ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Castigliano Ελαστική γραμμή Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας
Επίλυση υπερστατικών φορέων Για την επίλυση των ισοστατικών φορέων (εύρεση αντιδράσεων και μεγεθών έντασης) αρκούν οι συνθήκες ισορροπίας. Για την επίλυση των υπερστατικών φορέων πρέπει εκτός από τις συνθήκες ισορροπίας να διατυπωθούν επιπλέον συνθήκες ίσες σε αριθμό με το βαθμό στατικής αοριστίας n. Ενώ για τη διατύπωση των συνθηκών ισορροπίας απαιτείται να ληφθεί υπόψη μόνο η γεωμετρία του φορέα, για τις επιπλέον συνθήκες, εκτός από τη γεωμετρία πρέπει να ληφθούν υπόψη και οι ιδιότητες του υλικού, από το οποίο είναι κατασκευασμένος ο φορέας. Αυτές εκφράζονται με τα ελαστικά χαρακτηριστικά που είναι το μέτρο ελαστικότητας, η διατομή, και η ροπή αδράνειας της διατομής.
Μέθοδοι υπολογισμού των υπερστατικών φορέων Κλασικές μέθοδοι: Μέθοδος δυνάμεων (μέθοδος ευκαμψίας) Μέθοδος μετακινήσεων Μέθοδος Cross (μέθοδος κατανομής των ροπών) Μητρωικές μέθοδοι: Μητρωική μέθοδος δυνάμεων Μητρωική μέθοδος μετακινήσεων (μέθοδος δυσκαμψίας) Μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων
Μέθοδοι υπολογισμού υπερστατικών φορέων
Μέθοδος δυνάμεων (α) Η επίλυση ενός υπερστατικού φορέα με τη μέθοδο δυνάμεων βασίζεται στην αναγωγή του προβλήματος στον υπολογισμό ενός άλλου πιο απλού φορέα που ονομάζεται Στατικό Κύριο Σύστημα (ΣΚΣ), το οποίο είναι μικρότερης υπερστατικότητας από τον αρχικό φορέα και συνήθως είναι ένας ισοστατικός φορέας. Η αναγωγή αυτή γίνεται με την κατάλυση ενός αριθμού κατάλληλων δεσμικών ράβδων (συνδέσμων), τόσων ώστε να προκύψει ένα ΣΚΣ που λύνεται με γνωστό τρόπο. Η κατάλυση δεσμικών ράβδων έχει ως συνέπεια το μηδενισμό στο ΣΚΣ των άγνωστων δυνάμεων που αυτές μεταβίβαζαν. Οι δυνάμεις αυτές ονομάζονται υπεράριθμες δυνάμεις και είναι οι άγνωστοι του προβλήματος. Παράλληλα με την κατάλυση αυτών των δεσμικών ράβδων επιτρέπονται στο ΣΚΣ οι μετακινήσεις που αυτές απαγόρευαν.
Μέθοδος δυνάμεων (β) Οι επιλύουσες εξισώσεις της μεθόδου προκύπτουν από τις συνθήκες συμβιβαστού των μετακινήσεων με τους περιορισμούς που επιβάλουν οι πραγματικοί σύνδεσμοι του προς επίλυση υπερστατικού φορέα. Στις εξισώσεις αυτές, οι μετακινήσεις που πρέπει να συμβιβαστούν εκφράζονται συναρτήσει των άγνωστων υπεράριθμων δυνάμεων, οι οποίες στη συνέχεια προσδιορίζονται με την επίλυση του συστήματος εξισώσεων που προκύπτει. Μετά τον υπολογισμό των υπεράριθμων δυνάμεων η εντατική κατάσταση του πραγματικού φορέα προκύπτει με επίλυση του ΣΚΣ για το εξωτερικό αίτιο και ταυτόχρονη εφαρμογή στις θέσεις των καταλυθέντων συνδέσμων των γνωστών πλέον υπεράριθμων δυνάμεων που αυτοί μεταβιβάζουν στον πραγματικό υπερστατικό φορέα.
