)=P(A)+P(B)+P(Γ). Γι δύο συμπληρωμτικά ενδεόμεν Α κι Α' ισύει: P(A')=1 - P(A) ΑΠΟΔΕΙΞΗ 7

Επειδή A A'=, δηλδή τ Α κι A' είνι συμίστ, έουμε διδοικά, σύμφων με τον πλό προσθετικό νόμο:p(a A')=P(A)+P(A') άρ P(Ω)=P(A)+P(A') άρ 1=P(A)+P(A'). Οπότε P(A')=1-P(A). Γι δύο ενδεόμεν Α κι Β ενός δειγμτικού ώρου Ω ισύει: P(A B)=P(A)+P(B)-P(A B) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Γι δυο ενδεόμεν Α κι Β έουμε N(A B)=N(A)+N(B)-N(A B), (1) φού στο άθροισμ N(A)+N(B) το πλήθος των στοιείων του A B υπολογίζετι δυο φορές. Αν διιρέσουμε τ μέλη της (1) με N(Ω) έουμε : κι επομένως P(A B)=P(A)+P(B)-P(A B) Η ιδιότητ υτή είνι γνωστή ως προσθετικός νόμος (additive law). Αν A B, τότε P(A) P(B) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή A B έουμε διδοικά: N(A) N(A) N(Β) N(B) Ρ(Α) Ρ(Β) N(Ω) N(Ω) Γι δύο ενδεόμεν Α κι Β ενός δειγμτικού ώρου Ω ισύει:p(a-b)=p(a)-p(a B) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή τ ενδεόμεν A-B κι A B είνι συμίστ κι (A-B) (A B)=A, έουμε:p(a)=p(a-b)+p(a B) Άρ P(A-B)=P(A)-P(A B) 8

ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1. Ποιες είνι οι σικές ρές που διέπουν τους πργμτικούς ριθμούς ; Οι πργμτικοί ριθμοί ποτελούντι πό τους ρητούς κι τους άρρητους ριθμούς κι πριστάνοντι με τ σημεί ενός άξον, του άξον των πργμτικών ριθμών. Θυμίζουμε ότι: Κάθε ρητός ριθμός έει (ή μπορεί ν πάρει) κλσμτική μορφή, δηλδή τη μορφή, όπου, κέριοι, με 0. Κάθε ρητός ριθμός μπορεί ν γρφεί ως δεκδικός ή περιοδικός δεκδικός κι, ντιστρόφως, κάθε δεκδικός ή περιοδικός δεκδικός μπορεί ν πάρει κλσμτική μορφή. Μπορούμε δηλδή ν πούμε ότι οι ρητοί ριθμοί ποτελούντι πό τους δεκδικούς κι τους περιοδικούς δεκδικούς ριθμούς. Οι ριθμοί που δεν μπορούν ν γρφούν με τη μορφή, όπου, κέριοι, με 0 κι δηλ. ούτε ως δεκδικοί ούτε ως περιοδικοί δεκδικοί λέγοντι άρρητοι ριθμοί.. Ποιες είνι οι σικές πράξεις που ορίζοντι στο σύνολο των πργμτικών ριθμών ; Στους πργμτικούς ριθμούς ορίστηκν οι πράξεις της πρόσθεσης κι του πολλπλσισμού κι, με τη οήθειά τους, η φίρεση κι η διίρεση. Γι την πρόσθεση κι τον πολλπλσισμό ισύουν οι ιδιότητες που νφέροντι στον επόμενο πίνκ, οι οποίες κι ποτελούν τη άση του λγερικού λογισμού. Ιδιότητ Πρόσθεση Πολλπλσισμός Αντιμετθετική + = + = Προσετιριστική + ( + γ) = ( + ) + γ (γ) = ()γ Ουδέτερο Στοιείο + 0 = 1 = Αντίθετος/Αντίστροφος Αριθμού Επιμεριστική + (-) = 0 ( + γ) = + γ 9 = 1, 0

