ΜΑΘΗΜΑ 6.4.5 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ R Η έννια τυ ρίυ Όρι ταυττικής σταθερής συνάρτησης Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΟΡΙΩΝ Όρι και διάταξη Όρια και πράξεις Κριτήρι παρεµβλής Τριγωνµετρικά όρια Όρι σύνθετης συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός f l σηµαίνει ότι ι τιµές f ( ) της συνάρτησης f πρσεγγίζυν όλ και περισσότερ τν πραγµατικό αριθµό l, καθώς Μπρεί και να είναι f ( ) l. Ορισµός f l σηµαίνει ότι ι τιµές f ( ) της συνάρτησης f πρσεγγίζυν όλ και περισσότερ τν πραγµατικό αριθµό l, καθώς Μπρεί και να είναι f ( ) l
. Ορισµός f l σηµαίνει ότι ι τιµές f ( ) της συνάρτησης f πρσεγγίζυν όλ και περισσότερ τν πραγµατικό αριθµό l, καθώς Μπρεί και να είναι f ( ) l 4. Θεώρηµα Ισχύει η ισδυναµία : f ( ) l και f ( ) l f l 5. Άµεσες συνέπειες τυ ρισµύ f ( ) l f c c ( l ) f 0 l f ( h) h0 l. 6. Τ πρόσηµ τυ ρίυ συµπεραίνει τ πρόσηµ της συνάρτησης f > 0 f f > 0 κντά στ < 0 f ( ) < 0 κντά στ 7. Από ανισότητα συναρτήσεων σε ανισότητα ρίων f ( ) g και υπάρχυν τα f, g κντά στ f g
8. Πράξεις f ( ) g κf f g κ f, κ R f g f g f f g( ), εφόσν g g f ( ) f κ f ( ) f κ f ν ν f ( ) 0 9. Όρι πλυωνυµικής Ρ() Ρ( ) 0. Όρι ρητής P Q P( ) Q, εφόσν Q( ) 0. Κριτήρι παρεµβλής h f g κντά στ και f ( ) l h g l. Χρήσιµες ανισότητες ηµ για κάθε R ηµ < για κάθε * R
4. Τριγωνµετρικά όρια ηµ ηµ συν συν ηµ 0 συν 0 4. Όρι σύνθετης συνάρτησης f g f u, όπυ uu u g και u g() ΣΧΟΛΙΑ ΜΕΘΟ ΟΙ. Τ σύµβλ 0 - δ 0 0 δ σηµαίνει ότι : Τ πρσεγγίζει τν όλ και περισσότερ χωρίς να τ φθάνει. Η απόσταση τυ από τ όλ και µικραίνει χωρίς να µηδενίζεται. Η απόσταση γίνεται µικρότερη από 0 πινδήπτε θετικό αριθµό. Είναι 0 < < δ για κάθε θετικό αριθµό δ δ < < δ δ < < δ
5. Τ σύµβλ 0 0 δ σηµαίνει ότι : µε > (από δεξιά) ηλαδή είναι 0 < < δ < < δ για κάθε θετικό αριθµό δ. Τ σύµβλ 0 - δ 0 σηµαίνει ότι : µε < (από αριστερά) ηλαδή είναι δ < δ < < < 0 για κάθε θετικό αριθµό δ 4. Στη γραφή f Ο µπρεί να ανήκει στ πεδί ρισµύ της f, µπρεί και όχι. Μπρεί να είναι f µπρεί και όχι f ( ) 5. Η µναδικότητα τυ ρίυ Όταν υπάρχει τ όρι της f ( ) στ, είναι µναδικό. 6. Άµεση συνέπεια Αν f f τότε δεν υπάρχει τ f
6 7. ιευκρίνιση Είναι γνωστό ότι, αν f l τότε Τ αντίστρφ ισχύει µόν όταν l 0 : f ( ) l όχι αντίστρφα. f 0 f 0. 8. Από πρόσηµ συνάρτησης σε πρόσηµ ρίυ f ( ) < 0 κντά στ και υπάρχει τ f f 0. 9. Τ κριτήρι παρεµβλής Ισχύει και µε γνήσιες ανισότητες Συµπεραίνει την ύπαρξη τυ ρίυ και τν υπλγισµό τυ. 0. Συµπλήρωµα τριγωνµετρικών ρίων εϕ εϕ ηµ Απόδειξη : 0 0 0 συν ηµ 0 0 συν συν 0 0 0 εϕ Απόδειξη : 0 ηµ Απόδειξη : 0. Στις ασκήσεις Να θέτυµε όπυ τ εϕ 0 ηµ 0 εϕ εϕ 0 ηµ ηµ 0 για να βρίσκυµε τ είδς της απρσδιριστίας
7. Παρατήρηση Για την ώρα, η απρσδιριστία θα είναι της µρφής 0 και θα αίρεται µε 0 παραγντπίηση ή µε συζυγή παράσταση ή µε τριγωνµετρικά όρια. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Χωρίς απρσδιριστία. Να βρείτε τ 5 Πρτεινόµενη λύση 5 8 5 4 5 7. Να βρείτε τ Πρτεινόµενη λύση 4. Να βρείτε τ Πρτεινόµενη λύση 6 6
8 Απρσδιριστία σε ρητή 4. Να βρείτε τ Πρτεινόµενη λύση 0 αδύνατ 0 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 5. Να βρείτε τ Πρτεινόµενη λύση 0 0 αδύνατ ( )( ) ( )( ) ( )( )