Μέθοδος μετακινήσεων (α) Η επίλυση ενός υπερστατικού φορέα με τη μέθοδο αυτή βασίζεται στην αναγωγή του προβλήματος στον υπολογισμό ενός άλλου πιο απλού φορέα που ονομάζεται Κινηματικό ή Γεωμετρικό Κύριο Σύστημα (ΓΚΣ), που είναι μεγαλύτερης υπερστατικότητας από τον αρχικό φορέα. Η αναγωγή αυτή γίνεται με την προσθήκη υποθετικών δεσμικών ράβδων, τόσων ώστε να προκύψει το ΓΚΣ που αποτελείται από αμφίπακτες και μονόπακτες δοκούς και υπολογίζεται εύκολα. Η προσθήκη αυτών των δεσμικών ράβδων έχει ως συνέπεια να μηδενίζονται οι άγνωστες μετακινήσεις των κόμβων του φορέα, που είναι και οι άγνωστοι του προβλήματος. Επίσης, οι σύνδεσμοι που προστίθενται στους κόμβους μεταβιβάζουν αντιδράσεις που ανατρέπουν την ισορροπία των κόμβων του αρχικού φορέα στον οποίο δεν υπάρχουν αυτοί οι σύνδεσμοι.
Μέθοδος μετακινήσεων (β) Οι επιλύουσες εξισώσεις της μεθόδου προκύπτουν από τις συνθήκες μηδενισμού των αντιδράσεων που μεταβιβάζουν οι πρόσθετες υποθετικές δεσμικές ράβδοι. Σε αυτές τις εξισώσεις ισορροπίας οι εσωτερικές δυνάμεις εκφράζονται συναρτήσει των άγνωστων μετακινήσεων, οι οποίες στη συνέχεια βρίσκονται με την επίλυση του συστήματος εξισώσεων που προκύπτει. Μετά τον υπολογισμό των μετακινήσεων των κόμβων, η εντατική κατάσταση του πραγματικού φορέα προκύπτει βάσει της αρχής της επαλληλίας.
Μέθοδος Castigliano Η μέθοδος Castigliano (μέθοδος του ελάχιστου έργου) για την επίλυση υπερστατικών φορέων βασίζεται στο θεώρημα του Castigliano: Οι αντιδράσεις που αναπτύσσονται σ έναν υπερστατικό φορέα πρέπει να έχουν εκείνες τις τιμές, οι οποίες καθιστούν την ελαστική του ενέργεια ελάχιστη. Η εσωτερική ελαστική ενέργεια ενός φορέα προκύπτει από την παραμόρφωσή του υπό την επίδραση των εξωτερικών φορτίων. Η μέθοδος Castigliano είναι εφαρμόσιμη σε πλαισιωτούς και δικτυωτούς φορείς. Είναι όμως περιπλοκότερη από νεώτερες μεθόδους και γι αυτό έχει χάσει την πρακτική αξία που είχε άλλοτε.
Καταναγκασμοί Τα εξωτερικά φορτία και οι καταναγκασμοί προκαλούν μετακινήσεις και εντάσεις και στους υπερστατικούς φορείς. Εσωτερικοί καταναγκασμοί από: Μεταβολή της θερμοκρασίας του φορέα Διαφορές συναρμογής μελών του φορέα Εξωτερικοί καταναγκασμοί από: Μετακίνηση στηρίξεων του φορέα.