Η φίρεση κι η διίρεση ορίζοντι με τη οήθει της πρόσθεσης κι του πολλπλσισμού ντιστοίως ως εξής: - = + (-) 3. Ποιες είνι οι ιδιότητες που ισύουν γι τις τέσσερις πράξεις κι την ισότητ ; Γι τις τέσσερις πράξεις κι την ισότητ ισύουν κι οι κόλουθες ιδιότητες που είνι γνωστές πό το Γυμνάσιο: 1. = κι γ = δ + γ = + δ δηλδή, δυο ισότητες μπορούμε ν τις προσθέσουμε κτά μέλη.. = κι γ = δ γ = δ δηλδή, δυο ισότητες μπορούμε ν τις πολλπλσιάσουμε κτά μέλη. 3. = + γ = + γ δηλδή, μπορούμε κι στ δυο μέλη μις ισότητς ν προσθέσουμε ή ν φιρέσουμε τον ίδιο ριθμό. 4. Αν γ 0, τότε: = γ = γ δηλδή, μπορούμε κι τ δυο μέλη μις ισότητς ν τ πολλπλσιάσουμε ή ν τ διιρέσουμε με τον ίδιο μη μηδενικό ριθμό. 5. = 0 = 0 ή = 0 δηλδή, το γινόμενο δύο πργμτικών ριθμών είνι ίσο με το μηδέν, ν κι μόνο ν ένς τουλάιστον πό τους ριθμούς είνι ίσος με το μηδέν. Άμεση συνέπει της ιδιότητς υτής είνι η κόλουθη: 0 0 κι 0 ΣΧΟΛΙΟ Ότν πό την ισότητ + γ = + γ ή πό την ισότητ γ = γ μετίνουμε στην ισότητ =, τότε λέμε ότι διγράφουμε τον ίδιο προσθετέο ή τον ίδιο πράγοντ ντιστοίως. Όμως στην περίπτωση που διγράφουμε τον ίδιο πράγοντ πρέπει ν ελέγουμε μήπως ο πράγοντς υτός είνι ίσος με μηδέν, οπότε ενδέετι ν οδηγηθούμε σε λάθος, όπως συμίνει στο κόλουθο πράδειγμ. Έστω = 1. Τότε έουμε διδοικά: = 1 = 1 = - 1 = -1 ( + 1)( - 1) = ( - 1) 1 + 1 = 1 = 0 Όμως έουμε κι = 1, οπότε το 1 θ είνι ίσο με το 0. Οδηγηθήκμε στο λνθσμένο υτό συμπέρσμ, διότι στην ισότητ ( + 1)( - 1) = ( - 1) 1 διγράψμε τον πράγοντ ( - 1) ο οποίος, λόγω της υπόθεσης, ήτν ίσος με μηδέν. 4. Πως ορίζετι η δύνμη κι ποιες οι άμεσες συνέπειες του ορισμού υτού ; Αν ο είνι πργμτικός ριθμός κι ο ν φυσικός, τότε ορίζουμε : ν =, γι ν>1 κι 1 =, γι ν = 1. ν πράγοντες Αν επιπλέον είνι 0, τότε ορίζουμε : 0 = 1 κι 10 ν 1 ν

5. Ποιες οι ξιοσημείωτες τυτότητες ; ( + ) = + + ( - ) = - + - = ( + ) ( - ) ( + ) 3 = 3 + 3 + 3 + 3 ( - ) 3 = 3-3 + 3-3 3 + 3 =( + ) ( - + ) 3-3 =( - ) ( + + ) ( + + γ ) = + + γ + - γ + γ 6. Ποιες είνι οι μέθοδοι πόδειξης ; Α) Ευθεί Απόδειξη 1 o ) Έστω ότι γι τρεις πργμτικούς ριθμούς, κι γ ισύει η συνθήκη + + γ = 0 κι θέλουμε ν ποδείξουμε ότι 3 + 3 + γ 3 = 3γ, δηλδή έστω ότι θέλουμε ν ποδείξουμε τη συνεπγωγή:«αν + + γ = 0, τότε 3 + 3 + γ 3 = 3γ». Επειδή + + γ = 0, είνι = -( + γ), οπότε θ έουμε: 3 + 3 + γ 3 = [-( + γ)] 3 + 3 + γ 3 = -( + γ ) 3 + 3 + γ 3 = - 3-3 γ - 3γ - γ 3 + 3 + γ 3 = - 3 o ) Γι ν ποδείξουμε ότι ένς ισυρισμός είνι ληθής, μερικές φορές με διδοικούς μετσημτισμούς κτλήγουμε σε ένν λογικά ισοδύνμο ισυρισμό που είνι ληθής. Έτσι συμπερίνουμε ότι κι ο ρικός ισυρισμός είνι ληθής. Γι πράδειγμ, έστω ότι γι τους πργμτικούς ριθμούς,, x, y θέλουμε ν ποδείξουμε την τυτότητ:( + )(x + y ) = (x + y) + (y - x) Έουμε διδοικά: ( + )( x + y ) = (x + y) + (y - x) x + y + x + y = x + xy + y + y - xy + x x + y + x + y = x + y + x + y, που ισύει. 3 ο ) Γι ν ποδείξουμε ότι ένς ισυρισμός δεν είνι πάντ ληθής, ρκεί ν ρούμε έν πράδειγμ γι το οποίο ο συγκεκριμένος ισυρισμός δεν ισύει ή, όπως λέμε, ρκεί ν ρούμε έν ντιπράδειγμ. Έτσι ο ισυρισμός «γι κάθε >0 ισύει >» δεν είνι ληθής, φού γι έουμε 1, δηλδή <. 4 1 11

