ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ROLLE, ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΑΙ ΤΟΥ FERMAT ΟΙ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ROLLE, ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΑΙ ΤΟΥ FERMAT ΟΙ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Του Δημητρίου Α Ντρίζου Σχολικού Συμούλου Μθημτικών ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η εργσί υτή διρθρώνετι σε πέντε μέρη: Στο πρώτο μέρος προυσιάζετι με συντομί η ιστορικομθημτική συνιστώσ του θέμτός μς κι διτυπώνοντι, γι λόγους λειτουργικότητς, τ σικά θεωρήμτ του Διφορικού Λογισμού που διπργμτευόμστε στην εργσί υτή Στο δεύτερο, με τη συμολή νάλογης γεωμετρικής εποπτείς, σχολούμστε με έν σημντικό σχόλιο επί του θεωρήμτος του Rolle κι έπειτ διτυπώνοντι κάποιες λγερικές συνέπειές του Ακολούθως νλύοντι πρδείγμτ με στόχο την κτνόηση του λειτουργικού χρκτήρ του θεωρήμτος του Fermat Στο τρίτο δίνοντι πρδείγμτ διμέσου των οποίων νδεικνύετι η φυσική ερμηνεί των θεωρημάτων του Rolle κι της Μέσης Τιμής Στο τέτρτο προτείνοντι θέμτ-σκήσεις προς λύση κι, τέλος, στο πέμπτο μέρος διτυπώνοντι κάποιες γενικεύσεις των θεωρημάτων ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ Σύντομη ιστορική νδρομή Δύο πό τ πλέον σημντικά προλήμτ του κλάδου της Ανάλυσης διτυπώνοντι στην ουσί τους με τ ερωτήμτ: 1 Ν ρεθούν οι κρόττες τιμές, μέγιστ κι ελάχιστ, μις συνάρτησης Ν εντοπιστούν οι ρίζες μις εξίσωσης Οι πρώτες πντήσεις σε τέτοιου τύπου ερωτήμτ-νζητήσεις δόθηκν τον 17 ο ιών πό τους μεγάλους Γάλλους μθημτικούς Pierre Fermat (161-1665) κι Michel Rolle (165-1719) Ο Rolle γράφει γι πρώτη φορά το 1691 στην "Άλγερά" του μί πρότση, που μς λέει: «Έστω P() = μι πολυωνυμική εξίσωση Κτσκευάζουμε την εξίσωση P () =, όπου P () είνι η πράγωγος του P() Μετξύ δύο ριζών της πρώτης εξίσωσης υπάρχει μί τουλάχιστον ρίζ της δεύτερης εξίσωσης» [Αυτή είνι η πρώτη διτύπωση του γνωστού μς, σήμερ, ως θεωρήμτος του Rolle] Το θεώρημ του Rolle νγνωρίστηκε στην ευρύτερη μθημτική κοινότητ ργότερ, ότν ο J Lagrange (1736-1813) δημοσίευσε, το 1797, το δικό του θεώρημ, που σήμερ μς είνι γνωστό ως θεώρημ της Μέσης Τιμής (ΘΜΤ) του Διφορικού Λογισμού (Το θεώρημ του Rolle προκύπτει ως ειδίκευση πό το ΘΜΤ του Lagrange) Στη συνέχει, το θεώρημ του Rolle νγνωρίζετι κόμη περισσότερο ότν ο Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) διτυπώνει κι ποδεικνύει το δικό του ΘΜΤ (Το ΘΜΤ του Lagrange προκύπτει ως ειδίκευση πό το ΘΜΤ του Cauchy) Κάπου 5 χρόνι νωρίτερ, ο Fermat έγρφε περίπου τ εξής: 1/14

