1 Prìblhma 2 και α Εχουμε ότι a 11 =1 a 21 = a 12 = 1 a 22 = b 11 = b 21 = b 12 = b 22 =1 A = B = ( 1 1 ( και επομένως det A =detb =, οπότε οι συνθήκες είναι αμιγείς. β Εχουμε ότι ( ( 1 2 1 A =, B = 1 1 και επομένως det A =detb = 1, οπότε οι συνθήκες είναι μικτές. Για να τις φέρουμε στη ζητούμενη μορφή, έχουμε ( ( ( 1 2 1 Ψ( + Ψ(1 = 1 1 ( ( 1 2 1 Ψ( = Ψ(1 1 1 1 ( ( ( 1 2 1 2 Ψ(1 = Ψ( = Ψ( 1 1 1 1 1 γ Αφαιρώντας τη δεύτερη σχέση από την πρώτη έχουμε 3y( 3y ( = y( = y ( Πολλαπλασιάζοντας την πρώτη σχέση επί 2 και προσθέτοντας τη δεύτερη έχουμε 9y(1 + 6y (1 = y(1 = 2 3 y (1 Οι συνοριακές συνθήκες είναι προφανώς αμιγείς. δ Πολλαπλασιάζουμε τη δεύτερη σχέση επί 5 και προσθέτουμε την πρώτη, οπότε προκύπτει 2y( + 2y ( y (1 = y (1 = 2y( + 2y (. Σε συνδυασμό με τη δεύτερη από τις αρχικές εξισώσεις, έχουμε ( ( ( y(1 y( y = (1 2 2 y (
2 Prìblhma 3 α Είναι ήδη σε μορφή iouville, μεw = x 2 και v = l(l +1. β Ξεκινάμε από την τυπική μορφή της εξίσωσης xy (1 xy λy = οπότε έχουμε a = x και b = (1 x, οπότε μ = k( 1 ( 1 x x exp dx = k x x eln x x = ke x και w = μ = ke x, οπότε επιλέγουμε k =1. Τελικά, η μορφή iouville της εξίσωσής μας είναι xe x y +(1 xe x y + λe x y = γ Εχουμε κατά τα γνωστά a = (1 x 2 και b = x, οπότε μ = k( 1 ( 1 x 2 exp = k 1 x 2 exp ( 1 2 ln(1 x2 x 1 x 2 dx = k ( 1 1 x 2 exp 2 1 x 2 = k 1 x 2 (1 x2 1 2 = k(1 x 2 1 2 d(1 x 2 και w = μ = k(1 x 2 1 2, οπότε επιλέγουμε k =1.Τελικά,ημορφήiouville της εξίσωσής μας είναι (1 x 2 1 2 y x(1 x 2 1 2 y + λ(1 x 2 1 2 y = Prìblhma 5 α Θα δείξουμε ότι W (a =W (b =. Μεβάσητησχέσηy (a =hy(a έχουμε ότι W (a =y 1 (ay 2(a y 1(ay 2 (a =y 1 (ahy 2 (a hy 1 (ay 2 (a =. Ομοίως για το W (b. β Γράφουμε τις μικτές συνθήκες Ψ(b =SΨ(a στη μορφή: y(b =αy(a+βy (a y (b =γy(a+δy (a
3 οπότε έχουμε W (b = y 1 (by 2(b y 2 (by 1(b = ( αy 1 (a+βy 1 (a( γy 2 (a+δy 2 (a ( αy 2 (a+βy 2 (a( γy 1 (a+δy 1 (a = (βγ αδy 1(ay 2 (a+(αδ βγy 1 (ay 2(a = dets[y 1 (ay 2 (a y 1 (ay 2(a] = detsw(a Για να είναι οι συνθήκες αυτοσυζυγείς θα πρέπει p(aw (a p(bw (b = p(aw (a p(bdetsw(a = W (a[p(a p(bdets] = p(a =p(bdets Prìblhma 7 α Για τις συνοριακές συνθήκες ισχύει ότι ( y( y = ( ( ( y(1 y (1 ή Ψ(a =S Ψ(b με S = ( οπότε έχουμε det S =. Οπως μπορεί να δειχθεί εύκολα (βλ. Πρόβλημα 5, W (a =dets W (b. Για να είναι αυτοσυζυγείς οι συνθήκες θα πρέπει p(b = p(adets =, το οποίο δεν ισχύει, αφού p(x =1. Άρα οι συνθήκες δεν είναι αυτοσυζυγείς. Ωστόσο, η αυτοσυζυγία είναι ικανή αλλά όχι και αναγκαία συνθήκη της πραγματικότητας των ιδιοτιμών, αφού η W (y, y μπορεί να μηδενίζεται απλώς όταν οι συναρτήσεις y(x είναι πραγματικές. Στην προκειμένη περίπτωση, από το χαρακτηριστικό πολυώνυμο της εξίσωσης έχουμε { σ 2 λ = k 2, y = α sin kx + β cos kx = λ λ = γ 2, y = αe γx + βe γx Για τη δεύτερη περίπτωση, έχουμε από τις συνοριακές συνθήκες y( = α + β = y ( = y (1 αγ βγ = αγe 1 βγe 1 2α =(e + e 1 α δηλαδή αυτή η περίπτωση είναι αδύνατη. Για την πρώτη περίπτωση, οι συνοριακές συνθήκες δίνουν