Β) Μέθοδος της Απγωγής σε Άτοπο Έστω ότι θέλουμε ν ποδείξουμε τον ισυρισμό: «Αν το τετράγωνο ενός κερίου ριθμού είνι άρτιος, τότε κι ο ριθμός υτός είνι άρτιος», δηλδή «Αν ο είνι άρτιος ριθμός, τότε κι ο είνι άρτιος ριθμός» Γι την πόδειξη του ισυρισμού υτού σκεπτόμστε ως εξής: Έστω ότι ο δεν είνι άρτιος. Τότε ο θ είνι περιττός, δηλδή θ έει τη μορφή = κ + 1, όπου κ κέριος, οπότε θ έουμε: = ( κ + 1) = 4κ + 4κ + 1 =(κ + κ) + 1 = λ + 1 (όπου λ = κ + κ). Δηλδή = λ + 1, λ Ζ, που σημίνει ότι ο είνι περιττός. Αυτό όμως έρετι σε ντίθεση με την υπόθεση ότι ο είνι άρτιος. Επομένως, η πρδοή ότι δεν είνι άρτιος είνι λνθσμένη. Άρ ο είνι άρτιος. Στην πρπάνω πόδειξη υποθέσμε ότι δεν ισύει υτό που θέλμε ν ποδείξουμε κι ρησιμοποιώντς ληθείς προτάσεις φθάσμε σε έν συμπέρσμ που έρετι σε ντίθεση με υτό που γνωρίζουμε ότι ισύει. Οδηγηθήκμε όπως λέμε σε άτοπο. 7. Πως ορίζετι η έννοι της διάτξης κι ποιες είνι οι άμεσες συνέπειες του ορισμού υτού ; ΟΡΙΣΜΟΣ: Ένς ριθμός λέμε ότι είνι μεγλύτερος πό ένν ριθμό, κι γράφουμε >, ότν η διφορά - είνι θετικός ριθμός. Στην περίπτωση υτή λέμε επίσης ότι ο είνι μικρότερος του κι γράφουμε < Από τον πρπάνω ορισμό προκύπτει μέσως ότι: Κάθε θετικός ριθμός είνι μεγλύτερος πό το μηδέν. Κάθε ρνητικός ριθμός είνι μικρότερος πό το μηδέν. Έτσι ο ρικός ορισμός γράφετι ισοδύνμ: > - > 0 Γεωμετρικά η νισότητ > σημίνει ότι, πάνω στον άξον των πργμτικών ο ριθμός είνι δεξιότερ πό τον. Αν γι τους ριθμούς κι ισύει > ή =, τότε γράφουμε κι διάζουμε: «μεγλύτερος ή ίσος του». 1

8. Ποιες οι ιδιότητες των νισοτήτων ; Ιδιότητες των νισοτήτων 1. (>0 κι >0) + > 0 κι ( < 0 κι < 0) + < 0., ομόσημοι > 0 0 > 0 κι, ετερόσημοι < 0 0 3. 0, γι κάθε R (Η ισότητ ισύει μόνο ότν = 0) Άρ ν 0 = 0 κι = 0 κι ν 0 0 ή 0 4. ( > κι > γ) > γ 5. > + γ > + γ 6. Αν γ > 0, τότε: > γ > γ 7. Αν γ < 0, τότε: > γ < γ 8. ( > κι γ > δ ) + γ > + δ 9. Γι θετικούς ριθμούς,, γ, δ ισύει η συνεπγωγή: ( > κι γ > δ ) γ > δ 10. Γενικότερ ( 1 > 1 κι > κι κι ν > ν ) 1 + +... + ν > 1 + +... + ν 11. Αν, επιπλέον, τ μέλη των νισοτήτων είνι θετικοί ριθμοί, τότε: ( 1 > 1 κι > κι κι ν > ν ) 1... ν > 1... ν (*) 1. Γι θετικούς ριθμούς, κι θετικό κέριο ν ισύει η ισοδυνμί: > ν > ν ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω >. Τότε, πό τη (*), γι 1 = =... = ν = > 0 κι 1 = =... = ν = > 0,προκύπτει ότι: ν > ν. Γι την πόδειξη του ντιστρόφου θ ρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της πγωγής σε άτοπο. Έστω λοιπόν ότι ν > ν κι. Τότε:ν ήτν =, πό τον ορισμό της ισότητς θ είμε ν = ν (άτοπο), ενώ ν ήτν <, θ είμε ν < ν (άτοπο). Άρ, >. 13. Γι θετικούς ριθμούς, κι θετικό κέριο ν ισύει η ισοδυνμί: = ν = ν ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω =. Τότε, πό τον ορισμό της ισότητς προκύπτει, όπως είπμε κι προηγουμένως, ότι ν = ν Γι την πόδειξη του ντιστρόφου θ ρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της πγωγής σε άτοπο. Έστω λοιπόν ότι ν = ν κι. Τότε: ν ήτν >, λόγω της (4), θ είμε ν > ν (άτοπο), ενώ ν ήτν <, λόγω της (4), θ είμε ν < ν (άτοπο). Άρ, =. 13

9. Ν ορισθούν τ διστήμτ των πργμτικών ριθμών ; ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ x [, ] x [, ) < x (, ] < x (, ) x [, + ) x > (, + ) x (-, ] x < (-, ) 10. Ν δοθεί ο ορισμός της πόλυτης τιμής κι ν δοθούν οι άμεσες συνέπειες του ορισμού υτού. Η πόλυτη τιμή ενός πργμτικού ριθμού συμολίζετι με κι ορίζετι πό τον τύπο: Δηλδή: Η πόλυτη τιμή θετικού ριθμού είνι ο ίδιος ο ριθμός. Η πόλυτη τιμή ρνητικού ριθμού είνι ο ντίθετός του. 0 = 0 14