«Αν θέλετε ν ρείτε τις κρόττες τιμές μις πολυωνυμικής συνάρτησης, μην ψάχνετε οπουδήποτε Ψάξτε μόνον εκεί όπου η πράγωγος του πολυωνύμου μηδενίζετι» Στο σημείο τούτο ξίζει ν υπογρμμίσουμε την ιστορική σύμπτωση των δύο σημντικών προλημάτων της Ανάλυσης: () προσδιορισμός των κροτάτων τιμών μις συνάρτησης κι () εντοπισμός των ριζών μις εξίσωσης Στην πορεί, οι προτάσεις υτές διτυπώθηκν με μεγλύτερη υστηρότητ κι προσδιορίστηκν οι υποθέσεις έτσι, ώστε ν εφρμόζοντι κι σε άλλες συνρτήσεις πέρν των πολυωνυμικών Γι λόγους λειτουργικότητς της εργσίς, διτυπώνουμε στη συνέχει τ σικά θεωρήμτ του Διφορικού Λογισμού στην τελεσίδικη μορφή τους Το Θεώρημ του Rolle Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο[, ] f, πργωγίσιμη στο (, ) κι ( ) = f ( ), τότε υπάρχει έν, τουλάχιστον, ξ (, ) τέτοιο, ώστε: f ( ξ ) = Το ΘΜΤ του Lagrange Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο[, ] κι πργωγίσιμη στο (, ), τότε = υπάρχει έν, τουλάχιστον, ξ (, ) τέτοιο, ώστε: f ( ξ ) Πρτήρηση: Είνι φνερό ότι με f ( ) f ( ) = πό το ΘΜΤ του Lagrange προκύπτει το θεώρημ του Rolle Συνέπειες του ΘΜΤ του Lagrange f ( ) f ( ) 1 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν διάστημ Δ κι γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ ισχύει f ( ) =, τότε η f είνι στθερή σε όλο το Δ Δηλδή, τότε, υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε f ( ) = c γι κάθε Δ Αν δυο συνρτήσεις f, g είνι συνεχείς σε έν διάστημ Δ κι γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ ισχύει f ( ) = g ( ), τότε υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε ( ) ( ) f = g + cγι κάθε Δ 3 Αν γι μι συνάρτηση f ισχύει f ( ) f ( ) = γι κάθε R, τότε υπάρχει στθερά τέτοι, ώστε c f ( ) c e = γι κάθε R /14

4 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν διάστημ Δ κι γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ ισχύει f ( ) >, τότε η f είνι γνησίως ύξουσ σε όλο το Δ 5 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν διάστημ Δ κι γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ ισχύει f ( ) <, τότε η f είνι γνησίως φθίνουσ σε όλο το Δ Το Θεώρημ του Fermat Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη στο f = σημείο υτό, τότε: ( ) ΜΕΡΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ Α Οι υποθέσεις του Θεωρήμτος του Rolle είνι ικνές, όχι όμως κι νγκίες γι το συμπέρσμά του Οι υποθέσεις που νφέροντι στη διτύπωση του Θεωρήμτος του Rolle ποτελούν τις ικνές συνθήκες, όχι όμως κι τις νγκίες γι ν υπάρχει ξ (, ), με ƒ (ξ) = Αυτό σημίνει ότι, ν μί ή περισσότερες πό τις υποθέσεις του θεωρήμτος του Rolle δεν ικνοποιούντι, τότε ενδέχετι ν υπάρχει ή κι ν μην υπάρχει ξ, με ƒ (ξ) = Σε κθεμιά πό τις τέσσερις πρκάτω περιπτώσεις δίνουμε τη γρφική πράστση δυο συνρτήσεων γι τις οποίες δεν ικνοποιείτι κάποι πό τις υποθέσεις του θεωρήμτος του Rolle κι, στη μι πό τις συνρτήσεις υτές ικνοποιείτι το συμπέρσμ του θεωρήμτος του Rolle, ενώ στην άλλη όχι 1 Η προϋπόθεση ƒ() = ƒ() δεν ικνοποιείτι y y ƒ() ƒ() ƒ() ƒ() ξ 1 ξ 3/14