Παραμορφώσεις των υλικών Συμπεριφορά των υλικών υπό την επίδραση εξωτερικών φορτίων ή εσωτερικών παραμορφώσεων: Ελαστική συμπεριφορά: Παραμόρφωση του υλικού υπό την επίδραση ενός αιτίου και εξαφάνιση της παραμόρφωσης μετά την αφαίρεση του αιτίου. Κανένα δομικό υλικό δεν είναι απόλυτα ελαστικό. Ανελαστική συμπεριφορά: Παραμονή μόνιμων παραμορφώσεων μετά την απομάκρυνση των φορτίων. Για την αποφυγή μόνιμων παραμορφώσεων στις κατασκευές, περιορίζουμε τις τάσεις του υλικού κάτω από το όριο ελαστικότητας. Διάγραμμα τάσεων παραμορφώσεων. Η επίλυση των γραμμικών φορέων στη στατική γίνεται με την παραδοχή γραμμικά ελαστικού υλικού.
Ελαστική γραμμή Ελαστική γραμμή καλείται ο παραμορφωμένος από εξωτερικά φορτία ή καταναγκασμούς άξονας του φορέα. Συνήθως όμως, ως ελαστική γραμμή χαρακτηρίζεται η γραμμή των βυθίσεων (κατακόρυφων μετατοπίσεων) υ ή η γραμμή των οριζόντιων μετατοπίσεων u. Η ελαστική γραμμή προσδιορίζεται με τη μέθοδο Mohr.
Σημασία της ελαστικής γραμμής Ενώ ένα σκαρίφημα της ελαστικής γραμμής είναι πολύ χρήσιμο για την αντίληψη της μορφής του φορέα μετά την παραμόρφωση, σπάνια χρειάζεται ο ακριβής υπολογισμός της. Συνήθως αρκούν οι τιμές ορισμένων χαρακτηριστικών μετατοπίσεων που υπολογίζονται με τη μέθοδο του μοναδιαίου φορτίου. Αντίθετα, απαιτείται ο ακριβής υπολογισμός της ελαστικής γραμμής ενός φορέα για τον καθορισμό των γραμμών επιρροής. Στη συνέχεια περιγράφεται μία μέθοδος υπολογισμού της ελαστικής γραμμής.
Ελαστική γραμμή αμφιέρειστης δοκού Για να βρεθεί η ελαστική γραμμή U,α μιας αμφιέρειστης δοκού αυτή πρέπει να φορτιστεί με το ελαστικό φορτίο W,α. Τότε η γραμμή των τεμνουσών δυνάμεων Q(W,α) έχει σε κάθε σημείο τεταγμένη ίση με τη γωνία κλίσης φ,α της ελαστικής γραμμής U,α και η γραμμή των ροπών κάμψης Μ(W,α) συμπίπτει με τη ζητούμενη ελαστική γραμμή U,α, δηλαδή φ,α = Q(W,α), U,α = Μ(W,α) Δηλαδή, η ελαστική γραμμή μιας οριζόντιας αμφιέρειστης δοκού με οριζόντια κύλιση, ταυτίζεται με το διάγραμμα των ροπών λόγω του ελαστικού φορτίου w. Οι θετικές κατακόρυφες μετατοπίσεις (βυθίσεις) v, έχουν φορά προς τα κάτω (σύμφωνη με τα φορτία βαρύτητας). Στον επόμενους πίνακες δίνονται τα ελαστικά φορτία για διάφορες περιπτώσεις του αιτίου α.
λαστικό φορτίο και ελαστική ραμμή αμφιέρειστης δοκού
Ελαστικά φορτία & ελαστικές γραμμές ισοστατικών φορέων
Ελαστικά φορτία ισοστατικών φορέων
Βασικές περιπτώσεις φόρτισης, ελαστικού φορτίου W (διάγραμμα M/EI) και ελαστικής γραμμής αμφιέρειστης δοκού
Ελαστική γραμμή τμήματος δοκού Αν σε μια δοκό, που ανήκει σε οποιοδήποτε φορέα, είναι γνωστές οι βυθίσεις U Α,α και U Β,α στα άκρα ενός τμήματός της ΑΒ μήκους l, τότε η ελαστική γραμμή U,α του τμήματος ΑΒ προκύπτει αν με αφετηρία την κλείουσα (ευθεία γραμμή που εμφανίζει στα άκρα του διαστήματος l τεταγμένες U Α,α και U Β,α ) σχεδιάσουμε την ελαστική γραμμή της υποκατάστατης αμφιέρειστης δοκού, δηλαδή το διάγραμμα των ροπών κάμψης Μ(W,α). Προκύπτει ότι: όπου M op =0, η ελαστική γραμμή U P παρουσιάζει σημείο καμπής όπου M op < 0, η ελαστική γραμμή U P στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω όπου M op > 0, η ελαστική γραμμή U P στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω.