11. Ποιες οι ιδιότητες των πολύτων τιμών ; Ιδιότητες των πόλυτων τιμών 1. = - 0. κι - 3. Αν θ>0, τότε: x = θ x = θ ή x = -θ 4. x = x = ή x = - 5. = 6. = ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή κι τ δύο μέλη της ισότητς = είνι μη ρνητικοί ριθμοί, έουμε διδοικά: = = ( ) = ( ) =,που ισύει. 7. 8. + + ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή κι τ δύο μέλη της νισότητς + < + είνι μη ρνητικοί ριθμοί, έουμε διδοικά: + + + ( + ) ( + ) + + + + + +, που ισύει. Είνι φνερό ότι η ισότητ = ισύει ν κι μόνο ν 0, δηλδή ν κι μόνο ν οι ριθμοί κι είνι ομόσημοι ή ένς τουλάιστον πό υτούς είνι ίσος με μηδέν. ΣΧΟΛΙΟ Η ισότητ = ισύει κι γι περισσότερους πράγοντες. Συγκεκριμέν: 1... ν = 1... ν Στην ειδική μάλιστ περίπτωση που είνι 1 = =... = ν =, έουμε: ν = ν Η νισότητ + + ισύει κι γι περισσότερους προσθετέους. Συγκεκριμέν: 1 + +... + ν 1 + +... + ν 15

1. Πως ορίζετι η πόστση δυο ριθμών κι τι μήκος του διστήμτος [,] ; Aς θεωρήσουμε δυο ριθμούς κι που πριστάνοντι πάνω στον άξον με τ σημεί Α κι Β ντιστοίως. Το μήκος του τμήμτος ΑΒ λέγετι πόστση των ριθμών κι, συμολίζετι με d(,) κι είνι ίση με -. Είνι δηλδή: d (, ) = - Προφνώς ισύει d (, ) = d (, ). Στην περίπτωση μάλιστ που είνι <, τότε η πόστση των κι είνι ίση με - κι λέγετι μήκος του διστήμτος [, ]. 13. Τι κλείτι μέσον του τμήμτος των άκρων, ενός διστήμτος [,] ; Τι κέντρο ; Τι κτίν ενός διστήμτος [,] ; Πως συνδέοντι όλ τ πρπάνω διστήμτ με τις νισώσεις ; Ας θεωρήσουμε τώρ έν διάστημ [, ] κι ς ονομάσουμε Α κι Β τ σημεί που πριστάνουν στον άξον τ άκρ κι ντιστοίως. Ο ριθμός [, ] ο ριθμός Αν Μ (x 0 ) είνι το μέσον του τμήμτος AB, τότε έουμε (MA) = (MB) d(x 0, ) = d(x 0, ) x 0 - = x 0 - x 0 - = - x 0, (φού < x 0 <) x 0 = + x 0 που ντιστοιεί στο μέσον Μ του τμήμτος ΑΒ λέγετι κέντρο του διστήμτος ρ λέγετι κτίν του [, ]. Ως μήκος, κέντρο κι κτίν των διστημάτων (, ), [, ) κι (, ] ορίζουμε το μήκος, το κέντρο κι την κτίν του διστήμτος [, ]. Έστω τώρ ότι θέλουμε ν ρούμε τους πργμτικούς ριθμούς x γι τους οποίους ισύει x - 3 <. Από τον ορισμό της πόστσης έουμε: x - 3 < d (x,3)< 3 - <x<3 + x (1, 5) 16

Γενικά: Γι x 0 R κι ρ>0, ισύει: x - x 0 <ρ x (x 0 - ρ, x 0 + ρ) x 0 - ρ<x<x 0 + ρ Δηλδή, οι ριθμοί x που ικνοποιούν τη σέση x -x 0 <ρ είνι τ σημεί του διστήμτος (x 0 - ρ, x 0 + ρ) που έει κέντρο το x 0 κι κτίν ρ. Στην ειδική περίπτωση που είνι x 0 = 0, έουμε: x <ρ x (-ρ, ρ) -ρ<x<ρ. Γι πράδειγμ x < x (-, ) -<x<. Έστω, τώρ, ότι θέλουμε ν ρούμε τους πργμτικούς ριθμούς x γι τους οποίους ισύει x - 3 >. Από τον ορισμό της πόστσης έουμε: x - 3 > d (x,3)> x < 3 - ή x > 3 + x (-, 3 - ) (3 +, + ). Γενικά:Γι x 0 R κι ρ>0,ισύει: x - x 0 <ρ x (-, x 0 - ρ) (x 0 + ρ, + ) x<x 0 - ρ ή x>x 0 + ρ Δηλδή οι ριθμοί x που ικνοποιούν τη σέση x - x 0 >ρ ντιστοιούν σε σημεί Μ(x) του άξον x x που πέουν πό το σημείο Κ(x 0 ) πόστση μεγλύτερη του ρ. Στην ειδική περίπτωση που είνι x 0 = 0, έουμε: x >ρ x<-ρ ή x>ρ Γι πράδειγμ: x > x<- ή x>. 17