Η ƒ δεν είνι συνεχής στο κλειστό διάστημ [, ] y y ƒ() = ƒ() ƒ() = ƒ() ξ 3 Η ƒ δεν είνι πργωγίσιμη στο νοικτό διάστημ (, ) y y ƒ() = ƒ() ƒ() = ƒ() c c ξ y 4 Η ƒ δεν ικνοποιεί κμιά ƒ() πό τις τρεις προϋποθέσεις του Θεωρήμτος του Rolle ƒ() ξ c 4/14

Β Κάποιες (λγερικές) συνέπειες του θεωρήμτος του Rolle 1 Μετξύ δυο ριζών μις πργωγίσιμης συνάρτησης ρίσκετι μι, τουλάχιστον, ρίζ της πργώγου Αν η εξίσωση f = έχει k κριώς διφορετικές πργμτικές ρίζες, τότε η εξίσωση ( ) ( ) f = έχει το πολύ k + 1 3 Ανάμεσ σε δυο διδοχικές πργμτικές ρίζες της f, η f έχει το πολύ μι πργμτική ρίζ 4 Αν έν πολυώνυμο έχει όλες τις ρίζες του πργμτικές, τότε η πράγωγός του έχει μόνο πργμτικές ρίζες κι μάλιστ, ν το πολυώνυμο έχει k διφορετικές πργμτικές ρίζες, τότε η πράγωγός του έχει k 1 διφορετικές πργμτικές ρίζες Γ Πρδείγμτ με στόχο την νάπτυξη διλόγου γι την ουσιστική κτνόηση της σχέσης μετξύ των υποθέσεων κι του συμπεράσμτος του θεωρήμτος του Fermat 1 Έστω η συνάρτηση f ( ) 1,1 = +, [ ] ( ) = >, οπότε η f είνι γνησίως ύξουσ κι το ( ) Είνι f f 1 = 3 είνι η μέγιστη τιμή της f Έτσι στο = 1 η f είνι πργωγίσιμη κι προυσιάζει τοπικό - f 1 = κρόττο Όμως ( ) Δεν προέκυψε το συμπέρσμ του θεωρήμτος του Fermat, f ( 1) =, γιτί πριάστηκε μι πό τις τρεις υποθέσεις του: το = 1 δεν είνι εσωτερικό σημείο του διστήμτος Δ= [,1] Σχόλιο: Έχουμε κρόττο σε κάποιο γι το οποίο είνι f ( ) Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) 3 ( ) ( ) f = + + 4, R Είνι f = 3 + Στο η f = Όμως η f στο = δεν προυσιάζει κρόττο Το πράδειγμ υτό μς δείχνει ότι δεν ισχύει το ντίστροφο του θεωρήμτος του Fermat Σχόλιο: Έχουμε f = σε κάποιο, χωρίς σ υτό το η f ν έχει κρόττο ( ) 3 Έστω η συνάρτηση f ( ) =, R, = +, < = f είνι πργωγίσιμη με ( ) Προκύπτει f ( ) κι ( ) 1, f < Στο = η f έχει ελάχιστο (ολικό) το ( ) > = 1, f =, χωρίς η f ν είνι πργωγίσιμη στο σημείο υτό Σχόλιο: Έχουμε κρόττο σε κάποιο, γι το οποίο δεν υπάρχει το f ( ) (Προτείνουμε ο διάλογος με τους μθητές, επί των τριών πρπάνω συνρτήσεων, ν γίνει με τη συμολή κι των γρφικών τους πρστάσεων) 5/14

ΜΕΡΟΣ ΤΡΙΤΟ Πρδείγμτ διμέσου των οποίων νδεικνύετι η φυσική ερμηνεί του θεωρήμτος του Rolle κι του ΘΜΤ του Lagrange 1 Ας υποθέσουμε ότι μι συνάρτηση V(t) μετράει τον όγκο του έρ που ρίσκετι στους πνεύμονες ενός νθρώπου, ως προς το χρόνο t, κτά τη διάρκει μις νπνοής Υποθέτουμε ότι: ) η V είνι συνεχής κι περιγράφετι πό μι ομλή κμπύλη (:γρφική πρά) η V(t) πίρνει την ίδι τιμή (περίπου 4 λίτρ) στο τέλος κάθε εισπνοής στση πργωγίσιμης συνάρτησης) Ερώτηση: Υπάρχει χρονική στιγμή, κτά τη διάρκει μις νπνοής, όπου μηδενίζετι ο ρυθμός μετολής του όγκου του έρ που ρίσκετι στους πνεύμονες του νθρώπου; Πετάμε κτκόρυφ προς τ πάνω μι μπάλ κι την ξνπιάνουμε στο ίδιο ύ- ψος πό το οποίο την πετάξμε ) Ν κάνετε πρόχειρ τη γρφική πράστση της συνάρτησης θέσης της μπά) Υπάρχει χρονική στιγμή t1 που η τχύτητ της μπάλς