Οι συναρτήσεις ω Ο υπολογισμός των τεταγμένων της ελαστικής γραμμής Uw αμφιέρειστης δοκού, που το διάγραμμα των ροπών κάμψης της M op είναι ορθογώνιο, τριγωνικό, παραβολικό ή άλλου συνήθους σχήματος, μπορεί να γίνει με τη βοήθεια των συναρτήσεων ω. Ένα οποιοδήποτε διάγραμμα ροπών κάμψης Μ, Ρ με μέγιστη τεταγμένη Μ δίνει βυθίσεις U, Μ, που υπολογίζονται με τον τύπο U, Μ = (l 2 M/K EJ)ω, όπου Κ ένας σταθερός συντελεστής που εξαρτάται από τη μορφή του διαγράμματος των ροπών κάμψης. Ο αδιάστατος ω είναι συνάρτηση του λόγου x/l και λαμβάνεται από πίνακα. Στον επόμενο πίνακα δίνεται η εξίσωση της ελαστικής γραμμής U, Μ αμφιέρειστης δοκού για διάφορες μορφές του διαγράμματος των ροπών κάμψης Μ, Ρ. Με τον πίνακα αυτόν και της αρχής της επαλληλίας μπορούν να αντιμετωπιστούν και πιο σύνθετες περιπτώσεις.
Τιμές συναρτήσεων ω
Εξισώσεις ελαστικής γραμμής αμφιέρειστης δοκού για διάφορα διαγράμματα Μ, Ρ
Ελαστική γραμμή φορέων (α) 1. Υπολογισμός διαγράμματος ροπών κάμψης Μ,α του φορέα για το αίτιο α. Μ,α =0 για καταναγκασμούς σε ισοστατικό φορέα. 2. Υπολογισμός των μετατοπίσεων των χαρακτηριστικών σημείων με τη μέθοδο του μοναδιαίου φορτίου. 3. Προσδιορισμός της κλείουσας της ελαστικής γραμμής (σύνδεση με ευθύγραμμα τμήματα των μετατοπίσεων των χαρακτηριστικών σημείων). 4. Θεώρηση των τμημάτων μεταξύ των χαρακτηριστικών σημείων του φορέα ως αμφιέρειστων και υπολογισμός των πρόσθετων μετατοπίσεων λόγω του ελαστικού φορτίου. Υποδιαίρεση κάθε τμήματος σε επιμέρους τμήματα και υπολογισμός των πρόσθετων μετατοπίσεων v(x) με τις συναρτήσεις ω.
Ελαστική γραμμή φορέων (β) 5. Αλγεβρική πρόσθεση των τιμών των μετατοπίσεων στα ενδιάμεσα σημεία κάθε τμήματος του φορέα. Εναλλακτικά, με γραφική λύση, σχεδιάζεται η κλείουσα κάθε τμήματος και αναρτώνται από αυτή οι τιμές των πρόσθετων μετατοπίσεων. 6. Κατά τη σχεδίαση της ελαστικής γραμμής επιλέγεται κλίμακα των μετατοπίσεων τάξεις μεγέθους μεγαλύτερη της κλίμακας των μηκών του φορέα, εφόσον οι μετατοπίσεις είναι της τάξης mm έως cm.
Παραδείγματα ελαστικών γραμμών
Στατική συμπεριφορά κατασκευών
Διάγραμμα ροπών Ελαστική γραμμή (α)
ιάγραμμα ροπών Ελαστική γραμμή (β)