14. Πως ορίζετι η τετργωνική ρίζ μη ρνητικού ριθμού κι ποιες είνι οι ιδιότητές της ; ΟΡΙΣΜΟΣ: H τετργωνική ρίζ ενός μη ρνητικού ριθμού συμολίζετι με ρνητικός ριθμός που, ότν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον. Άρ ν >0, η πριστάνει τη μη ρνητική λύση της εξίσωσης x =. Ιδιότητες κι είνι ο μη 15. Πως ορίζετι η ν-οστή ρίζ ενός μη ρνητικού ριθμού ; Πως ορίζετι η πρώτη κι η δεύτερη ρίζ του ; ΟΡΙΣΜΟΣ : Η ν-οστή ρίζ ενός μη ρνητικού ριθμού συμολίζετι με ρνητικός ριθμός που, ότν υψωθεί στην ν, δίνει τον. Ορίζουμε Άρ ν 0, τότε η πριστάνει τη μη ρνητική λύση της εξίσωσης x ν =. κι είνι ο μη 16. Ποιες οι ιδιότητες των ν-ιοστών ριζών 1. Αν 0, τότε: ν ν ν ν κι ν ν. Αν 0 κι ν άρτιος, τότε: 3. Αν, 0, τότε: ν ν ΑΠΟΔΕΙΞΗ ν ν Έουμε: ν ν ν ν ν ν ν ν ν 4. ν ν κι με 0 ν ν ν που ισύει. μ ν μν 5. ΑΠΟΔΕΙΞΗ μ ν μν μ ν μν μ ν Έουμε: ν μν μ ν 18 μ ν ν που ισύει

6. νρ μρ ν μ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έουμε: 7. γι μη ρνητικούς ριθμούς 1,,..., κ ισύει: 8. Στην ειδική μάλιστ περίπτωση που είνι 1 = =... = κ = >0, ισύει: 9. γι, 0 έουμε 17. Πως ορίζοντι οι δυνάμεις με ρητό εκθέτη ; ΟΡΙΣΜΟΣ : Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Με τη οήθει των ιδιοτήτων των ριζών ποδεικνύετι ότι οι ιδιότητες των δυνάμεων με κέριο εκθέτη ισύουν κι γι δυνάμεις με ρητό εκθέτη. 19

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. Ν λυθεί η εξίσωση x + = 0 γι τις διάφορες τιμές των,ϵ κι ν δοθεί ο ορισμός της ρίζς. x + = 0 x + - = - x = - Δικρίνουμε τώρ τις περιπτώσεις: Αν 0 τότε: x = - =- Άρ, ν 0 η εξίσωση έει κριώς μί λύση, την =-. Αν = 0, τότε η εξίσωση x = - γίνετι 0x = -, η οποί: i. ν είνι 0 δεν έει λύση κι γι υτό λέμε ότι είνι δύντη, ενώ ii. ν είνι = 0 έει τη μορφή 0x = 0 κι ληθεύει γι κάθε πργμτικό ριθμό x δηλδή είνι τυτότητ. Η λύση της εξίσωσης x + = 0 κι γενικά κάθε εξίσωσης λέγετι κι ρίζ υτής.. Ποι εξίσωση λέγετι πρμετρική κι τι κλείτι διερεύνηση πρμετρικής εξίσωσης; Δώστε έν πράδειγμ. Αν οι συντελεστές κι της εξίσωσης x + = 0 εκφράζοντι με τη οήθει γρμμάτων τότε τ γράμμτ υτά λέγοντι πράμετροι, η εξίσωση λέγετι πρμετρική κι η εργσί που κάνουμε γι την εύρεση του πλήθους των ριζών της λέγετι διερεύνηση. Γι πράδειγμ η εξίσωση (λ - 1)x - λ + 1 = 0, λ R έει πράμετρο το λ κι γράφετι ισοδύνμ (λ - 1)x - λ + 1 = 0 (λ - 1)x = λ 1 (λ + 1)(λ - 1)x = λ 1 Επομένως Αν λ -1 κι λ 1, η εξίσωση έει μονδική λύση, την Αν λ = -1, η εξίσωση γίνετι 0x = - κι είνι δύντη. Αν λ = 1, η εξίσωση γίνετι 0x = 0 κι είνι τυτότητ. 0

3. Ποιες εξισώσεις νάγοντι σε εξισώσεις 1ου θμού ; Εξισώσεις που νάγοντι σε εξισώσεις 1ου θμού Με πργοντοποίηση μορφής ( 1 + 1 ) ( + ) ( 3 + 3 ) ( ν + ν ) =0 οπότε ( 1 + 1 ) =0 ή ( + ) =0 ή ( 3 + 3 ) =0 ή ή ( ν + ν ) =0 Κλσμτικές Με πόλυτες τιμές της μορφής f(x) = g(x) Οπότε λύνουμε τις f(x) = g(x) ή f(x) = - g(x) Κι της μορφής f(x) = g(x) Οπότε με g(x) 0 συνληθεύουμε με τις f(x) = g(x) ή f(x) = - g(x) 4. Πως λύνετι η εξίσωση x ν =, γι τις διάφορες τιμές του ϵr με ν φυσικό ριθμό ; Η εξίσωση x ν =, με >0 κι ν περιττό φυσικό ριθμό, έει κριώς μι λύση την ν Η εξίσωση x ν =, με <0 κι ν περιττό φυσικό ριθμό, έει κριώς μι λύση την - ν Η εξίσωση x ν =, με >0 κι ν άρτιο φυσικό ριθμό, έει κριώς δύο λύσεις τις ν κι - ν Η εξίσωση x ν =, με <0 κι ν άρτιο φυσικό ριθμό, είνι δύντη Αν ο ν περιττός τότε η εξίσωση x ν = ν έει μονδική λύση, την x = Αν ο ν άρτιος τότε η εξίσωση x ν = ν έει δύο λύσεις, τις x 1 = κι x = -. 5. Ν λυθεί η εξίσωση x + x + γ = 0, με 0 κι ν διτυπωθούν τ συμπεράσμτ με ένν πίνκ. Η εξίσωση x + x + γ = 0, 0 (1) Έουμε: γ 0 διιρο ύμε με πουείνι 0 4 γ 4 γ 0 1 4 4γ Αν θέσουμε Δ = - 4γ, τότε η τελευτί εξίσωση γίνετι: γ Δ 4 () γ