μηδενίζετι; λς ως προς το χρόνο t Ποι είνι η κλίση (της εφπτομένης) της γρφικής πράστσης της συνάρτησης θέσης στο σημείο με τετμημένη t 1 ; 3 Δύο υτοκίνητ είνι στμτημέν σ έν φνάρι, το έν δίπλ στο άλλο Ότν το φνάρι νάει πράσινο ξεκινούν, λλά νγκάζοντι κι τ δύο ν στμτήσουν στο επόμενο φνάρι Έτσι, ρίσκοντι κι τ δύο στμτημέν πάλι, το έν δίπλ στο άλλουπάρχει χρονική στιγμή κτά την οποί τ δύο υτοκίνητ έτρεχν με την ίδι τχύτητ; (Θεωρείστε ότι ο δρόμος είνι ευθύς) 4 Ο οδηγός ενός Jeep σκοπεύει πό το σημείο Α ν φτάσει στο Β Η πλγιά ΑΒ ο- ρίζετι πό την κμπύλη y = ƒ() κι το Jeep μπορεί ν νρριχηθεί σε κλίσεις έως 5% Ο οδηγός θ πετύχει το σκοπό του; Β 15 m Α,5 Km 5 Έν σωμτίδιο κινείτι πάνω στον άξον των τετμημένων (των t) Χρόνος t σε sec 4 5 7 Θέση (t) σε m Ο πίνκς δείχνει τη θέση του σωμτιδίου σε τρεις χρονικές στιγμές 6/14

) Ν ρεθεί η μέση τχύτητ του σωμτιδίου στο χρονικό διάστημ [, 5] ) Ν ποδειχτεί ότι, υπάρχουν δύο τουλάχιστον χρονικές στιγμές κτά τις ο- ποίες η στιγμιί τχύτητ του σωμτιδίου είνι ίση με τη μέση τχύτητ στο διάστημ [, 5] γ) Ν ποδειχτεί ότι υπάρχει μί τουλάχιστον χρονική στιγμή κτά την οποί η επιτάχυνση του σωμτιδίου μηδενίζετι (Θε ωρείστε ότι οι συνρτήσεις της θέσης κι της τχύτητς του σωμτιδίου είνι πργωγίσιμες συνρτήσεις του χρόνου) ΜΕΡΟΣ ΤΕΤΑΡΤΟ Θέμτ-σκήσεις προς λύση Τ πρκάτω θέμτ είνι εντελώς ενδεικτικά κι ποτελούντι πό μι σειρά σικών ερωτημάτων, κάποι πό τ οποί συμπεριλμάνοντι σχεδόν σ όλ τ ιλί νφοράς της Στοιχειώδους Ανάλυσης Ορισμέν πό υτά θ μπορούσν ν χρησιμοποιηθούν, σ έν πρώτο στάδιο, σν πρδείγμτ γι την κτνόηση κι εμπέδωση των σικών θεωρημάτων του Διφορικού Λογισμού που διπργμτευόμστε στο κείμενο υτό Θ ΕΜΑ 1 Έστω συνάρτηση (, ) με f ( ) f( ) Αν g( ) = κι f: [,] IR f ( ), η οποί είνι συνεχής στο [, ], πργωγίσιμη στο = [ ] =,,, ν ποδειχτεί ότι: M,f ξ διέρ- Υπάρχει ένς τουλάχιστον ριθμός ξ (,) τέτοιος, ώστε g ( ξ) = Η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της f στο σημεί ο της ( ξ ( )) χετι πό το σημείο A( +,) ΘΕΜΑ Έστω συνάρτηση f:, R, η οποί είνι δυο φορές πργωγίσιμη με [ ] f ( ) = f ( ) = κι f ( ) γι κάθε (,) [,] με τη ση: ( ) f( γ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( γ ) Επίσης, γι κάθε ορίζου συνάρτη g = f γ, όπου < γ< Ν ποδειχτεί ότι: Υπάρχουν ριθμ ξ, γ ξ γ, ξ, τέτοιοι, ώστε: οί 1 ( ), ( ) κι ( ) g ( ξ1) = g ( ξ) = g ( ξ) = ( ) (,) f γι κάθε Θ ΕΜΑ 3 Έστω πρ γωγίσιμη συνάρτηση f: [,] (, ) ( ) = + γι την οποί ισχύει: ( ) ( ) ( ) ln f ln f + + Ν ποδειχτεί ότι υπάρχει ένς τουλάχιστον ριθμός ( ) ( ) f ξ = 3ξ f ξ ξ (,) τέτοιος, ώστε 7/14