4 y( = β = y ( = y (1 cos k =1 k = nπ λ = n 2 k 2 δηλαδή οι ιδιοτιμές είναι πραγματικές. Επίσης οι συγκεκριμένες ιδιοτιμές αποτελούν το σύνολο των ιδιοτιμών, όπως προκύπτει από το θέωρημα των κόμβων. β Οπως και πριν, οι συνοριακές συνθήκες είναι μη αυτοσυζυγείς. Η περίπτωση λ = γ 2 δίνει για τις συνοριακές συνθήκες y( = α + β = y ( = 2y (1 αγ βγ =2αγe 1 2βγe 1 2α =(e + e 1 2α δηλαδή αυτή η περίπτωση είναι αδύνατη. Για την περίπτωση λ = k 2, οι συνοριακές συνθήκες δίνουν y( = β = y ( = 2y (1 cos k = 1 2 k =2nπ ± π 3 και ικανοποιείται το κριτήριο των κόμβων. γ Και πάλι, οι συνοριακές συνθήκες είναι μη αυτοσυζυγείς. Η περίπτωση λ = γ 2 δίνει για τις συνοριακές συνθήκες y ( = αγ βγ = α = β y( = y(1 α + β = αe + βe 1 2α =(e + e 1 α δηλαδή αυτή η περίπτωση είναι αδύνατη. Για την περίπτωση λ = k 2, οι συνοριακές συνθήκες δίνουν y ( = α = y( = y(1 cos k =1 k = nπ (δ Οπως προηγουμένως, έχουμε για την περίπτωση λ = k 2 y ( = α = y( = 2y(1 cos k = 2 k =2nπ ± π 4
5 Prìblhma 9 Prìblhma 15 Το ανάπτυγμα Fourier οποιασδήποτε συνάρτησης f(x στο διάστημα < x < έχει μορφή όπου f(x =c + n=1 c n cos nπx c = 1 f(x dx, c n = 2 f(xcos nπx dx Επομένως, για τη συγκεκριμένη συνάρτηση f(x =x 2 έχουμε και c = 1 x 2 dx = 3 3 = 2 3 c n = 2 x 2 cos nπx dx = 2 ( 3 nπ u 2 cos udu nπ όπου εφαρμόσαμε την αντικατάσταση u = nπx/. Για το αόριστο ολοκλήρωμα έχουμε u 2 cos udu = u 2 d(sin u =u 2 sin u 2 = u 2 sin u +2ucos u 2 u sin udu= u 2 sin u +2 ud(cos u cos udu= u 2 sin u +2u cos u 2sinu ενώγια το ορισμένο ολοκλήρωμα έχουμε nπ και τελικά u 2 cos udu = (u 2 sin u +2u cos u 2sinu nπ = (nπ 2 sin nπ +2nπ cos nπ 2sinnπ =+2nπ( 1 n +
6 δηλαδή c n = 2 ( 3 2nπ( 1 n = 42 ( 1 n nπ n 2 π 2 x 2 = 3 3 + 42 π 2 ( 1 n n=1 Η γραφική παράσταση είναι η ακόλουθη: Bl. mde215.jpg n 2 cos nπx Prìblhma 16 Το ανάπτυγμα οποιασδήποτε συνάρτησης f(x σε μιγαδική σειρά Fourier στο διάστημα ( l, l έχει μορφή f(x = n= n= c n e inπx/l, όπου c n = 1 2l l l f(xe inπx/l dx Επομένως, στην προκειμένη περίπτωση όπου f(x =e x και l = π έχουμε c n = 1 π e x e inx dx = 1 π 2π π 2π π = 1 ( e π inπ e π+inπ = 2π(1 in δηλαδή τελικά f(x = sinh π π e (1 inx dx = 1 2π n= n= cos nπ sinh π π(1 in ( 1 n 1 in einx 1 1 in e(1 inx π π = ( 1n sinh π π(1 in Η παραπάνω συνάρτηση είναι πραγματική, αφού αποτελεί άθροισμα ζευγών συζυγών όρων, δηλαδή για κάθε θετικό n υπάρχουν οι όροι ( 1 n e inx 1 in, και ( 1 n e inx 1+in Prìblhma 32 Τα σημεία ±1 είναι ομαλά ιδιόμορφα για την εξίσωση Chebyshev, και επομένως με την απαίτηση η λύση να είναι πεπερασμένη σε αυτά το πρόβλημα είναι καλά τεθειμένο. Για να φέρουμε την εξίσωση στη μορφή iouville, έχουμε
7 ( 1 μ = k 1 x 2 exp = x 1 x 2 dx = k ( 1 1 x 2 exp 2 k 1 x 2 [ exp ( ln(1 x 2 ] 1 2 = k(1 x 2 1 2 δηλαδή η μορφή iouville της εξίσωσης θα είναι (1 x 2 1 2 y (1 x 2 1 1 2 + λ(1 x 2 1 2 = d(1 x 2 1 x 2 οπότε η συνάρτηση βάρους είναι w =(1 x 2 1 2. Οσον αφορά τις ιδιοτιμές, η εξίσωσή μας είναι διβάθμια, με βήμα 2 και εναρκτήριες δυνάμεις ή 1, οπότεοι δυνατές δυνάμεις τερματισμού θα είναι όλοι οι μη αρνητικοί ακέραιοι. Εισάγοντας τη δύναμη τερματισμού, έστω x n, στους μεγιστοβάθμιους όρους, έχουμε n(n 1 n + λ = λ = n 2, n =, 1,... Οι σχέσεις ορθογωνιότητας έπονται άμεσα από τη μορφή της συνάρτησης βάρους. Τα ολοκληρώματα ορθογωνιότητας συγκλίνουν διότι η συνάρτηση βάρους απειρίζεται σαν x 1 2, δηλαδή η αρνητική δύναμη είναι μικρότερη από 1. Prìblhma 33