Δικρίνουμε τώρ τις εξής περιπτώσεις: Αν Δ> 0, τότε έουμε: Δηλδή Επομένως η εξίσωση (), άρ κι η ισοδύνμή της (1), έει δύο λύσεις άνισες τις: Γι συντομί οι λύσεις υτές γράφοντι. Αν Δ = 0, τότε η εξίσωση () γράφετι: 0 0 0 ή 0 ή Στην περίπτωση υτή λέμε ότι η εξίσωση έει διπλή ρίζ την Αν Δ<0, τότε η εξίσωση (), άρ κι η ισοδύνμή της (1), δεν έει πργμτικές ρίζες, δηλδή είνι δύντη στο R. Η λγερική πράστση Δ = - 4γ, πό την τιμή της οποίς εξρτάτι το πλήθος των ριζών της εξίσωσης x + x + γ = 0, 0, ονομάζετι δικρίνουσ υτής. Τ πρπάνω συμπεράσμτ συνοψίζοντι στον κόλουθο πίνκ: Δ = - 4γ Η εξίσωση x + x + γ = 0, 0 Δ > 0 Έει δύο ρίζες άνισες τις Δ = 0 Έει μι διπλή ρίζ τη Δ < 0 Είνι δύντη στο R.

M at h Com poser 1. 1. 5 ht t p: / / www. m at hcom poser. com M at h Com poser 1. 1. 5 ht t p: / / www. m at hcom poser. com M at h Com poser 1. 1. 5 ht t p: / / www. m at hcom poser. com 6. Ν γρφούν κι ν ποδειθούν οι τύποι του Vieta. Αν με S συμολίσουμε το άθροισμ x 1 + x κι με P το γινόμενο x 1 x, τότε έουμε τους τύπους Vieta: Απόδειξη M at h Com poser 1. 1. 5 ht t p: / / www. m at hcom poser. com x 1 + x = - + Δ + - - Δ M at h Com poser 1. 1. 5 ht t p: / / www. m at hcom poser. com x 1 x = - + Δ = - = - - - Δ = (-) - ( Δ) 4 = - - 4γ 4 = = 4γ 4 = γ 7. Πως μετσημτίζετι η εξίσωση x + x + γ = 0, με την οήθει των τύπων του Vieta ; Η εξίσωση x + x + γ = 0, με την οήθει των τύπων του Vieta, μετσημτίζετι ως εξής: γ 0 διιρο ύμε με πουείνι 0 γ 0 ( 1 ) 1 0 S P 0 Η τελευτί μορφή της εξίσωσης x + x + γ = 0 μς δίνει τη δυντότητ ν την κτσκευάσουμε, ότν γνωρίζουμε το άθροισμ κι το γινόμενο των ριζών της. 8. Ποιες εξισώσεις νάγοντι σε εξισώσεις ου θμού Οι εξισώσεις που νάγοντι σε εξισώσεις ου θμού Μορφής (f()) + f () +γ=0 με 0 που γίνετι f () + f () +γ=0 δευτέρου θμού με άγνωστο κτρή το f () Κλσμτικές Μορφής (f(x)) + (f(x)) + γ = 0 δευτέρου θμού με άγνωστο κτρή το f(x) Διτετράγωνες μορφής (f(x)) ν + (f(x)) ν + γ = 0 δευτέρου θμού με άγνωστο κτρή το (f(x)) ν 3

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. Πως λύνοντι οι νισώσεις 1ου θμού της μορφής : x + > 0 κι x + < 0 Οι νισώσεις: x + >0 κι x + <0 λύνοντι ως εξής : x + > 0 x + - >- x >- Δικρίνουμε τώρ τις εξής περιπτώσεις: Αν >0, τότε: Αν <0, τότε: Προσοή λλάζει η φορά Αν = 0, τότε η νίσωση γίνετι 0x>-, η οποί ληθεύει γι κάθε x R, ν είνι >0, είνι δύντη, ν είνι <0.. Πως λύνοντι οι νισώσεις με πόλυτες τιμές Οι νισώσεις με πόλυτες τιμές λύνοντι ως εξής : με τη οήθει της ιδιότητς : x < ρ -ρ < x < ρ ή της x - x ο <ρ x ο - ρ<x<x ο + ρ με τη οήθει της ιδιότητς : x > ρ x < -ρ ή x > ρ 3. Πως πργοντοποιείτι το τριώνυμο x + x + γ, με 0 ; Η πράστση x + x + γ, 0 λέγετι τριώνυμο ου θμού ή, πιο πλά, τριώνυμο. Η δικρίνουσ Δ της ντίστοιης εξίσωσης x + x + γ = 0 λέγετι κι δικρίνουσ του τριωνύμου. Οι ρίζες της εξίσωσης x + x + γ = 0, δηλδή οι ονομάζοντι κι ρίζες του τριωνύμου. 4