ΘΕΜΑ 4 Έστω οι πργωγίσιμες συνρτήσεις f,g:ir IR κι ρ 1,ρ με ρ1 < ρ δύο ρίζες της f + f g = έχει τουλά χιστον μι ρίζ στο f Ν ποδειχτεί ότι η εξίσωση ( ) ( ) ( ) διάστημ ( ρ 1,ρ ) [Υπόδειξη: Εφρμογή, τελικά, του θεωρήμτος του Rolle στη συνάρτηση ( ) ( ) Ε ιδίκευση 1 η Έστω συνεχή [ ] f ( ) f ( ) g ( ) h = f e ] ς συνάρτηση f:, IR, η οποί είνι πργωγίσιμη στο, με = = Ν ποδειχτεί ότι, γι κάθε λ IR f ( ξ) + λ f ( ξ) = υπάρχει ξ (,) ( ) τέτοιο, ώστε Ε ιδίκευση η Έστω συνεχής f:, IR, η οποί είνι πργωγίσιμη στο, με συνάρτηση [ ] f ( ) = f ( ) = Ν ποδειχτεί ότι, γι κάθε κ, λ IR, με τέτοιο, ώστε κ f ( ξ) + λ f ( ξ) = ( ) ξ ( ) κ, υπάρχει, Εφρμογή Έστω ότι η γρφική πράστση μις πργωγίσιμης στο ΙR συνάρτησης f τέμνει τη g e B,e ό- γρφική πράστση της συνάρτησης ( ) = στ σημεί A(,e ) κι ( ) που < Ν ποδειχτεί ότι υπάρχει ξ (,) τέτοιο, ώστε f ( ξ) = f ( ξ) f( ) [Υπόδειξη: Εφρμογή, τελικά, του θεωρήμτος του Rolle στη συνάρτηση g( ) = ] e Θ ΕΜΑ 5 Έστω συνε χής συνάρτηση f: [,] IR, η οποί είνι πργωγίσιμη στο (, ) με < < Επίσης, θεωρούμε τ σημεί A(,f ( ) ) κι B(,f ( )) ώστε ( OA) = (OB), όπου O είνι η ρχή ορθοκνονικού συσ τήμτος νφοράς Oy Ν ποδειχτεί ότι, υπάρχει (,) τέτοιο, ώστε η εφπτομένη της γρφικής π- M,f, ν είνι κάθετη στην ευθεί OM ράστσης της f στο σημείο της ( ( ) ) ΘΕΜΑ 6 συνάρτηση πργωγίσιμη στο [, ] με f ( ) = f ( ) = γ μτικός ριθμός εκτός του διστήμτος [ ] Ν χιστον σημείο της γρφικής πράστσης της f, με τετμημένη ξ (,) ορίζετι εφπτομένη που διέρχετι πό το σημείο Γ( γ, ) Έστω f μι κι ένς πργ-, π οδειχτεί ότι υπάρχει έν τουλά-, στο οποίο ΘΕΜΑ 7 (Το θεώρημ του Rolle γι δυο συνρτήσεις) Έστω ότι οι συνρτήσεις f κι g ικνοποιούν τις υποθέσεις του θεωρήμτος του Rolle στο διάστημ [, ] κ ι γι κάθε (,) ισχύει ( ) ( ) f + g Ν ποδειχτεί ότι, υπάρχει ξ (, ) τέτοιο, ώστε ( ξ) ( ) f g ξ = λ γι οποιοδήποτε λ IR 8/14

ΘΕΜΑ 8 (Πόρισμ του θεωρήμτος του Rolle) Αν μι συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σ έν δ ιάστημ Δ κι ισχύει f ( ) γι κάθε Δ, ν ποδειχτεί ότι η f είνι «1 1» στο Δ [Υπόδειξη: Ν εφρμοστεί η μέθοδος της πγωγής σε άτοπο] Θ ΕΜΑ 9 Έστω σ υνεχής συνάρτηση f: [,] IR, η οποί είνι πργωγίσιμη στο ( ) Αν η συνάρτηση f δεν έχει ρίζ στο διάστημ (, ), ν ποδειχτεί ότι η f έχε, ι μι το πολύ ρίζ στο διάστημ υτό Ν ποδειχτεί ότι η εξίσωση κ ημ+ 1=, όπου < κ < 1, έχει μι κριώς ρίζ στο διάστημ ( π,) Θ ΕΜΑ 1 Έστω οι πργωγίσιμες συνρτήσεις f,g:ir IR κι ρ 1,ρ με ρ1 < ρ δύο ρίζες της f Αν γι κάθε IR f g f g, ν ποδ ειχτεί ότι η g έχει ισχύει ( ) ( ) ( ) ( ) τουλάχιστον μι ρ ίζ στο διάστημ ( ρ,ρ ) 1 [Υπόδειξη: Ν εφρμοστεί η μέθοδος της πγωγής σε άτοπο] Θ ΕΜΑ 11 Αν μι συνά ρτηση f είνι δυο φορές πργωγίσιμη στο IR κι υπάρχει ευθεί που B,f κι τέμνει τη γρφική της πράστση σε τρί σημεί A(,f ( )), ( ( )) Γ( γ,f ( γ )), όπου γ πργμτική ρίζ Θ ΕΜΑ 1 < <, ν ποδειχτεί ότι η συνάρτηση f έχει μί τουλάχιστον Έστω συνεχ [ ] ( ) f ( ) f ( ) Ν ποδειχτεί ότι: Η εξίσωση f ( ) = f ( ) + f ( ) έχει μί τουλάχιστον ρίζ στο (, ) ριθμοί ξ,ξ (, ξ ξ, τέτοιοι, ώστε: ής συνάρτηση f:, IR, η οποί είνι πργωγίσιμη στο, με