9 6. ίνεται η συνάρτηση f ( ) α β γ 0 και Πρτεινόµενη λύση ν µ f α β αβ α β γ 0 γ α β f ( ) ν µ ν µ α β γ, όπυ α, β, γ R µε * ν, µ N. Να βρεθεί τ ν µ f ( ). α β αβ 0 0 α β αβ ν µ α( ) β( ) ν ν µ µ α( )(... ) β( )(... ) α β ν ν µ µ (... ) (... ) f ν ν µ µ α (... ) β (... ) ανβµ Στις απόλυτες τιµές 7. 4 Να βρείτε τ Πρτεινόµενη λύση 4 4 0 0 ( ) > 0 > 0 κντά στ ( ) > 0 > 0 κντά στ 4 4 Απαλλασσόµαστε από τις απόλυτες τιµές ( )
0 8. Να βρείτε τ 0 Πρτεινόµενη λύση 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) > 0 > 0 κντά στ 0 0 0 ( ) 0 9. Αν f να υπλγίσετε τ Πρτεινόµενη λύση f ( ) > 0 [ f () f ()] f > 0 κντά στ 6 > 0 f () f() 6 f() f() f() f ( ) f () f () > 0 κντά στ f () f() f () f () f () f() 6 f() f () f() 6 f() [f() ][f () f() ] f() [ f () f () ] (Hrner)
0. Να βρείτε τ όρι της f () Πρτεινόµενη λύση Για κάθε κντά στ είναι f () στ ( ) f () f () f () ( ) ( ) ( ) 0 f () ( ) ( ) 0 Επµένως f () 0
. Να απδείξετε ότι η συνάρτηση f () ηµ ηµ δεν έχει όρι 4 στ 0. Πρτεινόµενη λύση Όταν π 0, > 0 και ηµ > 0 ηµ > 0 Η ανίσωση ηµ < γίνεται ηµ < 0 < ηµ Άρα f () ηµ ηµ 4 Επµένως ( 4 ) 4 4 0 4 ( 4 ) f () ( 0 4 ) 8 () ( 4 ) ( 4 )( 4 ) Όταν π, 0 < 0 και ηµ < 0 ηµ < 0 Η ανίσωση ηµ < γίνεται ηµ < ηµ < 0 Άρα f () Επµένως ηµ ηµ 4 ( 4 ) 4 4 0 Από τις (), (), τα πλευρικά όρια στ όρι στ 0. 4 ( 4 ) f () ( 0 4 ) 8 () ( 4 ) ( 4 )( 4 ) 0 είναι διαφρετικά, άρα δεν υπάρχει
Εύρεση παραµέτρων. α β ίνεται η συνάρτηση f (), όπυ α, β R. Αν τ όρι της f στ είναι πραγµατικός αριθµός, να απδείξετε ότι τα σηµεία Μ(α, β) είναι συνευθειακά. Πρτεινόµενη λύση Έστω Κντά στ f () l R είναι f () α β f ()( ) α β [ f () ( ) ] ( α β ) f () ( ) α β l 0 α β α β 0 Άρα τα σηµεία Μ(α, β) επαληθεύυν την εξίσωση y 0, πυ παριστάνει ευθεία ε, επµένως τα σηµεία Μ ε.
4. Να βρείτε τα α, β R ώστε Πρτεινόµενη λύση α β 4 6 > κντά στ < κντά στ Η υπόθεση γίνεται α( ) β( ) 4 6 α αβ β 4 6 ( )( ) ( αβ) α β 4 ( )( ) 6 () Θεωρύµε τη συνάρτηση f () ( αβ ) α β 4 ( )( ) Τότε f ()( )( ) (α β) α β 4 () και [ f ()( )( )] [(α β) α β 4] κντά στ f () ( ) ( ) (α β) α β 4. f () 6 6 ( ) 0 α β α β 4 0 α β 4 α β 4 () ( β 4 β ) β 4 β 4 6 ( )( ) ( β 4) 4β 8 6 ( )( ) ( β ) 4( β ) 6 ( )( ) ( β )( ) 6 ( )( ) ( β ) 6 ( β ) 6 β β 5 () α 5 4
5 Απρσδιριστία σε άρρητη. 4. Να βρείτε τ Πρτεινόµενη λύση (Παραγντπίηση ή συζυγής) ( ) ( ) 5. Να βρείτε τ Πρτεινόµενη λύση 4 4 ( )( ) ( )
6 6. Να βρείτε τ 8 Πρτεινόµενη λύση ( )( 8) 8 ( 8)( 8) ( )( 8) ( ) ( 8) ( )( 8) 4 4 8 ( )( 8) 4 ( )( 8) ( )( 4) 8 4 8 4 6 5 7. Να βρείτε τ Υπόδειξη. 4 4 ( 4 )( 4 ) ( )( 4 )
7 8. 4 Να βρείτε τ Πρτεινόµενη λύση Θέτυµε u, πότε u και u 4 u u u 4u u u 4(u )(u ) 4 (u )(u ) 4u u 4 5 9. Να βρείτε τ, όπυ * ν N ν Υπόδειξη. Θέτυµε u ν, πότε u και ν u
8 0. Αν g και g 5. g Πρτεινόµενη λύση g κντά στ, να βρείτε τ g 5 g g () 5 g () 5 g() g () 5 [ ] [ ] g () 5 9 g() g () 5 [ ] g () 4 g() g () 5 [g() ][g() ] g() g () 5 [ ] g() g () 5 4 5 4 6
9. Να βρείτε τ 0 Πρτεινόµενη λύση α α, όπυ β β * α, β R 0 α α β β 0 [ α α ][ α α ][ β β] [ β β ][ α α ][ β β] 0 [ α α ][ β β] [ β β ][ α α] 0 [ β β] [ α α] 0 β β α α 0 0 β β α α ββ αα β α β α. Να βρείτε τ όρι της f () Πρτεινόµενη λύση στ Πρέπει 0 f () ( ) 0 0 < 0 < f () ( )( ) ( ) ( )