5 Το τριώνυμο x + x + γ, 0 μετσημτίζετι ως εξής: 4 4γ 4 γ 4 ) γ ( γ Επομένως: 4 Δ γ (1) Δικρίνουμε τώρ τις εξής περιπτώσεις: Δ>0. Τότε ισύει οπότε έουμε: Δ Δ Δ Δ Δ 4 Δ γ Επομένως: x + x + γ = (x - x 1 )(x - x ), όπου x 1, x οι ρίζες του τριωνύμου. Άρ, ότν Δ>0, τότε το τριώνυμο μεττρέπετι σε γινόμενο του επί δύο πρωτοάθμιους πράγοντες. Δ = 0. Τότε πό την ισότητ (1) έουμε: γ Άρ, ότν Δ = 0, τότε το τριώνυμο μεττρέπετι σε γινόμενο του επί έν τέλειο τετράγωνο. Δ<0. Τότε ισύει Δ = -Δ, οπότε έουμε: 4 Δ γ Επειδή γι κάθε x R, η πράστση μέσ στην γκύλη είνι θετική, το τριώνυμο δεν νλύετι σε γινόμενο πρωτοάθμιων πργόντων. 4. Πως ρίσκουμε το πρόσημο των τιμών του τριωνύμου x + x + γ, με 0 ; Γι ν μελετήσουμε το πρόσημο των τιμών του τριωνύμου x + x + γ, 0, θ ρησιμοποιήσουμε τις μορφές του νάλογ με τη δικρίνουσ. Αν Δ>0, τότε, όπως είδμε προηγουμένως, ισύει: x + x + γ = (x - x 1 )(x - x ), (1) όπου x 1, x οι ρίζες του τριωνύμου Υποθέτουμε ότι x 1 <x κι τοποθετούμε τις ρίζες σε ένν άξον. Πρτηρούμε ότι: Αν x < x 1 < x (Σήμ), τότε x - x 1 < 0 κι x - x < 0, οπότε (x - x 1 )(x - x ) > 0. Επομένως, λόγω της (1), το τριώνυμο είνι ομόσημο του.

Αν x 1 < x < x (Σήμ), τότε x - x 1 > 0 κι x - x < 0, οπότε (x - x 1 )(x - x ) < 0. Επομένως, λόγω της (1), το τριώνυμο είνι ετερόσημο του Αν x 1 < x < x (Σήμ), τότε x - x 1 > 0 κι x - x > 0, οπότε (x - x 1 )(x - x ) > 0. Επομένως, λόγω της (1), το τριώνυμο είνι ομόσημο του Αν Δ = 0, τότε ισύει: γ Επομένως, το τριώνυμο είνι ομόσημο του γι κάθε πργμτικό γι Δ Αν Δ<0, τότε ισύει: γ 4 Όμως η πράστση μέσ στην γκύλη είνι θετική γι κάθε πργμτικό ριθμό x. Επομένως το τριώνυμο είνι ομόσημο του σε όλο το R. Τ πρπάνω συνοψίζοντι στον πίνκ:, ενώ μηδενίζετι Το τριώνυμο x + x + γ, 0 γίνετι: Ετερόσημο του, μόνο ότν είνι Δ>0 κι γι τις τιμές του x, που ρίσκοντι μετξύ των ριζών. Μηδέν, ότν η τιμή του x είνι κάποι πό τις ρίζες του τριωνύμου. Ομόσημο του σε κάθε άλλη περίπτωση. 5. Πότε έν τριώνυμο είνι πάντ θετικό κι πότε πάντ ρνητικό δηλδή πως λύνοντι οι νισώσεις της μορφής + + γ > 0 ή + + γ < 0 ; γι ν είνι έν τριώνυμο θετικό ΠΑΝΤΟΤΕ πρέπει Δ<0 κι >0 γι ν είνι έν τριώνυμο ρνητικό ΠΑΝΤΟΤΕ πρέπει Δ<0 κι <0 Βρίσκουμε το πρόσημο του τριωνύμου + + γ κι κρτάμε το διάστημ στο οποίο γίνετι >0 ή <0 ντίστοι 6

ΠΡΟΟΔΟΙ 1. Τι ονομάζετι κολουθί πργμτικών ριθμών; Γενικά κολουθί πργμτικών ριθμών είνι μι ντιστοίιση των φυσικών ριθμών 1,,3,...,ν,... στους πργμτικούς ριθμούς. Ο ριθμός στον οποίο ντιστοιεί ο 1 κλείτι πρώτος όρος της κολουθίς κι τον συμολίζουμε συνήθως με 1, ο ριθμός στον οποίο ντιστοιεί ο κλείτι δεύτερος όρος της κολουθίς κι τον συμολίζουμε συνήθως με κ.λ.π. Γενικά ο ριθμός στον οποίο ντιστοιεί ένς φυσικός ριθμός ν κλείτι ν-οστός ή γενικός όρος της κολουθίς κι τον συμολίζουμε συνήθως με ν.. Τι ονομάζουμε κολουθί που ορίζετι νδρομικά; Λέμε ότι η κολουθί ( ν ) ορίζετι νδρομικά κι η ισότητ ν+ = ν+ι + ν λέγετι νδρομικός τύπος της κολουθίς. Γενικότερ, γι ν ορίζετι μι κολουθί νδρομικά, πιτείτι ν γνωρίζουμε: i) Τον νδρομικό της τύπο κι ii) Όσους ρικούς όρους μς ρειάζοντι, ώστε ο νδρομικός τύπος ν ρίσει ν δίνει όρους. 3. Πως ορίζετι η ριθμητική πρόοδος, κι τι διφορά ριθμητική προόδου; Μι κολουθί λέγετι ριθμητική πρόοδος, ν κάθε όρος της προκύπτει πό τον προηγούμενό του με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε ριθμού. Τον ριθμό υτό τον συμολίζουμε με ω κι τον λέμε διφορά της προόδου. Επομένως, η κολουθί ( ν ) είνι ριθμητική πρόοδος με διφορά ω, ν κι μόνο ν ισύει: ν+1 = ν + ω ή ν+1 ν = ω 4. Ν ποδείξετε ότι ο ν-οστος όρος της ριθμητικής προόδου δίνετι πό τον τύπο: ν = 1 +(ν-1)ω Απόδειξη Από τον ορισμό της ριθμητικής προόδου έουμε: Προσθέτοντς κτά μέλη της ν υτές ισότητες κι εφρμόζοντς την ιδιότητ της διγρφής ρίσκουμε ν = 1 +(ν-1)ω 7