Υπάρχουν 1 ), με 1 1 1 + = f ξ f ξ f f ( ) ( ) ( ) ( ) 1 Θ ΕΜΑ 13 τηση Έστω συνάρ [ ] f ( ) = f ( ) = κι γι κάποιο γ (,) είνι ( ) νς τουλάχιστο ν ριθμός ξ ( ) f:, IR, η οποί είνι δυο φορές πργωγίσιμη με ιος, ώ, τέτο στε f ( ξ) f γ > Ν ποδειχτεί ότι υπάρχει έ- < ΘΕΜΑ 14 Έστω συνάρτηση f πργωγίσιμη στο IR με f ( ) > k γι κάθε R κι k κάποιος πργμτικός ριθμός Ν ποδειχτεί ότι η γρφική πράστση της f τέμνει την ευ- y= k 1 σε έν κριώς σημείο θεί ( ) 9/14

Θ ΕΜΑ 15 (Το ΘΜΤ του Cauchy) Αν οι συνρτήσεις f κι g είνι συ πργωγίσιμες στο, κι g ( ) γι κάθε ( ) νεχείς στο [, ],, ξ (,), τότε υπάρχει έν τουλάχιστον f ( ) f( a) f ( ξ) = g( ) g( a) g ( ξ) Πρτήρηση g( ) = ( ) τέτοιο, ώστε : Είνι φνερό ότι με πό το ΘΜΤ του Cauchy προκύπτει το ΘΜΤ του Lagrange Θ ΕΜΑ 16 Ν ποδειχτεί ότι: ln ( ) Α + 1 1 < ( ln ( + 1) ) 1 ( ln ) < ln + 1 1 + 1 1 Β < ln < γι κάθε > + 1 1 Γ 1 ln 1 γι κάθε > γι κάθε > e Θ ΕΜΑ 17 Έστω συνάρ τηση f δυο φορές πργωγίσιμη στο IR τέτοι, ώστε γι κάθε IR ν ισχύει: κ f ( ) + λ f ( ) ( κ+ λ) f( ), όπου < κι κ,λ κάποιοι θετικοί πργ- Ν ποδειχτεί ότι: μτικοί ριθμοί f ( ) = f ( ) f ( ) = f ( ) έν τουλάχιστον ριθμός ξ, f ξ = γ Υπάρχει ς ( ) τέτοιος, ώστε ( ) Θ ΕΜΑ 18 Έστω συνάρ τηση f: (,1) IR, η οποί είνι τρεις φορές πργωγίσιμη κι ισχύει f( ) γι κάθε (,1) Αν η f έχει δύο ρίζες ρ 1, ρ με < ρ1 < ρ < 1, ν ποδειχτεί ότι υπάρχει ένς τουλά- έ ιος, f ξ = χιστον ριθμός ξ (,1) τ το ώστε ( ) ΘΕΜΑ 19 Δίνετι η συ νάρτηση ( ) ( ) f = 1 e Ν ρεθεί το πεδίο ορισμού κι το σύνολο τιμών της f Ν μελετηθεί η f ως προς την μονοτονί κι τ κρόττ γ Αν κι πργμτικοί ριθμοί μικρότεροι του 1, ν ποδειχτεί ότι: ( ) ( ) < 1 1 e + + 16 δ Ν ποδειχτεί ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ ( 1,1), ώστε ( ) e f ξ = ΘΕΜΑ π ημ Δίνετι η συ νάρτηση f:, IR με f( ) = Ν ποδειχτεί ότι η f είνι γνησίως φθίνουσ κι ν ρεθεί το σύνολο τιμών της 1/14

π Ν ποδειχτεί ότι υπάρχει έν κριώς, ΘΕΜΑ 1 ln Δίνετι η συνάρτηση f( ) = Ν μελετηθεί η f ως προς την μονοτονί κι τ κρόττ Ν ποδειχτεί ότι: e, + ισχύει e i Γι κάθε ( ) ii Γι κάθε, ( e, + ) με Α Δίνετι η συνάρτηση f( ) τέτοιο, ώστε f( ) < ισχύουν > 1 κι + > ( + 1) ΘΕΜΑ ln = με > ln ( 1) Ν ποδειχτεί ότι: Η συνάρτηση f είνι γνησίως φθίνουσ > ln > ln ( 1) ln ( + 1) Γι κάθε ισχύει ( ) Β Δίνετι η συνάρτηση ln f( ) = με 1 > 1 Ν ποδειχτεί ότι: 1 1 ln< γι κάθε > 1 Η συνάρτηση f είνι γνησίως φθίνουσ γ Γι κάθε 1 είνι < f < 1 > ( ) δ Αν κι πργμτικοί ριθμοί μεγλύτεροι του 1 τέτοιοι, ώστε: ( 1) ln= ( 1) ln, τότε = ΘΕΜΑ 3 Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f : IR IR γι την οποί IR ισχύει: + 4 3 f( ) = ( 4 + 3) f( ) f ( ) Ν ρεθεί ο τύπος συνάρτησης της f ( ) + π = π f = κι γι κάθε ΘΕΜΑ 4 Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f: ( 1, + ) IR γι την οποί ισχύει: f( ) + ln f ( ) = γι κάθε ( 1, + ) Αν στο σημείο M( e,f( e )) της γρφικής πράστσης της f ορίζετι εφπτομένη που είνι κάθετη στην ευθεί y 1=, ν ρεθεί ο τύπος της f ΘΕΜΑ 5 Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση σχύει: f γι την οποί f( ) = κι γι κάθε IR ι- f ( ) = f( ), όπου συγκεκριμένος πργμτικός ριθμός f( ) Ν ποδειχτεί ότι η συνάρτηση g( ) Ν ρεθεί ο τύπος της f = είνι στθερή a e 11/14

ΘΕΜΑ 6 Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f :[, + ) (, + ) με ( ) [, + ) ισχύει: f ( ) + f ( ) = Ν ρεθεί ο τύπος της f ΘΕΜΑ 7 Έστω η πργωγίσιμη στο συνάρτηση γι την οποί > ισχύει f ( ln) = ημ συν Ν ρεθεί ο τύπος της f IR f f( ) f = 1 κι γι κάθε = συν1 κι γι κάθε ΘΕΜΑ 8 Ν ποδειχτεί ότι ln 1 γι κάθε > f:, IR Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση ( + ) με ( ) 1 ισχύει f( ) f ( ) = Ν ρεθεί ο τύπος της f f 1 = 1κι γι κάθε > ΘΕΜΑ 9 Ν ποδειχτεί ότι e + 1 γι κάθε R Έστω η δυο φορές πργωγίσιμη στο R συνάρτηση f γι την οποί ( ) ( ) f = 1, f = κι γι κάθε R Ν ρεθεί ο τύπος της f 1 ισχύει f ( ) f ( ) f ( ) + = e ΘΕΜΑ 3 Έστω η δυο φορές πργωγίσιμη στο R συνάρτηση f γι την οποί ( ) ( ) f = 1, f = κι γι κάθε R Ν ρεθεί ο τύπος της f ΘΕΜΑ 31 Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση e e ισχύει f ( ) = f( ) e + e ισχύει f ( ) ( ) ( ) + f f = 6 + f γι την οποί f( ) = 1 κι γι κάθε I R Ν ρεθεί ο τύπος της f ΘΕΜΑ 3 Αποδεικνύετι ότι, ν, γ, είνι τ μέτρ των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ, + + γ τ =, ρ κι R είνι ντιστοίχως η κτίν του εγγεγρμμένου κι του περιγεγρμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ, τότε τ, γ, είνι οι ρίζες της εξίσωσης 3 τ + τ + ρ + 4Rρ 4τRρ = ( ) Με δεδομένο υτό, ν ποδειχτεί ότι: τ > 3ρ( 4R + ρ) [Ανισότητ των G Colombier T Doucet, 187] 1/14

ΘΕΜΑ 33 Έστω συνεχής συνάρτηση f: [,] IR, η οποί είνι πργωγίσιμη στο (,) με f ( ) = f ( ) = Ν ποδειχτεί ότι, γι οποιουσδήποτε θετικούς κ κι λ, υπάρχουν ξ 1,ξ (,), με ξ ξ, τέτοιοι, ώστε: κ f ( ξ1) + λ f ( ξ) = 1 Ειδίκευση Έστω συνεχής συνάρτηση f: [,] IR, η οποί είνι πργωγίσιμη στο (,) με f ( ) = f ( ) = Ν ποδειχτεί ότι, υπάρχουν ξ 1,ξ (,), με ξ1 ξ, τέτοιοι, ώστε: f ξ + f ξ = ( ) ( ) 1 ΜΕΡΟΣ ΠΕΜΠΤΟ Κάποιες γενικεύσεις των θεωρημάτων (Τ θέμτ του τελευτίου υτού μέρους έχουν ενημερωτικό χρκτήρ κι δεν εντάσσοντι στην διδκτέ ύλη της Γ Λυκείου) ΘΕΜΑ 1 Αν μι συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο διάστημ (, ) κι ισχύει lim f = lim f = k, k IR, ( ) ( ) + τότε υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (,) τέτοιο, ώστε ( ) ΘΕΜΑ Αν μι συνάρτηση f ξ = f είνι πργωγίσιμη στο διάστημ (, ) κι ισχύει lim f = lim f = ( ή + ), ( ) ( ) + τότε υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (,) τέτοιο, ώστε ( ) f ξ = ΘΕΜΑ 3 Αν μι συνάρτηση τ lim f, lim f f είνι πργωγίσιμη στο διάστημ (,) κι υπάρχουν στο ξ, τέτοιο, ώστε ( ) ( ), τότε υπάρχει