5. Ν ποδείξετε ότι τρεις ριθμοί,, γ είνι διδοικοί όροι ριθμητικής προόδου ν κι μόνο ν ισύει, πως ονομάζετι ο ; Απόδειξη Ορθό Αν πάρουμε τρεις διδοικούς όρους,, γ μις ριθμητικής προόδου με διφορά ω, τότε ισύει: Αντίστροφο Αλλά κι ντιστρόφως, ν γι τρεις ριθμούς,, γ ισύει τότε έουμε που σημίνει ότι οι,, γ είνι διδοικοί όροι ριθμητικής προόδου. Ο λέγετι ριθμητικός μέσος των κι γ 6. Ν ποδείξετε ότι το άθροισμ των πρώτων ν όρων ριθμητικής προόδου ( ν ) με διφορά ω είνι Απόδειξη Έουμε: S ν = 1 +( 1 +ω)+( 1 +ω) +... + [ 1 +(ν )ω]+[ 1 +(ν 1)ω] κι S ν = ν +( ν ω)+( ν ω) +... + [ ν (ν )ω]+[ ν (ν 1)ω] Αν προσθέσουμε κτά μέλη τις πρπάνω ισότητες έουμε: S ν = ( ν + 1 ) + ( ν + 1 ) +.. + ( ν + 1 ) S ν = ν ( ν + 1 ) S ν = ( ν + 1 ) φού ν = 1 + (ν 1)ω τότε ο τύπος S ν = ( ν + 1 ) γράφετι κι S ν = [ 1 +(ν-1) ω] 7. Πως ορίζετι η γεωμετρική πρόοδος, κι τι κλείτι λόγος γεωμετρικής προόδου; Μι κολουθί λέγετι γεωμετρική πρόοδος, ν κάθε όρος της προκύπτει πό τον προηγούμενό του με πολλπλσισμό επί τον ίδιο πάντοτε μη μηδενικό ριθμό. Τον ριθμό υτό τον συμολίζουμε με λ κι τον λέμε λόγο της προόδου. 8

Σε μι γεωμετρική πρόοδο ( ν ) υποθέτουμε πάντ ότι 1 0, οπότε, φού είνι κι λ 0, ισύει ν 0 γι κάθε ν Ν*. Επομένως, η κολουθί ( ν ) είνι γεωμετρική πρόοδος με λόγο λ, ν κι μόνο ν ισύει: 8. Ο ν-ος όρος μις γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο 1 κι λόγο λ είνι ν = 1 λ ν 1 Απόδειξη Από τον ορισμό της γεωμετρικής προόδου έουμε: Πολλπλσιάζοντς κτά μέλη τις ν υτές ισότητες κι εφρμόζοντς την ιδιότητ της διγρφής, ρίσκουμε ν = 1 λ ν-1 9. Ν ποδείξετε ότι τρεις μη μηδενικοί ριθμοί,, γ είνι διδοικοί όροι γεωμετρικής προόδου, ν κι μόνο ν ισύει = γ πως κλείτι ο ; Απόδειξη ορθό Αν πάρουμε τρεις διδοικούς όρους,, γ μις γεωμετρικής προόδου με λόγο λ, τότε ισύει Αντίστροφο Αλλά κι ντιστρόφως, ν γι τρεις ριθμούς,, γ 0 ισύει = γ, τότε = που σημίνει ότι οι,, γ είνι διδοικοί όροι μις γεωμετρικής προόδου. Ο θετικός ριθμός (με = ) λέγετι γεωμετρικός μέσος των κι γ. 10. Το άθροισμ των πρώτων ν όρων μις γεωμετρικής προόδου (ν) με λόγο λ 1 είνι 9

Απόδειξη Έστω (1) Πολλπλσιάζουμε τ μέλη της (1) με το λόγο λ κι έουμε () Αφιρούμε πό τ μέλη της () τ μέλη της (1) κι έουμε: Επομένως, φού λ 1, έουμε: Πρτήρηση: Στην περίπτωση που ο λόγος της προόδου είνι λ-1, τότε το άθροισμ των όρων της είνι S v = ν 1 φού όλοι οι όροι της προόδου είνι ίσοι με 1. 30