έν, τουλάχιστον, ( ) lim f ( ) lim f ( ) + f ( ξ) = + IR Το γενικό πρόλημ του εντοπισμού των ριζών πολυωνύμου με μιγδικούς συντελεστές Προλεγόμεν: n Έστω f ( z) = a nz + a1z + a έν πολυώνυμο με μιγδικούς συντελεστές κι n 1 f z = z + + a η πράγωγος του f z ( ) na ( ) n 1 Διτύπωση γενικού προλημτισμού: Αν είνι γνωστές οι ρίζες του πολυωνύμου f( z ), τότε που εντοπίζοντι οι εικόνες των ριζών του πολυωνύμου f ( z) στο μιγδικό επίπεδο; Μι πάντηση γι το ντίστοιχο πρόλημ στο IR δίνετι πό το θεώρημ του Rolle, διμέσου του οποίου ειώνετι ότι: Πάνω στον άξον, μετξύ δυο 13/14

πργμτικών ριζών πολυωνύμου P( ) υπάρχει μι τουλάχιστον πργμτική ρίζ του πολυωνύμου P ( ) Η πάντηση στον πρπάνω γενικό προλημτισμό δίνετι πό το επόμενο θεώρημ: Το Θεώρημ των Gauss-Lucas Αν στο μιγδικό επίπεδο σχημτίσουμε το κυρτό πολύγωνο, που οι κορυφές του είνι εικόνες των ριζών ενός δοσμένου πολυωνύμου κι που περιέχει στο εσωτερικό του ή στο σύνορό του όλες τις εικόνες των υπόλοιπων ριζών του πολυωνύμου, τότε οι εικόνες όλων των ριζών της πργώγου του πολυωνύμου ρίσκοντι στο εσωτερικό του πολυγώνου υτού ή πάνω στο σύνορό του κι η εικόν μις ρίζς θ ρίσκετι στο σύνορο μόνον ότν συμπίπτει με πολλπλή ρίζ του πολυωνύμου (:σύνορο του κυρτού πολυγώνου είνι η πολυγωνική γρμμή που το ορίζει) [Το θεώρημ υτό τελεσίδικ διτυπώθηκε κι ποδείχτηκε πό τον Lucas το 1879] Βιλιογρφικές πηγές: [1] Νεγρεπόντης, Σ Γιωτόπουλος, Σ Γιννκούλις, Ε () "Απειροστικός Λογισμός" τόμος ΙΙ, Αθήν: Εκδόσεις Συμμετρί [] Ντούγις, Σ (3) "Απειροστικός Λογισμός Ι", Αθήν: Εκδόσεις Leader Books [3] Ρσσιάς, Θ (4) "Μθημτική Ανάλυση Ι", τεύχος Α, Αθήν: Εκδόσεις Σάλς [4] Spivak, M (1991) "Διφορικός κι Ολοκληρωτικός Λογισμός", μτφρ Γιννόπουλος Απόστολος, Ηράκλειο: Πνεπιστημικές Εκδόσεις Κρήτης [5] Ζερός, Σ Μάκρς, Σ(1997)"Αλγερικές εξισώσεις, νισότητες Γεωμετρί ριζών", Αθήν: Έκδοση των συγγρφέων (Εκτύπωση: Σ Αθνσόπουλος, Σ Ππδάμης) [6] Κζντζής, Θ "Τ θεωρήμτ Μέσης Τιμής του κλσσικού διφορικού λογισμού", άρθρο στο περιοδικό "Μθημτική Πιδεί", τχ ο (Νοέμριος 1996, B Εξάμηνο), σσ 51-67, Θεσσλονίκη: Εκδόσεις Μθημτική Βιλιοθήκη (Χ Βφειάδης) [7] Περιοδικό "Ευκλείδης Β ", Αθήν: Έκδοση της ΕΜE [8] Περιοδικό "Το φ", τχ 1 ο έως κι 4 ο (4-7), Αθήν: Υπεύθυνος έκδοσης Β Ε Βισκδουράκης [9] Ντρίζος, Δ (4, Νοέμριος) "Η συμολή των γεωμετρικών νπρστάσεων στη διδικσί επινόησης της πόδειξης μις μθημτικής πρότσης Η περίπτωση του θεωρήμτος Μέσης Τιμής του Διφορικού Λογισμού", Πρκτικά 1 ου Πνελληνίου Συνεδρίου της ΕΜΕ, Τρίκλ [1] Σέρκος, Α "Τ θεωρήμτ της Μέσης Τιμής του Διφορικού κι του Ολοκληρωτικού Λογισμού στο Λύκειο", άρθρο στο περιοδικό "Ευκλείδης Γ ", τχ 67 ο (Ιούλιος-Δεκέμριος 7), σσ 98-14, Αθήν: Έκδοση της ΕΜE [11] Μντάς Ι Πυλόπουλος Θ, () "Ανάλυση Διφορικός Λογισμός γι τη Θετική Κτεύθυνση της Γ Λυκείου", Αθήν: Εκδόσεις Μντά 14/14